固体物理第三章晶格振动_2023年学习资料

设波包的传播速度为V,则V=-0/-q-由。-2amg9叫-得-v=-元-波格传播的速度是波长的函数，波长 同的-波格传播速度不同。通常称0与q的关系称为色-散关系。-10
格波的波矢量9的取值范围？对于指数函数-u,Aexp[iot-nga]-如果9a改变2π 值，结果并没有什么 同，因为-Aexpilot-nga+2n]Aexp[i@t-nga}-所以qa可以取在一元与π 之间，已涵盖 指数函-数的所有独立值-兀--π <ga≤π -或-一一-<q-此即一维单原子链的第一布里渊区-11
同理，2n+1号原子的运动方程为-F2n0-F2n+2-d2-m-dB.-Bu-3、试探解-u2n Ae gna-o t-t=B'eBe tgna-
把u2、u2+1代入以上两个运动方程-关于A、B的-两个方程-一A、B非零解，系数行列式为0-B.+B:o2A-B.+B.eB=O--B+B.eA+B.+B.-moB=O-B+B,-Mo2）--B+Bze--B B,e-B+R,-mo2）》
0-00-OA-当-9-0-UA二-π -a-m+MB+阝2-Omax-mM-q-=士-u-1-Amax-w -B+B2-2mM-nwgg】
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5、波矢q的取值、格波支数-利用波恩一卡门边界条件，波矢9的取值-2π -=-m-m=0,±1，±2，„-N -波矢数=原胞数N-格波模式总数=原子总数=2N
3、玻恩卡门条件（周期性边界条件）：-设想在实际晶体外，仍然有无限多个相同的晶体-相联结，各晶体中相对应的 子的运动情况都一样。-N+1-●●-●-●●-12-n-NN+2-N+n-A=L-N+n●n-2◆N+2
上述方程具有波动形式的解-U Aeinag-ot-其中A为振幅，O是圆频率，q是波矢。->对于确定的n:第 个原子的位移随时间作简谐振动->对于确定时刻t：不同的原子有不同的振动位相-q的物理意义：沿波的传播方向（ 沿的方向）上，单-位距离两点间的振动位相差。-格波解：晶体中所有原子共同参与的一种频率相同的振-动，不同原 间有振动位相差，这种振动以波-的形式在整个晶体中传播，称为格波。
3.2一维双原子链晶格的振动-Mm-B2-2n22n-1-2h2如+1-2n+2-X-0-t时刻-1l2n 1-1l2m1l2m+1-1l2n+2
第2n号原子，由虎克定律-2n-1-2n+1-2n+2-F2n-1tO→F2n+1-F2m+1=阝2m12n）-F2m1=-阝242n-42m-1）-2n号原子的运动方程-d2-,=Au2+广ux）-B,.-h
4、色散关系-U2n-1-tw-a-02=-16mM BB.-2mM-B+B月-色散关系与力常数β 和格常数 有关-光学支-2、-@-B+B2-ma-sin"-声学支-ow器-对于实际晶体，0+0在1013~1014 z,对应于远红外光范-围。离子晶体中光学波的共振可引起对远红外光在0≈o+0附-近的强烈吸收。
3、波矢q的个数，模式数-由于晶体的体积是很有限的，因而格波波天的取值不-能是任意的，必然受到边界条件的限 ，设晶体包含-N个原子，由边界条件的周期性有：L+N=Mn-带入位移的表达式可得到-eqa=1→9=-2π -,l为整数-Na-12
这说明q只能取一系列不连续的值，在q空间，一个q值-与一个点对应，这些点在空间均匀分布，相邻q点的-"距离 -为-只：，而q的取值在第一布里渊区，它的-2元-大小为-,所以允许的q的总数为-a-2π /a--N-2π Na-重要结论：上式说明晶格振动的波矢数目等于晶格-原胞数目，由色散关系式知给定一个q总有一个0-与之对应 给定一组g就表示原子的一种振动形-式，我们称之为振动模式。-13
例-维双原子链结构如图，其色散关系为-02=-16mM B.B.-sin-2mM-B+B1-求：求色散关系 2讨论色散关系，作图；-a-原子间力常数均为β
1B=B2-格常数为2a-2mM-得：-nn-n备i
29=0-声学支o=0-2BM+m-Mm-π -9=±-2a-声学支。-月-1@-总-Wo-光学支。-26-O
第n个原子的所受作用力为-0-pu,-,+u1-4,=f+fan-Ou-Bun-1 +us -2u,-Jn n-l-n,n+l-Un-1-a+unti -un
2、一维单原子链的运动方程与解-第n个原子的运动方程-u=Bun1+4-1-2M,）-dt-每个原子对应一 方程，如果原子链有N-个原子则有N个方程，上式实际上就是N个联-立的齐次方程组
把该解代入运动方程-iomuexpliot-nga]=Buexpliot-ngalea +e iga-2--@2m=Beia +e isa-2=2Bcos qa-1-2=21-c0sg-由上式可以看出频率是波矢 的周期函数，周期-为2，正好为一维链的倒格矢，即格波频率具有-倒格子周期性，式中q换成-q时，频率也不变， 率-具有反演对称性。
晶格振动与格波-实际晶体中的原子并非完全固定不动-原子是不断运动的，具有动能，但是通常情-况下原子又不能远 格点，被束缚在格点附-近做周期性振动-由于晶体具有周期性结构，原子振动相-互关联，在晶体中形成格波。
3.1一维晶格的振动-维简单格子-今-Wn-1-a+untl-un-设晶格常量为a,原子n偏离平衡位置的位 为-“n,只考虑最近邻的相互作用，晶格振动时相邻两原子-在时刻的距离-r=unti +a-un
1、一维简单格子的互作用力-晶格作小幅度振动，即d<<a,则相邻两原子-的相互作用能可以展开为-r=U+d ---r-a'+IdU-3!dr3-r-a3+„-其中Ua为相邻两原子在间距等于晶格常量时的相互-作用能， 般可取为0，而-au-F=--1dU-ar|-r-a2+-为相邻原子间的作用力
忽略高阶项，只保留到2阶项，则-dy-d"U-F=--dr a-r-a-o'U-令B=-0r2-则F=-B -a=一B4n+1-wn）-该近似称为简谐近似，在该近似下，原子间的相互作用力-是弹性恢复力，式中阝是弹性 复力常数