2020年高考山东版高考理科数学 4.4 解三角形

4.4 解三角形
备战 2020 高考
挖命题 【考情探究】
考点
内容解读
1.正弦定理 和余弦定理
掌握正弦定理、余弦定理,并能 解决一些简单的三角形度量问 题
2.正、余弦 定理的应用
能够运用正弦定理、余弦定理 等知识和方法解决一些与测量 和几何计算有关的实际问题
考题示例 2018 课标Ⅱ,6
2018 课标Ⅰ,17
27 3
故生活区△ABE 面积的最大值为 100 km2.
( ) π
3.(2015 浙江,16,14 分)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 tan 4 + A =2.
sin2������
(1)求
sin2������
+
cos2A的值;
π
(2)若 B=4,a=3,求△ABC 的面积.
A.20 3 海里 B.40 3 海里 C.20(1+ 3)海里 D.40 海里 答案 B 2.(2018 河北石家庄摸底考试,17)某学校的平面示意图如图中的五边形区域 ABCDE,其中三角形区域 ABE 为
2π
生活区,四边形区域 BCDE 为教学区,AB,BC,CD,DE,EA,BE 为学校的主要道路(不考虑宽度).∠BCD=∠CDE= 3
2.(2018 湖南师大附中 12 月月考,6)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若������cos������=1 + cos2������,则 △ABC 的形状是( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 答案 D
1.(2018 广东百校联盟联考,6)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 sin A=3sin B,c= 5,且 cos
5
C=6,则 a=( )
A.2 2 B.3 C.3 2 D.4 答案 B
1
2.(2017 广东海珠调研,6)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 c=2a,bsin B-asin A=2asin C,
sin(������ - ������) ������2 - ������2
3.(2017 宁夏育才中学月考,14)在△ABC 中,若sin(������ + ������)=������2 + ������2,则△ABC 的形状一定是 .
答案 等腰三角形或直角三角形
方法 3 正、余弦定理的实际应用策略
由正弦定理得2sin Csin B=3sin������.
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
故 sin Bsin C=3.
1
(2)由题设及(1)得 cos Bcos C-sin Bsin C=-2,
1
2π
π
即 cos(B+C)=-2.所以 B+C= 3 ,故 A=3.
1
������2
由题设得2bcsin A=3sin������,即 bc=8.
2017 山东,9 2016 山东,16 2018 课标Ⅲ,9
2015 课标Ⅰ,16
5 年考情 考向
余弦定理解三角形 正、余弦定理解三
角形 正、余弦定理 正、余弦定理 余弦定理的应用
正弦定理的应用
关联考点 二倍角公式 三角形解的情况判
定 边角关系 三角恒等变换 三角形面积公式
三角函数的最值
预测热 度
tan������ - tan������ ������ - ������
1.(2018 江西南城一中期中,6)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若tan������ + tan������= ������ ,则这个三角 形必含有( ) A.90°的内角 B.60°的内角 C.45°的内角 D.30°的内角 答案 B 2.(2017 湖北荆州中学 12 月模拟,9)a,b,c 为△ABC 三边长,a≠1,b<c,若 log(c+b)a+log(cb)a=2log(c+b)alog(c-b)a,则△ABC 的形状为( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定 答案 B
2
π
∴∠CBD=∠CDB=
-23π=π6.
2π
π
又∠CDE= 3 ,∴∠BDE=2.
∴在 Rt△BDE 中,BE= ������������2 + D������2
( ) ( ) 3 3 2 9 2 3 3
= 10 + 10 = 5 km.
33
故道路 BE 的长度为 5 km.
π
2π
(2)设∠ABE=α,∵∠BAE=3,∴∠AEB= 3 -α.
( ) [ ( ) ] 1
π 9 3 2π
93 1
π1
2π
∴S△ABE=2AB·AEsin 3= 25 sin 3 - α sin α= 25 · 2sin 2������ - 6 + 4 km2.∵0<α< 3 ,
π
π 7π
∴-6<2α-6< 6 ,
( ) π π
π
9 3 1 1 27 3
∴当 2α-6=2,即 α=3时,S△ABE 取得最大值,最大值为 25 × 2 + 4 = 100 km2,
B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C,则下列等式成立的是( )
A.a=2b B.b=2a
C.A=2B D.B=2A
答案 A
π
1
3.(2016 课标Ⅲ,8,5 分)在△ABC 中,B=4,BC 边上的高等于3BC,则 cos A=( )
3 10
10
10
3 10
则 sin B=( )
7
3
7
1
A. 4 B.4 C. 3 D.3
答案 A 3.(2018 湖南永州二模,15)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 sin A=2sin B,且 a+b= 3c,则 角 C 的大小为 .
π
答案 3
方法 2 利用正、余弦定理判断三角形的形状
过专题
【五年高考】
A 组 山东省卷、课标卷题组
考点一 正弦定理和余弦定理
������ 5
1.(2018 课标Ⅱ,6,5 分)在△ABC 中,cos2= 5 ,BC=1,AC=5,则 AB=( )
A.4 2 B. 30 C. 29 D.2 5
答案 A 2.(2017 山东,9,5 分)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若△ABC 为锐角三角形,且满足 sin
A. 10 B. 10 C.- 10 D.- 10
答案 C
4
5
4.(2016 课标Ⅱ,13,5 分)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 cos A=5,cos C=13,a=1,则
b= .
21
答案 13 5.(2018 课标Ⅰ,17,12 分)在平面四边形 ABCD 中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5. (1)求 cos∠ADB; (2)若 DC=2 2,求 BC.
(2)若 6cos Bcos C=1,a=3,求△ABC 的周长.
解析 本题考查正弦定理、余弦定理以及三角恒等变换,考查学生利用三角形面积公式进行运算求解的能
力.
1
������2
1
������
(1)由题设得2acsin B=3sin������,即2csin B=3sin������.
1
sin������
【考点集训】
考点一 正弦定理和余弦定理
1.(2018 河南中原名校第三次联考,7)△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c,若 B=2A,a=1,b= 3,则 c=( ) A.1 B. 2 C.2 D.2 3 答案 C
������cos������ 1 + cos2������
( )π
25
由 sin C=sin(A+B)=sin ������ + 4 得 sin C= 5 .
1
设△ABC 的面积为 S,则 S=2absin C=9. 评析本题主要考查三角恒等变换、正弦定理等基础知识,同时考查运算求解能力.
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炼技法
【方法集训】
方法 1 利用正、余弦定理解三角形的常见题型及解法
5
3.(2017 湖北黄冈 3 月质检,6)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 a= 2 b,A=2B,则 cos B=( )
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5
5
5
5
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
答案 B
3
������
4.(2018 北京文,14,5 分)若△ABC 的面积为 4 (a2+c2-b2),且∠C 为钝角,则∠B= ;������的取值范围
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2
(2)由题设及(1)知 cos∠BDC=sin∠ADB= 5 .
2
在△BCD 中,由余弦定理得 BC2=BD2+DC2-2·BD·DC·cos∠BDC=25+8-2×5×2 2× 5 =25.所以 BC=5.
������2
6.(2017 课标Ⅰ,17,12 分)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知△ABC 的面积为3sin������. (1)求 sin Bsin C;
★★ ★
★★ ★
分析解读 1.利用正弦定理、余弦定理解三角形或者求解平面几何图形中有关量的问题,需要综合应用 两个定理及三角形有关知识.2.正弦定理和余弦定理的应用比较广泛,也比较灵活,在高考中常与面积或取 值范围结合进行考查.3.会利用数学建模思想,结合三角形的知识,解决实际生活中的相关问题.
破考点
是 .
π
答案 3;(2,+∞)
考点二 正、余弦定理的应用
1.(2018 河南许昌、平顶山联考,8)如图所示,为了测量 A,B 两处岛屿间的距离,小张以 D 为观测点,测得 A,B 分别在 D 处的北偏西 30°、北偏东 30°方向,再往正东方向行驶 40 海里到 C 处,测得 B 在 C 处的正北方 向,A 在 C 处的北偏西 60°方向,则 A,B 两处岛屿间的距离为( )
由余弦定理得 b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9,得 b+c= 33.
π
9
,∠BAE=3,DE=3BC=3CD=10 km.
(1)求道路 BE 的长度;
(2)求生活区△ABE 的面积的最大值.
27
33
解析 (1)如图,连接 BD,在△BCD 中,BD2=BC2+CD2-2BC·CDcos∠BCD=100,∴BD= 10 km.
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2π
∵BC=CD,∠BCD= 3 ,
( ) π
1
解析 (1)由 tan 4 + A =2,得 tan A=3,
sin2������
2tan������ 2
所以
sin2������
+
cos2A=2tan������
+
1=5.
1
10
3 10
(2)由 tan A=3,A∈(0,π),得 sin A= 10 ,cos A= 10 .
π
又由 a=3,B=4及正弦定理,得 b=3 5.
1.(2018 福建莆田月考,8)A 在塔底 D 的正西面,在 A 处测得塔顶 C 的仰角为 45°,B 在塔底 D 的南偏东 60° 处,在塔顶 C 处测得 B 的俯角为 30°,A、B 间距 84 米,则塔高为( )
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A.24 米 B.12 5 米 C.12 7 米 D.36 米 答案 C 2.(2017 山西康杰中学月考,10)海上有三个小岛 A,B,C,测得∠BAC=135°,AB=6 km,AC=3 2 km,若在连接 B,C 两岛的线段上建一座灯塔 D,使得灯塔 D 到 A,B 两岛距离相等,则 B,D 间的距离为( ) A.3 10 km B. 10 km C. 13 km D.3 2 km 答案 B
������������
������������
������������ 3 3 6
在△ABE
中,sin∠������������������=sin∠������������������=sin∠������������������=5sin
π=5,
3
( ) 6 2π
6
∴AB=5sin 3 - α km,AE=5sin α km.
������������ ������������
解析 (1)在△ABD 中,由正弦定理得sin∠������=sin∠������������������.
5
2
2
由题设知sin45°=sin∠������������������,所以 sin∠ADB= 5 .
2 23
由题设知∠ADB<90°,所以 cos∠ADB= 1 - 25= 5 .