数学新高考第2讲 充分条件与必要条件

第2讲充分条件与必要条件
充分条件、必要条件与充要条件
若p⇒q，则p是q的01充分条件，q是p的02必要条件
p是q的03充分不必要条件p⇒q且q p
p是q的04必要不充分条件p q且q⇒p
p是q的05充要条件p⇔q p是q的06既不充分也不必要条件p q且q p
1．(1)若p是q的充分不必要条件，q是r的充分不必要条件，则p是r的充分不必要条件．
(2)若p是q的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件．
2．若A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则
(1)若A⊆B，则p是q的充分条件；
(2)若A⊇B，则p是q的必要条件；
(3)若A＝B，则p是q的充要条件；
(4)若A B，则p是q的充分不必要条件；
(5)若A B，则p是q的必要不充分条件；
(6)若A⃘B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．
1．(2020·海南省新高考诊断性测试)“游客甲在海南省”是“游客甲在三亚市”的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 因为三亚市是海南省的一个地级市，所以如果甲在三亚市，那么甲必在海南省，反之不成立，故选B ．
2．(2020·济宁三模)设a ，b 是非零向量，则“a ·b ＝0”是“a ⊥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
答案 C
解析 设非零向量a ，b 的夹角为θ，若a ·b ＝0，则cos θ＝0，又0≤θ≤π，所以θ＝π2，所以a ⊥b .若a ⊥b ，则θ＝π
2，所以cos θ＝0，所以a ·b ＝0.因此“a ·b ＝0”是“a ⊥b ”的充要条件．故选C ．
3．若集合A ＝{2,4}，B ＝{1，m 2}，则“A ∩B ＝{4}”是“m ＝2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 B
解析 当m ＝2时，有A ∩B ＝{4}；若A ∩B ＝{4}，则m 2＝4，解得m ＝±2，不能推出m ＝2.故选B ．
4．(2020·天津高考)设a ∈R ，则“a ＞1”是“a 2＞a ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 A
解析 求解二次不等式a 2＞a 可得a ＞1或a ＜0，据此可知，a ＞1是a 2＞a 的充分不必要条件．故选A ．
5．已知p 是r 的充分不必要条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，那么p 是q 的________条件．
答案 充分不必要
解析 由已知可得p ⇒r ⇒s ⇒q ，且r p ，所以p ⇒q ，而q p ，故p 是q 的
充分不必要条件．
6．已知p：x>a是q：2<x<3的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________.
答案(－∞，2]
解析由已知，得{x|2<x<3}{x|x>a}，所以实数a的取值范围是(－∞，2]．
多角度探究突破
考向一充分、必要条件的判断
角度1定义法判断充分、必要条件
例1(2020·海南省普通高中高考调研测试)“ln m<ln n”是“m2<n2”的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析若ln m<ln n，根据对数函数的定义域及单调性可知0<m<n，可得m2<n2，因而具有充分性；若m2<n2，则|m|<|n|，当m<0，n<0时对数函数无意义，因而不具有必要性，综上可知，“ln m<ln n”是“m2<n2”的充分不必要条件．故选A．角度2集合法判断充分、必要条件
例2(2020·济南市高三上学期期末)设x∈R，则“2x＞4”是“lg (|x|－1)＞0”的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析设p：2x＞4，即p：2x＞22，整理得p：x＞2；设q：lg (|x|－1)＞0，即q：lg (|x|－1)＞lg 1，整理得q：x＜－2或x＞2，因为{x|x>2}{x|x<－2或x>2}，所以p⇒q，q p．故“2x＞4”是“lg (|x|－1)＞0”的充分不必要条件．故选A．充要条件的两种判断方法
(1)定义法：根据p ⇒q ，q ⇒p 进行判断．
(2)集合法：根据p ，q 成立时对应的集合之间的包含关系进行判断．
1.(2020·海南高三一模)设集合A ，B 是全集U 的两个子集，则“A
⊆B ”是“A ∩∁U B ＝∅”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
答案 C
解析 如图所示，A ⊆B ⇒A ∩∁U B ＝∅，同时A ∩∁U B ＝∅⇒A ⊆B ．故选C ．
2．(2020·潍坊一模)“a <1”是“∀x >0，x 2＋1
x ≥a ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 ∵∀x ＞0，x 2＋1x ＝x ＋1
x ≥2，∴a ≤2，∵a ＜1⇒a ≤2，a ≤2a ＜1，∴“a ＜1”是“∀x ＞0，x 2＋1
x ≥a ”的充分不必要条件．故选A ．
考向二 充分、必要条件的探求与应用
例3 (1)(2020·山东省第一次仿真联考)已知p ：|x －a |<1，q ：3
x ＋1>1，若p
是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围为( )
A ．[0,1]
B ．(0,1]
C ．[－1,2)
D ．(－1,2)
答案 A
解析 因为|x －a |<1，所以a －1<x <a ＋1，即p ：a －1<x <a ＋1.因为
3
x ＋1
>1，所以－1<x <2，即q ：－1<x <2.因为p 是q 的充分不必要条件，所以⎩⎨
⎧
a －1≥－1，
a ＋1≤2
(等号不同时成立)，解得0≤a≤1.
(2)(2020·青岛二中检测)直线x－y－k＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同交点的充要条件是________.
答案－1<k<3
解析直线x－y－k＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同交点等价于|1－0－k|
2
<2，解得－1<k<3.
1．条件、结论的相对性
充分条件、必要条件是相对的概念，在进行判断时一定要注意哪个是“条件”，哪个是“结论”．要注意条件与结论间的推出方向．如“A是B的充分不必要条件”是指A⇒B但B A；“A的充分不必要条件是B”是指B⇒A但A⇒/ B．以上两种说法在充要条件的推理判断中经常出现且容易混淆．2．根据充分、必要条件求解参数范围的方法
(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解．
(2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．
3.若a，b都是正整数，则a＋b>ab成立的充要条件是()
A．a＝b＝1
B．a，b至少有一个为1
C．a＝b＝2
D．a>1且b>1
答案 B
解析因为a＋b>ab，所以(a－1)(b－1)<1.因为a，b∈N*，所以(a－1)(b－1)∈N，所以(a－1)(b－1)＝0，所以a＝1或b＝1.故选B．
4．已知“p：(x－m)2>3(x－m)”是“q：x2＋3x－4<0”成立的必要不充分条
件，则实数m的取值范围为()
A．(－∞，－7)∪(1，＋∞)
B．(－∞，－7]∪[1，＋∞)
C．(－7,1)
D．[－7,1]
答案 B
解析由(x－m)2>3(x－m)得x<m或x>3＋m，所以p：x<m或x>3＋m；解x2＋3x－4<0得－4<x<1，所以q：－4<x<1.因为p是q的必要不充分条件，所以m≥1或m＋3≤－4，得m≥1或m≤－7.故选B．
一、单项选择题
1．设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C”是“A∩B ＝∅”的()
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案 C
解析由Venn图易知充分性成立．反之，A∩B＝∅时，不妨取C＝∁U B，此时A⊆C，故必要性成立．故选C．
2．若f(x)是定义在R上的函数，则“f(0)＝0”是“函数f(x)为奇函数”的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析f(x)是定义在R上的奇函数可以推出f(0)＝0，但f(0)＝0不能推出函数f(x)为奇函数，例如f(x)＝x2.故选B．
3．设a，b，c，d是非零实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”
的()
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析a，b，c，d是非零实数，若a<0，d<0，b>0，c>0，且ad＝bc，则a，b，c，d不成等比数列(可以假设a＝－2，d＝－3，b＝2，c＝3)．若a，b，c，d 成等比数列，则由等比数列的性质可知ad＝bc.所以“ad＝bc”是“a，b，c，d 成等比数列”的必要而不充分条件．
4．(2020·烟台一模)设x∈R，则“|x－2|＜1”是“x2＋2x－3＞0”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析|x－2|＜1，解得1＜x＜3；x2＋2x－3＞0，解得x＜－3或x＞1.因为“1＜x＜3”是“x＜－3或x＞1”的充分不必要条件，所以“|x－2|＜1”是“x2＋2x －3＞0”的充分不必要条件．
5．“不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是()
A．m>1
4B．0<m<1
C．m>0 D．m>1
答案 C
解析不等式x2－x＋m>0在R上恒成立⇔1－4m<0，得m>1
4
，在选项中只有“m>0”是“不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的必要不充分条件，故选C．6．(2020·德州二模)已知实数x，y满足x>1，y>0，则“x<y”是“log x y>1”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案 C
解析根据题意，可知实数x，y满足x>1，y>0，若x<y，即1<x<y，则log x y>log x x ＝1，则“x<y”是“log x y>1”的充分条件，反之，若log x y>1，即log x y>log x x＝1，由
x >1，则必有x <y ，则“x <y ”是“log x y >1”的必要条件，故“x <y ”是“log x y >1”的充要条件．故选C ．
7．(2020·青岛市高三上学期期末)设α∈R ，则“sin α＝cos α”是“sin2α＝1”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
答案 C
解析 若sin α＝cos α，则tan α＝1，α＝k π＋π4(k ∈Z )，得sin2α＝sin2⎝ ⎛
⎭⎪⎫k π＋π4＝
sin π2＝1成立；反之，若sin2α＝1，则2α＝2k π＋π2(k ∈Z )，∴α＝k π＋π
4(k ∈Z )，得sin α＝cos α.故“sin α＝cos α”是“sin2α＝1”的充分必要条件．故选C ．
8．已知平面α，直线m ，n 满足m ⊄α，n ⊂α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 A
解析 若m ⊄α，n ⊂α，m ∥n ，由线面平行的判定定理知m ∥α.若m ∥α，m ⊄α，n ⊂α，不一定推出m ∥n ，直线m 与n 可能异面，故“m ∥n ”是“m ∥α”的充分不必要条件．故选A ．
9．(2020·山东济南一中期中)在△ABC 中，“A <B ”是“sin A <sin B ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 C
解析 在△ABC 中，A <B ，因为三角形中大边对大角，则a <b ，由正弦定理可得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，所以有2R sin A <2R sin B ，所以sin A <sin B ，充分性成立；因为sin A <sin B ，由正弦定理可得sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，所以a 2R <b
2R ，则a <b ，因为三角形中大边对大角，所以A <B ，必要性也成立．故选C ．
10．设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 存在负数λ，使得m ＝λn ，则m ·n ＝λn ·n ＝λ|n |2<0；反之，m ·n ＝|m ||n |cos 〈m ，n 〉<0⇒cos 〈m ，n 〉<0⇔〈m ，n 〉∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π，当〈m ，n 〉∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
π2，π时，m ，
n 不共线．故“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的充分不必要条件．
二、多项选择题
11．(2021·湖北宜昌高三模拟)设计如图所示的四个电路图，p ：“开关S 闭合”；q ：“灯泡L 亮”，则p 是q 的充要条件的电路图是( )
答案 BD
解析 由题意知，电路图A 中，开关S 闭合，灯泡L 亮，而灯泡L 亮开关S 不一定闭合，故A 中p 是q 的充分不必要条件；电路图B 中，开关S 闭合，灯泡L 亮，且灯泡L 亮，则开关S 闭合，故B 中p 是q 的充要条件；电路图C 中，开关S 闭合，灯泡L 不一定亮，灯泡L 亮则开关S 一定闭合，故C 中p 是q 的必要不充分条件；电路图D 中，开关S 闭合则灯泡L 亮，灯泡L 亮则开关S 闭合，故D 中p 是q 的充要条件．故选BD ．
12．(2020·山东德州模拟)下列叙述中正确的是( ) A ．“a >1”是“1
a <1”的充分不必要条件
B ．若a ，b ，c ∈R ，则“ab 2>cb 2”的充要条件是“a >c ”
C ．“a <1”是“方程x 2＋x ＋a ＝0有一个正根和一个负根”的必要不充分条件
D ．若a ，b ，c ∈R 且a ＞0，则“ax 2＋bx ＋c ≥0”的充要条件是“b 2－4ac ≤0” 答案 ACD
解析 a >1⇒1a <1，1a <1a >1，∴“a >1”是“1a <1”的充分不必要条件，A 正确；
当b ＝0时，若“a >c ”成立，而ab 2＝0＝cb 2，充分性不成立，B 错误；令f (x )＝x 2＋x ＋a ，方程x 2＋x ＋a ＝0有一个正根和一个负根，则f (0)<0，则有a <0，∴“a <1”是“方程x 2＋x ＋a ＝0有一个正根和一个负根”的必要不充分条件，C 正确；当a >0时，ax 2＋bx ＋c ≥0可以推出b 2－4ac ≤0，而b 2－4ac ≤0也可以推出ax 2＋bx ＋c ≥0，D 正确．故选ACD ．
三、填空题 13．下列不等式：
①x <1；②0<x <1；③－1<x <0；④－1<x <1.
其中可以作为“x 2<1”的一个充分条件的所有序号为________. 答案 ②③④
解析 由于x 2<1即－1<x <1，①显然不能使－1<x <1一定成立，②③④满足题意．
14．(2020·江苏省无锡市天一中学高三6月模拟)已知a ＝(1，2m )，b ＝(2，－m )，则“m ＝1”是“a ⊥b ”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”或“既不充分也不必要”)
答案 充分不必要
解析 当m ＝1时，a ·b ＝1×2＋2m ×(－m )＝2－2＝0，即a ⊥b .当a ⊥b 时，a ·b ＝1×2＋2m ×(－m )＝2－2m 2＝0，解得m ＝±1，即“m ＝1”是“a ⊥b ”的充分不必要条件．
15．已知f (x )是R 上的奇函数，则“x 1＋x 2＝0”是“f (x 1)＋f (x 2)＝0”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)
答案 充分不必要
解析 ∵函数f (x )是奇函数，∴若x 1＋x 2＝0，则x 1＝－x 2，则f (x 1)＝f (－x 2)
＝－f (x 2)，即f (x 1)＋f (x 2)＝0成立，即充分性成立；若f (x )＝0，满足f (x )是奇函数，当x 1＝x 2＝2时，f (x 1)＝f (x 2)＝0，此时满足f (x 1)＋f (x 2)＝0，但x 1＋x 2＝4≠0，即必要性不成立．故“x 1＋x 2＝0”是“f (x 1)＋f (x 2)＝0”的充分不必要条件．
16．(2019·华南师大附中月考)设p ：ln (2x －1)≤0，q ：(x －a )[x －(a ＋1)]≤0，若q 是p 的必要而不充分条件，则实数a 的取值范围是________.
答案 0，12
解析 p 对应的集合A ＝{x |ln (2x －1)≤0}＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |12<x ≤1，q 对应的集合B ＝{x |(x －a )[x －(a ＋1)]≤0}＝{x |a ≤x ≤a ＋1}．由q 是p 的必要而不充分条件，知A B ．所
以a ≤12且a ＋1≥1，因此0≤a ≤12.
四、解答题
17．已知函数f (x )＝lg (x 2－2x －3)的定义域为集合A ，函数g (x )＝2x －a (x ≤2)的值域为集合B ．
(1)求集合A ，B ；
(2)已知p ：m ∈A ，q ：m ∈B ，若q 是p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．
解 (1)A ＝{x |x 2－2x －3>0}＝{x |(x －3)(x ＋1)>0}＝{x |x <－1或x >3}，B ＝{y |y ＝2x －a ，x ≤2}＝{y |－a <y ≤4－a }．
(2)因为q 是p 的充分不必要条件，所以B A ，所以4－a <－1或－a ≥3，所以a ≤－3或a >5，即实数a 的取值范围是(－∞，－3]∪(5，＋∞)．。