2022-2023学年北师大版九年级数学上册《4-4探索三角形相似的条件》同步达标测试题(附答案)

2022-2023学年北师大版九年级数学上册《4.4探索三角形相似的条件》
同步达标测试题（附答案）
一．选择题（共12小题，满分48分）
1．图形中，每个小网格均为正方形网格，带阴影部分的三角形中与如图△A1B1C1相似的是（）
A．B．C．D．
2．如图，在△ABC中，D，E两点分别在BC，AC上，且AD平分∠BAC，若∠ABE＝∠C，BE与AD相交于点F，则图中与△ABD相似的是（）
A．△ABC B．△ABF C．△BFD D．△AEF
3．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE与BC不平行，那么下列条件中，不能判断△ADE∽△ACB的是（）
A．∠ADE＝∠C B．∠AED＝∠B C．＝D．＝
4．已知△ABC三边长是，，2，与△ABC相似的三角形三边长可能是（）A．1，，B．1，，C．1，，D．1，，
5．如图，D是△ABC边AB上一点，添加一个条件后，仍然不能使△ACD∽△ABC的是（）
A．∠ACB＝∠ADC B．∠ACD＝∠ABC C．D．
6．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A≠∠B，点P是边AC上一点（不与A、C重合），过
P点的一条直线与△ABC的边相交，所构成的三角形与原三角形相似，这样的直线有（）条．
A．1B．2C．3D．4
7．如图，△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，则下列条件中，不一定能使△AED∽△ABC的是（）
A．∠2＝∠B B．∠1＝∠C C．D．
8．如图：点D在△ABC的边AB上，连接CD，下列条件：
①∠ACD＝∠B；②∠ADC＝∠ACB；③AC2＝AD•AB；④AB•CD＝AC•BC．
其中能判定△ACD∽△ABC的共有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
9．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，则在下列四个条件中：①∠AED＝∠B；②DE∥BC；③；④AD•BC＝DE•AC，能满足△ADE∽△ACB的条件有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
10．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝6，点P从点B出发以1个单位/s的速度向点A
运动，同时点Q从点C出发以2个单位/s的速度向点B运动．当以B，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间为（）
A．s B．s C．s或s D．以上均不对11．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，则在下列五个条件中：①∠AED＝∠B；②DE∥BC；③＝；④AD•BC＝DE•AC；⑤∠ADE＝∠C，能满足△ADE∽△ACB的条件有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
12．如图，正方形ABCD中，F为AB上一点，E是BC延长线上一点，且AF＝EC，连接EF，DE，DF，M是FE中点，连接MC，设FE与DC相交于点N．则4个结论：①DN ＝DG；②△BFG∽△EDG∽△BDE；③CM垂直BD；④若MC＝，则BF＝2；正确的结论有（）个
A．4B．3C．2D．1
二．填空题（共4小题，满分20分）
13．如图，∠B＝∠D，请你添加一个条件，使得△ABC∽△ADE，这个条件可以是．
14．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD的中点，DE、AF交于点G，AF的中点为H，连接BG、DH．给出下列结论：
①AF⊥DE；②DG＝；③HD∥BG；④△ABG∽△DHF．
其中正确的结论有．（请填上所有正确结论的序号）
15．如图，在△ABC中，AB≠AC．D、E分别为边AB、AC上的点．AC＝3AD，AB＝3AE，点F为BC边上一点，添加一个条件：，可以使得△FDB与△ADE 相似．（只需写出一个）
16．如图，在△ABC中，P为AB上一点，在下列四个条件中：①∠ACP＝∠B；②∠APC ＝∠ACB；③AC2＝AP•AB；④AB•CP＝AP•CB，能满足△APC与△ACB相似的条件是（只填序号）．
三．解答题（共8小题，满分52分）
17．已知：如图，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且AC＝1，CD＝2，DB ＝4．求证：△ACP∽△PDB．
18．如图，已知∠1＝∠2，∠AED＝∠C，求证：△ABC∽△ADE．
19．如图，AB•AE＝AD•AC，且∠1＝∠2，求证：△ABC∽△ADE．
20．如图，点E是四边形ABCD的对角线BD上一点，且∠BAC＝∠BDC＝∠DAE．求证：△ABE∽△ACD．
21．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，点E是AB上一点，连接DE，BD2＝BC•BE．证明：△BCD∽△BDE．
22．如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点A开始沿AB向B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向C点以4cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒钟△PBQ与△ABC相似？
23．如图，已知AD•AC＝AB•AE．求证：△ADE∽△ABC．
24．如图，在△ABC中，AB＝AC＝1，BC＝，在AC边上截取AD＝BC，连接BD．（1）通过计算，判断AD2与AC•CD的大小关系；
（2）求∠ABD的度数．
参考答案
一．选择题（共12小题，满分48分）
1．解：因为△A1B1C1中有一个角是135°，选项中，有135°角的三角形只有B，且满足两边成比例夹角相等，
故选：B．
2．解：在△ABE与△ACB中，∠ABE＝∠C，∠BAE＝∠CAB，
∴△ABE∽△ACB，
∴∠AEB＝∠ABC，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠EAF，
∴△ABD∽△AEF．
故选：D．
3．解：∵∠DAE＝∠CAB，
∴当∠ADE＝∠C时，△ADE∽△ACB；
当∠AED＝∠B时，△ADE∽△ACB；
当＝时，△ADE∽△ACB．
故选：C．
4．解：∵△ABC三边长是，，2，
∴△ABC三边长的比为：2：＝1：：，
∴△ABC相似的三角形三边长可能是1，，，
故选：A．
5．解：A、当∠ACB＝∠ADC时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；
B、当∠ACD＝∠ABC时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；
C、当＝时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；
D、当＝时，无法得出△ACD∽△ABC，故此选项符合题意；
故选：D．
6．解：如图，过点P作AB的平行线，或作BC的平行线，或作AB的垂线，或作∠CPD＝∠B，共4条直线，
故选：D．
7．解：∠A＝∠A，
A、若添加∠2＝∠B，可利用两角法判定△AED∽△ABC，故本选项错误；
B、若添加∠1＝∠C，可利用两角法判定△AED∽△ABC，故本选项错误；
C、若添加＝，可利用两边及其夹角法判定△AED∽△ABC，故本选项错误；
D、若添加＝，不能判定△AED∽△ABC，故本选项正确；
故选：D．
8．解：①∠A＝∠A，∠ACD＝∠B，
∴△ACD∽△ABC，
②∵∠A＝∠A，∠ADC＝∠ACB，
∴△ACD∽△ABC，
③∵AC2＝AD•AB，
∴，
∵∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC，
④条件不符合，不能判定△ACD∽△ABC，
故选：C．
9．解：①∠B＝∠AED，∠A＝∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故①符合题意；
②DE∥BC，则△ADE∽△ABC，故②不符合题意，
③，且夹角∠A＝∠A，能确定△ADE∽△ACB，故③符合题意；
④由AD•BC＝DE•AC可得＝，此时不确定∠ADE＝∠ACB，故不能确定△ADE
∽△ACB，故④不符合题意，
故选：B．
10．解：设运动时间为t秒．
BP＝t，CQ＝2t，BQ＝BC﹣CQ＝6﹣2t，
当△BAC∽△BPQ，＝，
即＝，
解得t＝；
当△BCA∽△BPQ，＝，
即＝，
解得t＝，
综上所述，当以B，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间为s或s，故选：C．
11．解：①∠B＝∠AED，∠A＝∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故①符合题意；
②DE∥BC，则△ADE∽△ABC，故②不符合题意，
③，且夹角∠A＝∠A，能确定△ADE∽△ACB，故③符合题意；
④由AD•BC＝DE•AC可得，此时不确定∠ADE＝∠ACB，故不能确定△ADE∽
△ACB；
故④不符合题意，
⑤∠ADE＝∠C，∠A＝∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故⑤符合题意；
故选：C．
12．解：正方形ABCD中，AD＝CD，
在△ADF和△CDE中，
，
∴△ADF≌△CDE（SAS），
∴∠ADF＝∠CDE，DE＝DF，
∴∠EDF＝∠FDC+∠CDE＝∠FDC+∠ADF＝∠ADC＝90°，
∴∠DEF＝45°，
∵∠DGN＝45°+∠FDG，∠DNG＝45°+∠CDE，∠FDG≠∠CDE，
而∠FDG与∠CDE不一定相等，
∴∠DGN与∠DNG不一定相等，故判断出①错误；
∵△DEF是等腰直角三角形，
∵∠ABD＝∠DEF＝45°，∠BGF＝∠EGD（对顶角相等），∴△BFG∽△EDG，
∵∠DBE＝∠DEF＝45°，∠BDE＝∠EDG，
∴△EDG∽△BDE，
∴△BFG∽△EDG∽△BDE，故②正确；
连接BM、DM．
∵△AFD≌△CED，
∴∠FDA＝∠EDC，DF＝DE，
∴∠FDE＝∠ADC＝90°，
∵M是EF的中点，
∴MD＝EF，
∵BM＝EF，
∴MD＝MB，
在△DCM与△BCM中，
，
∴△DCM≌△BCM（SSS），
∴∠BCM＝∠DCM，
∴CM在正方形ABCD的角平分线AC上，
∴MC垂直平分BD；故③正确；
过点M作MH⊥BC于H，则∠MCH＝45°，
∵MC＝，
∴MH＝＝1，
∵M是EF的中点，BF⊥BC，MH⊥BC，
∴MH是△BEF的中位线，
∴BF＝2MH＝2，故④正确；
综上所述，正确的结论有②③④．
故选：B．
二．填空题（共4小题，满分20分）
13．解：∵∠B＝∠D，
∴添加∠C＝∠E或∠BAC＝∠DAE或∠BAD＝∠CAE或＝，可证△ABC∽△ADE．故答案为：∠C＝∠E或∠BAC＝∠DAE或∠BAD＝∠CAE或＝．
14．解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，
∵E和F分别为BC和CD中点，
∴DF＝EC＝2，
∴△ADF≌△DCE（SAS），
∴∠AFD＝∠DEC，∠F AD＝∠EDC，
∵∠EDC+∠DEC＝90°，
∴∠EDC+∠AFD＝90°，
∴∠DGF＝90°，即DE⊥AF，故①正确；
∵AD＝4，DF＝CD＝2，
∴AF＝，
∴DG＝AD×DF÷AF＝，故②错误；
∵H为AF中点，
∴HD＝HF＝AF＝，
∴∠HDF＝∠HFD，
∵AB∥DC，
∴∠HDF＝∠HFD＝∠BAG，
∵AG＝＝，AB＝4，
∴，
∴△ABG∽△DHF，故④正确；
∴∠ABG＝∠DHF，而AB≠AG，
则∠ABG和∠AGB不相等，
故∠AGB≠∠DHF，
故HD与BG不平行，故③错误；
故答案为：①④．
15．解：DF∥AC，或∠BFD＝∠A．
理由：∵∠A＝∠A，＝＝，
∴△ADE∽△ACB，
∴①当DF∥AC时，△BDF∽△BAC，
∴△BDF∽△EAD．
②当∠BFD＝∠A时，∵∠B＝∠AED，
∴△FBD∽△AED．
故答案为DF∥AC，或∠BFD＝∠A．
16．解：前三项正确，因为他们分别符合有两组角对应相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似．
故相似的条件是①，②，③．
三．解答题（共8小题，满分52分）
17．证明：∵△PCD是等边三角形，
∴∠PCD＝∠PDC＝60°，PC＝CD＝PD＝2，
∴∠PCA＝∠PDB＝120°，
∵AC＝1，BD＝4，
∴，＝，
∴＝，
∴△ACP∽△PDB．
18．证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠BAE＝∠2+∠BAE，
即∠DAE＝∠BAC，
∵∠AED＝∠C，
∴△ABC∽△ADE．
19．证明：如图，∵AB•AE＝AD•AC，
∴＝．
又∵∠1＝∠2，
∴∠2+∠BAE＝∠1+∠BAE，即∠BAC＝∠DAE，
∴△ABC∽△ADE．
20．解：∵∠BAC＝∠BDC，∠AOB＝∠DOC，∴∠ABE＝∠ACD
又∵∠BAC＝∠DAE
∴∠BAC+∠EAC＝∠DAE+∠EAC
∴∠DAC＝∠EAB
∴△ABE∽△ACD．
21．证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠DBE＝∠CBD．
∵BD2＝BC•BE，
∴，
∴△BCD∽△BDE．
22．解：设在开始运动后第x秒，△BPQ与△BAC相似，由题意得：AP＝2xcm，PB＝（8﹣2x）cm，BQ＝4x，分两种情况考虑：
当∠BPQ＝∠C，∠B＝∠B时，△PBQ∽△CBA，
∴，
即
解得：x＝0.8，
当x＝0.8秒时，△BPQ与△BAC相似；
当∠BPQ＝∠A，∠B＝∠B时，△BPQ∽△BAC，
∴，即，
解得：x＝2，
当x＝2秒时，△BPQ与△BAC相似．
综上，当x＝0.8秒或2秒时，△BPQ与△BAC相似．23．证明：∵AD•AC＝AE•AB，
∴＝
在△ABC与△ADE中
∵＝，∠A＝∠A，
∴△ABC∽△ADE．
24．解：（1）∵AD＝BC，BC＝，
∴AD＝，DC＝1﹣＝．
∴AD2＝＝，AC•CD＝1×＝．∴AD2＝AC•CD．
（2）∵AD＝BC，AD2＝AC•CD，
∴BC2＝AC•CD，即．
又∵∠C＝∠C，
∴△BCD∽△ACB．
∴，∠DBC＝∠A．
∴DB＝CB＝AD．
∴∠A＝∠ABD，∠C＝∠BDC．
设∠A＝x，则∠ABD＝x，∠DBC＝x，∠C＝2x．
∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴x+2x+2x＝180°．
解得：x＝36°．∴∠ABD＝36°．。