含参单调性的分类讨论(教师版)

含参单调性分类讨论

一、导函数可因式分解

1. 已知函数)(ln )2()(2

R a x a x a x x f ∈---=．求函数)(x f y =的单调区间. 解：函数()f x 的定义域是()0,+∞，

()()()()()2

2212=22x a x a x x a a f x x a x x x

---+-'---==， 当0a ≤时，()0f x '>对任意()0,x ∈+∞恒成立， 所以，函数()f x 在区间()0,+∞单调递增； 当0a >时，由()0f x '>得2a x >，由()0f x '<得02

a

x <<， 所以，函数在区间,2a ⎛⎫+∞

⎪⎝⎭上单调递增，在区间0,2a ⎛⎫

⎪⎝⎭

上单调递减. 2.设函数()ln f x x =，1

()3a g x ax x

-=+-（a R ∈）

，求函数()()()x f x g x ϕ=+的单调增区间.

解：因为1

()()()ln 3(0)a x f x g x x ax x x

ϕ-=+=++->， 所以2222

11(1)((1))(1)

()a ax x a ax a x x a x x x x

ϕ-+----+'=+-==（0x >）， ①当0a =时，由()0x ϕ'>，解得0x >；②当1a >时，由()0x ϕ'>，解得1

a x a

->；

③当01a <<时，由()0x ϕ'>，解得0x >；④当1a =时，由()0x ϕ'>，解得0x >；

⑤当0a <时，由()0x ϕ'>，解得1

0a x a -<<.

综上所述，当0a <时，()x ϕ的增区间为1

(0,)a a

-；

当01a ≤≤时，()x ϕ的增区间为(0,)+∞； 1a >时，()x ϕ的增区间为1

(,)a a

-+∞.

二、导函数不可因式分解

3. 函数x x x a x f +-=2

ln )(，当0≤a 时，讨论函数)(x f 的单调性.

解：函数()f x 的定义域是()0,+∞，

()2221a x x a

f x x x x

-++'=-+=，

01当1

8

a ≤-时，180a +≤，当()0,x ∈+∞时，()0f x '≤，

函数()f x 的单调递减区间是()0,+∞；

02当1

08a -<≤，180a +>，220x x a -++=两根分别是：

120,0x x =

>=>， 当()10,x x ∈时，()0f x '<，函数()f x 单调递减； 当()12,x x x ∈时，()0f x '>，函数()f x 单调递增； 当()2,x x ∈+∞时，()0f x '<，函数()f x 单调递减. 综上所述：

当18

a ≤-时，函数()f x 的单调递减区间是()0,+∞；

当1

08a -

<≤，函数()f x 的单调递增区间是⎝⎭

，

单调递减区间是⎛ ⎝⎭和⎫

+∞⎪⎪⎝⎭

.

4.已知函数)0()1(ln )(2

>-+=a x a x x f ，讨论)(x f 的单调性.

解：()2122122ax ax f x ax a x x

-+'=+-=，()0x >

01 当02a <≤时，()0f x '≥，()f x 在()0,+∞上单调递增；

02 当2a >时，设22210ax ax -+=的两个根分别为12121,02x x x x ⎛⎫

<<< ⎪⎝⎭

，

则12x x ==

当()10,x x ∈时，()0f x '>，函数()f x 单调递增； 当()12,x x x ∈时，()0f x '<，函数()f x 单调递减； 当()2,x x ∈+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增. 综上所述：略

当02a <≤时，函数()f x 的单调递增区间是()0,+∞；

当2a >时，函数()f x 的单调递减区间是⎝⎭，

单调递增区间是⎛ ⎝⎭和⎫

+∞⎪⎪⎝⎭

.

习题巩固：

1. 已知函数()()

()2220x f x e ax x a =-+>，试讨论f (x )的单调性．

解：由题意得()()

()22

222222x x f x e ax x ax e ax a x '⎡⎤=-++-=+-⎣⎦，

令()0f x '=，解得12220,a

x x a

-==

. 01 当01a <<时，()f x 的递增区间为(),0-∞和22,a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，递减区间为220,a a -⎛⎫

⎪⎝

⎭

02 当1a =时，()20x f x x e '=≥恒成立，()f x 的单调递增区间为R

03 当1a >时，()f x 的递增区间为22,a a -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭和()0,+∞，递减区间为22,0a a -⎛⎫

⎪⎝⎭