专题01 角平分线的五种模型

专题01角平分线的五种模型

模型一、角平分线垂两边

例1.如图，AD是△ABC的角平分线，且AB：AC＝3：2，则△ABD与△ACD的面积之比为（）

A．3：2B．6：4C．2：3D．不能确定

例2.如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC//OA，PD⊥OA，若PC＝4，则PD的长为___．

【变式训练1】如图所示，在四边形ABCD中，DC//AB，∠DAB=90°，AC BC，AC=BC，∠ABC的平

分线交A D，AC于点E、F，则BF

EF的值是___________.

【变式训练2】如图，BD平分 ABC的外角∠ABP，DA=DC，DE⊥BP于点E，若AB=5，BC=3，求BE的长．

【变式训练3，的平分

线相交于点E ，过点E 作交AC 于点F ，则EF 的长为.

模型二、角平分线垂中间

例．如图，已知，90,,BAC AB AC BD ∠=︒=是ABC ∠的平分线，且CE BD ⊥交BD 的延长线于点E ．

求证：2BD CE =．

【变式训练1】如图，已知△ABC ，∠BAC ＝45°，在△ABC 的高BD 上取点E ，使AE ＝BC ．

（1）求证：CD ＝DE ；

（2）试判断AE 与BC 的位置关系？请说明理由；

【变式训练2】如图，D 是△ABC 的BC 边的中点，AE 平分∠BAC ，AE ⊥CE 于点E ，且AB =10，AC =16，则DE 的长度为________

【变式训练3】如图，在ABC ∆中，CD 是ACB ∠的平分线，AD CD ⊥于点D ,DE //BC 交AB 于点E ，求证:EA EB =.

模型三、角平分线+平行线构造等腰三角形

例.如图所示，在△ABC 中，BC =6，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，动点P 在射线EF 上，BP 交CE 于D ，

∠CBP 的平分线交CE 于Q ，当CQ =13

CE 时，EP +BP =________.

【变式训练1】如图，平分于点C ，，求OC 的长？

【变式训练2C=90°，AD平分∠CAB，BE平分∠ABC，AD、BE相交于点F，且

，则AC=．

模型四、利用角平分线作对称

例.平分.

＝20．

【变式训练】AD是△ABC的角平分线，过点D作DE⊥AB于点E，且DE＝3，S

△ABC

（1）如图1，若AB＝AC，求AC的长；

（2）如图2，若AB＝5，请直接写出AC的长．

模型五、内外模型

例.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠AC E的平分线相交于点D，则∠D的度数为（）

A．15°B．17.5°C．20°D．22.5°

的外角的平分线CP与内角BP交于点P，若

，则.

课后训练

1．如图，BD是 ABC的外角∠ABP的角平分线，DA＝DC，DE⊥BP于点E，若AB＝5，BC＝3，则BE的长为（）

A．2B．1.5C．1D．0

2．如图，AD 是ABC 中BAC ∠的平分线，DE AB ⊥交AB 于点E ，DF AC ⊥交AC 于点F ，若7ABC S =△，32

=DE ，5AB =，则AC 的长为（）

A ．13

3B ．4C ．5D ．6

3．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，CD ＝2，BD ＝3，Q 为AB 上一动点，则DQ 的最小值为（）

A ．1

B ．2

C ．2.5D

4．如图，已知在四边形ABCD 中，∠BCD ＝90°，BD 平分∠ABC ，AB ＝6，BC ＝9，CD ＝4，则四边形ABCD 的面积是______．

5．如图，在△ABC 中，AD 为△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，DF ⊥AC ，垂足为F ，若AB =5，AC =3，DF =2，则△ABC 的面积为______．

6．在△ABC中，∠ABC＝62°，∠ACB＝50°，∠ACD是△ABC的外角∠ACD和∠ABC的平分线交于点E，则∠AEB＝_____︒

7．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD，BE=CF．

（1）求证：AD平分∠BAC：

（2）已知AC=18，BE=4，求AB的长．

8．如图1，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（-4，0），B（0，4），AD⊥BC交BC于D点，交y轴正半轴于点E（0，t）

（1）当t=1时，点C的坐标为；

（2）如图2，求∠ADO的度数；

（3）如图3，已知点P（0，3），若PQ⊥PC，PQ=PC，求Q的坐标（用含t的式子表示）．