1977年江苏省高考数学试卷

1977年江苏省高考数学试卷
一、解答题（共15小题，满分100分）
1．（6分）（1977•江苏）计算：．
2．（6分）（1977•江苏）求函数的定义域．
3．（8分）（1977•江苏）解方程：
4．（8分）（1977•江苏）计算：．
5．（8分）（1977•江苏）把直角坐标方程（x﹣3）2+y2=9化为极坐标方程．
6．（8分）（1977•江苏）计算
7．（8分）（1977•江苏）分解因式x4﹣2x2y﹣3y2+8y﹣4．
8．（8分）（1977•江苏）过抛物线y2=4x的焦点作倾斜角为的直线，它与抛物线相交于A、B两点．求A、B两点间的距离．
9．（8分）（1977•江苏）在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CD、CE分别为斜边AB上的高和中线，且∠BCD与∠ACD之比为3：1，求证CD=DE．
10．（8分）（1977•江苏）在周长为300cm的圆周上，有甲、乙两球以大小不等的速度作匀速圆周运动．甲球从A点出发按逆时针方向运动，乙球从B点出发按顺时针方向运动，两球相遇于C点．相遇后，两球各自反方向作匀速圆周运动，但这时甲球速度的大小是原来的2倍，乙球速度的大小是原来的一半，以后他们第二次相遇于D点．已知AmC=40厘米，BnD=20厘米，求ACB的长度．
11．（8分）（1977•江苏）若三角形三内角成等差数列，求证必有一内角为60°．
12．（8分）（1977•江苏）若三角形三内角成等差数列，而且三边又成等比数列，求证三角形三内角都是60°．
13．（8分）（1977•江苏）在两条平行的直线AB和CD上分别取定一点M和N，在直线AB上取一定线段ME=a；在线段MN上取一点K，连接EK并延长交CD于F．试问K取在哪里△EMK与△FNK的面积之和最小？最小值是多少？
14．（1977•江苏）求极限
15．（1977•江苏）求不定积分．
1977年江苏省高考数学试卷
参考答案与试题解析
一、解答题（共15小题，满分100分）
1．（6分）（1977•江苏）计算：．
考点：有理数指数幂的运算性质．
专题：计算题．
分析：按照指数幂的简单化简方法，依次化简指数幂，进而可得答案．
解答：解：原式==+100﹣1+=99．
故答案为：99
点评：本题考查指数幂的简单化简，难度不大，学生只要掌握运算公式，做题细心一点就行了
2．（6分）（1977•江苏）求函数的定义域．
考点：函数的定义域及其求法．
分析：根据题意，写出三个部分的定义域，再求交集可得答案．
解答：解：根据题意，得，
解可得，
故函数的定义域为2≤x＜3和3＜x＜5．
点评：本题考查函数定义域的求法，是基本的题目，要牢记各种函数的定义域．
3．（8分）（1977•江苏）解方程：
考点：有理数指数幂的运算性质．
分析：根据125=53=，令指数相等即可．
解答：解：原方程即，
∴x2+2x=3∴x=﹣3或x=1．
故原方程的解为：x=﹣3或x=1．
点评：本题主要考查解指数函数型方程的问题．
4．（8分）（1977•江苏）计算：．
考点：对数的运算性质．
专题：计算题．
分析：利用根式分数指数幂化简，然后利用对数性质求解即可．
解答：解：
=．
点评：本题考查根式分数指数幂的化简，对数的运算性质，是基础题．
5．（8分）（1977•江苏）把直角坐标方程（x﹣3）2+y2=9化为极坐标方程．
考点：点的极坐标和直角坐标的互化．
专题：计算题．
分析：利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得．解答：解：原方程可展开为x2﹣6x+9+y2=9，
x2﹣6x+y2=0→ρ2﹣6•ρcosθ=0
∴ρ=0或ρ=6cosθ
即ρ=6cosθ．
点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．
6．（8分）（1977•江苏）计算
考点：极限及其运算；等差数列的前n项和．
专题：计算题．
分析：数列1，2，3，…，n为首项为1，公差为1的等差数列，则前n项的和为，代入极限求出即可．
解答：解：原式=
点评：考查学生掌握极限及其运算的能力，以及求等差数列前n项和的能力．
7．（8分）（1977•江苏）分解因式x4﹣2x2y﹣3y2+8y﹣4．
考点：有理数指数幂的化简求值．
专题：计算题．
分析：将﹣3y2变为y2+（﹣4y2），则原式变为6项，前三项结合，后三项结合分别利用完全平方公式的逆运算分解因式，然后再利用平方差公式分别因式即可．
解答：解：原式=（x4﹣2x2y+y2）﹣（4y2﹣8y+4）=（x2﹣y）2﹣（2y﹣2）2=（x2﹣y+2y﹣2）（x2﹣y﹣2y+2）
=（x2+y﹣2）（x2﹣3y+2）．
点评：此题的突破点是利用拆项法将﹣3y2进行变形，考查学生灵活运用完全平方公式和平方差公式进行因式分解．分解因式时，学生应注意将因式分解到底．
8．（8分）（1977•江苏）过抛物线y2=4x的焦点作倾斜角为的直线，它与抛物线相交于A、B两点．求
A、B两点间的距离．
考点：抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题．
专题：计算题．
分析：先根据抛物线方程确定焦点坐标，再根据倾斜角确定直线AB的方程，再与抛物线方程联立利用韦达定理确定A，B两点横坐标之和与横坐标之积，即纵坐标之和与纵坐标之积．最后根据
两点间距离公式求得A、B两点间的距离．
解答：解：抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0）
所作直线方程为，
它与抛物线之二交点坐标由下面方程组
确定，
解得（1﹣x）2=4x，x2﹣6x+1=0
由根与系数关系，得x
1+x
2
=6，x
1
x
2
=1．
又解得y2=4（1﹣y），y2+4y﹣4=0，
y 1+y
2
=﹣4，y
1
y
2
=﹣4．
由两点间距离公式
但（x
1﹣x
2
）2=（x
1
+x
2
）2﹣4x
1
x
2
=36﹣4=32，
（y
1﹣y
2
）2=（y
1
+y
2
）2﹣4y
1
y
2
=16+16=32
∴
故AB两点间距离为8．
点评：本题主要考查了抛物线与直线的关系问题．一般是把直线方程和抛物线方程联立，获得一元二次方程，再利用韦达定理来找到解决问题的突破口．
9．（8分）（1977•江苏）在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CD、CE分别为斜边AB上的高和中线，
且∠BCD与∠ACD之比为3：1，求证CD=DE．
考点：相似三角形的性质．
专题：证明题．
分析：欲求证CD=DE，在直角三角形CDE中，只须证明其中一个锐角为45度即可，利用CD、CE分别为斜边AB上的高和中线可得：“∠B=∠ECB，∠ACD=∠ECB”，再利用∠BCD与∠ACD之比为3：
1即可求得∠ECD的大小，从而解决问题．
解答：证明：∵∠A+∠ACD=∠A+∠B=90°，
∴∠ACD=∠B
又∵CE是直角△ABC的斜边AB上的中线
∴CE=EB
∠B=∠ECB，∠ACD=∠ECB
但∵∠BCD=3∠ACD，
∠ECD=2∠ACD=∠ACB
=×90°=45°，
△EDC为等腰直角三角形
∴CE=DE．
点评：本小题主要考查直角三角形中边角关系、三角形高和中线等基础知识，考查运算求解能力、转化思想．属于基础题．
10．（8分）（1977•江苏）在周长为300cm的圆周上，有甲、乙两球以大小不等的速度作匀速圆周运
动．甲球从A点出发按逆时针方向运动，乙球从B点出发按顺时针方向运动，两球相遇于C点．相遇
后，两球各自反方向作匀速圆周运动，但这时甲球速度的大小是原来的2倍，乙球速度的大小是原来
的一半，以后他们第二次相遇于D点．已知AmC=40厘米，BnD=20厘米，求ACB的长度．
考点：函数模型的选择与应用；根据实际问题选择函数类型．
专题：应用题．
分析：本题考查的知识点是方程的构造与应用，要求ACB的长度，由AmC=40厘米，我们只要求出BC
长即可，我们不妨设BC=x厘米，甲球速度为v
甲，乙球速度为v
乙
．然后根据相遇问题中时间
相等，构造两次相遇时的方程，解方程组即可求出答案．解答：解：如图设BC=x厘米．
甲球速度为v
甲，乙球速度为v
乙
．
根据二次从出发到相遇二球运动的时间都相同，可得第一次等候时方程
第二次等候时方程．
由此可得，
（x﹣40）（x﹣80）=0．
由于已知条件v
甲≠v
乙
，
∴x≠40，
x=80（厘米）
ACB=40+80=120（厘米）．
点评：方程与函数思想是中学阶段的四大数学思想之一，在利用方程思想解决问题时，我们要解决两个问题：一是谁是未知数，一般由“求谁设谁”的原则来决定；二是找等量关系，如本题中相
遇问题的时间相等．并由些构造方程，进行求解．
11．（8分）（1977•江苏）若三角形三内角成等差数列，求证必有一内角为60°．
考点：等差数列的性质．
专题：证明题．
分析：设三角形三内角分别为α﹣d，α，α+d，则有（α﹣d）+α+（α+d）=180°，从而导出三角形中必有一内角为60°．
解答：证明：设三角形三内角分别为α﹣d，α，α+d，
则有（α﹣d）+α+（α+d）=180°，
3α=180°
∴α=60°．
点评：本题考查等差数列的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用．
12．（8分）（1977•江苏）若三角形三内角成等差数列，而且三边又成等比数列，求证三角形三内角
都是60°．
考点：数列的应用；余弦定理的应用．
专题：证明题．
分析：由三角形三内角成等差数列可知，此三角形必有一内角为60°，今设其对边为a，则三角形的三边分别为（此处q为公比，且q＞0）再由余弦定理可得此三角形为等边三角形，三个内角
均为60°．
解答：证明：由三角形三内角成等差数列可知，此三角形必有一内角为60°，
今设其对边为a，则三角形的三边分别为（此处q为公比，且q＞0）
由余弦定理可得
，，
∴q2=1q=1，q=﹣1（不合题意，舍去）
由q=1可知，此三角形为等边三角形，
三个内角均为60°．
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用．
13．（8分）（1977•江苏）在两条平行的直线AB和CD上分别取定一点M和N，在直线AB上取一定线
段ME=a；在线段MN上取一点K，连接EK并延长交CD于F．试问K取在哪里△EMK与△FNK的面积之
和最小？最小值是多少？
考点：解三角形的实际应用．
专题：计算题；应用题．
分析：先作两条平行直线的公垂线PQ，设出PQ、MN，然后令PK=x，则可表示出KQ，再根据△EMK∽△FNK，△MKP∽△NKQ，判断出，进而可求得NF，再表示出△EMK与△FNK的面积之和，根据均值不等
式，求得面积之和最小时x的值，并求得面积的最小值．
解答：解：过点K作两条平行直线的公垂线PQ，
设PQ=l，MN=m，
令PK=x，则KQ=l﹣x
∴△EMK∽△FNK，
∴
又∵△MKP∽△NKQ，
∴
于是得到，
从而△EMK与△FNK的面积之和为
=
=
=
=
∴，
A有最小值
点评：本题主要考查了解三角形的实际应用．考查了学生综合分析问题和基本的运算能力．
14．（1977•江苏）求极限
考点：极限及其运算．
专题：计算题．
分析：把转化为，由此能够求出
解答：解：原式=
=
点评：本题考查极限的求法和应用，解题时要认真审题，仔细思考，注意培养计算能力．15．（1977•江苏）求不定积分．
考点：微积分基本定理．
专题：计算题．
分析：在较复杂函数的不定积分的求解中，可以采用换元的方法．设x=γ（t）是单调可导函数，γ（t）′≠0，又设f[γ（t）]γ（t）′有原函数，则有换元公式∫f（x）dx=∫f[γ（t）]γ
（t）′dt．利用从公式既可求解．
解答：解：令1+e x=t，
则dt=e x dx=（t﹣1）dx，
∴
=
=
=
=
=．
点评：此题主要考查求不定积分的方法之一换元法的应用，题目难度适中，要求与一定的计算量，以及一些固定函数不定积分的记忆．。