山东省烟台市莱州市2018-2019学年七年级数学(下)期末试卷含答案解析

山东省烟台市莱州市2018-2019学年七年级数学
（下）期末试卷含答案解析
一、选择题（本题共10个小题，每小题均给出标号为A、B、C、D的四个备选答案，其中只有一个是正确的，请特正确答案的标号涂在答题卡上）
1．（3分）如果莱州市2019年6月1日最高气温是33℃，最低气温是24℃，则当天莱州市气温t（℃）的变化范围是（）
A．t＞33 B．t≤33 C．24＜t＜33 D．24≤t≤33 2．（3分）下列说法正确的是（）
A．扔100次硬币，都是国徽面向上，是不可能事件
B．小芳在扔图钉游戏中，扔10次，有6次都是钉尖朝下，所以钉尖朝下的可能性大
C．王明同学一直是级部第一名，他能考上重点高中是必然事件
D．投掷一枚均匀的骰子，投出的点数是10，是一个确定事件
3．（3分）如图，AC＝AD，BC＝BD，则有（）
A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB
C．AB与CD互相垂直平分D．CD平分∠ACB
4．（3分）把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（）A．B．
C．D．
5．（3分）如图，已知直线AB∥CD，∠DCF＝115°，且AE＝AF，则∠A等于（）
A．30°B．40°C．50°D．70°
6．（3分）若0＜x＜1，则x，，x2的大小关系是（）
A．＜x＜x2B．x＜＜x2C．x2＜x＜D．＜x2＜x
7．（3分）若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程2x+3y＝6的解，则k的值为（）
A．﹣B．C．D．﹣
8．（3分）已知等腰三角形的两边长分别为3cm和8cm，则此三角形的周长可能是（）A．14cm B．16cm
C．19cm D．14 cm或19cm
9．（3分）“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．如图，是一“赵爽弦图”飞镖板，其直角三角形的两条直角边的长分别是2和4．小明同学距飞镖板一定距离向飞镖板投掷飞镖（假设投掷的飞镖均扎在飞镖板上），则投掷一次飞镖扎在中间小正方形区域（含边线）的概率是（）
A．B．C．D．
10．（3分）如图，点A的坐标是（2，2），若点P在x轴上，且△APO是等腰三角形，则点P的坐标不可能是（）
A．（4，0）B．（1，0）C．（﹣2，0）D．（2，0）
二、填空题（本题共10个小题）
11．（3分）任意投挪一枚均匀的骰子，点数大于4的概率是．
12．（3分）命题“同角的补角相等”的条件是．
13．（3分）一个不透明的口袋里装有除颜色外都相同的5个白球和若干个红球，在不允许将球倒出来数的前提下，小亮为了估计其中的红球数，采用如下方法：先将口袋中的球摇匀，再从口袋中随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中．不断重复上述过程．小亮共摸了100次，其中有10次摸到白球．因此小亮估计口袋中的红球大约有．14．（3分）如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1＝30°，∠2＝50°，则∠3＝°．
15．（3分）如图，折叠直角三角形纸片的直角，使点C落在斜边AB上的点E处，已知CD ＝1，∠B＝30°，则BD＝．
16．（3分）如图，△ABC是等边三角形，过它的三个顶点分别作对边的平行线，则图中共有个等边三角形．
17．（3分）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，腰长为2，则其底边的高为．
18．（3分）若不等式组的解集是﹣1＜x＜1，那么（a+b）2019＝．19．（3分）已知关于x的不等式组只有四个整数解，则实数a的取值范围是．
20．（3分）在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50°，则∠B等于．
三、解答题（本大面共9个小题）
21．（5分）解方程组：．
22．（5分）解不等式组：．
23．（5分）如图，A，B是旧河道l两旁的两个村庄．为方便村民饮水，计划在旧河道l上打一口水井P，用管道引水到两村，要求该井到两村的距离相等，请用尺规在图中作出点P的位置（保留作图痕迹，不要求写作法）．
24．（5分）如图，把一个转盘分成六等份，依次标上数字1、2、3、4、5、6，小明和小芳分别只转动一次转盘，小明同学先转动转盘，结果指针指向2，接下来小芳转动转盘、若把小明和小芳转动转盘指针指向的数字分别记作x、y，把x、y作为点A的横、纵坐标．
（1）写出点A（x，y）所有可能的坐标；
（2）求点A（x，y）在直线y＝x+1上的概率．
25．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD是一条角平分线．求证：AB＝AC+CD．
26．（5分）在保护地球爱护家园活动中，校团委把一批树苗分给初三（1）班同学去栽种．如果每人分2棵，还剩42棵；如果前面每人分3棵，那么最后一人得到的树苗少于5棵（但至少分得一棵）．那么初三（1）班至少有多少名同学？最多有多少名同学？
27．（5分）如图，直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝mx+n相交于点P（1，b）．（1）求关于x，y的方程组的解；
（2）已知直线l2经过第一、二、四象限，则当x时，x+1＞mx+n．
28．（6分）如图，求证：∠BDE+∠DEC＝∠A+∠B+∠C+180°．
29．（9分）开学初，李芳和王平去文具店购买学习用品，李芳用18元钱买了1支钢笔和3本笔记本；王平用30元买了同样的钢笔2支和笔记本4本．
（1）求每支钢笔和每本笔记本的价格；
（2）校运会后，班主任拿出200元学校奖励基金交给班长，购买上述价格的钢笔和笔记本共36件作为奖品，奖给校运会中表现突出的同学，要求笔记本数不多于钢笔数的2倍，共有多少种购买方案？请你一一写出．
30．（10分）已知：如图，AF平分∠BAC，BC⊥AF，垂足为E，点D与点A关于直线BC对称，PB分别与线段CF，AF相交于P，M．
（1）求证：AB＝CD；
（2）若∠BAC＝2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10个小题，每小题均给出标号为A、B、C、D的四个备选答案，其中只有一个是正确的，请特正确答案的标号涂在答题卡上）
1．（3分）如果莱州市2019年6月1日最高气温是33℃，最低气温是24℃，则当天莱州市气温t（℃）的变化范围是（）
A．t＞33 B．t≤33 C．24＜t＜33 D．24≤t≤33 【分析】已知当天莱州市的最高气温和最低气温，可知当天莱州市的气温的变化范围应该在最高气温和最低气温之间，且包括最高气温和最低气温．
【解答】解：由题意知：莱州市的最高气温是33℃，最低气温24℃，
所以当天莱州市的气温（t℃）的变化范围为：24≤t≤33．
故选：D．
【点评】本题的关键在于准确理解题意，理解到当天的气温的变化范围应在最低气温和最低气温之间．
2．（3分）下列说法正确的是（）
A．扔100次硬币，都是国徽面向上，是不可能事件
B．小芳在扔图钉游戏中，扔10次，有6次都是钉尖朝下，所以钉尖朝下的可能性大
C．王明同学一直是级部第一名，他能考上重点高中是必然事件
D．投掷一枚均匀的骰子，投出的点数是10，是一个确定事件
【分析】利用概率的意义、随机事件的定义及可能性的大小的知识分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、扔100次硬币，都是国徽面向上，是随机事件，故错误；
B、小芳在扔图钉游戏中，扔10次，有6次都是钉尖朝下，不能说明钉尖朝下的可能性
大，故错误；
C、王明同学一直是级部第一名，他能考上重点高中是随机事件，故错误；
D、投掷一枚均匀的骰子，投出的点数是10，是一个确定事件，正确，
故选：D．
【点评】考查了可能性的大小及随机事件的知识，解题的关键是了解概率的意义、随机事件的定义及可能性的大小的知识，难度不大．
3．（3分）如图，AC＝AD，BC＝BD，则有（）
A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB
C．AB与CD互相垂直平分D．CD平分∠ACB
【分析】由AC＝AD，BC＝BD，可得点A在CD的垂直平分线上，点B在CD的垂直平分线上，即可得AB垂直平分CD．
【解答】解：∵AC＝AD，BC＝BD，
∴点A在CD的垂直平分线上，点B在CD的垂直平分线上，
∴AB垂直平分CD．
故选：A．
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质．此题比较简单，注意熟记定理是解此题的关键．
4．（3分）把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（）A．B．
C．D．
【分析】先分别求出每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可．
【解答】解：
∵解不等式①得：x＞﹣1，
解不等式②得：x≤1，
∴不等式组的解集是﹣1＜x≤1，
在数轴上表示为：
故选：B．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能求出不等式组的解集是解题的关键．
5．（3分）如图，已知直线AB∥CD，∠DCF＝115°，且AE＝AF，则∠A等于（）
A．30°B．40°C．50°D．70°
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补得出∠BFC，根据AE＝AF可得出∠E＝∠EFA，根据三角形的内角和为180°可求∠A．
【解答】解：∵AB∥CD，∠DCF＝115°，
∴∠CFB＝180°﹣115°＝65°，
∴∠AFE＝∠CFB＝65°，
∵AE＝AF，
∴∠E＝∠AFE＝65°，
在△AEF中，∠A＝180°﹣65°﹣65°＝50°．
故选：C．
【点评】考查了平行线的性质，本题主要利用平行线的性质和三角形内角和定理求解，是基础题，要熟练掌握．
6．（3分）若0＜x＜1，则x，，x2的大小关系是（）
A．＜x＜x2B．x＜＜x2C．x2＜x＜D．＜x2＜x
【分析】已知x的取值范围，可运用取特殊值的方法，选取一个符合条件的实数代入选项求得答案．
【解答】解：∵0＜x＜1，∴可假设x＝0.1，
则＝＝10，x2＝（0.1）2＝，
∵＜0.1＜10，
∴x2＜x＜．
故选：C．
【点评】解答此类题目关键是要找出符合条件的数，代入计算即可求得答案．注意：取特殊值的方法只适用于填空题与选择题，对于解答题千万不能用此方法．
7．（3分）若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程2x+3y＝6的解，则k的值为（）
A．﹣B．C．D．﹣
【分析】将k看做已知数求出x与y，代入2x+3y＝6中计算即可得到k的值．
【解答】解：，
①+②得：2x＝14k，即x＝7k，
将x＝7k代入①得：7k+y＝5k，即y＝﹣2k，
将x＝7k，y＝﹣2k代入2x+3y＝6得：14k﹣6k＝6，
解得：k＝．
故选：B．
【点评】此题考查了二元一次方程组的解，以及二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边成立的未知数的值．
8．（3分）已知等腰三角形的两边长分别为3cm和8cm，则此三角形的周长可能是（）A．14cm B．16cm
C．19cm D．14 cm或19cm
【分析】由等腰三角形的两边长分别为3cm和8cm，分别从若3cm为腰长，8cm为底边长与若3cm为底边长，8cm为腰长去分析求解即可求得答案．
【解答】解：若3cm为腰长，8cm为底边长，
∵3+3＝6＜8，不能组成三角形，
∴不合题意，舍去；
若3cm为底边长，8cm为腰长，
则此三角形的周长为：3+8+8＝19（cm）．
故选：C．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质与三角形的三边关系．此题比较简单，注意掌握分类讨论思想的应用．
9．（3分）“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．如图，是一“赵爽弦图”飞镖板，其直角三角形的两条直角边的长分别是2和4．小明同学距飞镖板一定距离向飞镖板投掷飞镖（假设投掷的飞镖均扎在飞镖板上），则投掷一次
飞镖扎在中间小正方形区域（含边线）的概率是（）
A．B．C．D．
【分析】根据几何概率的求法：一次飞镖扎在中间小正方形区域（含边线）的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．
【解答】解：观察这个图可知：大正方形的边长为，总面积为20平米，而阴影区域的边长为2，面积为4平米；故飞镖落在阴影区域的概率．故选C．
【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率；关键是得到两个正方形的边长．
10．（3分）如图，点A的坐标是（2，2），若点P在x轴上，且△APO是等腰三角形，则点P的坐标不可能是（）
A．（4，0）B．（1，0）C．（﹣2，0）D．（2，0）
【分析】本题可先根据两点的距离公式求出OA的长，再根据选项的P点的坐标分别代入，求出OP、AP的长，根据三角形的判别公式化简即可得出P点坐标的不可能值．
【解答】解：点A的坐标是（2，2），
根据勾股定理：则OA＝2，
若点P的坐标是（4，0），则OP＝4，过A作AC⊥X轴于C，
在直角△ACP中利用勾股定理，就可以求出AP＝2，∴AP＝OA，
同理可以判断（1，0），（﹣2，0），（2，0）是否能构成等腰三角形，
经检验点P的坐标不可能是（1，0）．
故选：B．
【点评】此题主要考查了坐标与图形的性质，等腰三角形的判定，关键是掌握等腰三角形的判定：有两边相等的三角形是等腰三角形，再分情况讨论．
二、填空题（本题共10个小题）
11．（3分）任意投挪一枚均匀的骰子，点数大于4的概率是．
【分析】由任意抛掷一枚均匀的骰子一次，朝上的点数大于4的有2种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：∵任意抛掷一枚均匀的骰子一次，朝上的点数大于4的有2种情况，∴任意抛掷一枚均匀的骰子一次，朝上的点数大于4的概率等于：＝．
故答案为：．
【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
12．（3分）命题“同角的补角相等”的条件是两个角是同角的补角．【分析】根据题意找出命题的题设部分即可．
【解答】解：命题“同角的补角相等”的条件是两个角是同角的补角，
故答案为：两个角是同角的补角．
【点评】本题考查的是命题与定理，命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”
后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．
13．（3分）一个不透明的口袋里装有除颜色外都相同的5个白球和若干个红球，在不允许将球倒出来数的前提下，小亮为了估计其中的红球数，采用如下方法：先将口袋中的球摇匀，再从口袋中随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中．不断重复上述过程．小亮共摸了100次，其中有10次摸到白球．因此小亮估计口袋中的红球大约有45 ．【分析】共摸了100次，其中10次摸到白球，则有90次摸到红球；摸到白球与摸到红球的次数之比为1：9，由此可估计口袋中白球和红球个数之比为1：9；即可计算出红球数．
【解答】解：∵小亮共摸了100次，其中10次摸到白球，则有90次摸到红球，
∴白球与红球的数量之比为1：9，
∵白球有5个，
∴红球有9×5＝45（个），
故答案为：45．
【点评】本题考查的是通过样本去估计总体，只需将样本“成比例地放大”为总体即可，解答此题的关键是要计算出口袋中白色球所占的比例．
14．（3分）如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1＝30°，∠2＝50°，则∠3＝20 °．
【分析】本题主要利用两直线平行，同位角相等和三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和进行做题．
【解答】解：∵直尺的两边平行，
∴∠2＝∠4＝50°，
又∵∠1＝30°，
∴∠3＝∠4﹣∠1＝20°．
故答案为：20．
【点评】本题重点考查了平行线的性质及三角形外角的性质，是一道较为简单的题目．15．（3分）如图，折叠直角三角形纸片的直角，使点C落在斜边AB上的点E处，已知CD ＝1，∠B＝30°，则BD＝ 2 ．
【分析】由折叠的性质可得CD＝DE＝1，∠C＝∠AED＝90°，由直角三角形的性质可求BD的长．
【解答】解：∵将△ABC折叠使点C落在斜边AB上的点E处
∴CD＝DE＝1，∠C＝∠AED＝90°
∵∠B＝30°
∴BD＝2DE＝2
故答案为：2
【点评】本题考查了翻折变换，直角三角形的性质，熟练掌握折叠的性质是本题关键．16．（3分）如图，△ABC是等边三角形，过它的三个顶点分别作对边的平行线，则图中共有 5 个等边三角形．
【分析】由△ABC是等边三角形，可得三个内角都是60°，再根据平行线，利用同位角相等、内错角相等，可得△AFC、△BCE、△ABD都是等边三角形，小的三角形有三个等边三角形，最大的△DEF也是等边三角形，共有5个．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠BCA＝∠CAB＝60°，
∵DF∥BC，
∴∠FAC＝∠ACB＝60°，∠DAB＝∠ABC＝60°，
同理：∠ACF＝∠BAC＝60°
在△AFC中，∠FAC＝∠ACF＝60°
∴△AFC是等边三角形，
同理可证：△ABD△BCE都是等边三角形，
因此∠E＝∠F＝∠D＝60°，△DEF是等边三角形，
故有5个等边三角形，
故答案为：5．
【点评】考查等边三角形的性质和判定、平行线的性质，掌握等边三角形的性质和判定是正确解答的关键；
17．（3分）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，腰长为2，则其底边的高为1或．
【分析】结合题意，画出图形，当腰上的高在两腰之间时，可得该三角形为等边三角形，
可得腰上的高等于底边的上的高，即可得底边上的高为1；当腰上的高在外侧时，可得底边上的高为．
【解答】解：①如图1，已知AB＝AC＝2，BD为腰AC上的高，可知∠ABD＝30°，可得∠A＝60°，即证△ABC为正三角形，即可得出底边AC上的高等于腰上的高等于．
②如图2，AB＝AC＝2，CD⊥BA交BA是延长线于点D，且∠CAD＝30°，可得AD＝1，CD
＝，
可得BC＝2，即BE＝，在Rt△ABE中，AB＝2，BE＝，即AE＝1．
故答案为：1或．
【点评】本题主要考查的是利用等腰三角形的性质解直角三角形．
18．（3分）若不等式组的解集是﹣1＜x＜1，那么（a+b）2019＝﹣1 ．【分析】先求出不等式组的解集，根据已知得出2+a＝﹣1，0.5b＝1，求出a、b即可．【解答】解：
∵解不等式①得：x＞2+a，
解不等式②得：x＜0.5b，
∴不等式组的解集是2+a＜x＜0.5b，
∵不等式组的解集是﹣1＜x＜1，
∴2+a＝﹣1，0.5b＝1，
解得：a＝﹣3，b＝2，
∴（a+b）2019＝（﹣3+2）2019＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组和求出代数式的值，能求出a、b的值是解此题的关键．
19．（3分）已知关于x的不等式组只有四个整数解，则实数a的取值范围是﹣3＜a≤﹣2 ．
【分析】首先解不等式组，即可确定不等式组的整数解，即可确定a的范围．
【解答】解：，
解①得：x≥a，
解②得：x＜2．
∵不等式组有四个整数解，
∴不等式组的整数解是：﹣2，﹣1，0，1．
则实数a的取值范围是：﹣3＜a≤﹣2．
故答案是：﹣3＜a≤﹣2．
【点评】本题考查了不等式组的整数解，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
20．（3分）在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50°，则∠B等于70°或20°．
【分析】此题根据△ABC中∠A为锐角与钝角分为两种情况，当∠A为锐角时，∠B等于70°，当∠A为钝角时，∠B等于20°．
【解答】解：根据△ABC中∠A为锐角与钝角，分为两种情况：
①当∠A为锐角时，
∵AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50°，
∴∠A＝40°，
∴∠B＝＝＝70°；
②当∠A为钝角时，
∵AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50°，
∴∠1＝40°，
∴∠BAC＝140°，
∴∠B＝∠C＝＝20°．
故答案为：70°或20°．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质及线段垂直平分线的性质；分类讨论的应用是正确解答本题的关键．
三、解答题（本大面共9个小题）
21．（5分）解方程组：．
【分析】方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：方程组整理得：，
②×3﹣①×2得：y＝﹣24，
把y＝﹣24代入②得：x＝60，
则方程组的解为．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
22．（5分）解不等式组：．
【分析】根据不等式的性质求出不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出即可．【解答】解：，
由①得：x＜1，
由②得：x≥﹣2，
∴不等式组的解集是﹣2≤x＜1．
【点评】本题考查了不等式的性质、解一元一次不等式（组）的应用，关键是根据不等式的解集找出不等式组的解集．
23．（5分）如图，A，B是旧河道l两旁的两个村庄．为方便村民饮水，计划在旧河道l上打一口水井P，用管道引水到两村，要求该井到两村的距离相等，请用尺规在图中作出点P的位置（保留作图痕迹，不要求写作法）．
【分析】线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．到点A，B的距离相等，应在线段AB的垂直平分线上．
【解答】解：作法：①分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧交于两点M，N，作直线MN；
②直线MN交l于点P，点P即为所求．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计，到平面内两个点距离相等的点应在连接这两点的线段的垂直平分线上．
24．（5分）如图，把一个转盘分成六等份，依次标上数字1、2、3、4、5、6，小明和小芳分别只转动一次转盘，小明同学先转动转盘，结果指针指向2，接下来小芳转动转盘、若把小明和小芳转动转盘指针指向的数字分别记作x、y，把x、y作为点A的横、纵坐标．
（1）写出点A（x，y）所有可能的坐标；
（2）求点A（x，y）在直线y＝x+1上的概率．
【分析】（1）由题意知点A的横坐标为2，纵坐标可能分别为1、2、3、4、5、6；
（2）找到符合条件的结果，再根据概率公式计算可得．
【解答】解：（1）点A所有可能的坐标为（2，1）、（2，2）、（2，3）、（2，4）、（2，5）、（2，6）；
（2）∵在所列的6种等可能结果中，点A落在y＝x+1上的有1种结果，
∴点A（x，y）在直线y＝x+1上的概率为．
【点评】此题主要考查了概率公式的应用，一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．25．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD是一条角平分线．求证：AB＝AC+CD．
【分析】过D作DE⊥AB于E，根据角平分线性质求出DE＝DC，由AAS证得△ADE≌△ADC 得出AE＝AC，求出∠B＝45°，求出∠EDB＝∠B＝45°，推出DE＝BE＝DC，代入即可得出结论．
【解答】证明：过D作DE⊥AB于E，如图所示：
∵∠C＝90°，
∴DC⊥AC，
∵AD是∠A的平分线，
∴DE＝DC，
在△ADE和△ADC中，，
∴△ADE≌△ADC（AAS），
∴AE＝AC，
∵∠C＝90°，AC＝BC，
∴∠B＝∠CAB＝45°，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴∠EDB＝45°＝∠B，
∴BE＝DE＝DC，
∴AB＝AE+BE＝AC+CD．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质和判定，角平分线性质等知识，作辅助线求出DE＝BE＝DC和AE＝AC是解题的关键．
26．（5分）在保护地球爱护家园活动中，校团委把一批树苗分给初三（1）班同学去栽种．如果每人分2棵，还剩42棵；如果前面每人分3棵，那么最后一人得到的树苗少于5棵（但至少分得一棵）．那么初三（1）班至少有多少名同学？最多有多少名同学？
【分析】关键描述语是：每人分2棵，还剩42棵．树苗棵树＝2×学生数+42；
关键描述语是：最后一人得到的树苗少于5棵（但至少分得一棵）．则最后一人分得树苗数大于或等于1且小于5．
【解答】解：设初三（1）班有x名同学，
根据题意，得
解这个不等式组，得40＜x≤44．
答：初三（1）班至少有41名同学，最多有44名同学．
【点评】考查了一元一次不等式组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系．
27．（5分）如图，直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝mx+n相交于点P（1，b）．（1）求关于x，y的方程组的解；
（2）已知直线l2经过第一、二、四象限，则当x＞1 时，x+1＞mx+n．
【分析】方程组的解即为直线的交点；x+1＞mx+n即直线l1在直线l2的上方；
【解答】解：（1）当x＝1时，代入直线l1，求得y＝2，即P（1，2），
即方程组的解为；
（2）由题可知，x+1＞mx+n即直线l1在直线l2的上方，
所以x＞1，
故答案为x＞1．
【点评】本题主要考查一次函数与二元一次方程组的关系，熟悉一次函数的图象是解答本题的关键
28．（6分）如图，求证：∠BDE+∠DEC＝∠A+∠B+∠C+180°．
【分析】连接BC，利用四边形内角和定理，三角形内角和定理即可解决问题．
【解答】证明：如图，连接BC．
∵∠1+∠2+∠BDE+∠DEC＝360°，∠A+∠ABD+∠ACE+∠1+∠2+180°＝360°，
∴∠1+∠2+∠BDE+∠DEC＝∠A+∠ABD+∠ACE+∠1+∠2+180°，
∴∠BDE+∠DEC＝∠A+∠B+∠C+180°．
【点评】本题考查四边形内角和定理，三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
29．（9分）开学初，李芳和王平去文具店购买学习用品，李芳用18元钱买了1支钢笔和3本笔记本；王平用30元买了同样的钢笔2支和笔记本4本．
（1）求每支钢笔和每本笔记本的价格；
（2）校运会后，班主任拿出200元学校奖励基金交给班长，购买上述价格的钢笔和笔记本共36件作为奖品，奖给校运会中表现突出的同学，要求笔记本数不多于钢笔数的2倍，共有多少种购买方案？请你一一写出．
【分析】（1）设每支钢笔x元，每本笔记本y元，根据“李芳用18元钱买了1支钢笔和3本笔记本；王平用30元买了同样的钢笔2支和笔记本4本”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买钢笔m支，则购买笔记本（36﹣m）本，根据奖品的总价不超过200元及笔记本数不多于钢笔数的2倍，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数即可得出各购买方案．
【解答】解：（1）设每支钢笔x元，每本笔记本y元，
依题意，得：，
解得：．
答：每支钢笔9元，每本笔记本3元．
（2）设购买钢笔m支，则购买笔记本（36﹣m）本，
依题意，得：，
解得：12≤m≤15．
∵m为整数，
∴m＝12，13，14，15．
∴共有4种购买方案，方案1：购买12支钢笔，24本笔记本；方案2：购买13支钢笔，23本笔记本；方案3：购买14支钢笔，22本笔记本；方案4：购买15支钢笔，21本笔记本．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
30．（10分）已知：如图，AF平分∠BAC，BC⊥AF，垂足为E，点D与点A关于直线BC对称，PB分别与线段CF，AF相交于P，M．
（1）求证：AB＝CD；
（2）若∠BAC＝2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）由点D与点A关于点E对称易证AC＝CD，再根据角平分线，及垂直得到AC ＝AB，可得答案AB＝CD；
（2）易证∠CAD＝∠CDA＝∠MPC，∠CMA＝∠BMA＝PMF，可得到∠MCD＝∠F．
【解答】（1）证明：∵AF平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠DAB＝∠BAC，
∵D与A关于E对称，
∴E为AD中点，
∵BC⊥AD，
∴BC为AD的中垂线，
∴AC＝CD．
在Rt△ACE和Rt△ABE中，（注：证全等也可得到AC＝CD）
∠CAD+∠ACE＝∠DAB+∠ABE＝90°，∠CAD＝∠DAB，
∴∠ACE＝∠ABE，
∴AC＝AB（注：证全等也可得到AC＝AB），
∴AB＝CD．
（2）解：∠F＝∠MCD，理由如下：
∵∠BAC＝2∠MPC，
又∵∠BAC＝2∠CAD，
∴∠MPC＝∠CAD，
∵AC＝CD，
∴∠CAD＝∠CDA，
∴∠MPC＝∠CDA，
∴∠MPF＝∠CDM，
∵AC＝AB，AE⊥BC，
∴CE＝BE（注：证全等也可得到CE＝BE），
∴AM为BC的中垂线，
∴CM＝BM．（注：证全等也可得到CM＝BM）
∵EM⊥BC，
∴EM平分∠CMB（等腰三角形三线合一）．
∴∠CME＝∠BME（注：证全等也可得到∠CME＝∠BME．），
∵∠BME＝∠PMF，
∴∠PMF＝∠CME，
∴∠MCD＝∠F．（注：证三角形相似也可得到∠MCD＝∠F）
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、轴对称的性质及线段垂直平分线的性质；解题时需注意充分利用两点关于某条直线对称，对应点的连线被对称轴垂直平分，进而得到相应的线段相等，角相等．。