(完整版)《离散数学》同步练习答案

华南理工大学网络教育学院
《离散数学》练习题参考答案
第一章命题逻辑
一填空题
（1)设：p：派小王去开会。

q：派小李去开会.则命题：
“派小王或小李中的一人去开会" 可符号化
为：（p q) (p q）。

（2）设A,B都是命题公式，A B，则A B的真值是T。

（3）设:p：刘平聪明。

q：刘平用功。

在命题逻辑中，命题：
“刘平不但不聪明，而且不用功”可符号化为：p q .
（4）设A , B 代表任意的命题公式，则蕴涵等值式为
A B A B。

（5）设，p：径一事;q：长一智。

在命题逻辑中,命题:
“不径一事，不长一智。

" 可符号化为： p q 。

（6）设A , B 代表任意的命题公式，则德摩根律为
（A B）Û A B）。

（7）设，p：选小王当班长;q：选小李当班长.则命题：“选小王或小李中的一人当班长。

”可符号化为: （p q）（p q） .
（8）设，P：他聪明；Q：他用功。

在命题逻辑中，命题:
“他既聪明又用功。

" 可符号化为：P Q .
（9）对于命题公式A,B,当且仅当 A B 是重言式时，称“A蕴含B”，并记为A B。

（10)设:P：我们划船.Q:我们跑步.在命题逻辑中，命题:
“我们不能既划船又跑步.”可符号化为：（P Q) 。

（11）设P，Q是命题公式,德·摩根律为：
（P Q）P Q) 。

（12）设P:你努力.Q：你失败。

在命题逻辑中，命题：“除非你努力，否则你将失败。

”可符号化为：P Q .
（13）设p：小王是100米赛跑冠军。

q:小王是400米赛跑冠军。

在命题逻辑中，命题：“小王是100米或400米赛跑冠军.”可符号化为：
p q。

（14）设A，C为两个命题公式，当且仅当A C为一重言式时,称C可由A逻辑地推出。

二．判断题
1.设A，B是命题公式，则蕴涵等值式为A B A B。

（）
2.命题公式p q r是析取范式。

( √ )
3.陈述句“x + y > 5”是命题。

( ）
4.110 (p=1,q=1， r=0）是命题公式（（（p q））r)q 的成真赋值. （√ )
5.命题公式 p（p q）是重言式。

（）
6.设A，B都是合式公式，则A B B也是合式公式。

（√）
7.A(B C)( A B）（A C)。

（）
8.陈述句“我学英语，或者我学法语”是命题。

（√）
9.命题“如果雪是黑的,那么太阳从西方出”是假命题。

( ）
10.“请不要随地吐痰！”是命题。

（）
11.P Q P Q . ( ）
12.陈述句“如果天下雨，那么我在家看电视”是命题。

（√）
13.命题公式（P Q）(R T)是析取范式. （）
14.命题公式 (P Q)R (P Q) 是析取范式。

（√ )
三、选择题:在每小题的备选答案中只有一个正确答案，将正确答案序号填入下列叙述中的
内.
1．设：P：天下雪。

Q：他走路上班。

则命题“只有天下雪,他才走路上班。

”可符号化为（2）。

(1）P Q
（2）Q P
(3） Q P
（4)Q P
2．（1 ) 明年国庆节是晴天。

（2 ）在实数范围内，x+y〈3。

（3 ) 请回答这个问题！
(4 ) 明天下午有课吗？
在上面句子中，是命题的只有 (1 ）。

3．命题公式A与B是等值的，是指（4 ）。

（1）A与B有相同的命题变元
（2）A B是可满足式
（3）A B为重言式
（4）A B为重言式
4．(1 ) 雪是黑色的。

(2 ) 这朵花多好看呀！。

(3 ) 请回答这个问题！
（4 ）明天下午有会吗?
在上面句子中,是命题的是 (1 ）。

5．设：P：天下大雨。

Q：他乘公共汽车上班。

则命题“只要天下大雨，他就乘公共汽车上班。

”
可符号化为（2）。

（1）Q P
（2）P Q
(3） Q P
（4)Q P
6．设：P：你努力；Q：你失败。

则命题“除非你努力，否则你将失败.”
在命题逻辑中可符号化为（3） .
（1）Q P（2）P Q
（3）P Q (4）Q P
7．（1 ) 现在开会吗？
（2 ）在实数范围内,x+y 5.
（3 ) 这朵花多好看呀!
(4 ) 离散数学是计算机科学专业的一门必修课。

在上面语句中，是命题的只有 (4 ) 。

8．设：P：天气好。

Q：他去郊游。

则命题“如果天气好，他就去郊游.”
可符号化为 (1）
（1)P Q （2）Q P
（3) Q P （4）Q P
9．下列式子是合式公式的是（2）。

（1）(P Q) (2）(P（Q R））
(3)（P Q) （4）Q R
10．(1）1＋101＝110 （2）中国人民是伟大的。

（3）全体起立！（4) 计算机机房有空位吗？
在上面句子中，是命题的是 (2）。

11．设：P：他聪明；Q：他用功。

则命题“他虽聪明但不用功.”
在命题逻辑中可符号化为 (3) 。

(1)P Q（2）P Q
（3）P Q (4）P Q
12．（1 ）如果天气好，那么我去散步。

（2 ）天气多好呀!
(3 ） x=3. （4 ）明天下午有会吗？
在上面句子中（1 ) 是命题。

13．设：P：王强身体很好；Q:王强成绩很好。

命题“王强身体很好，成绩也很好。

"在命题逻辑中可符号化为（4) 。

（1）P Q（2）P Q
（3)P Q（4）P Q
四、解答题
1．设命题公式为（p q)（q p）。

(1）求此命题公式的真值表；
（2）给出它的析取范式；
（1）
p q ﹁p﹁p→q q→﹁p(p q）(q p）T T F T F F
T F F T T T
F T T T T T
F F T F T T
（2）(p q)(q p)
﹁(p q）∨（q p)
﹁（p∨q）∨（q∨p）
（﹁p∧﹁q）∨q∨p
2．设命题公式为（p q）（p r）。

(1）求此命题公式的真值表;
(2)给出它的析取范式;
（1）
p q r p→q p r（p q）(p r) T T T T T T
T T F T T T
T F T F T F
T F F F T F
F T T T T T
F T F T F F
F F T T T T
F F F T F F
(2）（p q）（p r）
（p q)（p r)
(（p q）p )(（p q)r)
（(p p ) （q p））（（p r) （q r））
（q p)（p r）（q r)
3．设命题公式为 (Q（P Q)）P。

（1）求此命题公式的真值表；
(2)求此命题公式的析取范式；
（1）
P Q ﹁Q P→Q﹁P﹁Q ∧ (P→Q）（﹁Q∧（P→Q)）→﹁P T T F T F F T
T F T F F F T
F T F T T F T
F F T T T T T
(2)
解：（Q（P Q））P
（Q（﹁P∨Q)）P
﹁（Q（﹁P∨Q））∨P
（﹁Q∨﹁（﹁P∨Q））∨P
Q∨（P﹁Q）∨P
4．完成下列问题
求命题公式（P∧(Q→R））→S的析取范式.
解：(P∧（Q→R））→S
（P∧(﹁Q∨R））→S
﹁（P∧（﹁Q∨R)）∨S
(﹁P∨﹁（﹁Q∨R））∨S
﹁P∨（﹁﹁Q∧﹁R）∨S
﹁P∨（Q∧﹁R）∨S
5．设命题公式为（P （P Q)）Q.
（1）求此命题公式的真值表；
（2)求此命题公式的析取范式；
（1）
P Q P→Q P ∧（P→Q）（P （P Q））Q T T T T T
T F F F T
F T T F T
F F T F T
（2）
解：（P∧（P→Q））→Q
(P∧（﹁P∨Q））→Q
﹁（P∧(﹁P∨Q））∨Q
（﹁P∨﹁(﹁P∨Q）)∨Q
﹁P∨（﹁﹁P∧﹁Q)∨Q
(完整版)《离散数学》同步练习答案﹁P∨(P∧﹁Q）∨Q
6．设命题公式为（（P Q）P）Q。

（1）求此命题公式的真值表；
（2）给出它的析取范式；
（1）
P Q P∨Q﹁P（P∨Q)∧﹁P（（P∨Q)∧﹁P）→Q
T T T F F T
T F T F F T
F F F T F T
F T T T T T
（2)
解：(（P Q）P）Q
﹁（（P Q）P）∨Q
（﹁（P Q）∨(﹁﹁P）)∨Q
﹁P∨﹁Q)∨P∨Q
T
7．用直接证法证明
前提：P Q，P R,Q S
结论：S∨R
证明： 1)P∨Q P
2）﹁P→Q T 1)E
(完整版)《离散数学》同步练习答案 3）Q→S P
4）﹁P→S T 2）3）I
5）﹁S→P T 4）E
6)P→R P
7)﹁S→R T 5)6）I
8）S∨R T 7）E
8．用直接证法证明
前提：P（Q R)，S Q，P，S。

结论:R
证明： 1)P (Q R) P
2）P P
3）(Q R） T 2)3）I
4)S Q P
5）S P
6）Q T 4)5）I
7)R T 3）6）E
第二章谓词逻辑
一填空题
（1）若个体域是含三个元素的有限域｛a，b，c}，则
xA（x) A(a) A（b） A(c）
（2）取全总个体域，令F（x)：x为人，G(x）：x爱看电影.则命题“没有不爱看电影的人."可符号化为___（x(F(x） G（x)）)____。

（3）若个体域是含三个元素的有限域{a，b,c｝，则
xA(x)Û A(a） A（b） A（c）。

（4）取全总个体域，令M（x）：x是人，G(y）：y是花, H（x，y)：x喜欢y。

则命题“有些人喜欢所有的花.”可符号化为x(M（x）（y(G（y） H（x,y)))）。

（5）取个体域为全体人的集合。

令F(x）:x在广州工作,G(x)：x是广州人.在一阶逻辑中，命题“在广州工作的人未必都是广州人."可符号化为_______﹁x(F(x）G（x））_____.（6）P(x)：x是学生，Q(x）：x要参加考试.在谓词逻辑中，命题:
“每个学生都要参加考试”可符号化为：x（P（x）Q（x）) .
（7)M（x)：x是人，B(x）:x勇敢。

则命题“有人勇敢，但不是所有的人都勇敢”谓词符号化为 ____x(M(x) B(x））﹁x（M（x）B(x）)_______。

（8）P（x）：x是人,M（x)：x聪明。

则命题“尽管有人聪明，但不是一切人都聪明”谓词符号化为 ______x（P（x) M(x)）﹁x（P(x）M（x))___。

（9）I(x)：x是实数，R(x):x是正数，N(x）：x是负数.在谓词逻辑中，命题：“任何实数或是正的或是负的" 可符号化为：x(I（x) (R(x） N（x)）。

（10）P（x）：x是学生，Q(x):x要参加考试。

在谓词逻辑中，命题：
“每个学生都要参加考试" 可符号化为: x(P(x）Q（x）) 。

(11)令M（x)：x是大学生,P（y）：y是运动员, H（x，y)：x钦佩y。

则命题“有些大学生不
钦佩所有运动员。

”可符号化为____x(M(x)(y(P(y) H（x，y)））___。

二．判断题
1.设A，B都是谓词公式，则x A B也是谓词公式。

( √）
2.设c是个体域中某个元素,A是谓词公式,则A(c)xA（x)。

（）
3.x yA(x,y)y xA(x，y） . （√）
4.x yA(x,y）y xA(x,y）。

（）
5.取个体域为整数集，则谓词公式x y(x y = y ) 是假命题。

(√）
6.（x）（P（x)Q（x））（x）（P(x) Q（x))。

（√）
7.命题公式（P Q R）（P Q) 是析取范式。

（）
8.谓词公式(x）（A (x） B（x, y)) R（x）的自由变元为x, y。

（√ )
9.（（x）A（x）B)（x）（A(x）B）. （）
10.R（x)：“x是大学生。

”是命题。

（）
三、选择题：在每小题的备选答案中只有一个正确答案,将正确答案序号填入下列叙述中的
内。

1．设F(x）：x是火车，G(x）：x是汽车,H（x，y）:x比y快。

命题“某些汽车比所有火车慢”的符号化公式是 (2） .
（1）y（G（y）x(F（x）H（x,y)））
（2）y（G（y）x(F（x）H（x，y））)
（3）x y（G（y）（F（x）H（x，y))）
（4）y（G(y)x（F（x)H（x，y)）)
2．设个体域为整数集,下列真值为真的公式是（3）。

（1)y x (x – y =2）
（2）x y（x – y =2）
（3）x y(x – y =2）
（4）x y(x – y =2)
3．设F（x)：x是人,G（x)：x早晨吃面包。

命题“有些人早晨吃面包"在谓词逻辑中的符号化公式是 (4) 。

（1）（x）(F（x）G(x））
（2）（x）（F(x）G（x）)
（3）（x）（F(x）G（x））
（4）（x)(F(x）G(x））
5．下列式子中正确的是（1）。

（1）（x)P（x）（x）P（x)
（2）（x)P(x）（x）P(x）
(3)（x）P（x）(x）P(x）
（4）（x）P(x）（x)P（x）
6．下面谓词公式是永真式的是b) .
a)P（x）Q（x）
b)（x）P（x）（x）P（x）
c)P(a）（x）P（x）
d)P(a）（x）P（x）
5．设S（x）：x是运动员，J（y）：y是教练员，L(x,y）：x钦佩y。

命题“所有运动员都钦佩一些教练员”的符号化公式是 c）。

a)x（S(x）y(J（y）L（x，y))）
b)x y（S（x）(J(y)L（x，y)））
c)x（S（x）y（J(y)L（x，y）)）
d)y x（S(x）（J(y)L（x，y）））
6．下列式子是合式公式的是（2）。

（1)（P Q) （2) （P（Q R））（3）（P Q）（4)Q R
7．下列式子中正确的是（1）。

（1）（x）P（x）(x）P（x）
(2）（x）P（x）(x）P（x）
（3)(x)P(x）（x）P(x)
（4）（x）P（x）（x）P(x）
四、解答题
1．构造下面推理的证明：
前提： x F（x）y（（F（y) G（y）) R(y））， x F（x).
结论： x R（x）。

证明：
(1） x F(x）y（（F(y） G（y）） R(y））前提引入
（2) x F（x）前提引入
（3）y（（F（y) G(y）） R(y））（1）（2）假言推理
（4）F(c）（2）EI
（5）F（c) G（c）（4）附加
(6）(F（c) G（c）) R(c）（3)UI
（7)R（c）（5）（6)假言推理
(8） x R（x） (7）EG
2．在一阶逻辑中构造下面推理的证明
每个喜欢步行的人都不喜欢坐汽车。

每个人或者喜欢坐汽车或者喜欢骑自行车。

有的人不喜欢骑自行车。

因而有的人不喜欢步行。

令F（x）:x喜欢步行，G（x)：x喜欢坐汽车,H(x)：x喜欢骑自行车。

前提：x（F（x）G（x)），x（G(x）H（x））,
x (H(x）)
结论：x (F（x))
证明
（1）x (H（x)）前提引入
（2）H（c）（1）EI
（3）x（G（x）H（x））前提引入
（4）G（c）H（c）（3）UI
（5）G（c）
(6）x（F(x)G（x））前提引入
（7）F（c)G（c) (6）UI
（8)F（c)
（9）x（F（x）) (8）EG
3．在命题逻辑中构造下面推理的证明:
如果他是理科学生，他必须学好数学.如果他不是文科学生，他必是理科学生.他没学好数学,所以他是文科学生。

令F（x）:x是理科学生，G（x):x学好数学，H(x)：x是文科学生。

前提: x（F(x）G（x）），x（H（x)F（x）），
x (G（x））
结论：x (H(x))
证明
(1）x（F(x）G(x）) 前提引入
（2)x（G（x）) 前提引入
（3）x (F（x)） T（1）（2）I
(4)x（H(x)F(x））前提引入
（5)x (H(x)） T（3）（4）I
4．用直接证法证明：
前提:(”x)(C（x）→W(x)∧R(x）），（＄x）(C（x）∧Q(x))
结论：（＄x）（Q（x）∧R(x））。

推理: 1) （"x）(C(x) →W（x）∧R(x）） P
2）（＄x）（C（x) ∧Q（x）) p
3） C(a) ∧Q(a) ES2)
4） C（a）→W（a) ∧R（a) US1）
5) C（a） T3）I
6) W（a) ∧R(a） T4)5)I
7） Q（a） T3)I
8) R(a) T6）I
9） Q(a）∧R(a） T7)8）I
10) ($x)（Q（x）∧R(x）) EG9）
第三章集合与关系
一填空题
(1）如果|A|＝n，那么｜A×A｜＝n2。

A上的二元关系有____22n_____个。

（2）集合A上关系R的自反闭包r（R）=_______R I____________。

（3）设集合A上的关系R和S，R={（1，2），（1，3)，（3，2）}，S={（1， 3),（2，1)，（3，2）｝，则S◦R= ｛(1,2)，（2，2)，（2，3)｝ .
（4)如果｜A｜＝n，那么|P(A）|＝2n.
（5）设集合A上的关系R和S，R=｛<1,2〉,<2,1>，〈3，4>,<4,3〉}，S={〈1，3>，〈3，1〉，〈2，4〉,<4，2〉｝,则R◦S= ｛〈1,4〉，〈2,3〉，〈3,2>， <4，1〉｝。

（6）设集合E=｛a, b，c},E的幂集P(E)＝ ___________________________。

（7)设R是定义在集合X上的二元关系,如果对于每个x, y X，
______ ____ ____________ ，则称集合X上的关系R是对称的.
（8）设关系R和S为，R=｛〈1，2〉，<3，4〉，〈2，2>｝，S={<4，2〉，〈2，5〉,〈3，1〉，〈1,3〉}，则R◦S =______ ___ __ _______________。

（9）设R 是定义在集合X 上的二元关系，如果对于每个x ， y X ，
______ ____ ____________ ,则称集合X 上的关系R 是自反的.
二．判断题
1．设A 、B 、C 为任意的三个集合，则A×(B×C）=A×（B×C）。

（ × ） 2．设S ，T 是任意集合，如果S
T =
，则S = T 。

( × ）
3．集合A={1,2,3,4｝上的关系｛<1,2〉，<2，3>，〈2，4〉,<3,4>}是一个函数. ( × ） 4．集合A=｛1，2，3，4｝上的整除关系是等价关系。

（ × ) 5．集合A 的幂集P （A)上的包含关系是偏序关系。

（ √ ） 6．设A={a ， b, c}, R
A×A 且R={〈 a ， b 〉，〈 a ， c>｝, 则R 是传递的. （ √ ）
6．设A ，B 是任意集合,如果B
，则A – B
A. （ × ）
7．集合A={1，2，3｝上的关系{〈1,1〉,<2，2>,〈3，3〉，<1,2>}是传递的。

（ √ ） 8．集合A={1，2,3，4｝上的小于关系是等价关系。

（ × ） 9．关系{〈x 1， x 2>
x 1, x 2
N ， x 1+x 2<6｝能构成一个函数。

( ×）
10．集合A 上的恒等关系是偏序关系。

（ √ )
11．集合A=｛1，2,3｝上的关系S=｛<1，1>,<1，2〉,〈3，2〉，〈3,3>}是自反的。

（ × ） 12．设X={1， 2, 3}， Y=｛a, b ， c}。

函数F=｛<1， a>,<2， c 〉,<3, b 〉｝是双射。

( √ ） 13．集合A 上的关系R 的自反闭包r （R)=R ∪I A 。

（ √ ） 14．集合A 上的偏序关系R 是自反的、对称的、传递的。

（ ×)
15. 设A ，B 是任意集合，则A B ＝(A —B) ∪(B —A)。

( √ ）
三、选择题：在每小题的备选答案中只有一个正确答案,将正确答案序号填入下列叙述中的
内。

1．设A=｛a ，b,c ｝,B=｛a ，b}，则下列命题不正确的是 a) 。

a)A－B=｛a，b｝
b)A∩B={ a，b }
c)A B=｛c}
d)B A
2．设 A = {a， b， c, d｝, A 上的关系R = ｛〈a, b〉, 〈b, a>， <b， c〉， <c, d〉}，则它的对称闭包为c) 。

a)R = ｛<a, a>, 〈a， b〉, <b, b>， <b， a>， <b, c〉, 〈c， c>， <c， d>}，
b)R = ｛〈a， b〉， <b, a>，〈b, c〉， <c， b>, 〈c， d〉}，
c)R = {〈a, b>， <b， a>， <b, c>，〈c, d>，〈c, b>，〈d, c〉｝，
d)R = ｛<a， a>, 〈a, b〉，〈b, a〉, 〈b， c>, 〈c, d〉, <d, c〉}，
3．对于集合｛1, 2， 3， 4｝上的关系是偏序关系的是 a) .
a)R=｛<1,1>,〈1，2〉，〈1,3>，<1,4〉，〈2,2〉， <2，3〉,<2,4>，〈3,3>,<3,4〉,〈4，
4>}
b)R={<1，1〉，〈1，2〉,〈1,3>，〈1，4〉,<2，2〉，〈2,1〉,〈2，4>,<3，1>,〈3,4>，
<4，4>}
c)R={<1，1>,<1，2〉，<1,3〉,〈1，4>，<2,2〉, <2,1>,<3,1〉,<3,3〉，〈4，1>,<4,4>｝
d)R={〈2,1〉，<1，2〉，<1,3〉，<1，4〉，〈2，2〉, <4，3〉，<2,4〉,<3,3〉,〈3，4〉,<4，
4>}
4．设A=｛1，2,3，4，5}，B=｛6，7,8，9,10｝,以下哪个关系是从A到B的单射函数 b) 。

a) f ={<1，7〉，〈2，6>,<3,5>，〈1，9>，〈5,10>｝
b) f ={〈1，8〉，<2,6>，〈3，7〉，〈4，9>，〈5，10〉｝
c) f =｛<1，7>，<2,6>，〈3,5>，〈4，6〉｝
d) f ={<1，10>,〈2，6〉，<3,7>，<4,8〉,<5，10>｝
5．设 A = ｛a, b， c}，要使关系｛<a, b>， <b, c〉，〈c, a>, <b， a>｝∪R 具有对称性，则 d) 。

a)R = {〈c， a>, 〈a, c〉｝
b)R = {<c， b>, <b, a>｝
c)R = {<c, a>，〈b， a〉｝
d)R = {<c， b〉， <a， c〉｝
6．设S={，｛1｝，{1，2｝}，则S的幂集P（S）有 (4) 个元素
（1)3 （2）6 （3）7 （4)8
7．设R为定义在集合A上的一个关系，若R是（2） ,则R为等价关系。

（1）反自反的，对称的和传递的（2）自反的，对称的和传递的
（3）自反的，反对称的和传递的（4)对称的，反对称的和传递的
8．设S，T，M为任意集合，下列命题正确的是 c) 。

a)如果S∪T = S∪M，则T = M
b)如果S—T = ，则S = T
c)S—T S
d)S S = S
9．设A = {a, b，c｝，要使关系｛<a，b〉，〈b, c>, <c，a〉, 〈b，a>｝∪R具有对性，则 (4) .
（1）R = {〈c，a〉，〈a，c〉｝（2）R = ｛<c，b〉， <b, a>｝
(3) R = {〈c, a〉, 〈b, a〉｝（4）R = {<c，b〉， <a, c>｝
10．设A={1，2，3，4，5}，B=｛a，b，c,d，e},以下哪个函数是从A到B的入射函数 b) 。

a)F ={<1，b>，<2，a〉，〈3，c>，<1,d>，〈5，e>}
b) F =｛〈1,c 〉，〈2,a >，<3，b >,〈4,e >，<5，d >} c) F =｛〈1，b 〉，<2，a 〉,<3，d 〉，<4，a 〉} d) F =｛〈1,e 〉，<2，a >,〈3，b >，〈4,c >，〈5,e 〉｝
四、解答题
1．已知偏序集（A ，≦）,其中A=｛a ，b ，c ，d ，e ｝，“≦”为{（a ，b ）,
（a ，c)，（a ，d ），（c ，e ），（b ，e ），（d ，e),（a ，e ）}∪I A 。

（1)画出偏序集（A ，≦）的哈斯图。

(2）求集合A 的极大元，极小元，最大元,最小元。

(1）
（2）集合A 的极大元是e ，极小元a ，最大元e ，最小元a.
2．设R 是集合A = ｛1， 2， 3, 4, 5, 6， 7, 8, 9｝上的整除关系.
（1） 给出关系R;（2）画出关系R 的哈斯图；
（3）指出关系R 的最大、最小元，极大、极小元。

（1）R=｛〈1，1〉，<1，2> , <1，3>， 〈1，4〉， 〈1,5>， <1，6〉, <1，7>， <1，8〉， 〈1,9>， <2，2〉, <2,4>, 〈2，6>, <2,8>， 〈3,3〉, 〈3,6>, 〈3，9>, <4,4>, 〈4,8>,
e
d
a
b
c
〈5，5>, <6，6>， 〈7,7〉, 〈8,8>, 〈9，9〉} （2）
（3）关系R 的无最大，最小元是1，极大元是8和
9,极小元是1。

3．设R 是集合A = ｛1， 2, 3， 4， 6, 12}上的整除关系。

（2） 给出关系R ；
(2） 给出COV A
（3） 画出关系R 的哈斯图；
（4） 给出关系R 的极大、极小元、最大、最小元。

（1)R={〈1，1〉,<1，2> , <1,3〉, 〈1,4〉, 〈1，6>, <1，12〉， 〈2，2〉, <2,4>, <2,6>， 〈2，12>, <3,3〉, <3,6〉， 〈3,12〉， 〈4,4〉, 〈4,12>， <6，6〉, <6,12>， 〈12，12〉} （2） COV A ={〈1，2〉 ， 〈1，3>,〈2,4>, <2,6〉 〈3,6> 〈4，12〉, <6，6〉， <12,12>} （3）
4 5
1
2
3
7
6 8 9 4 3
2
6 12
（4）关系R的极大、最大元是12，极小元、最小元是1.
第五章代数结构
一填空题
（1）集合S的幂集P（S）关于集合的并运算“∪”的零元为 ____S___。

（2）集合S的幂集P(S)关于集合的并运算“∩”的零元为 ________。

(3）集合S的幂集P(S）关于集合的并运算“∪”的么元为 __________。

（4）一个代数系统＜S, * ＞，其中S是非空集合。

＊是S上的一个二元运算，如果 *在S上是封闭的 ,则称代数系统＜S, * ＞为广群。

二．判断题
1．含有零元的半群称为独异点。

( ）
2．运算“＋”是整数集I上的普通加法，则群<I, ＋〉的么元是1. （）
三、填空题:在每小题的备选答案中只有一个正确答案，将正确答案序号填入下列叙述中的
内。

1．下列群一定为循环群的是e）。

e)〈I,＋> （运算“＋”是整数集I上的普通加法)
f)〈R－｛0｝，×〉 (R是实数集，“×"是普通乘法）
g)<Q,＋> （运算“＋”是有理数集Q上的普通加法）
h)<P（S）， > (P（S）是集合S的幂集，“”为对称差）
2．运算“－”是整数集I上的普通减法,则代数系统〈I, －> 满足下列
性质（3） .
(1）结合律（2）交换律 (3）有零元（4) 封闭性
3．设I是整数集,N是自然数集,P（S）是S的幂集，“×,＋，∩”是普通的乘法，加法和集合的交运算.下面代数系统中（2) 是群。

（1）<I,×> （2）<I,＋〉（3）<P（S），∩> (4）〈N,+〉
4．下列代数系统不是群的是（2) 。

（1）〈I，＋> （运算“＋”是整数集I上的普通加法）
（2)<P（S）,∩> （P（S）是集合S的幂集,“∩”为交运算)
（3) <Q,＋> （运算“＋”是有理数集Q上的普通加法）
（4) 〈P（S），〉（P（S）是集合S的幂集,“"为对称差)
第七章图论
一填空题
（1）一个无向图G=（V，E）是二部图当且仅当G中无奇数长度的回路.
（2)任何图（无向的或有向的）中，度为奇数的顶点个数为偶数.
（3）设D是一个有向图,若D中任意一对顶点都是相互可达的,则称D是________双向连通的
_______。

（4）既不含平行边，也不含环的图称为简单图。

（5）经过图中每条边一次且仅一次并的回路，称为欧拉回路。

（6）一棵有n个顶点的树含有_______n－1________边。

（7）设G =（V，E)，G =（V,E）是两个图，若V′= V且E′ÍE，称G 是G的生成子图.
(8）经过图中每个结点一次且仅一次的回路，称为哈密尔顿回路.
二．判断题
1．5个顶点的有向完全图有20条边。

( √ )
2．连通无向图的欧拉回路经过图中的每个顶点一次且仅一次。

（）
3．图中的初级通路都是简单通路。

（√）
4．已知n (n2）阶无向简单图G有n – 1条边,则G一定为树。

（ )
5．n阶无向完全图K n的每个顶点的度都是n。

( )
6．一个无向图是二部图当且仅当它没有奇数度的顶点。

（ )
7．任何图都有一棵生成树. （）
8．连通无向图的哈密尔顿回路经过图中的每条边一次且仅一次。

( ）
9．图中的初级回路都是简单回路. （√）
10．任一图G=（V，E)的顶点的最大度数必小于G的顶点数。

( ）
11．欧拉图一定是汉密尔顿图。

（）
12．无向连通图G的任意两结点之间都存在一条路。

（√)
13．根树中除一个结点外,其余结点的入度为1。

( √ )
三、选择题:在每小题的备选答案中只有一个正确答案，将正确答案序号填入下列叙述中的
内。

1．下列为欧拉图的是 （4） .
2．下列各图为简单图的是 （3） 。

3．设无向图G 有12条边，已知G 中3度顶点有6个，其余顶点的度数都小于3，则该图至少有
(3） 个顶点。

(1）6 (2）8 （3）9 （4） 12 4．下列四个有6个结点的图 (3） 是连通图.
5．称图G ′=<V ′,E ′>为图G = <V ,E 〉的生成子图是指____（3）____.
(1）V ′Í V (2）V ′Í V 且E ′Í E （3）V ′= V 且E ′Í E （4）V ′Ì V 且E ′Ì E 6．有向图中结点之间的可达关系是______（2)________.
（1） 自反的，对称的 (2） 自反的，传递的
（1
(2)
（3
（4
(1)
（2(3） (4）
(3) 自反的，反对称的 (4）反自反的，对称的
7．在下列关于图论的命题中,为真的命题是 d）。

a)完全二部图Kn, m (n 1, m 1）是欧拉图
b)欧拉图一定是哈密尔顿图
c)无向完全图Kn(n3）都是欧拉图
d)无向完全图Kn(n3）都是哈密尔顿图
8．下列各图为平面图的是(3）。

（1（2（3(4)
9．设G为任意的连通的平面图，且G有n个顶点，m条边，r个面，则平面图的欧拉公式为(1） .
（1）n – m + r = 2（2）m – n + r = 2（3）n + m – r =2（4）r + n + m = 2
10．下列四个图中与其余三个图不同构的图是（3） .
(1）（2) （3） (4)
四、解答题
1．给定边集:{（1，2）,(1，3），（2，3），（2,4），（2，5），（3,4）,
（3，5)，（4，5）}，
(1) 画出相应的无向图G （设G 无孤立点）;
(2） 画出顶点子集V 1 = ｛ 2， 3， 4, 5}导出的导出子图； （3） 画出图G 的一棵生成树. (1） (2）
2．如图所示带权图，用避圈法(Kruskal 算法)求一棵最小生成树并计算它的权值。

1
3
4
2
5
3 4
2
5
1
3 4 2 5
（3)
它的权值为：1+2+4+4=11
3．如图所示带权图，用避圈法(Kruskal 算法）求一棵最小生成树，并计算它的权值。

它的权值为：1+2+3+5+7=18
1
3 5
2 7
1
4
2
4
4．求带权图G 的最小生成树，并计算它的权值。

它的权值为：1+1+2+3=7
5．给定权为2，6，3，9，4；构造一颗最优二叉树，并求此最优二叉树的权。

最优二叉树的权：2×3+3×3+4×2+6×2+9×2=53
6．给定权为1,9,4，7，3；构造一颗最优二叉树，并求此最优二叉树的权。

1 3
1
2
2 3 4 6 9
5
9
15
27
(完整版)《离散数学》同步练习答案
最优二叉树的权:1×4+3×4+4×3+7×2+9×1=51
7．给定权为2，6,5，9，4，1；构造一颗最优二叉树，并求此最优二叉树的权。

最优二叉树的权：1×4+2×4+4×3+5×2+6×2+9×2=64 1 3 4 4
8
9
15
7
27 1 2 4 5 6 3 7
11
16
9 27。