2020年郑州市名校数学高二(下)期末考试试题含解析

2020年郑州市名校数学高二(下)期末考试试题
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．下列说法中，正确说法的个数是（ ）
①在用22⨯列联表分析两个分类变量A 与B 之间的关系时，随机变量2K 的观测值k 越大，说明“A 与B 有关系”的可信度越大
②以模型kx
y ce =去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设ln z y =，将其变换后得到线性方程
0.34z x =+，则,c k 的值分别是4e 和0. 3
③已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为y a bx =+，若2b =，1,3x y ==，则1a = A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
【答案】D 【解析】 【分析】
①分类变量A 与B 的随机变量2K 越大,说明“A 与B 有关系”的可信度越大 ②对kx
y ce =同取对数，再进行化简，可进行判断
③根据线性回归方程y a bx =+，将2b =，1,3x y ==代入可求出a 值 【详解】
对于①,分类变量A 与B 的随机变量2K 越大,说明“A 与B 有关系”的可信度越大,正确;
对于②,kx
y ce =Q ,∴两边取对数,可得(
)ln ln ln ln ln kx
kx
y ce
c e
c kx ==+=+,
令ln z y =,可得ln ,0.34,ln 4,0.3z c kx z x c k =+=+∴==Q , 4c e ∴=.即②正确; 对于③,根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程为y a bx =+中,2,1b x ==,3y =,则1a =.故 ③正确 因此，本题正确答案是:①②③ 答案选D 【点睛】
二联表中2K 越大，说明“A 与B 有关系”的可信度越大；将变量转化成一般线性方程时，可根据系数对应关系对号入座进行求解；线性回归方程的求解可根据,,b x y ,代入y a bx =+求出a 值
2．如图，某城市中，M 、N 两地有整齐的道路网，若规定只能向东或向北两个方向沿途中路线前进，则从M 到N 不同的走法共有（ ）
A ．10
B ．13
C ．15
D ．25
【答案】C 【解析】 【分析】
向北走的路有5条，向东走的路有3条，走路时向北走的路有5种结果，向东走的路有3种结果，根据分步计数原理计算得出答案 【详解】
因为只能向东或向北两个方向
向北走的路有5条，向东走的路有3条
走路时向北走的路有5种结果，向东走的路有3种结果 根据分步计数原理知共有3515⨯=种结果，选C 【点睛】
本题考查分步计数原理，本题的关键是把实际问题转化成数学问题，看出完成一件事共有两个环节，每一步各有几种方法，属于基础题． 3．已知i 是虚数单位，21i =-，则计算21i
i
+的结果是（） A ．1i + B ．1i -+
C ．1i -
D ．1i --
【答案】A 【解析】 【分析】
根据虚数单位i 的运算性质，直接利用复数代数形式的除法运算化简求值． 【详解】 解：21i =-Q ，
22(1)2211(1)(1)2
i i i i i i i i -+∴
===+++-， 故选A ． 【点睛】
本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题． 4．已知i 为虚数单位，复数2
1i
z =-+，则复数z 的虚部为 A ．1
B ．1-
C ．i -
D ．i
【解析】 由题意得22(1)
11(1)(1)
i z i i i i --=
==---+-+--， 所以复数z 的虚部为1-．选B ．
5．已知函数21()()x
f x a e x
=+在(2,)+∞有极大值点，则a 的取值范围为（ ） A ．1(,)2
-+∞ B ．13(,)28
--
C ．3(,0)8
-
D ．1(,0)4
-
【答案】C 【解析】 分析：令()'
0f
x =，得22210ax x +-=，()2,x ∈+∞，整理得2112a x x
=
-，问题转化为求函数2
112a x x =
-在()2,+∞山过的值域问题，令1t x =，则10,2t ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
即可. 详解：令()'
0f x =，得22210ax x +-=，()2,x ∈+∞，整理得211
2a x x
=
-， 令1t x =
，则10,2t ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，则22a t t =- 令()212g t t t =-，则()g t 在10,2⎛⎫
⎪⎝⎭
单调递减，
∴()3,08g t ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，∴3,08a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭
，经检验，满足题意． 故选C ．
点睛：本题主要考查导数的综合应用极值和导数的关系，要求熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值、把问题等价转化等是解题的关键．综合性较强，难度较大． 6．若两个正实数,x y 满足21
1x y
+=,且222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()[),24,-∞-+∞U B ．()[),42,-∞-+∞U
C ．()2,4-
D ．()4,2-
【答案】D 【解析】 【分析】
将代数式21
x y
+与2x y +相乘，展开后利用基本不等式求出2x y +的最小值，然后解不等式
()2min 22m m x y +<+，可得出实数m 的取值范围．
由基本不等式得(
)21422448y x x y x y x y x y
⎛⎫+=++=++≥=
⎪⎝⎭，
当且仅当4y x
x y
=，由于0x >，0y >，即当2x y =时，等号成立， 所以，2x y +的最小值为8，由题意可得228m m +<，即2280m m +-<， 解得42m -<<，因此，实数m 的取值范围是()4,2-，故选D. 【点睛】
本题考查不等式恒成立问题，考查利用基本不等式求最值，对于不等式成立的问题，需要结合量词来决定所选择的最值，考查计算能力，属于中等题． 7．在10
1()2x x
-的展开式中，4x 的系数为( ) A ．-120 B ．120
C ．-15
D ．15
【答案】C 【解析】 【分析】 写出101()2x x -展开式的通项公式1021101()2
r r r r T C x -+=-，令1024r -=，即3r =，则可求系数． 【详解】
101()2x x -
的展开式的通项公式为101021101011()()22
r r r r r r r T C x C x x --+=-=-，令1024r -=，即3r =时，系数为3
3101()152C -=-．故选C
【点睛】
本题考查二项式展开的通项公式，属基础题．
8．若函数*12*log (1),()3,x x x N f x x N
⎧+∈⎪
=⎨⎪∉⎩，则((0))f f =( ) A ．0 B ．-1 C ．
13
D ．1
【答案】B 【解析】 【分析】
根据分段函数的解析式代入自变量即可求出函数值. 【详解】
因为0N *∉,所以0
(0)3=1f =，((0))(1)f f f =，
因为1N *∈，所以(1)=1f -，故((0))1f f =-，故选B. 【点睛】
本题主要考查了分段函数，属于中档题.
9．假设如图所示的三角形数表的第n 行的第二个数为(
)*
2,n a n n N
≥∈，则70
a
=（ ）
A ．2046
B ．2416
C ．2347
D ．2486
【答案】B 【解析】 【分析】
由三角形数表特点可得()12n n a a n n +=+≥，利用累加法可求得n a ，进而得到结果. 【详解】
由三角形数表可知：()12n n a a n n +=+≥，22a =，
∴()113n n a a n n --=-≥，…，322a a -=，
()()()
()()232121223122
n n n n n a a a a a a n --+∴=+-+⋅⋅⋅+-=+++⋅⋅⋅+-=+
， 整理得：()2111322n a n n n =-+≥，则27011
70701241622
a =⨯-⨯+=. 故选：B . 【点睛】
本题考查数列中的项的求解问题，关键是能够采用累加法准确求得数列的通项公式. 10．把10个苹果分成三堆，要求每堆至少1个，至多5个，则不同的分法共有（ ） A ．4种 B ．5种
C ．6种
D ．7种
【答案】A 【解析】
试题分析：分类：三堆中“最多”的一堆为5个，其他两堆总和为5，每堆最至少1个，只有2种分法． 三堆中“最多”的一堆为4个，其他两堆总和为6，每堆最至少1个，只有2种分法． 三堆中“最多”的一堆为3个，那是不可能的． 考点：本题主要考查分类计数原理的应用．
点评：本解法从“最多”的一堆分情况考虑开始，分别计算不同分法，然后求和．用列举法也可以，形象、
11．中国古代数学名著《九章算术•商功》中记载了一种名为“堑堵”的几何体：“邪解立方得二堑堵邪解堑堵”錾堵是一个长方体沿不在同一表面上的相对两棱斜截所得的立体图形其正视图和俯视图（直角三角形）如图所示，则该“堑堵”的外接球的大圆面积为（ ）
A ．27π
B ．
117
4
π C ．
489
16
π D ．
519
16
π 【答案】B 【解析】 【分析】
首先根据题意得到“堑堵”是半个长方体的直三棱柱，再求其外接球的大圆面积即可. 【详解】
由题知：“堑堵”是半个长方体的直三棱柱111ABC A B C -，如图所示：
设外接球大圆的半径为R ，222
(2)(63)6117R =++=.
117
2
R =
，所以外接球的大圆面积为1174π. 故选：B 【点睛】
本题主要考查三棱柱的外接球，同时考查三视图的直观图，属于中档题. 12．定义在R 上的函数1
()()12
x m
f x -=-为偶函数，记0.52(lo
g 2),(log 1.5)a f b f ==，()c f m =，则
（ ） A ．c a b << B ．a c b << C ．a b c <<
D ．c b a <<
【解析】
分析：根据f （x ）为偶函数便可求出m=0，从而f （x ）=1()12
x
-，这样便知道f （x ）在[0，+∞）上单调递减，根据f （x ）为偶函数，便可将自变量的值变到区间[0，+∞）上：0.5(|log 2|)a f =，()2log 1.5b f =，
()0c f =，然后再比较自变量的值，根据f （x ）在[0，+∞）上的单调性即可比较出a ，b ，c 的大小．
详解：∵f （x ）为偶函数，∴f （﹣x ）=f （x ）.
∴11()
1()12
2
x m
x m
----=-，∴|﹣x ﹣m|=|x ﹣m|，
∴（﹣x ﹣m ）2=（x ﹣m ）2， ∴mx=0， ∴m=0. ∴f （x ）=1()12
x
-
∴f （x ）在[0，+∞）上单调递减，并且0.5(|log 2|)a f ==2(log 2)(1)f f =,()2
log 1.5b f = ,c=f （0）,
∵0＜log 21.5＜1 ∴a b c <<,故答案为C
点睛：（1）本题主要考查函数的奇偶性和单调性，考查对数函数的性质，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力. (2)解答本题的关键是分析出函数f （x ）=1
()12
x
-的单调性，此处利用了复合函
数的单调性，当x>0时，u x =是增函数，1
()2u v =是减函数，1t v =-是增函数，
所以函数1()()12
x
f x =-是(0,)+∞上的减函数.
二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）
13．设圆锥的高是1，母线长是2，用过圆锥的顶点的平面去截圆锥，则截面积的最大值为_______. 【答案】1 【解析】 【分析】
求出圆锥的底面半径，假设截面与圆锥底面交于,CD CD a =，用a 表示出截面三角形的高，得出截面三角形的面积关于a 的表达式，利用基本不等式求出面积的最大值． 【详解】
解：∵圆锥的高是1，母线长是2，
∴底面半径r =
=
设过圆锥顶点的平面SCD 与圆锥底面交于CD ，过底面中心O 作OA ⊥CD 于E ，
设CD a =，则22
2
3,(023)44
a a OE r a =-=-<≤，
2
2
2
44
a SE OE OS ∴=+=-
∴截面SCD 的面积2
114224
a S CD SE a =⨯=-=
2242442
4
a a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 故答案为：1． 【点睛】
本题考查了圆锥的结构特征，基本不等式的应用，属于中档题． 14．已知i 为虚数单位，则复数(1)(3)i i -+=_______. 【答案】42i - 【解析】 【分析】
由复数乘法法则即可计算出结果 【详解】
(1)(3)i i -+()23(13)42i i i =-+-=-.
【点睛】
本题考查了复数的乘法计算，只需按照计算法则即可得到结果，较为简单 15．已知直线3x+4y ﹣3=0与6x+my+14=0相互平行，则它们之间的距离是_____． 【答案】2 【解析】 【分析】
由两直线平行，可先求出参数m 的值，再由两平行线间距离公式即可求出结果. 【详解】
因为直线3430x y +-=，6140x my ++=平行，所以3460m -⨯=，解得8m =， 所以6140x my ++=即是3470x y ++=， 由两条平行线间的距离公式可得2
2
73d 234
+=
=+.
故答案为2 【点睛】
本题主要考查两条平行线间的距离，熟记公式即可求解，属于基础题型. 16．若不等式
32
1032
a a x x -+<有且只有1个正整数解，则实数a 的取值范围是______. 【答案】()6,+∞ 【解析】 【分析】 令()32132
a a f x x x =
-+（0x >），求出()()21f x ax ax ax x '=-=-，由导数研究函数()f x 的单调性，可得唯一的正整数解是什么，从而得出a 的范围． 【详解】 令()32132
a a f x x x =
-+（0x >），则()()21f x ax ax ax x '=-=-. 当0a <时，由()0f x '>得01x <<；由()0f x '<得1x >； 所以()f x 在()0,1单调递增，在()1,+∞单调递减，不合题意，舍去； 当0a =时，有10<，显然不成立；
当0a >时，由()0f x '>得1x >；由()0f x '<得01x <<； 所以()f x 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增，
依题意，需()()110,32
84210,
32a a f a a f ⎧=-+<⎪⎪⎨⎪=-+≥⎪⎩
解得6a >，
故实数a 的取值范围是()6,+∞. 【点睛】
本题考查不等式的正整数解，实质考查用导数研究函数的单调性．掌握用导数研究函数单调性的方法是解题关键．
三、解答题（本题包括6个小题，共70分）
17．己知数列{}{},n n a b 的首项均为1,各项均为正数，对任意的不小于2的正整数n ，总有
2211n n n n a a a a ---=+，2
11n n n b b b +-=成立，2
2b = （1）求数列{}{},n n a b 的通项公式；
（2）设数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，求所有使得等式2 S 36=T m m l a +-成立的正整数m , l 的值.
【答案】（1）n a n =，12n n b -=；（2）9m =，6l =.
【解析】 【分析】
(1)通过因式分解可判断{}n a 为等差数列，于是可得通项，通过等比中项性质可知{}n b 为等比数列，于是可求通项；
（2）计算出前n 项和，化简式子，通过分解因式找出因子，然后利用正整数解可求得9m =，6l =. 【详解】
(1)由于 22
11n n n n a a a a ---=+，整理得()()111n n n n n n a a a a a a ---+-=+，而10n n a a -+≠，故11n n a a --=，所以{}n a 为等差数列，所以n a n =；由于2
11n n n b b b +-=，可知{}n b 为等比数列，121,2b b ==，所以
12n n b -=；
（2）由（1）可得(1)2n n n S +=，122112
n
n n T -==--，所以2 S +a -36=T m m l 转化为
(+1+3621l m m m -=-），整理即(5)(+72l m m -=），要m , l 都为正整数，则(5)(+7m m -，）都分别是
2的倍数，且(+7)(5)12m m --=，故2的幂指数中，只有4与16相差12，故(5)4m -=，故9m =，此时6l =. 【点睛】
本题主要考查等差数列与等比数列的通项公式，前n 项和的计算，意在考查学生的转化能力，分析能力，计算能力，难度中等.
18．如图，在三棱锥V ABC -中，AB AC =，D 为BC 的中点，VO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上，E 为VBC ∆的重心，已知6BC =，3VO =，1OD =，2AO =.
（1）证明：//OE 平面VAC ；
（2）求异面直线AC 与OE 所成角的余弦值；
（3）设点M 在线段VA 上，使得VM VA λ=，试确定λ的值，使得二面角A MB C --为直二面角. 【答案】（1）证明见解析；（2）26
13
；（3）713.
【解析】 【分析】
（1）方法一：由重心的性质得出13DE VD =，再由1
OD AD 3
=，结合相似三角形的性质得出//OE VA ，再利用直线与平面平行的判定定理得出//OE 平面VAC ；
方法二：以O 为原点，以射线OV 为z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系O xyz -，利用重心的坐标公式计算出点E 的坐标，可计算出3VA OE =uu r uu u r
，可证明出//OE VA ，再利用直线与平面平行的判定定理得出
//OE 平面VAC ；
（2）计算出OE uuu r 和AC u u u r
，利用向量的坐标运算计算出cos ,OE AC uu u r uuu r ，即可得出异面直线OE 与AC 所成
角的余弦值；
（3）由VM VA λ=uuu r uu r ，得出BM BV VA λ=+uuu r uu u r uu r ，可求出BM u u u u r
的坐标，然后可计算出平面VAB （即平面ABM ）
的一个法向量1n u r 和平面BCM 的一个法向量2n u u r
，由题意得出120n n ⋅=u r u u r ，结合空间向量数量积的坐标运算
可求出实数λ的值. 【详解】
（1）方法一：如图，连接OE ，因为E 是VBC ∆的重心，D 是BC 的中点，
即13DE DV =
，1OD =Q ，2AO =，1
3
DO AD ∴=， 所以，//OE VA ，又因为VA ⊂平面VAC ，OE ⊄平面VAC ，//OE ∴平面VAC ； 方法二：以O 为原点，以射线OV 为z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系O xyz -， 则()0,0,0O
、()0,2,0A -、()3,1,0B 、()3,1,0C -、()0,0,3V 、()0,1,0D ，
E Q 是VBC ∆的重心，则点E 的坐标为20,,13⎛⎫
⎪⎝⎭
，
()0,2,3VA =--uu r Q ，3VA OE ∴=uu r uu u r
，即//OE VA ，
又因为VA ⊂平面VAC ，OE ⊄平面VAC ，//OE ∴平面VAC ；
（2）20,,13OE ⎛⎫= ⎪⎝⎭uu u r Q ，()3,3,0AC =-uu u r ，26cos ,1332
3
OE AC OE AC OE AC ⋅==⋅⨯uu u r uuu r
uu u r uuu r uu u r uuu r
， 所以异面直线OE 与AC 所成角的余弦值
2613
； （3）VM VA λ=uuu r uu r
Q ，01λ≤≤，()0,2,3VA =--uu r ， ()()0,2,30,2,3VM VA λλλλ∴==--=--uuu r uu r
，
()()()3,1,30,2,33,21,33BM BV VM BV VA λλλλλ∴=+=+=--+--=----uuu r uu u r uuu r uu u r uu r
，
()0,2,3AV =uuu r ，()6,0,0BC =-uu u r ，()3,3,0AB =uu u r
，
设平面ABV 的法向量为()1111,,n x y z =u r ，平面BCM 的法向量为()2222,,n x y z =u u r
，
由1100AB n AV n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u v u v u u u v u v ，得1111230330y z x z +=⎧⎨+=⎩，即11
11
32y z x z ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，令12z =-，可得12x =，13y =，
所以，平面ABV 的一个法向量为()12,3,2n =-u r
，
由2200BM n BC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u v u u v u u u v u u v ，得()()222232133060x y z x λλ⎧--++-=⎨-=⎩，得22203321x y z λλ=⎧⎪-⎨=⎪+⎩
，
取221z λ=+，则20x =，233y λ=-，
所以，平面BCM 的一个法向量为()20,33,21n λλ=-+u u r
，
由于二面角A MB C --为直二面角，所以，12n n ⊥u r u u r
，
则()()12203332217130n n λλλ⋅=⨯+⨯--⨯+=-=u r u u r ，解得713
λ=，合乎题意.
【点睛】
本题考查直线与平面平行的判定、异面直线所成角的计算以及空间的动点问题，一般是通过建立空间直角坐标系，利用空间向量法进行转化，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题. 19．已知
且
，求
，
，
的值．
【答案】，，.
【解析】 【分析】
先利用同角三角函数的基本关系计算出
的值，并计算出的取值范围，然后利用半角公式计算出
和
的值，再利用同角三角函数的商数关系计算出的值.
【详解】
，
，
.
又，，
，.
【点睛】
本题考查利用半角公式求值，同时也考查了利用同角三角函数的基本关系，在利用同角三角函数的基本关系时，要考查角的范围，确定所求三角函数值的符号，再结合相关公式进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.
20．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2，113
A D =.
（1）求该四棱柱的侧面积与体积；
（2）若E 为线段1A D 的中点，求BE 与平面ABCD 所成角的大小. 【答案】（1）(222323)232S =⨯+⨯+⨯⨯=，
22312V =⨯⨯=
（2）EBF ∠= 【解析】
试题分析：⑴根据题意可得：在1Rt AA D ∆中，高13AA ==
∴(222323)232S =⨯+⨯+⨯⨯=
22312V =⨯⨯=
⑵过E 作EF AD ⊥，垂足为F ，连结BF ，则EF ⊥平面ABCD ， ∵BE ⊂平面ABCD ，∴EF BF ⊥
∴在Rt BEF ∆中，EBF ∠就是BE 与平面ABCD 所成的角 ∵1,EF AD AA AD ⊥⊥，∴1EF AA P ， 又E 是1A D 的中点，∴EF 是1AA D ∆的中位线， ∴11322
EF AA =
=
在Rt AFB ∆中BF =
∴3
tan 2EBF ∠=
÷=
∴EBF ∠= 考点：线面角，棱柱的体积
点评：解决的关键是对于几何体体积公式以及空间中线面角的求解的表示，属于基础题． 21．已知函数()()
4log 41x
f x kx =++，()k R ∈是偶函数.
（1）求k 的值;
（2）解不等式()1f x ≥.
【答案】（1）1
2
k =-（2）((
{
}
22|log 2log 2x x x ≤≥或 【解析】 【分析】
（1）由函数()f x 是偶函数，可知()()f x f x =-，根据对数的运算，即可求解；
（2）由题()1f x ≥，根据对数的运算性质，得44210x x -⨯+≥，令20x t =>，转化为2410t t -+≥，利用一元二次不等式的解法和指数与对数的运算，即可求解． 【详解】
（1）由函数()f x 是偶函数，可知()()f x f x =-， 所以(
)(
)44log 41log 4
1x
x
kx kx -+==+-恒成立，
化简得4log 42x
kx =-，即2x kx =-，解得12
k =-
． （2）由题()1f x ≥，即()
41
log 4112
x
x +-
≥，整理得44210x x -⨯+≥， 令20x t =>得2410t t -+≥，
解得02t <≤-2t ≥+
从而22x ≤-或22x ≥，解得(2log 2x ≤或(2log 2x ≥，
原不等式解集为((
{
}22|log 2log 2x x x ≤≥或.
【点睛】
本题主要考查了函数的奇偶性的应用，指数函数、对数函数的运算性质，以及一元二次不等式的解法的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
22．阿基米德是古希腊伟大的哲学家、数学家、物理学家，对几何学、力学等学科作出过卓越贡献.为调查中学生对这一伟大科学家的了解程度，某调查小组随机抽取了某市的100名高中生，请他们列举阿基米德的成就，把能列举阿基米德成就不少于3项的称为“比较了解”，少于三项的称为“不太了解”.他们的调查结果如下：
（1）完成如下22⨯列联表，并判断是否有99%的把握认为，了解阿基米德与选择文理科有关？
（2）在抽取的100名高中生中，按照文理科采用分层抽样的方法抽取10人的样本. （i ）求抽取的文科生和理科生的人数；
（ii ）从10人的样本中随机抽取3人，用X 表示这3人中文科生的人数，求X 的分布列和数学期望. 参考数据：
2
2
()()()()()
n ad bc k a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.
【答案】 (1)见解析；(2) （i ）文科生3人，理科生7人 （ii ）见解析 【解析】 【分析】
（1）写出列联表后可计算2K ，根据预测值表可得没有99%的把握认为，了解阿基米德与选择文理科有关.
（2）（i ）文科生与理科生的比为
3
10
，据此可计算出文科生和理科生的人数. （ii ）利用超几何分布可计算X 的分布列及其数学期望. 【详解】
解：（1）依题意填写列联表如下：
计算22
2
()100(42182812) 3.382 6.635()()()()30705446
n ad bc K a b c d a c b d -⨯-⨯=
=≈<++++⨯⨯⨯， ∴没有99%的把握认为，了解阿基米德与选择文理科有关.
（2）（i ）抽取的文科生人数是30103100⨯
=（人），理科生人数是70
107100
⨯=（人）. （ii ）X 的可能取值为0,1,2,3，
则0
337
3
10C C 7(0)C 24
P X ===g ，
12
37310C C 21(1)C 40P X ===g ， 17213307
(2)40
C C P X C ===g ，
3037
3
10C C 1(3)C 120
P X ===g . 其分布列为
所以()01232440401204010
E X =⨯+⨯+⨯+⨯==. 【点睛】
本题考查独立性检验、分层抽样及超几何分布，注意在计算离散型随机变量的概率时，注意利用常见的概率分布列来简化计算（如二项分布、超几何分布等）．。