对一类相似三角形动点轨迹问题的探究

勞题^5

2021年第1期

中学数‘教学参考（中旬)

对一类相似三角形

动点轨迹问题的探究

张斌(重庆市教育科学研究院) 方晓霞（重庆市南岸区教师进修学院) 周振华（重庆市江北区教师进修学院)

摘要：解决连续变换条件下的动点轨迹问题，一般先通过几何直观启迪认知，然后有效地构造出数学模 型，让这一类推断比较困难、路径和结论不太明晰的几何问题迎刃而解。在破解问题核心与本质的同时， 适时进行拓展推广，为开启创新与发展之路做一些有益尝试。

关键词：连续变换；动点轨迹；模型建立；拓展推广 文章编号：1002-2171(2021) 1-0023-02

图1

1问题呈现

(2019年贵阳中考第15题）如图1，在矩形

C D 中，AB = 4，ZDCA = 30°，点F 是对角线A C 上的 一个动点，联结D F ,以D F 为 斜边作Z 〇F £=30°的直角三角 形D E F ，使点£和点A 位于

D F 的两侧，点F 从点A 到点C 的运动过程中，点£的运动路 径长是______。

本题是相似三角形的动点轨迹问题，其中三角形 的一个顶点为定点，另外两个顶点中一个在一条线段 上运动，在保持三角形相似的条件下，求另一个顶点 运动的路径长。只有知道这个点的运动轨迹，才能根 据轨迹所刻画的图形确定其运动路径长。按照题中 的运动条件:三角形绕着自身的一个顶点作旋转相似 变换，同时第二个顶点在一条定直线上作平移变换， 这两种变换组合在一起形成了一个复合的连续变换。 那么，在这样连续变换的条件下，三角形第三个顶点 的运动轨迹是什么呢？

2建构模型

我们不妨来研究下面的一般情况：若A A B C 是

和以点A 为定点的定三角形相似的三角形，顶点B 在定直线/上移动，求顶点C 的运动轨迹。

如图2,点B 在定直线/上移 动，即直线Z 是点B 的运动轨迹，而 点C 是伴随点B 的移动而移动的。为了探究和叙述方便，不妨称在确 定的轨迹上运动的点为主动点，伴 随主动点运动而运动的点称为从动 点，这里的点B 是主动点，本题就

是求从动点C 的轨迹。对这类问题，我们可以从特殊 的位置出发去思考求解。

解：如图2,点B 是直线Z 上一动点，A B 的长随

点B 的运动而变化，点A 是定点，直线/是定直线， 所以点A 到直线/的距离是确定的。作AB 。丄直线 /，垂足为B 。。由于A A B C 是和定三角形相似的，所 以将A A B C 绕点A 作旋转相似变换，当点B 落在B 。 时，得到一个与A A B C 相似的A A B 〇C 。，联结CC 。。因为A A BC ⑵A A ^C 。，所以^ =

即=

A R

#

，易得 Z B A B 。= Z C A C 。，所以

⑵

△ACC 。，所以ZA C 〇C =Z A ^B = 90°。由于 AB 。是 确定的，所以AC 。是定长线段，ZA C …C 是直角，点C 在过C 。且垂直于AC 。的直线[上。

反之，若点G 为直线A 上任意一点，作ZEAQ =

ZBAC ，A £与直线/相交于点岛，联结f t Q 。因为 Z A AG =ZBAC =ZBoAQ ，所以 Z B 。

= Z G A G 。

",

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2021年第1期

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「解颗探窜1

中学数学教学参考（中旬>

又因为 =90°，所以直线A 上的任意一点G ，一定能在直线/上找到一 个点B ,

从而说明，直线/,是

点B 在直线Z 上运动时点C 的运动轨迹。

进一步思考：我们把直线Z 和直线6的交点记为 〇,那么显然幺〇。00 =之执八(：。=幺6八(：，幺£/^是 绕定点A 旋转保持不变的定角，因此，从动点的轨迹 是一条过点C 且与定直线/相交所成角等于这个定 角的直线。

以上探究通过作一个特殊的与A A B C 相似的 △八5。(：。，确定了特殊点(：。，建立了从动点(：的运动 轨迹是一条垂直于AC 。的直线这一模型。同时，我 们也得到这个模型的另一种表述：从动点的轨迹是一 条过点C 且与定直线相交所成角的度数等于定角

Z B A C 的一条直线。

如果设Z B A C =a ，进一步探究，还可以得到如下 关系：当〇<90°时，两条轨迹直线的夹角等于《;当《> 90°时，两条轨迹直线的夹角等于71 — a 。（证明从略）

3解决问题

对于前文中的题目，可以利用以上模型来解决。 如图3,点F 与点A 重合

时的A D G F 。就是起始三角 形，当点F 与点C 重合时运动 结束。

D

/

M 图3

C (F )

A(Fa )

过点D 作A C 的垂线交

A C 于点M ，过点M 作D C 的垂线交D C 于点N ，联 结N E ,，易得ADMJVc /JA D A f ：。，所以点iV 即为模型 中的点C 。。故点^，〜，^在同一直线上。

.4 V 3

得 E 0f ：

由AB = 4得AD 4^3

，即点£的运动路径长为

，由 AADE ^

A &E 。!)

4^3

过点E 。作与A C 成60°的直线，用同样的方法也 可求解。

4拓展延伸

绕三角形的一个顶点旋转相似的三角形，其从动

点与主动点间的轨迹关系可否推广到边数大于3的 多边形中呢？下面以四边形为例进行探究。

如图4,四边形A B C D 绕 点A 作旋转相似变换，当点B

在定直线/上移动时，求动点

C 、动点

D 的运动轨迹。

解：如图4，设四边形

是绕点A 逆时针旋

转，且与四边形A B C D 相似的四边形。联结AC ，

AC ,，易得A A C D w A A G D ,。因此绕点A 旋转得到 的四边形A ^C ,!),也可视为A A B C 绕点A 旋转得 到

，同时A A C D 绕点A 旋转得到△AC 1D 1。

当A A B C 绕点A 旋转时，点B 在定直线/上运动。 由前面的探究可知，点C 的运动轨迹是过点C 与定 直线/所形成的角等于Z B A C 的直线6。而直线A 是一条确定的直线，在连续变换的作用下，A A C D 绕 点A 旋转（同方向）时点C 在直线M 上运动，点D 的 运动轨迹是过点D 与直线^所形成夹角等于ZCAD 的直线/2。

对于具体的问题在角度已知的情况下，结合所给 条件即可解决相关问题。

如，A 是直线/上方的一个定 点，B 是直线/上的动点，以 为边作正方形ABCD ，点C ，D 与 点A 在/的同侧（如图5)。当点 ■B 沿Z 方向移动时，求顶点C，D 的运动轨迹。

解：如图5,因为四边形A B C D 是正方形，所以

B D 将Z A D

C 分为两个45°角。

过点C 作直线使A 与直线/的夹角为45°，即 点C 的运动轨迹是过点C 且与直线/的夹角为45°的 直线A ，点D 的运动轨迹是一条过点D 且与直线h 的夹角也等于45°的直线Z 2。

因为直线A 与直线6的夹角为45°，直线A 与直 线/的夹角也为45°，所以直线4是一条垂直于直线Z 的直线。

本文研究了三角形绕其一个顶点作旋转相似变 换，且其余的两个顶点中的一个作定性的运动变换， 求另一个顶点运动的轨迹，并对旋转图形由三角形拓 展为多边形。同样地，我们可以对主动点的运动轨迹 进行延伸，如主动点在圆上运动等情况。有兴趣的读 者可以进一步研究。

图

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