人教版2023年中考数学备考一轮复习讲义：第4讲+二次函数

第4讲 二次函数

【教学目标】：

梳理二次函数常考的题型，能够熟练运用二次函数图象和性质解决有关问题。 【教学重难点】： 综合题型的运用。

【考点解析】

考点一

二次函数的图象及性质

1. 待定系数法确定二次函数的解析式，根据所给条件选用三个不同的表达方式： 一般式：______________；顶点式：______________；交点式：_______________

2. 二次函数的图象是一条抛物线，请完成下列表格：

解析式 y ＝ax 2＋bx ＋c (a≠0) 2()(0)y a x h k a =-+≠ 12()()(0)y a x x x x a =--≠

开口方向 对称轴

顶点坐标 令x =__________代入解析式即可求得顶点坐标和最值

最值

增减性

根据函数图象的草图即可得到，按照对称轴的左右进行分类

3. 二次函数图象的特征与a ，b ，c 及b 2－4ac 的符之间的关系

例1.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的对称轴为直线x＝1，且经过点(－1，y1)，(2，y2)，试比较y1和y2的大小：y1________y2.(填“＞”“＜”或“＝”)

例2.二次函数y＝－2x2＋4x＋1的图象怎样平移得到y＝－2x2的图象( ) A．向左平移1个单位，再向上平移3个单位

B．向右平移1个单位，再向上平移3个单位

C．向左平移1个单位，再向下平移3个单位

D．向右平移1个单位，再向下平移3个单位

例3.如图,函数y=ax2−2x+1和y=ax−a(a是常数,且a≠0)在同一平面直角坐标系的图象可能是（）

A. B. C. D.

例4.已知二次函数y=−(x−ℎ)2(ℎ为常数),当自变量x的值满足2≤x≤5时,与其对应的函数值y的最大值为-1,则h的值为( )

A. 3或6

B. 1或6

C. 1或3

D. 4或6

例5.如图，是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的一部分，给出下列命题：①a＋b＋c ＝0；②b＞2a；③ax2＋bx＋c＝0的两根分别为－3和1；④a－2b＋c＞0.其中正确的命题是__________．(只要求填写正确命题的序)

例6.已知函数y＝（k﹣3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A．k＜4 B．k≤4 C．k＜4且k≠3 D．k≤4且k≠3

1. 已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图，则下列结论中正确的是( )

A ．a ＞0

B ．当x ＞1时，y 随x 的增大而增大

C ．c ＜0

D ．3是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根

2. 将二次函数y ＝x 2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数解析式是( ) A ．y ＝(x －1)2＋2 B ．y ＝(x ＋1)2＋2 C ．y ＝(x －1)2－2

D ．y ＝(x ＋1)2－2

3. 对于二次函数21

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y x x =-+-，下列说法正确的是（ ）

A. 当0x >时，y 随x 的增大而增大

B. 当2x =时，y 有最大值﹣3

C. 图象的顶点坐标为（﹣2，﹣7）

D. 图象与x 轴有两个交点

4. 已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，那么一次函数y ＝bx ＋c 和反比例函数y ＝a

x 在同一平面直角坐标系中的图象大致是( )

5. 小明从如图的二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象中，观察得出了下面五个结论：①c ＜0；②abc ＞0；③a －b ＋c ＞0；④2a －3b ＝0；⑤c －4b ＞0，你认为其中正确的结论有( ) A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个

6. 对于二次函数22y x x =-+有下列结论：①它的对称轴是直线1x =；②设

221112222,2y x x y x x =-+=-+，则当21x x >时，有21y y >；③它的图象与x 轴的两个交

点是（0，0）和（2，0）；④当02x <<时，0y >，其中正确结论的个数为（ ） A ．1

B. 2

C. 3

D. 4

7. 定义运算：a ⋆b=a （1﹣b ）．若a ，b 是方程21

0(0)4

x x m m -+=<的两根，则b ⋆b

﹣a ⋆a 的值为（ ）

A ．0

B ．1

C ．2

D ．与m 有关

8. 0a ≠，函数a

y x

=

与2y ax a =-+在同一直角坐标系中的大致图象可能是（ ）

9. 关于x 的一元二次方程02)1(2=+---k x k x 有两个实数根21,x x ，若

()32)2(2212121-=+--+-x x x x x x ，则k 的值（ ）

A. 0或2

B.-2或2

C.-2

D.2

10. 将抛物线y ＝x 2﹣4x +3向上平移至顶点落在x 轴上，如图所示，则两条抛物线、对称轴和y 轴围成的图形的面积S （图中阴影部分）是（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

11. 将抛物线y ＝x 2＋x 向下平移2个单位，所得新抛物线的表达式是________．

12. 二次函数y ＝x 2－2x －3的图象如图所示．当y ＜0时，自变量x 的取值范围是__________．

13. 如图，抛物线2y ax bx c =++过点（﹣1，0），且对称轴为直线1x =，有下列结论： ①0;abc <②1030;a b c ++>③抛物线经过点1(4,)y 与点2(3,)y -，则12;y y >④无论

,,a b c 取何值，抛物线都经过同一个点(,0)c

a

-；⑤20am bm a ++≥，其中所有正确的结

论是________。

14. 如图，抛物线2

23y x x =-++与y 轴交于点C （0，1），点P 在抛物线上，且△PCD 是

以CD 为底的等腰三角形，则点P 的坐标为________。