【问题】2020学年高中数学233向量数量积的坐标运算与度量公式学案新人教B版必修4

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【关键字】问题
2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式
1.掌握向量数量积的坐标表达式,能进行平面向量数量积的坐标运算.(重点)
2.能运用数量积表示两个向量的夹角.计算向量的长度,会判断两个平面向量的笔直关系.(难点)
[基础·初探]
教材整理1 两向量的数量积与两向量笔直的坐标表示
阅读教材P112“思考与讨论”以上内容,完成下列问题.
1.向量内积的坐标运算:
已知a=(a1,a2),b=(b1,b2),则a·b=a1b1+a2b2.
2.用向量的坐标表示两个向量笔直的条件:
设a=(a1,a2),b=(b1,b2),则a⊥b⇔a1b1+a2b2=0.
已知a=(1,-1),b=(2,3),则a·b=( )
A.5
B.4
C.-2
D.-1
【解析】a·b=(1,-1)·(2,3)=1×2+(-1)×3=-1.
【答案】 D
教材整理2 向量的长度、距离和夹角公式
阅读教材P112~P113内容,完成下列问题.
1.向量的长度:
已知a=(a1,a2),则|a|=.
2.两点间的距离:
如果A(x1,y1),B(x2,y2),则||=.
3.两向量的夹角:
设a=(a1,a2),b=(b1,b2),则cos〈a,b〉
=.
判断(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),满足x1y2-x2y1=0,则向量a,b的夹角为0度.( )
(2)两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.( )
(3)若两个向量的数量积的坐标和小于零,则两个向量的夹角一定为钝角.( )
【解析】(1)×.因为当x1y2-x2y1=0时,向量a,b的夹角也可能为180°.
(2)√.由向量数量积定义可知正确.
(3)×.因为两向量的夹角有可能为180°.
【答案】 (1)× (2)√ (3)×
[质疑·手记]
预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流:
疑问1:_________________________________________________________ 解惑:_________________________________________________________ 疑问2:_________________________________________________________ 解惑:_________________________________________________________ 疑问3:_________________________________________________________ 解惑:_________________________________________________________
[小组合作型]
1,则x 的值等于( )
A. B.- C.
D.-
(2)已知向量a =(-1,2),b =(3,2),则a ·b =________,a ·(a -b)=________. (3)已知a =(2,-1),b =(3,2),若存在向量c ,满足a ·c =2,b ·c =5,则向量c =________.
【精彩点拨】 根据题目中已知的条件找出向量坐标满足的等量关系,利用数量积的坐标运算列出方程(组)来进行求解.
【自主解答】 (1)因为a =(1,2),b =(2,x), 所以a ·b =(1,2)·(2,x)=1×2+2x =-1, 解得x =-.
(2)a ·b =(-1,2)·(3,2)=(-1)×3+2×2=1,
a ·(a -b)=(-1,2)·[(-1,2)-(3,2)]=(-1,2)·(-4,0)=4. (3)设c =(x ,y ),因为a·c =2,b·c =5,
所以⎩⎪⎨
⎪⎧
2x -y =2,3x +2y =5,
解得⎩⎪⎨⎪⎧
x =9
7,y =4
7,
所以c =⎝ ⎛⎭
⎪⎫97,47.
【答案】 (1)D (2)1 4 (3)⎝ ⎛⎭
⎪⎫97,47 1.进行数量积运算时,要正确使用公式a·b =x 1x 2+y 1y 2,并能灵活运用以下几个关系:
|a|2=a·a ;(a +b )(a -b )=|a|2-|b|2;
(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2.
2.通过向量的坐标表示可实现向量问题的代数化,应注意与函数、方程等知识的联系.
3.向量数量积的运算有两种思路:一种是向量式,另一种是坐标式,两者相互补充.
[再练一题]
1.设向量a=(1,-2),向量b=(-3,4),向量c=(3,2),则(a+2b)·c=( )
A.(-15,12)
B.0
C.-3
D.-11
【解析】依题意可知,a+2b=(1,-2)+2(-3,4)=(-5,6),∴(a+2b)·c=(-5,6)·(3,2)=-5×3+6×2=-3.
【答案】 C
向量的模的问题
(1)(2016·莱州期末)设平面向量a=(1,2),b=(-2,y),若a∥b,则|2a-b|等于( )
A.4
B.5
C.3 5
D.4 5
(2)已知向量a=(1,2),b=(-3,2),则|a+b|=________,|a-b|=________.
【精彩点拨】(1)两向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)共线的坐标表示:x1y2-x2y1=0.
(2)已知a=(x,y),则|a|=x2+y2.
【自主解答】(1)由y+4=0知
y=-4,b=(-2,-4),
∴2a-b=(4,8),∴|2a-b|=4 5.故选D.
(2)由题意知,a+b=(-2,4),a-b=(4,0),
因此|a+b|=25,|a-b|=4.
【答案】(1)D (2)2 5 4
向量模的问题的解题策略:
(1)字母表示下的运算,利用|a|2=a2将向量模的运算转化为向量的数量积的运算.
(2)坐标表示下的运算,若a=(x,y),则|a|=x2+y2.
[再练一题]
2.已知向量a=(2x+3,2-x),b=(-3-x,2x)(x∈R),则|a+b|的取值范围为________.
【解析】∵a+b=(x,x+2),
∴|a+b|=x2+x+22=2x2+4x+4
=2
x +1
2
+2≥2,
∴|a +b|∈[2,+∞). 【答案】 [2,+∞)
[探究共研型]
向量的夹角与垂直问题
探究1 设a ,b 都是非零向量,a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),θ是a 与b 的夹角,那么
cos θ如何用坐标表示?
【提示】 cos θ=
a ·
b |a ||b |=x 1x 2+y 1y 2
x 21+y 21x 22+y 22
. 探究2 已知a =(1,-1),b =(λ,1),当a 与b 的夹角α为钝角时,λ的取值范围是什么?
【提示】 ∵a =(1,-1),b =(λ,1), ∴|a |=2,|b |=1+λ2
,a ·b =λ-1. ∵a ,b 的夹角α为钝角,
∴⎩⎨

λ-1<0,
21+λ2≠1-λ,
即⎩
⎪⎨⎪⎧
λ<1,λ2
+2λ+1≠0,
∴λ<1且λ≠-1.
∴λ的取值范围是(-∞,-1)∪(-1,1).
(1)已知向量a =(2,1),b =(1,k ),且a 与b 的夹角为锐角,则实数
k 的取值范围是( )
A.(-2,+∞)
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫-2,12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12,+∞
C.(-∞,-2)
D.(-2,2)
(2)已知a =(3,4),b =(2,-1),且(a +m b )⊥(a -b ),则实数m 为何值?
【精彩点拨】 (1)可利用a ,b 夹角为锐角⇔⎩
⎪⎨
⎪⎧
a·b>0
a ≠λ
b 求解.
(2)可利用两非零向量a⊥b ⇔a·b =0来求m .
【自主解答】 (1)当a·b 共线时,2k -1=0,k =1
2,此时a ,b 方向相同,夹角为0°,
所以要使a 与b 的夹角为锐角,则有a·b>0且a ,b 不同向.由a·b =2+k >0得k >-2,且
k ≠1
2
,即实数k 的取值范围是⎝
⎛⎭⎪⎫-2,12∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫12
,+∞,选B.
【答案】 B
(2)a +m b =(3+2m,4-m ),a -b =(1,5),因为(a +m b )⊥(a -b ),所以(a +m b )·(a -
b )=0,
即(3+2m )×1+(4-m )×5=0,所以m =23
3.
1.利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤:
(1)求向量的数量积.利用向量数量积的坐标表示求出这两个向量的数量积. (2)求模.利用|a|=x 2
+y 2
计算两向量的模. (3)求夹角余弦值.由公式cos θ=
x 1x 2+y 1y 2
x 21+y 21x 22+y 2
2
求夹角余弦值. (4)求角.由向量夹角的范围及cos θ求θ的值.
2.涉及非零向量a ,b 垂直问题时,一般借助a⊥b ⇔a·b =x 1x 2+y 1y 2=0来解决. [再练一题]
3.已知a =(1,2),b =(1,λ),分别确定实数λ的取值范围,使得:(1)a 与b 的夹角为直角;(2)a 与b 的夹角为钝角;(3)a 与b 的夹角为锐角.
【导学号:】
【解】 设a 与b 的夹角为θ, 则a ·b =(1,2)·(1,λ)=1+2λ.
(1)因为a 与b 的夹角为直角,所以cos θ=0,所以a ·b =0,所以1+2λ=0,所以
λ=-1
2
.
(2)因为a 与b 的夹角为钝角, 所以cos θ<0且cos θ≠-1, 所以a ·b <0且a 与b 不反向. 由a ·b <0得1+2λ<0,故λ<-12

由a 与b 共线得λ=2,故a 与b 不可能反向, 所以λ的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,-12. (3)因为a 与b 的夹角为锐角, 所以cos θ>0,且cos θ≠1, 所以a ·b >0且a ,b 不同向.
由a ·b >0,得λ>-12,由a 与b 同向得λ=2,所以λ的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,2∪(2,+∞).
1.已知向量a =(1,-1),b =(2,x ),若a ·b =1,则x =( ) A.-1 B.-12
C.1
2
D.1
【解析】 由a =(1,-1),b =(2,x )可得a ·b =2-x =1,故x =1. 【答案】 D
2.已知a =(-2,1),b =(x ,-2),且a⊥b ,则x 的值为( ) A.-1 B.0 C.1
D.2
【解析】 由题意,a·b =(-2,1)·(x ,-2)=-2x -2=0,解得x =-1.故选A. 【答案】 A
3.(2016·邢台期末)在平行四边形ABCD 中,AB →
=(1,0),AC →
=(2,2),则AD →
·BD →
等于
( )
A.-4
B.-2
C.2
D.4
【解析】 AD →·BD →=(AC →-AB →)·(AC →-2AB →
) =AC 2
→+2AB 2

-3AC →·AB →
=8+2-3×2=4.故选D. 【答案】 D
4.已知a =(3,-4),则|a|=________. 【解析】 因为a =(3,-4), 所以|a|=32
+-42
=5.
【答案】 5
5.已知向量a =(3,-1),b =(1,-2), 求:(1)a·b ;(2)(a +b )2
;(3)(a +b )·(a -b ).
【导学号:】
【解】 (1)因为a =(3,-1),b =(1,-2), 所以a·b =3×1+(-1)×(-2)=3+2=5. (2)a +b =(3,-1)+(1,-2)=(4,-3),
所以(a +b )2
=|a +b|2
=42
+(-3)2
=25. (3)a +b =(3,-1)+(1,-2)=(4,-3), a -b =(3,-1)-(1,-2)=(2,1), (a +b )·(a -b )=(4,-3)·(2,1)=8-3=5. 我还有这些不足:
(1)_________________________________________________________ (2)_________________________________________________________ 我的课下提升方案:
(1)_________________________________________________________ (2)_________________________________________________________
学业分层测评(二十二) (建议用时:45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.(2016·开封质检)已知向量a =(3,1),b =(x ,-2),c =(0,2),若a⊥(b -c ),则实数x 的值为( )
A.4
3 B.3
4 C.-34
D.-43
【解析】 b -c =(x ,-4),由a⊥(b -c )知3x -4=0, ∴x =4
3.故选A.
【答案】 A
2.(2016·马鞍山质检)已知向量a =(1,-2),b =(x,4),且a∥b ,则|a -b|=( ) A.5 3 B.3 5 C.2 5
D.2 2
【解析】 ∵a∥b ,∴4+2x =0,
∴x =-2,a -b =(1,-2)-(-2,4)=(3,-6), ∴|a -b|=3 5.故选B. 【答案】 B
3.已知向量a =(1,3),b =(-2,23),则a 与b 的夹角是( ) A.π6
B.π4
C.π3
D.
π2
【解析】 设a 与b 的夹角为θ, 则cos θ=
a·b |a||b|=1,3·-2,232×4=1
2

解得θ=π
3.故选C.
【答案】 C
4.若a =(2,3),b =(-4,7),则a 在b 方向上的投影为( ) A.
655 B.65
C.135
D.13
【解析】 a 在b 方向上的投影为|a |cos<a ,b >=a ·b |b |=2,3·-4,7
-42+7
2
=2×-4+3×7
65

655
. 【答案】 A
5.已知正方形OABC 两边AB ,BC 的中点分别为D 和E ,则∠DOE 的余弦值为( ) A.1
2 B.32
C.35
D.45
【解析】 以点O 为原点,OA 所在直线为x 轴建立直角坐标系,设边长为1,则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫1,12,E ⎝
⎛⎭
⎪⎫1
2,1,于是cos ∠DOE =⎝ ⎛⎭⎪⎫1,12·⎝ ⎛⎭
⎪⎫12,112
+⎝ ⎛⎭⎪⎫122⎝ ⎛⎭

⎫122+12
=45. 【答案】 D 二、填空题 6.已知O A →=(-2,1),O B →=(0,2),且A C →∥O B →,B C →⊥A B →
,则点C 的坐标是________.
【解析】 设C (x ,y ),则A C →
=(x +2,y -1), B C →=(x ,y -2),A B →
=(2,1). 由A C →∥O B →,B C →⊥A B →
,得
⎩⎪⎨⎪⎧
2x +2=0,2x +y -2=0,
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
x =-2,y =6,
∴点C 的坐标为(-2,6). 【答案】 (-2,6)
7.(2016·德州高一检测)若向量a =(-2,2)与b =(1,y )的夹角为钝角,则y 的取值范围为________.
【解析】 若a 与b 夹角为180°,则有b =λa (λ<0) 即⎩⎪⎨⎪

1=-2λ,y =2λ,λ<0,
解得y =-1且λ=-1
2
,所以b ≠λa (λ<0)时y ≠-1;①
若a 与b 夹角θ∈⎝
⎛⎭
⎪⎫π2,π时,则只要a·b<0且b ≠λa (λ<0).
当a·b <0有-2+2y <0解得y <1.② 由①②得y <-1或-1<y <1. 【答案】 (-∞,-1)∪(-1,1) 三、解答题
8.已知AB →=(6,1),BC →=(4,k ),CD →
=(2,1). (1)若A ,C ,D 三点共线,求k 的值;
(2)在(1)的条件下,求向量BC →与CD →
的夹角的余弦值.
【导学号:】
【解】 (1)因为AC →=AB →+BC →
=(10,k +1),由题意知A ,C ,D 三点共线, 所以AC →∥CD →
,所以10×1-2(k +1)=0,即k =4.
(2)因为CD →=(2,1),设向量BC →与CD →
的夹角为θ,则cos θ=BC →·CD →
|BC →||CD →|=12
42×5=
310
10
.
9.已知a =(1,1),b =(0,-2),当k 为何值时, (1)k a -b 与a +b 共线;
(2)k a -b 与a +b 的夹角为120°. 【解】 ∵a =(1,1),b =(0,-2),
k a -b =k (1,1)-(0,-2)=(k ,k +2), a +b =(1,1)+(0,-2)=(1,-1).
(1)∵k a -b 与a +b 共线, ∴k +2-(-k )=0,∴k =-1. 即当k =-1时,k a -b 与a +b 共线. (2)∵|k a -b |=k 2
+k +22

|a +b |=12
+-1
2
=2,
(k a -b )·(a +b )=(k ,k +2)·(1,-1) =k -k -2=-2,
而k a -b 与a +b 的夹角为120°, ∴cos 120°=
k a -b ·a +b
|k a -b ||a +b |

即-12=-22·k 2
+k +2
2

化简整理,得k 2
+2k -2=0,解之得k =-1± 3. 即当k =-1±3时,k a -b 与a +b 的夹角为120°.
[能力提升]
1.已知向量a =(1,2),b =(2,-3).若向量c 满足(c +a )∥b ,c⊥(a +b ),则c 等于( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫79,73
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫-7
3,-79
C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫73,79 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫-7
9
,-73
【解析】 设c =(x ,y ), 又因为a =(1,2),b =(2,-3), 所以c +a =(x +1,y +2), 又因为(c +a )∥b ,
所以有(x +1)·(-3)-2·(y +2)=0, 即-3x -2y -7=0,① 又a +b =(3,-1),
由c⊥(a +b )得:3x -y =0,②
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11文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑. 由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ x =-79,y =-73,
因此有c =⎝ ⎛⎭⎪⎫-79
,-73. 【答案】 D
2.(2016·徐州高一检测)在平面直角坐标系内,已知三点A (1,0),B (0,1),C (2,5),求:
(1)AB →,AC →
的坐标;
(2)|AB →-AC →
|的值;
(3)cos ∠BAC 的值. 【解】 (1)AB →
=(0,1)-(1,0)=(-1,1),
AC →=(2,5)-(1,0)=(1,5).
(2)因为AB →-AC →
=(-1,1)-(1,5)=(-2,-4),
所以|AB →-AC →
|=-22+-42=2 5.
(3)因为AB →·AC →
=(-1,1)·(1,5)=4,
|AB →|=2,|AC →
|=26,
cos ∠BAC =AB →·AC →
|AB →||AC →|
=42×26
=21313.
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