电磁感应综合典型例题

2mgh 。

电阻为 R 的矩形线框 abcd ，边长 ab=L ，ad=h ，质量为 m ，自某一高度自由落下，
通过一匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，磁场区域的宽度为 h ，如图所示，若线框恰好以恒定速 度通过磁场，线框中产生的焦耳热是 _______．(不考虑空气阻力)
线框通过磁场的过程中，动能不变。

根据能的转化和守恒，重力对线框所做的功全部
转化为线框中感应电流的电能，最后又全部转化为焦耳热．所以，线框通过磁场过程中产生的焦耳 热为
Q=WG=mg —2h=2mgh ．
本题也可以直接从焦耳热公式 Q=I
2 Rt 进行推算：
设线框以恒定速度 v 通过磁场，运动时间
从线框的 cd 边进入磁场到 ab 边离开磁场的过程中，因切割磁感线产生的感应电流的大小为
cd 边进入磁场时的电流从 d 到c，cd 边离开磁场后的电流方向从 a 到 b．整个下落过程中磁场对感应电流产生的安培力方向始终向上，大小恒为
据匀速下落的条件，有
因线框通过磁场的时间，也就是线框中产生电流的时间，所以据焦耳定律，联立 ( l )、( 2 )、( 3 )
三式，即得线框中产生的焦耳热为
Q=2mgh ．
两种解法相比较，由于用能的转化和守恒的观点，只需从全过程考虑，不需涉及电流的产生等过程，计算更为简捷．
一个质量 m=0.016kg 、长 L=0.5m ，宽 d=0.1m 、电阻R=0.1Ω的矩形线圈，从离匀
强磁场上边缘高 h1 =5m 处由静止自由下落．进入磁场后，由于受到磁场力的作用，线圈恰能做匀速运动(设整个运动过程中线框保持平动)，测得线圈下边通过磁场的时间△ t=0.15s，取 g=10m/s2，求：
( 1 )匀强磁场的磁感强度 B；
( 2 ) 磁场区域的高度 h2 ；
( 3 )通过磁场过程中线框中产生的热量，并说明其转化过程．
线圈进入磁场后受到向上的磁场力，恰作匀速运动时必满足条件：磁场力 =重力．由此
可算出 B 并由运动学公式可算出 h2。

由于通过磁场时动能不变，线圈重力势能的减少完全转化为电能，最后以焦耳热形式放出．
线圈自由下落将进入磁场时的速度
( l )线圈的下边进入磁场后切割磁感线产生感应电流，其方向从左至右，使线圈受到向上的磁场力．匀速运动时应满足条件
( 2 )从线圈的下边进入磁场起至整个线圈进入磁场做匀速运动的时间
以后线圈改做 a=g 的匀加速运动，历时
所对应的位移
所以磁场区域的高度
( 3 ) 因为仅当线圈的下边在磁场中、线圈做匀速运动过程时线圈内才有感应电流，此时线圈的动能不变，由线圈下落过程中重力势能的减少转化为电能，最后以焦耳热的形式释放出来，所以线圈中产生的热量
这是力、热、电磁综合题，解题过程要分析清楚每个物理过程及该过程遵守的物理规
律，列方程求解。

如图，匀强磁场的磁感应强度为 B，方向竖直向下。

在磁场中有一个边长为 L 的正方形
刚性金属框。

ab 边质量为 m ，其他三边的质量不计。

金属框的总电阻为 R，cd 边上装有固定的水平轴。

现在将金属框从水平位置由静止释放。

不计一切摩擦。

金属框经 t 时间恰好通过竖直位置 a′
b′cd。

若在此 t 时间内，金属框中产生的焦耳热为 Q ，求 ab 边通过最低位置时受到的安培力。

本题线框释放后重力做功，同时 ab 边切割磁感线运动而产生感应电动势，因而线框中
有感应电流。

整个过程遵守能的转化与守恒定律。

由能量守恒，在 t 时间内 ab 杆重力势能的减少最后转化为它的动能和框中产生的焦耳
热，即
又考虑到
由①、②、③
电磁感应现象的实质问题是能量的转化与守恒问题，从这个思路出发列方程求解，有
时很方便。

用电阻为18Ω的均匀导线弯成图 1 中直径 D=0.80m 的封
定在磁感应强度 B=0.50T 的匀强磁场中，磁场方向垂直于纸面向里。

一根每米电阻为 1.25Ω的直导线 PQ ，沿圆环平面向左以3.0m/s 的速度匀速滑行(速度方向与 PQ 垂直)，滑行中直导线与圆环紧密接触(忽略接触处电阻)，当它通过环上 A、 B 位置时，求：
(l)直导线 AB 段产生的感应电动势，并指明该段直导线中电流的方向．
(2)此时圆环上发热损耗的电功率．
直导线在磁场中做切割磁感线的运动，产生感应电动势。

产生感应电动势的这部分电路是电源。

这部分电路端点的电压为路端电压。

根据电磁感应的规律可以确定感应电动势的大小和方向。

直导线与圆环组成闭合回路，其等效电路为图。

由几何关系，确定 AB 的长及 R1、 R2 电阻的大小。

圆环上发热损耗的功率即电源输出功率或外电阻上消耗的功率。

(1)设直导线 AB 段的长度为 l,圆环的直径为 D，直导线 AB 段产生的感应电动势为 E，则：根据题设几何关系， l=D/2=0.40m。

所以，电动势
运用右手定则可判定，直导线 AB 段中感应电流的方向由 A 向 B，B 端电势高于 A 端．
AB 段直导线电阻为电源内电阻 r，r=1.25×0.40=0.50Ω．
中电流之和)应为
设圆环上发热损耗的电功率为 P，则
P=I2 总R 外=0.202 ×2.5=0.10W ．
电磁感应现象常与其他现象一起出现，就形成许多综合题。

这些综合题常涉及到安培力、欧姆定律、电功率、牛顿定律、动量定理、动能定理、热和功等。

一道综合题出现许多物理现象，这些物理现象或者一先一后出现或者同时出现，互相制约。

解综合题时，在弄清题意后重要的是分析题目由哪些基本物理现象组成，再选用相应的规律，分析物理过程，建立解题方程求解。

固定在匀强磁场中的正方形导线框 abcd 各边长为 L，其中 ab 是一段电阻为 R 的均匀
电阻丝，其余三边均为电阻可以忽略的铜线，磁感应强度为 B，方向垂直纸面向里，现有一段与 ab 完全相同的电阻丝 PQ 架在导线框上(如图 l 所示)，以恒定的速度 v 从 ad 滑向 bc，当 PQ 滑过 L/3 的距离时，通过 aP 段电阻丝的电流强度是多大？方向？
PQ 在磁场中切割磁感线运动产生感应电动势，由于是回路，故电路中有感应电流，可
将电阻丝 PQ 视为有内阻的电源，电阻丝
电源电动势为ε=BvL ，外电阻为
这是电磁感应与电路结合的综合题，切割的导体产生感应电动势相当电源，画出等效
电路应用欧姆定律就可求解。

图 1 装置中 a、 b 是两根平行直导轨， MN 和 OP 是垂直跨在 a、 b 上并可左右滑动
的两根平行直导线，每根长为 L 导轨上接入阻值分别为 R 和 2R 的两个电阻和一个板长为 L'、间距为 d 的平行板电容器．整个装置放在磁感强度 B 垂直导轨平面的匀强磁场中．当用外力使 MN 以速率 2v 向右匀速滑动、 OP 以速率 v 向左匀速滑动时，两板间正好能平衡一个质量为 m 的带电微粒，试问
( 1 )微粒带何种电荷？电量是多少？
( 2 )外力的机械功率和电路中的电功率各是多少？
两导线向左、右移动时，切割磁感线，产生感应电动势，相当两个顺向串联的电池，
使得电容器两板分配到一定的电压，从而使其中的微粒悬浮。

(1)MN 右滑时，切割磁感线产生的感应电动势ε
=2Blv ，方向由 N 指向 M。

OP 左滑时产生的感应电动势
ε2 =Blv ，方向由 O 指向 P。

两者同时滑动时， MN 和 OP 可以看成两个顺向串联的电源，电路中总的电动势。

ε =ε 1 +ε2 =3Blv ，方向沿 NMOPN。

由全电路欧姆定律得电路中的电流强度
电容器两端的电压相当于把电阻 R 看作电源 NM 的内电阻时的路端电压，即
由于上板电势比下板高，故在两板间形成的匀强电场方向竖直向下，可见悬浮于两板间的微粒必带负电．
设微粒的电量为 q ，由平衡条件
( 2 ) NM 和 OP 两导线所受安培力均为
其方向都与它们的运动方向相反．匀速滑动时所加外力应满足条件
因此，外力做功的机械功率
电路中产生感应电流总的电功率
可见， P 外=P 电，这正是能的转化和守恒的必然结果。

这是电场、电路、磁场、电磁感应和力学知识的综合题，要学会综合运用知识去了解
分析问题和解决问题，通过练习提高综合运用知识的能力。

如图，在水平放置的无限长 U 形金属框架中，串一电容量为 C 的电容器，整个装置
处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度为 B。

电容器开始时带电量为 Q (正负情况如图所示)，现将一根长为 l，质量为 m 的金属棒 ab 搁置在框架上，金属棒 ab 与框架接触良好且无摩擦，求合上k 以后， ab 棒的最终速度及电容器最终还剩的电量．
k 合上后，电容器将放电，金属棒 ab 将在安培力作用下加速向右运动，随着电容器
电量减少及 ab 中的感应电动势增大，回路电流将减小，所以 ab 棒作加速度不断变小的加速运动，最终趋于匀速运运。

此时由于回路中无电流，必然有
很多人在解本题时往往认为电容器的带电将全部放完而导致错误，而事实上由于导体
棒在切割磁感线过程将产生感应电动势，电容器的带电将无法完全放掉。

如图 1 所示， U 形导体框架宽 L=1m ，与水平面成α=30°角倾斜放置在匀强磁场中，
磁感应强度 B=0.2T ，垂直框面向上．在框架上垂直框边放有一根质量 m=0.2kg 、有效电阻 R=0.1 Ω的导体棒 ab ，从静止起沿框架无摩擦下滑，设框架电阻不计，框边有足够长，取 g=10m/s2，求
( 1 ) ab 棒下滑的最大速度 v m；
( 2 ) 在最大速度时， ab 棒上释放的电功率。

ab 棒在重力分力 mgsinα作用下沿框面加速下滑，切割磁感线产生感应电动势，并
形成感应电流，其方向从 b 流向a．从而使 ab 棒受到磁场力 F B 作用，其方向沿框面向上，形成对下滑运动的阻碍作用．可表示为
可见， ab 棒下滑时做变加速运动，随着下滑速度 v 的增大，加速度逐渐减小，当 ab 棒下滑的速度增至某一值时， mgsinα=F B ，a=0 ，以后即保持该速度匀速下滑，所以 ab 棒匀速下滑的速度就是最大速度 v m。

此时重力的功率完全转化为电功率。

(1)根据上面的分析，由匀速运动的力平衡条件
本题指出的在恒力作用下使导线做切割磁感线运动时动态特性和能的转化过程．它具
有十分普遍的意义．如框面水平放置受恒定外力移动导线(图 2 )，框面竖直放置导线下滑(图 3 )，框面倾斜放置、磁场竖直向上时 ( 图 4 )，这几种情况下导线的动态特性和能的转化情况与上例相仿(假定导线的有效长度均为 l、电阻 R 恒定不变)：
在图 2 中，导线做匀速移动时满足条件
如图 1，边长为 L ，具有质量的刚性正方形导线框 abcd ，位于光滑水平面上，线框总
电阻为 R ．虚线表示一匀强磁场区域的边界，宽为 s(s>L) ，磁感应强度为 B ，方向竖直向下．线框 以 v 的初速度沿光滑水平面进入磁场，已知 ab 边刚进入磁场时通过导线框的电流强度为 I 0 ，试在 I —x 坐标上定性画出此后流过导线框的电流 i 随坐标位置 x 变化的图线。

要画出线框的电流 i 随 x 的变化图线，必须先分析线框在磁场中的受力情况、运动情
况，再由运动情况判断线框中电流的变化情况，最后才能做出图线．本题中线框进入磁场受安培力 作用而做减速运动，其运动情况和电流的变化规律可能有以下三种情况。

( 1 )线框还没有完全进入(或恰能完全进入)磁场时，速度就减小为零，此过程 v 减小， i 减小， F 减小，加速度 a 减小，使 v 减小，运动越来越慢，因而 i 减小的也越来越慢，图线斜率越来越小，最后 v 为零， i 为零．对应的图线如图 2 所示。

( 2 )线框不能完全通过(或恰能完全通过)磁场时，速度就减小为 0 ．在0→ L 段，电流的变化情况同 ( l ) 类似，只是在 L 处，电流由某一数值 I1 突变为 0；在 L→s 段，线框做匀速运动，无感应电流；在 s 点以后，线框做减速运动，直至 v 为零， i 为零．此过程电流变化规律同( 1 )类似，只是方向相反，大小由— I1 变为零．对应的图线如图 3 所示．
( 3 ) 线框能完全通过磁场，且速度不为零．在0─段，电流变化情况和图线同 ( 2 ) 类似；在 s →s+L 段，电流变化情况同(2)中的 s 以后段类似，只是在 s+L 处，电流由某一数值— I2 突变为 0；此后线框匀速运动，无感应电流．对应的图线如图 4 所示。

由以上的分析和讨论可以看出，电磁感应图象作图题，所涉及的不单是运动学、动力
学、电磁感应、欧姆定律等内容，而且涉及到应用数学知识处理物理问题的方法，就是数“理结合” 、“数形结合”。

如图所示，在直线 MN 右边的磁场方向垂直纸面向外，磁感强度 B=0.3T ，左边是
与它方向相反，磁感强度大小相等的磁场。

用一根电阻为 R=0.4Ω的导线制成一个半径为 r=0.1m，顶角为90°角的两个角交叉的闭合回路 ABCDA。

回路在磁场中以 MN 上的一点 O 为轴，以角速度ω=200rad/s 顺时针方向转动。

求：若以 OA 边恰在 OM 位置开始计时，回路转过 1/4 周期的时间内，感应电流多大？方向如何？
本题闭合导线构成相互垂直的两个直角扇形，在匀强磁场中匀速转动，由于 MN 两
侧磁场方向相反，旋转过程中，穿过回路所围面积的磁通量要发生变化，因此产生感应电动势和感应电流，可用法拉第电磁感应定律和楞次定律求解，也可用ε =Blv 和右手定则求解。

从 OA 边恰在 OM 位置开始的 1/4 周期内，闭合回路 ABCDA 的 AO、 OD、 OC 、
OB 导体均切割磁感线产生的电动势均正向串联，回路中的感应电流方向为 ADCBA ，其大小：
( 1 )本题对闭合回路用也可求得，因为是匀速运动，即时电动势和平均电动势相等。

( 2 )电磁感应问题往往跟电路问题联系在一起，解决这类问题，一要考虑电磁感应的有关规律，如右手定则，楞次定律，法拉第电磁感应定律等；二要考虑电路中的有关规律，如串、并联电路的性质、欧姆定律等。

如图 1，平行光滑导轨 MNPQ 相距 L，电阻可忽略，其水平部分置于磁感应强度为
B 的竖直向上的匀强磁场中，导线 a 和 b 质量均为 m，a、 b 相距足够远， b 放在水平导轨上， a 从斜轨上高 h 处自由滑下，求回路中产生的最大焦耳热。

导线 a 从斜轨上加速下滑，进入水平部分后，由于切割磁感线，回路中将产生感应电
流，由左手定则得出 a 将作减速运动， b 作加速运动，随着时间推移， a 与 b 的速度也将减小，最终都将趋于匀速，而且此时回路中感应电流也应为零(否则 a 与 b 受力不平衡) a 与 b 的速度关系应满足
对 a、 b 导线在水平导轨上运动过程，由于 a、 b 各自受到的安培力大小相等，方向相反，所以a 与 b 系统动量守恒，即
mv a =(m+m)v′ ③
所以回路中产生的最大聂耳热：
本题除了应分析导线 a 与 b 都存在收尾速度外，还应知道最终它们收尾速度的关系，
以及它们在运动过程中应满足的动量关系和能量关系。

将上题中光滑导轨变成如图 2 形式，即在 PQ 后面增加一段
速度。

利用上题结论不难得出 a、 b 导线最终都将趋于匀速运动，此时回路中感应电流也应为零，根据回路中磁通量不变得
设导线 a 进入水平轨道后，a 与 b 所受平均安培力分别 F a 和 F b (导线 a 中电流与 b 中电流产生的磁场之间的相互作用可忽略)，由 F 安=BIL 得
F a =2F b ②
对 a 导线 -F a t=mv a-mv a ③
对 b 导线 F b t=mv b ④
由①、②、③、④可解得
本题与上题的区别不仅在于收“尾”时两导线速度不等，更在于在水平导轨上滑行过
程中 a 与 b 系统动量不守恒，很多同学在寻找动量关系时感到难于下手或仍错误地认为动量守恒而无法得出正确结论。