数学建模之初等模型共30页文档

•顶部的淋雨量
C 1(D /v)w(p dsri)n
D/v表示在雨中行,w走 表 d 的 示时 顶间 部面积
rsin表示雨滴垂直度 下。 落的速
•前表面淋雨量
C 2 (D /v )w [p (r h co vLeabharlann ) s]•总淋雨量（基本模型）
C C 1 C 2p vw (dsD ri n h (rco v s ))
40、人类法律，事物有规律，这是不 容忽视 的。— —爱献 生
2）考虑降雨方向。
若记雨滴下落速度为 r（米/秒）
雨滴的密度为 p, p1
雨滴下落 w
表示在一定的时刻
的反方向
在单位体积的空间
内，由雨滴所占的 v
空间的比例数，也 人前进
称为降雨强度系数。的方向
d h
所以， I rp
因为考虑了降雨的方向，淋湿的部位只有顶部和前面。 分两部分计算淋雨量。
人数 100 60 40
所占比例 100/200 60/200 40/200
分配方案 (50/100)•20=10 (30/100)•20=6 (20/100)•20=4
现丙系有6名学生分别转到甲、乙系各3名。
系别 人数 所占比例
分配方案
甲 103 103/200=51.5% 51.5 %•20 =10.3
结果表明：淋雨量是速度的减函数，当速度尽可能大时 淋雨量达到最小。 假设你以6米/秒的速度在雨中猛跑，则计算得
C 1.3 1 1 4 0 m 31.1升 3
情形2 60
C 6 .9 1 5 4 [ 0 1 .5 (0 .43 3 )/v ]
结果表明：淋雨量是速度的减函数，当速度尽可能大时 淋雨量达到最小。 假设你以6米/秒的速度在雨中猛跑，则计算得
这时，雨滴将淋在背上，而淋在背上的雨水量是
pw(rD sin h v)/v
淋雨总量为 C p[ d w cr o D h ( r s si v n )/v ]
当vrsin时， C取到最小C值 r。 sDinwdpcors
再次代如数据，得
C 6 .9 1 5 4 ( 0 0 .8 co )/s 4 (si)n
当 dcosrsi n0,v尽可能 C才大 可， 能小
当 dcosrsi n0,v尽可能 C才小 可， 能小
而vrsin，所以 vrsi n，C 才可能小。
取 v6m/s,30 时，
C6.9 51 04(0.436)/6m30.7升 7 。
4 结论
若雨是迎着你前进的方向向你落下，这时的策略很简单， 应以最大的速度向前跑； 若雨是从你的背后落下，你应控制你在雨中的行走速度， 让它刚好等于落雨速度的水平分量。 5 注意 •关于模型的检验，请大家观察、体会并验证。 •雨中行走问题的建模过程又一次使我们看到模型假设的重 要性，模型的阶段适应性。
二 席位分配问题
某校有200名学生，甲系100名，乙系60名， 丙系40名，若学生代表会议设20个席位，问三系各
有多少个席位？
1 问题的提出
按惯例分配席位方案，即按人数比例分配原则
mq p N
m 表示某单位的席位数 p 表示某单位的人数
N 表示总人数 q 表示总席位数
20个席位的分配结果
系别 甲 乙 丙
•当行走速度快于雨滴的水平运动速度，即 vrsin
你不断地追赶雨滴，雨水将淋湿你的前胸。被淋得雨量是
pw(vD rshin )/v
淋雨总量为 C p[ d w cr o D h ( v s r si )/v n ]
C p[ w d c ( o D r ss ) i / v r n h / r ]
结果表明：当行走速度等于雨滴下落的水平速度时，淋 雨量最小，仅仅被头顶上的雨水淋湿了。
若雨滴是以120 的角度落下，即雨滴以 30的角
从背后落下，你应该以v4sin30 2m/s的速度行走
此时，淋雨总量为
C 6 .9 1 5 4 ( 0 0 .83 /2 )/2 m 3 0 .2升 4
这意味着你刚好跟着雨滴前进，前后都没淋雨。
C 6 .9 1 5 4 [0 .8 ( co 6 ss i ) /v n 1 .5 ]
当 0 90时， C可能取负值，这 能是 的不 。可
出现这个矛盾的原因：我们给出的基本模型是针对雨从
你的前面落到身上情形。
因此，对于这种情况要另行讨论。
•当行走速度慢于雨滴的水平运动速度，即 vrsin
乙 63 63/200=31.5% 31.5%•20=6.3
丙 34 34/200=17.0% 17.0%•20=3.4
席位数 10 6 4
席位数 10 6 4
现象1 丙系虽少了6人，但席位仍为4个。（不公平！）
为了在表决提案时可能出现10：10的平局，再设一个席位。
21个席位的分配结果
系别 人数 所占比例
取 r 4 m 参 /s ,I 3 数 6 2 c/s 0 , m p 1 0 .3 1 9 60
C 6 .9 5 1 4 0 (0 .8 sin 6c o 1 s.5 v)
v
可以看出：淋雨量与降雨的方向和行走的速度有关。
问题转化为给定 ，如何选择 v使得 C最小。
情形1 90
C6.95 1 04(0.81.5) v
C 1.7 4 1 4 0 m 3 1 .4升 7
情形3 90 180
此时，雨滴将从后面向你身上落下。
C 6 .9 1 5 4 [0 .8 ( si 6 n c) o /v 1 s .5 ]
令 9， 0 0 则 9。 0
C 6 . 9 1 5 4 [ 0 . 0 8 ( s9 i n ) 0 6 c (9 o ) 0 / s v ) 1 . ( 5 ]
数学建模之初等模型
36、如果我们国家的法律中只有某种 神灵， 而不是 殚精竭 虑将神 灵揉进 宪法， 总体上 来说， 法律就 会更好 。—— 马克·吐 温 37、纲纪废弃之日，便是暴政兴起之 时。— —威·皮 物特
38、若是没有公众舆论的支持，法律 是丝毫 没有力 量的。 ——菲 力普斯 39、一个判例造出另一个判例，它们 迅速累 聚，进 而变成 法律。 ——朱 尼厄斯
分配方案
甲 103 103/200=51.5% 51.5 %•21 =10.815
乙 63 63/200=31.5% 31.5%•21=6.615