第七讲 整数规划
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7 bi xi B i 1 x1 x2 x3 2 约束条件 x4 x5 1 x x 1 7 6 0 xi 1
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(5 8)
2012年12月22日
22
第七讲
2、相互排斥的约束条件
整数规划
四、0-1型整数规划
整数规划
先不考虑整数约束条件，求得相应的线性规划的最 优解为： x1=3/4，x2=7/4，max z=5/2
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第七讲
三、割平面法
例题
cj→ CB XB B－1b
1 2
整数规划
3 2
2
5
4
3
x
1
x
x
x
4
1 1
x x
3/4 7/4
1 0
0 1
-1/4 3/4
例如在指派问题中，将n项任务指派n个人去完成，不同 的指派方案共有n!种，当n=10时，可能的指派方案数超过300 万；当n=20，超过2×1018。显然，穷举法是不可取的。
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第七讲
二、分枝定界解法
整数规划
分枝定界法核心思想
考虑最大化整数线性规划问题A，与它相应的线性 规划记为问题B。我们从解问题B开始，若其最优解不 符合A的整数条件，那么B的最优目标函数必是A的最优 目标函数值z*的上界，记作 z ；而A的任意可行解的目 标函数值将是z*的一个下界 z 。分支定界法就是将B的 可行域分成子区域(称为分支)的方法，逐步减小 z 和增 大 z ，最终求到z*。
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第七讲
例题
整数规划
一、整数规划问题的提出
容易求得相应的线性规划问题的最优解为： x1=4.8，x2=0，max z=96
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第七讲
整数规划
例题
一、整数规划问题的提出
现在来分析上述线性规划问题的最优解是否是整数 规划问题的最优解？ 分析：因为x1表示的是托运甲种货物的箱数，目 前得到的最优解不是整数，是不是可以把所得的非整 数最优解经过“化整”就可得到整数最优解呢?
货物 甲 乙 托运限制
2012年12月22日
体积 5 4 24
重量 2 5 13
利润 20 10
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5
第七讲
整数规划
一、整数规划问题的提出
例题 解：设x1，x2分别为甲、乙两种货物的托运箱数 (当然都是非负整数)，这就是一个(纯)整数线性规划问 题，用数学模型可表示为：
max z 20x1 10x2 5 x1 4 x2 24 2 x1 5 x2 13 st x1 , x2 0 x1 , x2 为整数
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二、分枝定界解法
解 题 过 程
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第七讲
三、割平面法
整数规划
割平面法核心思想 首先不考虑变量xi是整数这一条件，仍然是用解线 性规划的方法去解整数线性规划问题。 若得到非整数的最优解，则增加能割去非整数解的 线性约束条件(或称为割平面)，使得由原可行域被切割 掉一部分，这部分只包含非整数解，但没有切割掉任 何整数可行解。 割平面方法就是指出怎样找到适当的割平面(不见 得一次就找到)，使切割后最终得到这样的可行域，它 的一个整数极点恰好是问题的最优解。
运筹学（operations
research, OR） 第七讲 整数规划
商学院电子商务系
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1
第七讲
整数规划
一. 整数规划问题的提出
二. 分枝定界法
三. 割平面法 四. 0-1型整数规划 五. 指派问题与匈牙利法
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2
第七讲
1、投资场所的选定——相互排斥的计划
例题：某公司拟在市东、西、南三区建立门市部，拟议中 有7个位置(点)Ai (i=1，2，…，7)可供选择。规定：在东区， 由A1，A2，A3三个点中至多选两个；在西区，由A4，A5两个点中 至少选一个；在南区，由A6，A7两个点中至少选一个。 如选用Ai点，设备投资估计为bi元，每年可获利润估计为ci 元，但投资总额不能超过B元。问应选择哪几个点可使年利润为 最大?
情况1：如将(x1=4.8，x2=0)凑整为(x1=5，x2=0)，这样就破 坏了条件②(关于体积的限制)，因而它不是可行解； 情况2：如将(x1=4.8，x2=0)舍去尾数0.8，变为(x1=4， x2=0)，这当然满足各约束条件，因而是可行解，但不是最优解， 因为当x1=4，x2=0, 时z=80；而当x1=4，x2=1(这也是可行解)时， z=90。
整数线性规划的一种特殊情形是0-1规划，即变量 的取值仅限于0或1。
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第七讲
整数规划
一、整数规划问题的提出
整数规划数学模型及其分类
现举例说明用单纯形法求得的解不能保证是整数最 优解。 例题：某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物，每箱 的体积、重量、可获利润以及托运所受限制如表5-1所 示。问两种货物各托运多少箱，可使获得利润为最大?
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1 X2 0 1 0 0
0 X3 -1/4 3/4 -3 -1/2
0 X4 1/4 1/4 -1 -1/2
0 X5 0 0 1 0
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第七讲
三、割平面法
整数规划
例题
最终单纯形表为：
Cj 1 1 0 0 0
CB
1 1 0
XB
X1 X2 X3
B-1b
1 1 1
X1
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第七讲
整数规划
四、0-1型整数规划
1、投资场所的选定——相互排斥的计划
解：先引入0-1变量xi (i=1,2，…，7)
1, 当Ai点被选用 令 xi i 1,2,,7 0, 当Ai点没有被选用
7
于是问题可列成： 目标函数： max z i ci xi 1
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第七讲
2、相互排斥的约束条件
整数规划
四、0-1型整数规划
如果有m个互相排斥的约束条件(≤型)： α i1x1+α i2x2+…+α inxn≤bi，i=1，2，…,m 为了保证这m个约束条件只有一个起作用，我们引入m个01变量yi(i=1,2,…，m)和一个充分大的常数M，且下面这一组 m+1个约束条件： α i1x１+α i2x2+…+α inxn≤bi+yiM i=1,2,…，m y1+y2+…+ym=m − 1 分析可知：m个yi中只有一个能取0值，设yi*=0，则就只有 i=i*这个约束条件起作用，而别的式子都是多余的。
1 0 0 0
X2
0 1 0 0
X3
0 0 1 0
X4
1/3 0 1/3 -1/3
X5
-1/12 1/4 -1/3 -1/6
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整数规划
四、0-1型整数规划
0-1型变量的引入
由于0-1型整数线性规划是整数线性规划中的特殊情形，它的 变量xi仅取值0或1。这时xi称为0-1变量，或称二进制变量。 xi仅 取值0或1这个条件可由下述约束条件所代替: xi≤1，xi≥0，整数
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第七讲
整数规划
一、整数规划问题的提出
整数规划数学模型及其分类
如果所有的变量都限制为(非负)整数，就称为纯整 数线性规划(pure integer linear programming)或称 为全整数线性规划(all integer linear programming) 如果仅一部分变量限制为整数，则称为混合整数 规划(mixed integer linear programming)。
在本章开始的例1中，关于运货的体积限制为： 5x1+4x2≤24 今设运货有车运和船运两种方式，上面的条件系用车运时 的限制条件，如用船运时关于体积的限制条件为： 7x1+3x2≤45 这两个条件是互相排斥的。为了统一在一个问题中，引入 0-1变量y，令： 1, 当采用船运方式 y 0, 当采用车运方式
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第七讲
三、割平面法
整数规划
例题
为了得到整数最优解。将上式变量的系数和常数项 都分解成整数和非负真分数两部分之和，即： 3 3 1 1 1 3 x1 x3 x3 x4 x1 x3 x4 4 4 4 4 4 4 3 3 1 3 1 7 x2 1 x3 x4 x2 x3 x4 4 4 4 4 4 4
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第七讲
2、相互排斥的约束条件
整数规划
四、0-1型整数规划
于是，原问题中体积约束条件可由下述两式来代替： 5x1+4x2≤24+yM ； 7x1+3x2≤45+(1 − y)M 其中M是充分大的数。 max z 20x1 10x2
5 x1 4 x2 24 yM 7 x1 3x2 45 (1 y ) M st2 x1 5 x2 13 x , x 0 1 2 x1 , x2为整数
xi
N
k
ik xk
Ni f i
f
k
ik xk
（3）根据变量的整数要求，可得：f i f ik xk 0
k
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三、割平面法
例题
max z x1 x2 x1 x2 1 3 x1 x2 4 st x1 , x2 0 x1 , x2 是整数
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第七讲
三、割平面法
整数规划
割平面法基本步骤 1、求整数问题所对应松弛问题的最优解； 2、构造切割方程；
（1）令xi是相应线性规划最优解中为分数值的一个基变量， x 由单纯形表的最终表得到： i aik xk bi ，其中i∈Q (Q指构成 k 基变量号码的集合)；k∈K (K指构成非基变量号码的集合) （2）将bi和α ik都分解成整数部分N与非负真分数f之和，即 bi=Ni+fi，其中0＜fi＜1；α ik=Nik+fik，其中0≤fik＜1 。即：
整数规划
一、整数规划问题的提出
整数规划数学模型及其分类
在前面讨论的线性规划问题中，有些最优解可能是分数 或小数，但对于某些问题，常要求解必须是整数(称为整数解)。 例如，所求解是机器的台数、完成工作的人数或装货的车数 等。 为满足整数解的要求，初看起来，似乎只要把已得到的 带有分数或小数的解经过“舍入化整”就可以了。但这常常 是不行的，因为化整后不见得是可行解；或虽是可行解，但 不一定是最优解。 因此，对求最优整数解的问题，有必要另行研究。我们 称这样的问题为整数线性规划(integer linear programming)，简 称ILP。
这样，可得：
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3 3 1 ( x3 x4 ) 0 4 4 4
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三、割平面法
整数规划
例题
3 3 1 相当于增加了一个约束条件：4 ( 4 x3 4 x4 ) 0
引入松弛变量x5，得到等式： 3x3 x4 x5 3
Cj CB 1 1 0 XB X1 X2 X5 B-1b 3/4 7/4 -3 1 X1 1 0 0 0
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第七讲
二、分枝定界解法
例题
整数规划
max z 40x1 90x2 9 x1 7 x2 56 7 x1 20x2 70 st x1 , x2 0 x1 , x2为整数
最优解x1=4.81，x2=1.82，z0=356
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第七讲
二、分枝定界解法
整数规划
在求解整数线性规划时，如果可行域是有界的，首 先容易想到的方法就是穷举所有可行的整数解，然后 比较它们的目标函数值，从而确定最优解。
对于规模较小的问题，变量个数很少，可行解的 组合数也较小时，这个方法是可行的，也是有效的。 但是，对于大型问题，可行的整数组合数会很大。
1/4 1/4
0
0
-1/2
-1/2
从最终计算表中，得到非整数的最优解： x1=3/4，x2=7/4，x3=x4=0，max z=5/2
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三、割平面法
整数规划
例题
由于目前得到的解不满足整数最优解要求，需要考 虑将带有分数的最优解的可行域中分数部分割去，再 求最优解。可从最终计算表中得到非整数变量对应的 关系式： 1 1 3 x1 x3 x4 4 4 4 3 1 7 x2 x3 x4 4 4 4
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2、相互排斥的约束条件
整数规划
四、0-1型整数规划
整数规划
先不考虑整数约束条件，求得相应的线性规划的最 优解为： x1=3/4，x2=7/4，max z=5/2
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三、割平面法
例题
cj→ CB XB B－1b
1 2
整数规划
3 2
2
5
4
3
x
1
x
x
x
4
1 1
x x
3/4 7/4
1 0
0 1
-1/4 3/4
例如在指派问题中，将n项任务指派n个人去完成，不同 的指派方案共有n!种，当n=10时，可能的指派方案数超过300 万；当n=20，超过2×1018。显然，穷举法是不可取的。
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二、分枝定界解法
整数规划
分枝定界法核心思想
考虑最大化整数线性规划问题A，与它相应的线性 规划记为问题B。我们从解问题B开始，若其最优解不 符合A的整数条件，那么B的最优目标函数必是A的最优 目标函数值z*的上界，记作 z ；而A的任意可行解的目 标函数值将是z*的一个下界 z 。分支定界法就是将B的 可行域分成子区域(称为分支)的方法，逐步减小 z 和增 大 z ，最终求到z*。
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例题
整数规划
一、整数规划问题的提出
容易求得相应的线性规划问题的最优解为： x1=4.8，x2=0，max z=96
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整数规划
例题
一、整数规划问题的提出
现在来分析上述线性规划问题的最优解是否是整数 规划问题的最优解？ 分析：因为x1表示的是托运甲种货物的箱数，目 前得到的最优解不是整数，是不是可以把所得的非整 数最优解经过“化整”就可得到整数最优解呢?
货物 甲 乙 托运限制
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体积 5 4 24
重量 2 5 13
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整数规划
一、整数规划问题的提出
例题 解：设x1，x2分别为甲、乙两种货物的托运箱数 (当然都是非负整数)，这就是一个(纯)整数线性规划问 题，用数学模型可表示为：
max z 20x1 10x2 5 x1 4 x2 24 2 x1 5 x2 13 st x1 , x2 0 x1 , x2 为整数
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二、分枝定界解法
解 题 过 程
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三、割平面法
整数规划
割平面法核心思想 首先不考虑变量xi是整数这一条件，仍然是用解线 性规划的方法去解整数线性规划问题。 若得到非整数的最优解，则增加能割去非整数解的 线性约束条件(或称为割平面)，使得由原可行域被切割 掉一部分，这部分只包含非整数解，但没有切割掉任 何整数可行解。 割平面方法就是指出怎样找到适当的割平面(不见 得一次就找到)，使切割后最终得到这样的可行域，它 的一个整数极点恰好是问题的最优解。
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一. 整数规划问题的提出
二. 分枝定界法
三. 割平面法 四. 0-1型整数规划 五. 指派问题与匈牙利法
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1、投资场所的选定——相互排斥的计划
例题：某公司拟在市东、西、南三区建立门市部，拟议中 有7个位置(点)Ai (i=1，2，…，7)可供选择。规定：在东区， 由A1，A2，A3三个点中至多选两个；在西区，由A4，A5两个点中 至少选一个；在南区，由A6，A7两个点中至少选一个。 如选用Ai点，设备投资估计为bi元，每年可获利润估计为ci 元，但投资总额不能超过B元。问应选择哪几个点可使年利润为 最大?
情况1：如将(x1=4.8，x2=0)凑整为(x1=5，x2=0)，这样就破 坏了条件②(关于体积的限制)，因而它不是可行解； 情况2：如将(x1=4.8，x2=0)舍去尾数0.8，变为(x1=4， x2=0)，这当然满足各约束条件，因而是可行解，但不是最优解， 因为当x1=4，x2=0, 时z=80；而当x1=4，x2=1(这也是可行解)时， z=90。
整数线性规划的一种特殊情形是0-1规划，即变量 的取值仅限于0或1。
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一、整数规划问题的提出
整数规划数学模型及其分类
现举例说明用单纯形法求得的解不能保证是整数最 优解。 例题：某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物，每箱 的体积、重量、可获利润以及托运所受限制如表5-1所 示。问两种货物各托运多少箱，可使获得利润为最大?
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1 X2 0 1 0 0
0 X3 -1/4 3/4 -3 -1/2
0 X4 1/4 1/4 -1 -1/2
0 X5 0 0 1 0
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三、割平面法
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例题
最终单纯形表为：
Cj 1 1 0 0 0
CB
1 1 0
XB
X1 X2 X3
B-1b
1 1 1
X1
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四、0-1型整数规划
1、投资场所的选定——相互排斥的计划
解：先引入0-1变量xi (i=1,2，…，7)
1, 当Ai点被选用 令 xi i 1,2,,7 0, 当Ai点没有被选用
7
于是问题可列成： 目标函数： max z i ci xi 1
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四、0-1型整数规划
如果有m个互相排斥的约束条件(≤型)： α i1x1+α i2x2+…+α inxn≤bi，i=1，2，…,m 为了保证这m个约束条件只有一个起作用，我们引入m个01变量yi(i=1,2,…，m)和一个充分大的常数M，且下面这一组 m+1个约束条件： α i1x１+α i2x2+…+α inxn≤bi+yiM i=1,2,…，m y1+y2+…+ym=m − 1 分析可知：m个yi中只有一个能取0值，设yi*=0，则就只有 i=i*这个约束条件起作用，而别的式子都是多余的。
1 0 0 0
X2
0 1 0 0
X3
0 0 1 0
X4
1/3 0 1/3 -1/3
X5
-1/12 1/4 -1/3 -1/6
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四、0-1型整数规划
0-1型变量的引入
由于0-1型整数线性规划是整数线性规划中的特殊情形，它的 变量xi仅取值0或1。这时xi称为0-1变量，或称二进制变量。 xi仅 取值0或1这个条件可由下述约束条件所代替: xi≤1，xi≥0，整数
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一、整数规划问题的提出
整数规划数学模型及其分类
如果所有的变量都限制为(非负)整数，就称为纯整 数线性规划(pure integer linear programming)或称 为全整数线性规划(all integer linear programming) 如果仅一部分变量限制为整数，则称为混合整数 规划(mixed integer linear programming)。
在本章开始的例1中，关于运货的体积限制为： 5x1+4x2≤24 今设运货有车运和船运两种方式，上面的条件系用车运时 的限制条件，如用船运时关于体积的限制条件为： 7x1+3x2≤45 这两个条件是互相排斥的。为了统一在一个问题中，引入 0-1变量y，令： 1, 当采用船运方式 y 0, 当采用车运方式
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三、割平面法
整数规划
例题
为了得到整数最优解。将上式变量的系数和常数项 都分解成整数和非负真分数两部分之和，即： 3 3 1 1 1 3 x1 x3 x3 x4 x1 x3 x4 4 4 4 4 4 4 3 3 1 3 1 7 x2 1 x3 x4 x2 x3 x4 4 4 4 4 4 4
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2、相互排斥的约束条件
整数规划
四、0-1型整数规划
于是，原问题中体积约束条件可由下述两式来代替： 5x1+4x2≤24+yM ； 7x1+3x2≤45+(1 − y)M 其中M是充分大的数。 max z 20x1 10x2
5 x1 4 x2 24 yM 7 x1 3x2 45 (1 y ) M st2 x1 5 x2 13 x , x 0 1 2 x1 , x2为整数
xi
N
k
ik xk
Ni f i
f
k
ik xk
（3）根据变量的整数要求，可得：f i f ik xk 0
k
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三、割平面法
例题
max z x1 x2 x1 x2 1 3 x1 x2 4 st x1 , x2 0 x1 , x2 是整数
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三、割平面法
整数规划
割平面法基本步骤 1、求整数问题所对应松弛问题的最优解； 2、构造切割方程；
（1）令xi是相应线性规划最优解中为分数值的一个基变量， x 由单纯形表的最终表得到： i aik xk bi ，其中i∈Q (Q指构成 k 基变量号码的集合)；k∈K (K指构成非基变量号码的集合) （2）将bi和α ik都分解成整数部分N与非负真分数f之和，即 bi=Ni+fi，其中0＜fi＜1；α ik=Nik+fik，其中0≤fik＜1 。即：
整数规划
一、整数规划问题的提出
整数规划数学模型及其分类
在前面讨论的线性规划问题中，有些最优解可能是分数 或小数，但对于某些问题，常要求解必须是整数(称为整数解)。 例如，所求解是机器的台数、完成工作的人数或装货的车数 等。 为满足整数解的要求，初看起来，似乎只要把已得到的 带有分数或小数的解经过“舍入化整”就可以了。但这常常 是不行的，因为化整后不见得是可行解；或虽是可行解，但 不一定是最优解。 因此，对求最优整数解的问题，有必要另行研究。我们 称这样的问题为整数线性规划(integer linear programming)，简 称ILP。
这样，可得：
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3 3 1 ( x3 x4 ) 0 4 4 4
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三、割平面法
整数规划
例题
3 3 1 相当于增加了一个约束条件：4 ( 4 x3 4 x4 ) 0
引入松弛变量x5，得到等式： 3x3 x4 x5 3
Cj CB 1 1 0 XB X1 X2 X5 B-1b 3/4 7/4 -3 1 X1 1 0 0 0
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第七讲
二、分枝定界解法
例题
整数规划
max z 40x1 90x2 9 x1 7 x2 56 7 x1 20x2 70 st x1 , x2 0 x1 , x2为整数
最优解x1=4.81，x2=1.82，z0=356
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8
第七讲
二、分枝定界解法
整数规划
在求解整数线性规划时，如果可行域是有界的，首 先容易想到的方法就是穷举所有可行的整数解，然后 比较它们的目标函数值，从而确定最优解。
对于规模较小的问题，变量个数很少，可行解的 组合数也较小时，这个方法是可行的，也是有效的。 但是，对于大型问题，可行的整数组合数会很大。
1/4 1/4
0
0
-1/2
-1/2
从最终计算表中，得到非整数的最优解： x1=3/4，x2=7/4，x3=x4=0，max z=5/2
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第七讲
三、割平面法
整数规划
例题
由于目前得到的解不满足整数最优解要求，需要考 虑将带有分数的最优解的可行域中分数部分割去，再 求最优解。可从最终计算表中得到非整数变量对应的 关系式： 1 1 3 x1 x3 x4 4 4 4 3 1 7 x2 x3 x4 4 4 4