期末考试详细参考答案

参考答案：
1．B
【分析】首先根据递推公式，求数列中的项，并得到数列的周期，再求2021a 的值.
【详解】由题可知，132112,113
n n a a a a +===−−，得214111,3,32213
a a a a =−====−，∴数列{}n a 是以3为周期的周期数列，∴20212367321
2a a a +×===−.
故选：B. 2．A 【解析】 【分析】
本题主要考查直线的斜率与倾斜角之间的转化关系、三角函数的性质，考查直线的一般式方程，属于中档题.
由直线的方程得到直线的斜率的表达式，结合三角函数的性质得到斜率的取值范围，再根据斜率与倾斜角的关系，进一步可以得到倾斜角的取值范围. 【解答】
解：设直线的倾斜角为θ，
则tan θ=，
又1cos 1a −剟，
所以tan θ 又0θπ<…， 所以
故选A 3．D
4．解：根据题意，设等比数列{}n a 的公比为q ， 若314S =，663
4
S =，则1q ≠，
则有616363
313(1)1911(1)181a q S q q q a q S q q −−−===+=−−−，解可得12
q =， 又由314S =，即312317
144
S a a a a =++==，解可得18a =，
则45111
8162
a a q ==×=， 故选：B ． 5．C
【分析】通过抛物线焦点坐标及点斜式即可求解出直线AB 的方程，代入C 的方程，设
()()1122,,,A x y B x y ，根据根与系数关系即可得出1212,x x x x +与p 的关系，通过抛物线上的点
到焦点的距离与该点到抛物线准线距离相等可知12,22
p p FA x FB x =+=+，代入3FA FB ⋅=即可转化为关于p 的二元一次方程，即可求解.
【详解】由题意知,0,2p F AB
的方程为
)2p y x =−，代入C 的方程，得22
33504
p x px −+=，
设()()1122,,,A x y B x y ，则2
1212
5,34
p p x x x x +==； 因为12,22p p
FA x FB x =
+=+，且3FA FB ⋅=， 所以12322p p x x  ++=  
()121232
p x x x x ++=， 所以22
534234
p p p p +⋅+=，结合0p >，解得32p =.
故选：C 6．B
【分析】由图上易知，当P 不动时，,PM PN 为两切线角最大，再将MPN ∠的最值问题转化为PC 的最值问题可求.
【详解】
如图，,PA PB 为两切线，P 为直线3440x y +−=
上一个点， 所以MPN APB ∠∠≤当,PM PN 为两切线是取等号；
又2APB APC ∠=
∠，故只需求()max sin APC ∠， 1
sin AC APC PC PC ∠=
=,又(
)min 2PC d =， ()max 1ππ
sin ,,.263
APC APC APB ∠=
∴∠=∴∠= 故选：B 7．B
【分析】根据新定义“δ和”，通过数形结合判断（1）正确，通过研究函数最值对选项（2）（3）（4）逐一判断即可.
【解析】（1）当1x y +=
时，点(,)P x y 的轨迹如图，其面积为2，正确；
（2）P 是直线240x y −−=
上的一点，24y x ∴−， 24x y x x ∴+=+−43,0,
4,02,34,2,x x x x x x −≤
=−<< −≥
可知，0x ≤，02x <<时递减，2x ≥时递增，
故x y +的最小值在2x =时取得，min ()2x y +=
，正确；
（3）同（2），x y x ax b +=++，可知当1a =±时，都满足，“δ和”最小的点有无数
个，故错误；
（4）可设椭圆参数方程为cos ,
,
x y θθ=
=
cos x y θ∴+
=，
，正确. 故选：B. 8．C
【详解】试题分析：当为奇数时，，，由已知，所以，
即，因为恒成立所以，所以，当为偶数时，
，，由已知，所以，所以的最小值是当时，
，所以
，所以．
考点：数列的函数性质 9．ABD
【分析】采用列举法，结合古典概型概率公式可知AB 正确；根据互斥事件和独立事件的定义可知CD 正误.
【详解】对于AB ，抛掷两枚质地均匀的硬币，所有基本事件有{正，正}，{正，反}，{反，正}，{反，反}，其中满足事件A 的有{正，正}，{正，反}两种情况，事件A 和事件B 同时发生的情况有且仅有{正，正}一种情况，
()2142
P A ∴==，()1
4P AB =，A 正确，B 正确；
事件A 与事件B 可以同时发生，∴事件A 与事件B 不互斥，C 错误； 事件A 的发生不影响事件B 的发生，∴事件A 与事件B 相互独立，D 正确.
故选：ABD. 10．ABD
【解析】根据题意，结合等差、等比数列的性质依次分析选项，综合即可得的答案
.
【详解】根据题意，依次分析选项：
对于A ，若数列{}n a 的前n 项和2
n S an bn c ++，
若0c =，由等差数列的性质可得数列{}n a 为等差数列， 若0c ≠，则数列{}n a 从第二项起为等差数列，故A 不正确； 对于B ，若数列{}n a 的前n 项和122n n S +=
−， 可得1422a =−=，2218224a S S =−=−−=，33216268a S S =−=−−=， 则1a ，2a ，3a 成等比数列，则数列{}n a 不为等差数列，故B 不正确；
对于C ，数列{}n a 是等差数列，n S 为前n 项和，则n S ，2n n S S −，32n n S S −，…，即为
12n a a a ++…+，12n n a a ++…+，213n n a a ++…+，…，
即为2
2322n n n n n n n S S S S S S S n d −−=−−−=为常数，仍为等差数列，
故C 正确；
对于D ，数列{}n a 是等比数列，n S 为前n 项和，则n S ，2n n S S −，32n n S S −，…不一定为等比数列，
比如公比1q =−，n 为偶数，n S ，2n n S S −，32n n S S −，…，均为0，不为等比数列.故D 不正确.
故选：ABD .
【点睛】本题考查等差、等比数列性质的综合应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题. 11．BCD
【分析】设MN 中点为H ，DM 中点为Q ，连接PQ ，计算出PQ 可知P 的轨迹为圆可判断A ；根据已知算出DN ，可判断B ；根据抛物线定义可判断C ；以DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，利用向量的夹角公式计算可判断D.
【详解】对于A ，设MN 中点为H ，DM 中点为Q ，连接HQ ，则//HQ DN ，且1
2
=HQ DN ，
如图，若2MN =，则所以222413=−=−=DN MN DM ，DN =则=
HQ 所以点H
的轨迹是以Q
23ππ4==S r ，故A 错误；
对于B ，tan DM MND DN ∠=，π3
MND ∠=
，则π
tan 3
==
DM DN N 的轨迹是以D 为圆
B 正确； 对于
C ，点N 到直线1BB 的距离为BN ，所以点N 到定点B 和直线DC 的距离相等，且B 点不在直线DC 上，由抛物线定义可知，N 的轨迹是抛物线，故C 正确；
对于D ，如图，以DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，设(),,0N x y ，()10,0,2D ，()2,0,0A ，()2,2,0B ，
所以()1,,2D N
x y =− ，()0,2,0AB =
，1
cos602
=
， 化简得2234y x −=，即22
1
44
3
y x −=，所以N 的轨迹为双曲线，故D 正确；
故选： BCD. 12．AC
【分析】根据椭圆的定义判断A ；用点差法判断B ；先算出2212211x y c AF AF →
→
⋅−=+
，进而根
据A 在椭圆上进行消元得到22222
12x a c c a +−，然后结合椭圆的范围得到2222212x a c c a +−的范
围，最后求出离心率的范围；根据AB 的最小值为通径的长度2
2b a
求得答案.
【详解】对A ，根据椭圆的定义2ABF △的周长为1122|||||||4|AF BF A a F BF +++=
，故A 正确；
对B ，设()()1122,,,A x y B x y ，则1212,22x x y y M ++ ，所以1212y y k x x −=−，1212
OM y y k x x +=+， 由()()()()22
1122222221212121222222
12122222101
x y y y y y x x y y b a b a b x x x x a x y a b += +−−− ⇒+=⇒=− +− += ，即2
2OM b k k a ⋅=−，故B 错误；
对C ，()()222
11121111,,AF AF c x y c x y x y c ⋅=−−−−+−=
− ，根据2221121x y b a =−
2222222
1
21222[2,]c AF AF a x a c a c a c +−∈−−⋅=
，则222221232c a c c a c e a −≤≤−⇒=∈ ，故C 正确；
对D ，容易知道，AB 的最小值为通径长度2
2b a ，所以223b c a
=，整理为()2222323b ac a c ac =⇒−=，即222320c ac a +−=，两边同时除以2a ，得22320e e +−=
，解得：1
2
e =
，或2e −（舍）
，所以椭圆的离心率1
2
e =，故D 错误. 故选：AC. 13．1或5##5或1
【分析】由点M 在直线10x y +−=
上设(),1M a a −, 圆与y 轴相切,
应用数形结合可得出a 与半径的关系,
再根据圆经过点()2,2−也可写出a 与半径的关系，求解即可.
【详解】由点M 在直线10x y +−=
上，设(),1M a a −. 又M �与y 轴相切，且经过点()2,2−，
∴
半径r a ==a<0.
解得1a =−或5a =−.则M �的半径为1或5. 故答案为: 1或5 14．5
【分析】根据“和差等比数列”的定义，依次求得345,,a a a 的值，从而求得正确答案. 【详解】依题意，
21215
51a a a a +==−， 323323353a a a a a a ++==−−，解得392
a =， 443434
9
2592a a a a a a ++==−−，解得4
548
a =， 554545
5485548
a a a a a a +
+==−−，解得53241032
a =>， 所以使得不等式10n a >的n 的最小值是5. 故答案为：5 15．91,5
【解析】22(2)9x y −+=与x 轴交点的坐标分别为()1,0−，()5,0， 故1a =，5c =，
因为P 为C 右支上任意一点，根据双曲线的定义有
1222PF PF a −==，即
1
22PF PF =+ 令2[4,)t PF =∈+∞，则2
221
2222(2)444
14444PF t t t t t PF t t +++===+++++
， 因为4
t t +在[4,)+∞上为增函数，所以44454
t t +≥+=
， 所以44
(0,]45t t
∈+，所以491(1,]45t t +∈+，即21
2
24PF PF +9(1,]5∈.
16．√62
17．(1)()2
2216139x y
−+−=
(2)k <
7
24
【详解】（1）解；设点()00,A x y 、(),M x y ，
由题意可得13AM AB = ，即()()000
0143
133
x x x y y y
−=−
−−
，可得003
22
3322
x x y y
=−
=− ， 因为点A 在圆C 上，所以，()2
200
14x y ++=，即2
2
33
314222x y −+−= ，
化简可得()2
2216139x y
−+−=
，
故点M 的轨迹方程为()2
2216139x y
−+−=
.
（2）k<7
24
18．(1)
()2N n n a n ∗=∈ (2)前n 项和为()()
1
1
212
n n n −−∈+⋅
【分析】（1）首先令1n =，求出首项12a =，当2n ≥时，根据1n
n n a S S −=−求出{}n a 为等比数列，然后根据等比数列的通项公式进行求解即可.
（2）首先求出{}n b 的通项公式，进而通过（1）求出n c 的通项公式，代入2
1
n n n c c c ++⋅后利用裂项相消的方法进行求和即可.
【详解】（1）由题意：()22,N n n S a n ∗
=−∈ ①，
当1n =时，可得12a =，
当2n ≥时，()11222,N n n S a n n ∗
−−=−≥∈②，
由①-②得：()122,N n n a a n n ∗−=
≥∈，
由n a 为正项数列，得{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列. 因此可得()1222N n n n a n −∗=
⋅=∈ （2）由于数列{}n b 的前n 项的乘积为!n ， 当1n =时，得11b =； 当2n ≥时，得()()
*!
2,N 1!
n n b n n n n =
=≥∈−；
11b = 符合通项，故得()*N n b n n =
∈. 由（1）可知：2n
n n n c a b n ==⋅，
()()()221
1122114212212n n n n n n n n n c c c n n n n +++++ +⋅==− ⋅⋅⋅+⋅⋅+
， 令n T 为
2
1
n n n c c c ++⋅的前n 项和， ()()12233411111111111
4212222232324221212n n n n T n n n +− =−+−+−+⋅⋅⋅+−=− ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅
. 19．(1)xx 2
3−yy 2=1;(2)(−1，−
√33)∪(√3
3
，1) 20．(1)1062； (2)
3
10
； (3)乙更符合标准，理由见解析.
【分析】（1）根据题意表格中的数据，分别求出甲、乙加工钢球直径误差不超过0.1±mm 的个数即可；
（2）先求出比例，结合古典概型的概率计算即可； （3）观察表格中的数据，即可下结论.
【详解】（1）由题意知，加工直径误差不超过0.1±mm 的钢球中， 甲：
3360039650×=个，乙：37
90066650
×=个， 所以这批钢球中直径误差不超过0.1±mm 的钢球一共有3966661062+=个； （2）甲、乙加工钢球的总数之比为600:9002:3=，
所以抽取的5个钢球中，甲占2个，记为A ，B ，，乙占3个，记为a ，b ，c ，
从5个钢球中抽取的2个钢球的基本事件有：,,,,,,,.,AB Aa Ab Ac Ba Bb Bc ab ac bc ，共十个， 则全是乙加个的基本事件为：.,ab ac bc ，共3个； 所以所求概率为3
10
P =
； （3）乙加工的钢球更符合标准.
理由：甲、乙各加工的50个钢球中直径误差为0mm 的个数：甲有20个，乙有24个，2024<；甲生产的钢球中误差达到0.3±的个数较多. 21．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）在图1中，连接AC ，交BE 于O ，由几何关系可得AC BE ⊥，OA OC ==
结合图2易得1AOC ∠ 是二面角 1A BE C −− 的平面角，由勾股定理逆定理可证1OA OC ⊥，进而得证；
（2）以OA ，OB ， 1OC 为 x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设 1DP DC λ=
，[]0,1λ∈，
求得AP
，同时求出平面1ABC 的法向量(),,n x y z = ，由点面距离的向量公式AP n d n ⋅=
求得
λ，进而求得EP
，结合向量公式可求直线EP 与平面1ABC 所成角的正弦值.
【详解】（1）如图所示：
在图1中，连接AC ，
交BE 于O ，因为四边形ABCE 是边长为2的菱形，并且60BCE ∠=°，
所以AC BE ⊥，且OA OC ==
在图 2 中，
相交直线 OA ，1OC 均与 BE 垂直， 所以 1AOC ∠ 是二面角 1A BE C −− 的
平面角， 因为 1AC = 所以 22211OA OC AC +=
，1OA OC ⊥，所以平面 1BG E ⊥ 平面
ABED ；
（2）由 （1） 知， 分别以OA ，OB ， 1OC 为 x ，y ，z 轴建立如图 2 所示的空间直角坐标系， 则
3
,02D
−
，(1C
，)
A
，()0,1,0B ，()0,1,0E −，
132DC =
，3,02AD −
，(
)AB =
，(1AC =
，
()
1,0AE =−
.
设 1DP DC λ=
，[]0,1λ∈，
则
133,22AP AD DP AD DC λλ =++=−+ = . 设平面 1ABC 的法向量为 (),,n x y z =
，
则1
00AB n AC n ⋅=
⋅= ， 即
00y +=
=
， 取
()
n =r ， 因为点 P 到平面 1ABC 的距离为
所以
d
解得 12
λ=， 则
34AP − ， 所以
14EP AP AE =−= . 设直线 EP 与平面 1ABC 所成的角为 θ，
所以直线 EP 与平面 1ABC 所成角的正弦值为
sin cos ,EP n EP n EP n
θ⋅===⋅
. 22．（1）22
143
x y +=
；（2）存在；GM HM +=． 【分析】（1）由离心率公式以及将点31,
2P
代入方程，列出方程组，进而得出方程； （2）当直线AB 的斜率存在时，联立AB 直线与椭圆方程，利用韦达定理以及弦长公式求
出AOB S �，再由二次函数的性质得出M 的坐标，消去k ，得出点M 在椭圆22
1
3
22
x y +=上，
结合定义得出平面内存在两点,G H 使得GM HM +=
，当直线AB 的斜率不存在时，设出,A B 坐标，由三角形面积公式以及正弦函数的性质求出M 的坐标，进而得出平面内存
在两点,G H 使得GM HM +=
. 【解析】（1）由12e =，可设2,a t c t ==
，则,b =方程化为22
22143x y t t
+=
又点31,2P
在椭圆上，则22
9
14143t t +=，解得1t = 因此椭圆C 的方程为22
143
x y +=．
()2当直线AB 的斜率存在时，设AB 直线的方程为y kx m =
+
联立直线AB 和椭圆C 的方程消去y 得，()22
34120x x m ++−= 化简得：(
)2
2
23484120k
x
kmx m +++−=
2112AOB S m x x =⋅−=△
22
223434m m k k ⋅⋅++
= 当22
1
342
m k =
+时，S ，即此时22234m k =+ 又()12121222
86,23434km m x x y y k x x m k k −+=
+=++=++，则1212,2
2x x y y M ++
即2243,3434km
m M k k −
++
令22434334km x k km y k − = + = +
，则221
3
22
x y +=
因此平面内存在两点,G H 使得GM HM +=
． 当直线AB
的斜率不存在时，设()
2cos A θθ
，则()
2cos ,B θθ
cos 2AOB S θθ
θ=△，即当4
π
θ=
．
此时AB 中点M
的坐标为，满足方程221
322
x y += 即GM HM +=
．。