理科一轮复习188套优化重组卷答案

第一章 集合与常用逻辑用语
1.集 合
【三年高考真题演练】
[2016年高考真题]
1.C [A ＝{0，2，4，6，8，10}，B ＝{4，8}，∴∁A B ＝{0，2，6，10}.]
2.D [由x 2<9解得－3<x <3，∴B ＝{x |－3<x <3}，又因为A ＝{1，2，3}，所以A ∩B ＝{1，2}，故选D.]
3.B [A ＝{1，3，5，7}，B ＝{x |2≤x ≤5}，得A ∩B ＝{3，5}，故选B.]
4.A [∵A ∪B ＝{1，3，4，5}，∴∁U (A ∪B )＝{2，6}，故选A.]
5.D [S ＝{x |x ≥3或x ≤2}，T ＝{x |x ＞0}，则S ∩T ＝(0，2]∪[3，＋∞).]
6.C [A ＝{x ||x |＜2}＝{x |－2＜x ＜2}，所以A ∩B ＝{x |－2＜x ＜2}∩{－1，0，1，2，3}＝{－1，0，1}.]
7.C [∵A ＝{y |y >0}，B ＝{x |－1<x <1}，∴A ∪B ＝(－1，＋∞)，故选C.]
8.D [由A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}＝{x |1<x <3}，B ＝{x |2x －3>0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x >32，得A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪32<x <3＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，3，故选D.] 9.C [A ∩B ＝{x |2＜x ＜4}∩{x |x ＜3或x ＞5}＝{x |2＜x ＜3}.]
10.C [由(x ＋1)(x －2)<0解得集合B ＝{x |－1<x <2}，又因为x ∈Z ，所以B ＝{0，1}，因为A ＝{1，2，3}，所以A ∪B ＝{0，1，2，3}，故选C.]
11.C [由题可知，A ∩Z ＝{－2，－1，0，1，2}，则A ∩Z 中的元素的个数为5.选C.]
12.B [由已知得Q ＝{x |x ≥2或x ≤－2}.∴∁R Q ＝(－2，2).又P ＝[1，3]，∴P ∪∁R Q ＝[1，3]∪(－2，2)＝(－2，3].]
13.{－1，2} [由于B ＝{x |－2＜x ＜3}.对集合A 中的4个元素逐一验证，－1∈B ，2∈B ，3∉B ，6∉B .故A ∩B ＝{－1，2}.]
[两年经典高考真题]
1.D [A ＝{…，5，8，11，14，17…}，B ＝{6，8，10，12，14}，A ∩B ＝{8，14}，集合A ∩B 中有两个元素.]
2.D [由于2∈A ，2∈B ，3∈A ，3∈B ，1∈A ，1∉B ，故A ，B ，C 均错，D 是正确的，选D.]
3.C [由题意知∁U A ＝{2，4，7}，选C.]
4.C [“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”⇔“A ∩B ＝∅”，选C.]
5.B
6.C[∵A＝{x|x2－4x＋3＜0}＝{x|(x－1)(x－3)}＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|2＜x＜4}，∴A∩B＝{x|2＜x＜3}＝(2，3).]
7.A[由题意得M＝{0，1}，N＝(0，1]，故M∪N＝[0，1]，故选A.]
8.A[由题意知，∁U B＝{2，5，8}，则A∩∁U B＝{2，5}，选A.]
9.A[由A＝{－2，－1，0，1，2}，B＝{x|(x－1)(x＋2)＜0}＝{x|－2＜x＜1}，得A∩B＝{－1，0}，故选A.]
10.A[∵A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|1＜x＜3}，∴A∪B＝{x|－1＜x＜3}.]
11.C[∵P＝{x|x≥2或x≤0}，∁R P＝{x|0＜x＜2}，
∴(∁R P)∩Q＝{x|1＜x＜2}，故选C.
12.A[因为M＝{x|(x＋4)(x＋1)＝0}＝{－4，－1}，N＝{x|(x－4)·(x－1)＝0}＝{1，4}，所以
M∩N＝∅，故选A.]
13.C[M∪N表示属于M或属于N的元素构成的集合，故M∪N＝{－1，0，1，2}，选C.]
14.C[由已知直接得，A∩B＝{x|x＞2}∩{x|1<x<3}＝{x|2<x<3}，选C.]
15.C[因为A＝{x|－3<x<3}，∁R B＝{x|x≤－1或x>5}，所以A∩(∁R B)＝{x|－3<x<3}∩{x|x≤－1或x＞5}＝{x|－3<x≤－1}.]
16.A[A＝{x|x≤－1，或x≥3}，故A∩B＝[－2，－1]，选A.]
17.D[N＝{x|x2－3x＋2≤0}＝{x|1≤x≤2}，又M＝{0，1，2}，所以M∩N＝{1，2}.]
18.D[A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，所以∁U(A∪B)＝{x|0<x<1}.]
19.C[由题意，得A＝{x||x－1|<2}＝{x|－1<x<3}，B＝{y|y＝2x，x∈[0，2]}＝{y|1≤y≤4}，
所以A∩B＝[1，3).]
20.B[∵x2<1，∴－1<x<1，∴M∩N＝{x|0≤x<1}，故选B.]
21.A[因为A＝{x|－1≤x≤2}，B＝Z，故A∩B＝{－1，0，1，2}.]
22.{7，9}[依题意得U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，∁U A＝{4，6，7，9，10}，(∁U A)∩B＝{7，9}.]
23.A[命题①成立，若A≠B，则card(A∪B)>card(A∩B)，
所以d(A，B)＝card(A∪B)－card(A∩B)>0.反之可以把上述过程逆推，故“A≠B”是“d(A，B)>0”的充分必要条件；
命题②成立，由Venn图，
知card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)，
d(A，C)＝card(A)＋card(C)－2card(A∩C)，
d(B，C)＝card(B)＋card(C)－2card(B∩C)，
∴d(A，B)＋d(B，C)－d(A，C)
＝card(A)＋card(B)－2card(A∩B)＋card(B)＋card(C)－2card(B∩C)－[card(A)＋card(C)－
2card(A∩C)]
＝2card(B)－2card(A∩B)－2card(B∩C)＋2card(A∩C)
＝2card(B)＋2card(A∩C)－2[card(A∩B)＋card(B∩C)]
≥2card(B)＋2card(A∩C)－2[card(A∪C)∩B]＋
card(A∩B∩C)
＝[2card(B)－2card(A∪C)∩B]＋[2card(A∩C)－2card(A∩B∩C)]≥0，
∴d(A，C)≤d(A，B)＋d(B，C)得证.]
24.C[如图，集合A表示如图所示的所有圆点“”，集合B表示如图所示的所有圆点“”＋所有圆点“”，集合A⊕B显然是集合{(x，y)||x|≤3，|y|≤3，x，y∈Z}中除去四个点{(－3，－3)，(－3，3)，(3，－3)，(3，3)}之外的所有整点(即横坐标与纵坐标都为整数的点)，即集合A⊕B表示如图所示的所有圆点“”＋所有圆点“”＋所有圆点“”，共45个.故A⊕B中元素的个数为45.故选C.]
25.6[根据题意可分四种情况：
(1)若①正确，则a＝1，b＝1，c≠2，d＝4，其中a＝1与b＝1矛盾，条件的有序数组有0个；
(2)若②正确，则a≠1，b≠1，c≠2，d＝4，符合条件的有序数组为(2，3，1，4)和(3，2，1，4)；
(3)若③正确，则a≠1，b＝1，c＝2，d＝4，则a＝3符合条件的有序数组为(3，1，2，4)；
(4)若④正确，则a≠1，b＝1，c≠2，d≠4，符合条件的有序数组为(2，1，4，3)，(4，1，3，2)，(3，1，4，2).
所以共有6个.故答案为6.]
26.201[可分下列三种情形：(1)若只有①正确，则a≠2，b≠2，c＝0，所以a＝b＝1或b＝c＝0或a＝c＝0与集合元素的互异性相矛盾，所以只有①正确是不可能的；(2)若只有②正确，则b ＝2，a＝2，c＝0，这与集合元素的互异性相矛盾，所以只有②正确是不可能的；(3)若只有③
正确，则c≠0，a＝2，b≠2，所以b＝0，c＝1，所以100a＋10b＋c＝100×2＋10×0＋1＝201.] 【两年模拟试题精练】
1.A[由|x|≤1得－1≤x≤1，∴A＝{x|－1≤x≤1}；由y＝x得x≥0，∴B＝{x|x≥0}.∴A∩B＝{x|0≤x≤1}.故选A.]
2.B [A ＝{1，2，3}，B ＝{2，3，4}，∴A ∩B ＝{2，3}，又∵U ＝{1，2，3，4，5}，∴∁U (A ∩B )＝{1，4，5}.]
3.C [∵A ＝{1，－1}，B ＝{0，－1}，∴A ∩B ＝{－1}，选C.]
4.D [集合A ＝{x |x <－3或x >1}，所以∁R A ＝{x |－3≤x ≤1}，
所以(∁R A )∩Z ＝{－3，－2，－1，0，1}，故选D.]
5.{x |1<x ≤2} [由M 中不等式解得：x <－2或x >2，即M ＝{x |x <－2或x >2}，∴∁R M ＝{x |－2≤x ≤2}，由N 中不等式变形得：x －3x －1
≤0，解得：1<x ≤3，即N ＝{x |1<x ≤3}， 则(∁R M )∩N ＝{x |1<x ≤2}.故答案为：{x |1<x ≤2}.]
6.D [集合A ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪⎪－32≤x ≤3，若(∁R A )∩B ＝B ，则m >3，故选D.] 7.B [A ＝R ，B ＝(0，1).∴A ∩B ＝(0，1)，故选B.]
8.A [M ＝{x |x
2＋3x ＋2<0}＝{x |－2<x <－1}，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤4 ＝{x |x ≥－2}，则M ∪N ＝{x |x ≥－2}，故选A.]
9.B [A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}＝{1，2}，B ＝{x |log x 4＝2}＝{2}，则A ∪B ＝{1，2}，故选B.]
10.C [B ＝{x |x ＝2a ，a ∈A }＝{0，2，4，6} ，则A ∩B ＝{0，2}，故选C.]
11.C [A ＝{x |x 2－16<0}＝{x |－4<x <4}，所以A ∩B ＝{0，1}故选C.]
12.B [A ＝{x ∈N |x ≤6}＝{0，1，2，3，4，5，6}，B ＝{x ∈R |x 2－3x >0}＝{x |x >3或x <0}，则A ∩B ＝{4，5，6}，故选B.]
13.C [A ＝{x ∈R ||x －1|<2}＝{x |－1<x <3}，B ＝{y |y ≥0}，则A ∩B ＝[0，3)，故选C.]
14.D [A ＝{x |x >－2}，B ＝{x |x <3}，则A ∩B ＝{x |－2<x <3}，故选D.]
15.A [因为A ＝{x |x ＝x 2－2，x ∈R }＝{2}且A ⊆B ，故m ＝2，故选A.]
16.C [B ＝{x |x ＝n ，n ∈A }＝{0，1，2，3，2}，则A ∩B ＝{0，1，2}故其真子集的个数为7个，故选C.]
17.C [由题意得，A ＝{1，2，3，4，5}，B ＝{1，2，3}，C ＝{z |z ＝xy ，x ∈A 且y ∈B }，当x ＝1时，z ＝1或2或3；当x ＝2时，z ＝2或4或6；当x ＝3时，z ＝3或6或9；
当x ＝4时，z ＝4或8或12；当x ＝5时，z ＝5或10或15；
所以C ＝{1，2，3，4，6，9，8，12，5，10，15}中的元素个数为11，故选C.]
18.A [A ＝{x ∈R |－1<x <3}，∵x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，∴A B ，∴m >3，故选A.]
19.C [由题意知{1，2，3}的子集中去掉∅，{2}，则集合A 的个数为6个，故选C.]
20.A [因为M ＝{x |1<x <2}，又N ＝{x |x <a }，M ⊆N ，所以a ≥2，故选A.]
21.B [因为M ＝{y |y ＝2x ，x >0}＝{y |y >1}＝(1，＋∞)，N ＝{x |y ＝lg x }＝{x |x >0}＝(0，＋∞)，所以M ∩N ＝(1，＋∞)，故选B.]
22.C
23.D [因为A ＝{x |－4<x <4}，B ＝{x |x >4}，所以∁U B ＝{x |x ≤4}，所以A ∩(∁U B )＝A ，故选D.]
24.D [A ＝{x |x ≤－4或x ≥4}，∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，∴m ≤－4或m ≥4，故选D.]
25.C [∵A ∩B ＝B ，∴B ⊆A ，∴m ＝0或m ＝2.]
26.A [B ＝{x |x 2－x >0}＝{x |x >1或x <0}，而A ∪B ＝R ，A ∩B ＝{x |1<x <2}阴影部分表示的集合为∁R (A ∩B )＝(－∞，1]∪(2，＋∞)，故选A.]
27.D [集合A ＝{x |x >0}，从而A 、C 错，∁R A ＝{x |x ≤0}，则(∁R A )∩B ＝{－1}，故选D.]
28.B [依题意得∁U A ＝{x |1≤x ≤2}，(∁U A )∩B ＝{x |1≤x <2}＝[1，2)，选B.]
29.B [由题意，得M ＝{y |y ≥－1}＝[－1，＋∞)，N ＝{x |3－x 2≥0，x ∈R }＝{x |－3≤x ≤3}＝[－3，3]，则M ∩N ＝[－1，＋∞)∩[－3，3]＝[－1，3]，故选B.]
30.a ＝2 [根据已知得⎩⎨⎧a 2＋2a －3＝5，|2a －1|＝3，
解得a ＝2.] 31.A [由log 2x >1⇒log 2x >log 22⇒x >2，得A ＝{x |x >2}；由3x ＋1<1⇒2－x x ＋1
<0⇒(x ＋1)(x －2)>0⇒x <－1或x >2，得B ＝{x |x <－1或x >2} ，∴A B ，∴x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，故选A.]
32.B [由已知，得∁U A ∩B ＝{3，5}，故选B.]
33.－1 1 [∵|x ＋2|<3⇒－3<x ＋2<3⇒－5<x <1，∴A ＝(－5，1).结合A ∩B ＝(－1，n )，得B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)<0}＝{x ∈R |m <x <2}，∴m ＝－1，n ＝1.]
34.①4 ②(5，1，3)
35.D [由定义设非空集合S ＝{x |m ≤x ≤n }满足：当x ∈S 时，有x 2∈S ，当x ＝n 时，n 2≤S 即n 2≤n ，解得0≤n ≤1，当x ＝m 时，m 2∈S 即m 2≥m ，解得m ≤0，或m ≥1.若m ＝1，由1＝m ≤n ≤1，可得m ＝n ＝1，即S ＝{1}，故①正确；
对于②m ＝－12，m 2＝14∈S ，即14≤n ，故14≤n ≤1，故②正确；
对于③若n ＝12，由m 2∈S ，可得⎩⎪⎨⎪⎧m ≤0，或m ≥1，m 2≤12，m ≤12，解得－22≤m ≤0，故③正确；故选D.]
36.A [∵f (x )＝x 2－2x ＋2，∴|f (x 1)－f (x 2)|＝|x 21－2x 1＋2－(x 22－2x 2＋2)|＝|(x 1－x 2)(x 1＋x 2－2)|≤4|x 1
－x 2|，∴|x 1＋x 2－2|≤4.
又x 1，x 2∈[－1，1]，所以f (x )∈M ，而g ′(x )＝e x ，当x 1，x 2∈[－1，1]时，|g ′(x )|＝
|g （x 1）－g （x 2）x 1－x 2
|≤e ≤4恒成立，故选A.] 2.常用逻辑用语
【三年高考真题演练】
[2016年高考真题]
1.D [原命题是全称命题，条件为∀x ∈R ，结论为∃n ∈N *，使得n ≥x 2，其否定形式为特称命题，条件中改量词，并否定结论，只有D 选项符合.]
2.A []
3.A [若直线a 和直线b 相交，则平面α和平面β相交；若平面α和平面β相交，那么直线a 和直线b 可能平行或异面或相交，故选A.]
4.A [如图，(x －1)2＋(y －1)2≤2①表示圆心为(1，1)，半径为2的圆内区域
所有点(包括边界)；⎩⎨⎧y ≥x －1，
y ≥1－x ，y ≤1
②表示△ABC 内部区域所有点(包括边界).实数
x ，y 满足②则必然满足①，反之不成立.则p 是q 的必要不充分条件.故选A.]
[两年经典高考真题]
1.D
2.C [由题易知命题p 为真，命题q 为假，则非p 为假，非q 为真.故p ∧q 为假，p ∨q 为真，p ∧(非q )为真，(非p )∨q 为假.故选C.]
3.A
4.A [命题p 为真命题，命题q 为假命题，所以命题非q 为真命题，所以p ∧非q 为真命题，选
A.]
5.D [依题意，命题p 是真命题.由x >2⇒x >1，而x >1D ⇒x >2，因此“x >1”是“x >2”的必要不充分条件，故命题q 是假命题，则非q 是真命题，p ∧非q 是真命题，选D.]
6.A [从原命题的真假入手，由于a n ＋a n ＋12
<a n ⇔a n ＋1<a n ⇔{a n }为递减数列，即原命题和逆命题均为真命题，又原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假，则逆命题、否命题和逆否命题均为真命题，选A.]
7.B [因为原命题为真，所以它的逆否命题为真；若|z 1|＝|z 2|，当z 1＝1，z 2＝－1时，这两个复数不是共轭复数，所以原命题的逆命题是假的，故否命题也是假的.故选B.]
8.B [由x ＞1⇒x ＋2＞3⇒log 12(x ＋2)＜0，log 12(x ＋2)＜0⇒x ＋2＞1⇒x ＞－1，故“x ＞1”是“log 12
(x
＋2)＜0”成立的充分不必要条件.因此选B. ]
9.B [m ⊂α，m ∥β⇒/α∥β，但m ⊂α，α∥β⇒m ∥β，∴m ∥β是α∥β的必要而不充分条件.]
10.A [当1<x <2时，2<2x <4，∴p ⇒q ；但由2x >1，得x >0，∴q ⇒/p ，故选A.]
11.A [柯西不等式“(a 21＋a 22＋…＋a 2n －1)(a 22＋a 23＋…＋a 2n )≥(a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n )2”等号成立的
条件是“a 1a 2＝a 2a 3＝…＝a n －1a n
(即a 1，a 2，…，a n ，成等比数列)”或“a 2＝a 3＝…＝a n ＝0”，故p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件.故选A.]
12.B [ln(x ＋1)<0⇔0<x ＋1<1⇔－1<x <0，而(－1，0)是(－∞，0)的真子集，所以“x <0”是“ln(x ＋
1)<0”的必要不充分条件.]
13.D [可采用特殊值法进行判断，令a ＝1，b ＝－1，满足a ＞b ，但不满足a 2＞b 2，即条件“a ＞b ”不能推出结论“a 2＞b 2”；再令a ＝－1，b ＝0，满足a 2＞b 2，但不满足a ＞b ，即结论“a 2＞b 2”不能推出条件“a ＞b ”.故选D.]
14.C [设f (x )＝x 3，f ′(0)＝0，但是f (x )是单调增函数，在x ＝0处不存在极值，故若p 则q 是一个假命题，由极值的定义可得若q 则p 是一个真命题.故选C.]
15.A [若“四边形ABCD 为菱形”，则对角线“AC ⊥BD ”成立；而若对角线“AC ⊥BD ”成立，则“四边形ABCD 有可能为空间正四面体”，所以“四边形ABCD 为菱形”是“AC ⊥BD ”的充分不必要条件.]
16.A [当a ＝b ＝1时，(a ＋b i)2＝(1＋i)2＝2i ，反之，若(a ＋b i)2＝2i ，则有a ＝b ＝－1或a ＝b ＝1，因此选A.]
17.C [由A ∩B ＝A 可知，A ⊆B ；反过来A ⊆B ，则A ∩B ＝A ，故选C.]
18.A [∵sin α＝cos α⇒cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝0；cos 2α＝0⇔cos α＝±sin α⇒/ sin α＝cos α，故选A.]
19.A [由正弦定理，得a sin A ＝b sin B
，故a ≤b ⇔sin A ≤sin B ，选A.] 20.D [由b 2－4ac ≤0推不出ax 2＋bx ＋c ≥0，这是因为a 的符号不确定，所以A 不正确；当b 2＝0时，由a ＞c 推不出ab 2＞cb 2，所以B 不正确；“对任意x ∈R ，有x 2≥0”的否定是“存在x ∈R ，有x 2<0”，所以C 不正确.选D.]
21.A
22.C [令f (x )＝x |x |，则f (x )＝⎩⎨⎧x 2，x ≥0，－x 2，x <0，
画出f (x )的图象(如图)，易知f (x )在R 上为单调递增函数，因此a >b ⇔f (a )>f (b )，故“a >b ”是“a |a |>b |b |”的充要条件，故选C.]
23.C[将命题p的量词“∃”改为“∀”，“n2>2n”改为“n2≤2n”.]
24.C[全称命题的否定是特称命题，否定结论，所以选C.]
25.B[由全称命题∀x∈M，p(x)的否定为∃x0∈M，非p(x0)，可得非p：∃x0>0，使得(x0＋1)e x0≤1.故选B.]
26.C[把全称量词“∀”改为存在量词“∃”，并把结论加以否定，故选C.]
27.D[全称命题“∀x∈M，p(x)”的否定为特称命题“∃x∈M，非p(x)”，
故选D.]
【两年模拟试题精练】
1.D[特称命题的否定是全称命题故选D.]
2.C[原命题为若非p则非q的形式，则否命题为若非p则非q的形式，故选C.]
3.B[由不等式的性质知，当a>b>0时，a2>b2成立；
反之，例如取a＝－3，b＝1，显然a2>b2，而a>b>0不成立.故选B.]
4.C[命题p，q均为假命题，则非p为真命题，所以(非p)∨q为真命题，故选C.]
5.B[a·b<0得到a，b夹角为钝角或π，反之成立，故选B.]
6.A[特称命题的否定为全称命题，并否定结论，选A.]
7.A[由3x2＋x－2>0得x>2
3或x<－1，故由“x>
2
3”能推出“3x
2＋x－2>0”，反之则不能，故选A.]
8.D[mn>1时X>1不一定成立，反之也不一定成立，故选D.]
9.C[当b＝0时，函数f(x)为奇函数，反之也成立，故选C.]
10.A[函数y＝x2＋bx＋c(x∈[0，＋∞))是单调函数需满足－b
2≤0，则b≥0，故选A.]
11.C[命题p为真命题，命题q为假命题，则p∧(非q)是真命题，故选C.]
12.C[根据原命题与其逆否命题等价，具有共同的真假性，故选C.]
13.A[因为A B，则集合A中的元素是集合B中的元素，而集合B中的元素不一定是集合A 中的元素，则“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件.]
14.D[a≠5，b≠－5推不出a＋b≠0，例如a＝2，b＝－2时，a＋b＝0，a＋b≠0也推不出a≠5且b≠－5，所以“a≠5且b≠－5”是“a＋b≠0”既不充分条件也不必要条件，所以选D.]
15.A[若命题p：“∀x∈[0，1]，a≥e x”为真命题，则a≥e；若命题q：“∃x∈R，x2＋4x＋a＝0”为
真命题，则Δ＝16－4a >0，即a ≤4，所以若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是[e ，4].]
16.C [在C 中y ＝sin(2x ＋φ)为偶函数的充要条件是φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，故选C.]
17.D [A 中的e x 0恒大于0；B 当中sin x >0时，sin 2 x ＋2sin x ≥3(x ≠k π，k ∈Z )成立，在C 中x ＝2
时，2x ＝x 2故不成立，故选D.]
18.A [条件p ：－3≤x ≤1，又p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是a ≥1，故选A.]
19.C [②中a ＝2，b ＝2时，lg(a ＋b )＝lg a ＋lg b 成立，正确；③正确，④是充要条件；故选C.]
20.B [当a ⊥b 时，平面α，β可以相交但不垂直，反之，当α∥β时，a ⊥β ，则a ⊥b ，故选B.]
21.A [当λ<0时，a n ＝n 2－2λn 的对称轴为n ＝λ<0，则a n ＋1>a n ；反之不一定成立，故选A.]
22.D [A 中，函数y ＝f (x )为R 上的可导函数，则f ′(x 0)＝0是x 0为函数f (x )极值点的充要条件，错误，导数为零的点不一定为极值点.B 中命题“存在x ∈R ，x 2＋x －1<0”的否定是“任意x ∈R ，x 2＋x －1≥0”；C 中命题“在△ABC 中，若A >B ，则sin A >sin B ”的逆命题为真命题；D 中“b ＝0”是“函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 是偶函数”的充要条件，正确；故选D.]
23.C [(1)∵命题“若x ＝1，则x 2＋2x －3＝0”是真命题，所以其逆否命题亦为真命题，因此(1)不
正确；(2)根据含量词的命题否定方式，可知命题(2)正确.(3)当φ＝π2＋k π(k ∈Z )时，则函数y ＝
sin(2x ＋φ)＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x ＋π2＋k π＝±cos 2x 为偶函数；反之也成立，故“φ＝π2＋k π(k ∈Z )”是“函数y ＝sin(2x ＋φ)为偶函数”的充要条件；综上可知：真命题的个数2.]
24.B [①特称命题否定为全称命题，正确.②错误.③f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1313－⎝ ⎛⎭⎪⎫1213<0.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213－⎝ ⎛⎭
⎪⎫1212>0，故③正确，选B.]
25.C [当x ∈A ，且x ∉(A ∩B )，满足x ∈(A ∪B )，即充分性不成立，若x ∉(A ∪B )，则x ∉(A ∩B )成立，即必要性成立，故p 是q 的必要不充分条件，故选C.]
26.C [①cos α≠0，则α≠k π＋π2，故是α≠2k π＋π2
(k ∈Z )的充分不必要条件，故错误；②f (x )＝|sin x |＋|cos x |，则f (x )最小正周期是π2，故错误，③若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常
数后，则每个数与平均数的差的平方不变，故样本的方差不变，故正确；④设随机变量ξ服从正态分布N (0，1)，若P (ξ>1)＝p ，由图象的对称性可得，若P (ξ>1)＝p ，则P (ξ<－1)＝p ，∴
P (－1<ξ<1)＝1－2p ，则P (－1<ξ<0)＝12－p ，故正确，故选C.]
27.B [因为对∀x ∈R ，都有x 2
＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋14>0，所以选项B 中的“命题q ：∃x ∈R ，x 2＋x
＋1<0”为假，则p ∧q 为假，故选B.]
28.D [对A ，当a ≤0时错误；对B ，当b ＝0时，充分性不成立；对C ，命题“对任意x ∈R ，有x 2≥0”的否定应是“存在x ∈R ，有x 2<0”，故选D.]
29.C [∵当c ＝0时有ac 2＝bc 2，∴命题p 假，则非p 真；∵当x 0＝1时有x 0－1－ln x 0＝0，∴命题q 真，则非q 假.∴(非p )∧q 为真，故选C.]
30.B [∵|x －1|＋|x －3|≥|(x －1)－(x －3)|＝2，∴条件p ：m >2；若f (x )＝(7－3m )x 为减函数，则
0<7－3m <1，解得2<m <73，∴条件q ：2<m <73，∴p ⇒/ q ，但q ⇒p ，即p 成立是q 成立的必要不充
分条件，故选B.]
31.[－2，0] [∵f (x )是奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝log 3(x ＋1)为增函数，∴f (x )在[－8，8]上也为增函数，且f (8)＝log 3(8＋1)＝log 3 9＝2，即函数f (x )在[－8，8]上的值域为B ＝[－2，2]，由f [x 2＋a (a ＋2)]≤f (2ax ＋2x )得x 2＋a (a ＋2)≤2ax ＋2x ，即x 2－2(a ＋1)x ＋a (a ＋2)≤0，则(x －a )[x －(a ＋
2)]≤0，即a ≤x ≤a ＋2，即A ＝[a ，a ＋2]，
∵“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，∴A B ，
即⎩
⎨⎧a ≥－2，a ＋2≤2，解得－2≤a ≤0，故答案为：[－2，0].] 32.①② [③“A >30°”是“sin A >12”的既不充分也不必要条件，不正确；④φ＝k π(k ∈Z )是函数f (x )
＝tan(x ＋φ)为奇函数的充分不必要条件，不正确.]
33.D [设h (x )＝x ＋a x ＋1
.当a ＝－12时，函数h (x )为增函数，且h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝16>0，则函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上必单调递增，即p 是真命题；∵g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－12<0，g (1)＝1>0，∴g (x )在⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，＋∞上有零点，即q 是假命题，故选D.]
第二章 函数导数及其应用
3.函数的概念及其表示
【三年高考真题演练】
[2016年高考真题]
1.D [函数y ＝10lg x 的定义域为{x |x >0}，值域为{y |y >0}，所以与其定义域和值域分别相同的函数为y ＝1x
，故选D.] 2.[－3，1] [要使原函数有意义，需且仅需3－2x －x 2≥0.解得－3≤x ≤1.故函数定义域为[－3，1].]
3.解 (1)由于a ≥3，故当x ≤1时，(x 2－2ax ＋4a －2)－2|x －1|＝x 2＋2(a －1)(2－x )＞0，
当x ＞1时，(x 2－2ax ＋4a －2)－2|x －1|＝(x －2)(x －2a ).
所以，使得等式F (x )＝x 2－2ax ＋4a －2成立的x 的取值范围是[2，2a ]. (2)(ⅰ)设函数f (x )＝2|x －1|，g (x )＝x 2－2ax ＋4a －2， 则f (x )min ＝f (1)＝0，g (x )min ＝g (a )＝－a 2＋4a －2， 所以，由F (x )的定义知m (a )＝min {}f （1），g （a ）， 即m (a )＝⎩⎨⎧0，3≤a ≤2＋2，
－a 2＋4a －2，a ＞2＋ 2.
(ⅱ)当0≤x ≤2时，F (x )≤f (x )≤max {}f （0），f （2）＝2＝F (2). 当2≤x ≤6时，F (x )≤g (x )≤max {}g （2），g （6） ＝max {}2，34－8a ＝max {}F （2），F （6）. 所以M (a )＝⎩⎨⎧34－8a ，3≤a ＜4，
2，a ≥4.
[两年经典高考真题]
1.C [依题意，有4－|x |≥0，解得－4≤x ≤4①；且x 2－5x ＋6
x －3>0，解得x >2且x ≠3②；由①②求交集
得函数的定义域为(2，3)∪(3，4].故选C.]
2.C [由题意可得x 2－x >0，解得x >1或x <0，所以所求函数的定义域为(－∞，0)∪(1，＋∞).]
3.C [(log 2x )2－1>0，即log 2x >1或log 2x <－1，解得x >2或0＜x <12，故所求的定义域是⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，12∪
(2，＋∞).]
4.(1，2] [由题意f (x )的图象如下图，则⎩⎨⎧a ＞1，
3＋log a
2≥4，∴1＜a ≤2.]
5.－3
2 [当a ＞1时，f (x )＝a x ＋b 在定义域上为增函数，
∴⎩⎨⎧a －1
＋b ＝－1，a 0＋b ＝0，
方程组无解；当0＜a ＜1时，f (x )＝a x ＋b 在定义域上为减函数，∴⎩⎨⎧a －1＋b ＝0，
a 0＋
b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－2. ∴a ＋b ＝－32.]
6.－14 [依题意得f (x )＝12log 2x ·(2＋2log 2x )＝(log 2x )2
＋log 2x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2x ＋122－14≥－14，当且仅当log 2x
＝－12，即x ＝12
时等号成立，因此函数f (x )的最小值为－1
4.]
7.C [因为－2＜1，log 212＞log 28＝3＞1，所以f (－2)＝1＋log 2[2－(－2)]＝1＋log 24＝3，f (log 212)＝2log 212－1＝2log 212×2－1＝12×
1
2＝6，故f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9，故选C.] 8.B [不妨令f (x )＝x ＋1，a ＝2，则g (x )＝f (x )－f (2x )＝－x . 则sgn[g (x )]＝sgn(－x )，排除答案A ；
sgn[f (x )]＝sgn(x ＋1)是以x ＋1与0比较来作为分类标准，排除答案C ，D.故选B.]
9.A [因为－1＜0，所以f (－1)＝2－(－1)＝2，又2＞0，所以f [f (－1)]＝f (2)＝a ·22＝1，解得a ＝1
4.] 10.A
11.D [由y ＝|
f (x )|的图象知：
①当x >0时，y ＝ax 只有a ≤0时，才能满足|f (x )|≥ax ，可排除B 、C. ②当x ≤0时，y ＝|f (x )|＝|－x 2＋2x |＝x 2－2x . 故由|f (x )|≥ax 得x 2－2x ≥ax . 当x ＝0时，不等式为0≥0成立. 当x <0时，不等式等价于x －2≤a .
∵x －2<－2，∴a ≥－2.综上可知：a ∈[－2，0].] 12.D [令x ＋1＝0得x 1＝－1；令2x ＋a ＝0得x 2＝－a 2.
①当－1>－a
2，即a >2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －a －1，x <－a
2，
x ＋a －1，－a 2≤x ≤－1，3x ＋a ＋1，x >－1，
其图象如图所示，
则f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－a 2＝|－a 2＋1|＋|－a ＋a |＝a 2－1
＝3，解得a ＝8.
②当－1<－a
2，即a <2时，f (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧－3x －a －1，x <－1，
－x ＋1－a ，－1≤x ≤－a 2，3x ＋a ＋1，x >－a
2，
其图象如图所示，
则f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－a 2＝|－a 2＋1|＋|－a ＋a |＝1－a 2＝3，解得a ＝－4.
③当－1＝－a
2，即a ＝2时，f (x )＝3|x ＋1|≥0，不符合题意.综上所述，a ＝－4或8.]
13.0 22－3 [f (f (－3))＝f (1)＝0，当x ≥1时，f (x )＝x ＋2
x －3≥22－3，当且仅当x ＝2时，取等号；当x ＜1时，f (x )＝lg(x 2＋1)≥lg 1＝0，当且仅当x ＝0时，取等号，∴f (x )的最小值为22－3.]
14.(－∞，2] [由题意得⎩⎨⎧f （a ）<0f 2（a ）＋f （a ）≤2或⎩⎨⎧f （a ）≥0，
－f 2（a ）≤2，解得
f (a )≥－2.由⎩⎨⎧a <0，a 2＋a ≥－4，或⎩⎨⎧a ≥0，
－a 2≥－2，解得a ≤ 2.]
15.1 [f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4×
⎝ ⎛⎭
⎪⎫－122
＋2＝1.] 16.516 [由于函数f (x )是周期为4的奇函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫294＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫416＝f ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2×
4－34＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×4－76＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－76＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
76＝－316＋sin π6＝516.] 17.(－∞，8]
18.A [由图象可知函数在x ＝±5处切线平行于x 轴，即f ′(5)＝0，f ′(－5)＝0，只有A 选项f ′(x )＝35⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x 225－1符合.]
19.A [法一 由题意可知，该三次函数满足以下条件：过点(0，0)，(2，0)，在(0，0)处的切线方程为y ＝－x ，在(2，0)处的切线方程为y ＝3x －6，以此对选项进行检验.A 选项，y ＝12x 3－12x 2－x ，显然过两个定点，又y ′＝3
2x 2－x －1，则y ′|x ＝0＝－1，y ′|x ＝2＝3，故条件都满足，由选择题的特点知应选A.
法二 设该三次函数为f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d ，则f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，
由题设有⎩⎨⎧f （0）＝0⇒d ＝0
f （2）＝0⇒8a ＋4b ＋2c ＋d ＝0
f ′（0）＝－1⇒c ＝－1
f ′（2）＝3⇒12a ＋4b ＋c ＝3
，解得a ＝12，b ＝－1
2，
c ＝－1，
d ＝0.
故该函数的解析式为y ＝12x 3－1
2x 2－x ，选A.] 【两年模拟试题精练】
1.A [P ＝{x |1<2x
<2}＝{x |0<x <1}，Q ＝{x |log 12
x >1}＝{x |0<x <12}，∴P ∩Q ＝{x |0<x <1
2
}，即P ∩Q ＝
⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，12， 故选A.]
2.C [f (f (e))＝f (1)＝2，故选C.]
3.C [f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝log 319＝－2，f (－2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－2＝9，
∴f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝9，故选C.] 4.A [因为a ＝413>1，0<b ＝lo
g 1413＝log 43<1，c ＝log 314<0，所以a >b >c ，故选A.]
5.A [f (1)＝－f (－1)＝－(2＋1)＝－3，故选A.]
6.D [A 为奇函数，B ，C ，D 为偶函数，B 在(0，＋∞)上增， C 在(0，＋∞)上不具有单调性，故选D.]
7.C [由f (x ＋1)＝f (1－x )，得f (x ＋2)＝f [(x ＋1)＋1]＝f (－x )＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )，即f (x )是以周期为4的函数，∴f (31)＝f (3)＝f (－1)＝－f (1)， 又x ∈[0，1]时，f (x )＝log 2(x ＋1)，∴f (31)＝－log 2(1＋1)＝－1，故选C.]
8.D
[由题意知：⎩⎨⎧a >0，log 13
a >12，或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0，2a >12.所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫
－1，33，故选D.]
9.C [函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2
，x ∈[0，＋∞），
x 3＋a 2
－3a ＋2，x ∈（－∞，0），
在区间(－∞，＋∞)上是增函数，需满足a 2－3a ＋2≤0，即a 的取值范围是[1，2]，故选C.]
10.C [因为f (x )为奇函数，所以f (f (－16))＝－f (f (16))＝－f (4)＝－cos 2π3＝1
2，故选C.]
11.D [因为f (0)＝a 2，则x >0时，f (x )＝x ＋1
x ≥2，x ≤0时，f (x )＝(x －a )2，利用图象可以得到a 的取值范围是[0，2]，故选D.]
12.D [∵2<log 25<3，∴3<1＋log 25<4，则4<2＋log 25<5，则f (1＋log 25)＝f (1＋1＋log 25)＝f (2＋log 25)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋log 25＝14×⎝ ⎛⎭
⎪⎫12log 25＝14×
15＝1
20，故选D.] 13.(－3，1) [如图，画出f (x )的图象，由图象易得f (x )在R 上单调递减，∵f (3－a 2)<f (2a )，∴3－a 2>2a ，解得－3<a <1.]
14.C [对A ，点(1，0)在函数的图象上，但02≥12不成立，排除A ；对B ，点⎝ ⎛
⎭⎪⎫－1，1e －1在函数
的图象上，但⎝ ⎛⎭⎪⎫1e －12
≥(－1)2不成立，排除B ；对D ，点(π，0)在函数的图象上，但02≥π2不成
立，排除D ，故选C.]
15.2 [a ＋⎠⎛0x
(1－cos t )d t ＝a ＋x －sin x ，所以f (x )＝⎩
⎨⎧ln x ，x >0，
a ＋x －sin x ，x ≤0，因为f (f (1))＝2，代入计算
得a ＝2.]
16.0<a ≤4且a ≠1 [因为函数f (x )＝log a (x ＋a x －4)(a >0且a ≠1)的值域为R ，所以g (x )＝x ＋a
x －4，能取遍所有的正实数，所以g (x )的最小值小于等于0，即g (x )≥2a －4，所以2a －4≤0，所以0<a ≤4且a ≠1.]
17.C [当a ＝0时，f (x )＝|x |在区间(0，＋∞)上单调递增；当a <0时，f (x )＝(－ax ＋1)x ＝－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x －1a x ，结合二次函数的图象可知f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，函数f (x )＝|(ax －1)x |的图象大致如图：
函数f (x )在区间(0，＋∞)上有增有减，从而a ≤0是函数f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)上单调递增
的充要条件，故选C.]
18.D [f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝52－b .①当52－b <1即b >32时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫
52－b －b ＝4，解得b ＝78<32，②当52－b ≥1即
b ≤32时，f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝252－b ＝4，解得b ＝12<32，∴b ＝12，故选D.] 19.C [令F (x )＝f (x )－x ，由题知，F (x )在(－∞，0)，(0，＋∞)是减函数，且是奇函数，且F (2)＝0，F (－2)＝0，由函数图象可得，F (x )>0的解集为(－∞，－2)∪(0，2)，选C.]
20.⎝ ⎛⎭⎪⎫
1－316，0 [由所给的新定义的含义可得f (x )＝⎩⎨⎧2x 2
－x ，x ≤0，－x 2
＋x ，x >0，
在同一直角坐标系中作出函数y ＝f (x )和y ＝m 的图象(如图)，要使方程f (x )＝m (m ∈R )恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，需满足m ∈⎝ ⎛
⎭
⎪⎫0，14.
当x >0时，x 2，x 3是方程f (x )＝m 即x 2－x ＋m ＝0的两个根，所以x 2x 3＝m ； 当x <0时，x 1是方程f (x )＝m 即2x 2－x －m ＝0的根， 所以x 1＝
1－1＋8m
4
， 所以x 1x 2x 3＝1－1＋8m 4×m ，m ∈
⎝ ⎛
⎭
⎪⎫0，14. 设1＋8m ＝t ∈(1，3)⇒m ＝t 2－1
8(t ∈(1，3))，代入上式， 并令h (t )＝1－t 4×t 2－18＝1
32(－t 3＋t 2＋t －1)，t ∈(1，3)， 则h ′(t )＝132(－3t 2＋2t ＋1)，令h ′(t )>0，解得－1
3<t <1， 因为t ∈(1，3)，所以h (t )在t ∈(1，3)上单调递减， 所以h (3)<h (t )<h (1)，h (3)＝1－34×3－18＝1－3
16，
h (1)＝0，所以1－3
16<h (t )<0， 所以x 1x 2x 3的取值范围为⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1－316，0.]
21.B [依题意，在同一坐标系上画出函数y ＝f (x )与y ＝g (x )在区间[－4，4]上的图象(注：当x ∈
[－1，1]时，f (x )＝1－x 2的图象是以原点为圆心、1为半径的半圆C 1；将半圆C 1向右平移2个单位，再将每个点的纵坐标伸长为原来的2倍得到曲线C 2，曲线C 2即为函数y ＝f (x )在区间[1，3]上的图象；将曲线C 2向右平移2个单位，再将每个点的纵坐标伸长为原来的2倍得到曲线C 3，曲线C 3即为函数y ＝f (x )在区间[3，5]上的图象；将半圆C 1向左平移2个单位，再将每个点的纵坐标缩短为原来的1
2得到曲线C －1，曲线C －1即为函数y ＝f (x )在区间[－3，－1]上的图象；将曲线C －1向左平移2个单位，再将每个点的纵坐标缩短为原来的1
2得到曲线C －2，曲线C －2即为函数y ＝f (x )在区间[－5，－3]上的图象).注意到e －4<1
4，ln 4<4，结合图象可知，它们在[－4，4]上的公共点的个数为8，即函数y ＝f (x )－g (x )在区间[－4，4]上的零点个数是8，选B.] 22.A [由题意知f (x )min ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1≥g (x )min (x ∈[2，3])，因为f (x )min ＝5，g (x )min ＝4＋a ，所以5≥4
＋a ，即a ≤1，故选A.]
23.⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，12∪⎝ ⎛⎦⎥⎤－1＋52，1 [如图，当直线y ＝ax ＋1过点B (2，2)时，a ＝12，满足方程有两个解；当直线y ＝ax ＋1与f (x )＝2x －1(x ≥2)的图象相切时，a ＝－1＋5
2，满足方程有两个解；当
直线y ＝ax ＋1过点A (1，2)时，a ＝1，满足方程恰有一个解.故实数a 的取值范围为⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，12∪
⎝ ⎛⎦
⎥⎤
－1＋52，1.]
24.②④ [对于①，方程
1x ＋1
＝1
x ＋1，显然无实数解；对于②，由方程2x ＋1＝2x ＋2，解得x ＝1；对于③，方程lg[(x ＋1)2＋2]＝lg(x 2＋2)＋lg 3，也无实数解；对于④，方程cos[π(x ＋1)]＝cos πx ＋cos π，即cos πx ＝1
2，显然存在x 使等式成立，故填②④.]
25.D [对①，∵对任意的实数x 1，x 2都有f (x 1)f (x 2)＋g (x 1)g (x 2)＝g (x 1－x 2)且f (－1)＝－1，f (0)＝0，f (1)＝1，令x 1＝x 2＝1，得[f (1)]2＋[g (1)]2＝g (0)， ∴1＋[g (1)]2＝g (0)，∴g (0)－1＝[g (1)]2； 令x 1＝1，x 2＝0，得f (1)f (0)＋g (1)g (0)＝g (1)，
∴g (1)g (0)＝g (1)，g (1)[g (0)－1]＝0，
解方程组⎩⎨⎧g （1）[g （0）－1]＝0，g （0）－1＝[g （1）]2
得⎩⎨⎧g （0）＝1，
g （1）＝0即①正确. 对②，令x 1＝0，x 2＝－1，得f (0)f (－1)＋g (0)g (－1)＝g (1)， ∴g (－1)＝0；
令x 1＝1，x 2＝－1，得f (1)f (－1)＋g (1)g (－1)＝g (2)，∴g (2)＝－1≠1，即②不正确. 对③，令x 1＝x 2＝x ，得[f (x )]2＋[g (x )]2＝g (0)＝1，即③正确.
对④，由③可知，f 2(x )≤1，g 2(x )≤1，∴|f (x )|≤1，|g (x )|≤1，∴当n >2，n ∈N *时，[f (x )]n ＋[g (x )]n ≤[f (x )]2＋[g (x )]2＝1，即④正确.综上，①③④是正确的，故选D.] 26.解 (1)当x ＝0时，t ＝0 ， 当0<x ≤24时：t ＝
x x 2
＋1＝1x ＋1x ≤12x ·
1
x
＝1
2， 当且仅当x ＝1
x ，即x ＝±1，又0<x ≤24，即x ＝1时取等号. 而显然t >0，综上所述，t 的取值范围是⎣⎢⎡
⎦⎥⎤0，12；
(2)记g (t )＝a |t －a |＋a ＋169，t ∈⎣⎢⎡
⎦⎥⎤0，12，
则g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧－at ＋a 2
＋a ＋169，0≤t <a ，
at －a 2
＋a ＋169，a ≤t ≤12，
显然g (t )在[0，a )上单调递减，在⎣⎢⎡
⎦⎥⎤a ，12上单调递增，∴g (t )的最大值可能在t ＝0或t ＝12时取到，
而g (0)－g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝a 2
＋a ＋169－⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＋32a ＋169＝2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －14， ∵a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14，∴2a ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫a －14≤0，
∴g (0)≤g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，∴M (a )＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫
12＝－a 2＋32a ＋169，
由－a 2＋32a ＋169≤2及0<a ≤14得0<a ≤1
6，
故当a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，16时，污染指数不超标；当a ∈⎝ ⎛⎦
⎥⎤
16，14时，染污指数超标.
4.函数的基本性质
【三年高考真题演练】
[2016年高考真题] 1.D [y ＝
1
1－x
与y ＝ln(x ＋1)在区间(－1，1)上为增函数； y ＝cos x 在区间(－1，1)上不是单调函数；y ＝2－x
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x
在(－1，1)上单调递减.]
2.D [当x >12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x －12，即f (x )＝f (x ＋1)，
∴T ＝1，∴f (6)＝f (1).当x <0时，f (x )＝x 3－1且－1≤x ≤1， f (－x )＝－f (x )，∴f (2)＝f (1)＝－f (－1)＝2，故选D.]
3.B [由题f (x )＝f (2－x )关于x ＝1对称，函数y ＝|x 2－2x －3|的图象也关于x ＝1对称，因此根据图象的特征可得∑i ＝1m
x i ＝m ，故选B.]
4.2 [f (x )＝x x －1＝1＋1x －1，所以f (x )在[2，＋∞)上单调递减，则f (x )最大值为f (2)＝2
2－1＝2.]
5.－2 [首先，f (x )是周期为2的函数，所以f (x )＝f (x ＋2)； 而f (x )是奇函数，所以f (x )＝－f (－x )，
所以：f (1)＝f (－1)，f (1)＝－f (－1)，即f (1)＝0， 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
12＝412＝2，
故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－2，从而f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－52＋f (1)＝－2.]
6.－25 [由已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
－12＝－12＋a ，
f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92－4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－12＝1
10. 又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
92，则－12＋a ＝110，a ＝35， ∴f (5a )＝f (3)＝f (3－4)＝f (－1)＝－1＋35＝－2
5.] [两年经典高考真题]
1.A [易知函数定义域为(－1，1)，f (－x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )＝－f (x )，故函数f (x )为奇函数，又f (x )＝ln 1＋x 1－x ＝ln ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫－1－2x －1，由复合函数单调性判断方法知，f (x )在(0，1)上是增函数，故选A.]
2.A [显然y ＝x ＋1是(0，＋∞)上的增函数；y ＝(x －1)2在(0，1)上是减函数，在(1，＋∞)上是
增函数；y ＝2－x
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x
在x ∈R 上是减函数；y ＝log 0.5(x ＋1)在(－1，＋∞)上是减函数.故选A.]
3.D [根据各选项知，选项C 、D 中的指数函数满足f (x ＋y )＝f (x )·f (y ).又f (x )＝3x 是增函数，所以D 正确.]
4.D [因为f (x )＝kx －ln x ，所以f ′(x )＝k －1
x .因为f (x )在区间(1，＋∞)上单调递增，所以当x ＞1时，f ′(x )＝k －1x ≥0恒成立，即k ≥1x 在区间(1，＋∞)上恒成立.因为x ＞1，所以0＜1
x ＜1，所以k ≥1.故选D.]
5.⎝ ⎛⎭⎪⎫
－22，0 [由题可得f (x )<0对于x ∈[m ，m ＋1]恒成立，即⎩⎨⎧f （m ）＝2m 2
－1<0，f （m ＋1）＝2m 2＋3m <0，
解得－2
2<m <0.]
6.(－1，3) [由题可知，当－2<x <2时，f (x )>0.f (x －1)的图象是由f (x )的图象向右平移1个单位长度得到的，若f (x －1)>0，则－1<x <3.]
7.A [由于y ＝sin x 是奇函数；y ＝ln x 是非奇非偶函数；y ＝x 2＋1是偶函数但没有零点；只有y ＝cos x 是偶函数又有零点.]
8.A [令f (x )＝x ＋e x ，则f (1)＝1＋e ，f (－1)＝－1＋e －1，即f (－1)≠f (1)，f (－1)≠－f (1)，所以y ＝x ＋e x 既不是奇函数也不是偶函数，而B 、C 、D 依次是奇函数、偶函数、偶函数，故选A.] 9.D [由奇函数定义易知y ＝e x －e －x 为奇函数，故选D.] 10.C [∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， 即2－x ＋12－x －a ＝－2x ＋12x －a
，整理得(1－a )(2x ＋1)＝0， ∴a ＝1，∴f (x )＞3即为2x ＋1
2x －1＞3，化简得(2x －2)(2x －1)＜0，
∴1＜2x ＜2，∴0＜x ＜1.]
11.D [函数f (x )＝x －1和f (x )＝x 2＋x 既不是偶函数也不是奇函数，排除选项A 和选项B ；选项C 中f (x )＝2x －2－x ，则f (－x )＝2－x －2x ＝－(2x －2－x )＝－f (x )，所以f (x )＝2x －2－x 为奇函数，排除选项C ；选项D 中f (x )＝2x ＋2－x ，则f (－x )＝2－x ＋2x ＝f (x )，所以f (x )＝2x ＋2－x 为偶函数，故选D.]
12.C 13.A 14.D
15.C [用“－x ”代替“x ”，得f (－x )－g (－x )＝(－x )3＋(－x )2＋1，化简得f (x )＋g (x )＝－x 3＋x 2＋1，令x ＝1，得f (1)＋g (1)＝1，故选C.]
16.B [由题意得，若a ＝0，f (x )＝x ，显然成立；
若a ≠0，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎨⎧x －3a 2，x >2a 2，
－a 2，a 2
<x ≤2a 2
，－x ，0≤x ≤a 2，
作出x ≥0的图象，利用f (x )是奇函数作出整个定义
域上的图象如图：
而f (x －1)的图象是由f (x )的图象向右平移1个单位得到的，要满足对任意实数x ，都有f (x －1)≤f (x )，至少应向右平移6a 2个单位，所以6a 2≤1，解得－66≤a ≤6
6，且a ≠0. 综上，实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－66
，66.]
17.－3
2 [由题意得f (－x )＝ln(e －3x ＋1)－ax ＝ln 1＋e 3x
e 3x －ax ＝ln(1＋e 3x )－ln e 3x －ax ＝ln(e 3x ＋1)－(3＋a )x ，而
f (x )为偶函数，因此f (－x )＝f (x )，即ax ＝－(3＋a )x ，所以a ＝－3
2.]
18.D [排除法，A 中，当x 1＝π2，x 2＝－π
2时，f (sin 2x 1)＝f (sin 2x 2)＝f (0)，而sin x 1≠sin x 2，∴A 不
对；B 同上；C 中，当x 1＝－1，x 2＝1时，f (x 21＋1)＝f (x 2
2＋1)＝f (2)，而|x 1＋1|≠|x 2＋1|，
∴C 不对，故选D.] 19.A [由f (x )＝ln(1＋|x |)－1
1＋x 2
，知f (x )为R 上的偶函数，于是f (x )＞f (2x －1)即为f (|x |)＞f (|2x －1|).
当x ＞0时，f (x )＝ln(1＋x )－
11＋x 2，得f ′(x )＝11＋x ＋2x
（1＋x 2）2＞0，所以f (x )为[0，＋∞)上的增函数，则由f (|x |)＞f (|2x －1|)得|x |＞|2x －1|，平方得3x 2－4x ＋1＜0，解得1
3＜x ＜1，故选A.] 20.A [由偶函数的定义知，A ，B 为偶函数.A 选项，f ′(x )＝－2
x 3在(－∞，0)恒大于0；B 选项，f ′(x )＝2x 在(－∞，0)恒小于0.故选A.]
21.A [f (－x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )＝－f (x )，故①正确；因为f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )＝ln
1＋x
1－x
，
又当x∈(－1，1)时，
2x
1＋x2
∈(－1，1)，所以f
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
2x
1＋x2＝ln
1＋
2x
1＋x2
1－
2x
1＋x2
＝ln
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
1＋x
1－x
2
＝2ln
1＋x
1－x＝2f(x)，
故②正确；当x∈[0，1)时，|f(x)|≥2|x|⇔f(x)－2x≥0，令g(x)＝f(x)－2x＝ln(1＋x)－ln(1－x)－2x(x
∈[0，1))，因为g′(x)＝
1
1＋x＋
1
1－x－2＝
2x2
1－x2
>0，所以g(x)在区间[0，1)上单调递增，g(x)＝f(x)
－2x≥g(0)＝0，即f(x)≥2x，又f(x)与y＝2x都为奇函数，所以|f(x)|≥2|x|成立，故③正确，故选A.] 22.B[由题意可得，当x>0时，y＝f(－x)与y＝g(x)的图象有交点，即g(x)＝f(－x)有正解，即x2
＋ln(x＋a)＝(－x)2＋e－x－1
2有正解，即e
－x－ln(x＋a)－
1
2＝0有正解，令F(x)＝e
－x－ln(x＋a)－
1
2，
则F′(x)＝－e－x－
1
x＋a
<0，故函数F(x)＝e－x－ln(x＋a)－
1
2在(0，＋∞)上是单调递减的，要使方程
g(x)＝f(－x)有正解，则存在正数x使得F(x)≥0，即e－x－ln(x＋a)－1
2≥0，所以a≤ee－x－
1
2－x，又
y＝ee－x－1
2－x在(0，＋∞)上单调递减，所以a<ee0－
1
2－0＝e
1
2，选B.]
23.3[因为f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以f(x)＝f(4－x)，f(－x)＝f(4＋x)，又f(－x)＝f(x)，所以f(x)＝f(4＋x)，则f(－1)＝f(4－1)＝f(3)＝3.]
【两年模拟试题精练】
1.C[首先y＝cos x是偶函数，且在(0，π)上单减，而(0，1)⊆(0，π)，故y＝cos x满足条件.故选
C.]
2.D[y＝sin x与y＝ln(x2＋1－x)都是奇函数，y＝e x为非奇非偶函数，y＝ln x2＋1为偶函数，故选D.]
3.B[由f(x)是定义在R上的奇函数得f(0)＝1＋m＝0⇒m＝－1，f(－log3 5)＝－f(log3 5)＝－(3log3 5－1)＝－4，选B.]
4.1
32
[f(3)＝f(5)＝
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫1
2
5
＝
1
32.]
5.C[A虽为增函数却是非奇非偶函数，B、D是偶函数，对于选项C，由奇偶函数的定义可知是奇函数，由复合函数单调性可知在共定义域内是增函数(或y′＝2x ln 2＋2－x ln 2>0)，故选C.]
6.1[∵f(f(1))＝f(0)＝a3＝1，∴a＝1.]
7.－1[因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0.在f(x＋6)＝f(x)＋f(3)中，令x＝－3得f(－3＋6)＝f(－3)＋f(3)⇒f(3)＝－f(3)＋f(3)＝0，知对任意x∈R都有f(x＋6)＝f(x)成立，所以奇函数f(x)是以6为周期的周期函数，所以f(2 015)＋f(2 016)＝f(6×336－1)＋f(6×336)＝f(－1)＋f(0)＝－f(1)＝
－1.]
8.B [f (x )为周期为6的周期函数，且f (1)＝1，f (2)＝2，f (3)＝f (－3)＝－1，f (4)＝f (－2)＝0，f (5)＝f (－1)＝－1，f (6)＝f (0)＝0，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)＝1，
则f (1)＋f (2)＋…＋f (2 012)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 012)＝f (1)＋f (2)＋335＝338，故选B.] 9.D [依题意，对于选项A ，注意到当x ＝－1时，y ＝2；当x ＝1时，y ＝4，因此函数y ＝x 3＋3x 2不是奇函数.对于选项B ，注意到当x ＝0时，y ＝1≠0，因此函数y ＝e x ＋e －x
2不是奇函数.对于选项C ，注意到当x ＝－π2时，y ＝π2；当x ＝π2时，y ＝π
2，因此函数y ＝x sin x 不是奇函数.对于选项D ，由
3－x
3＋x
>0得－3<x <3， 即函数y ＝log 2
3－x
3＋x
的定义域是(－3，3)，该数集是关于原点对称的集合， 且log 23－（－x ）3＋（－x ）＋log 23－x 3＋x ＝log 21＝0，即有log 23－（－x ）3＋（－x ）＝－log 23－x 3＋x ，因此函数y ＝
log 23－x 3＋x
是奇函数.综上所述，选D.]
10.B
[因为函数y ＝⎩⎨⎧
e x ，x ≥0，
⎝ ⎛⎭
⎪⎫1e x ，x <0为偶函数，且在(－∞，0)上为减函数，故选B.]
11.D [∵f (x ＋8)为偶函数，∴f (x ＋8)＝f (－x ＋8)，即y ＝f (x )关于直线x ＝8对称.又∵f (x )在(8，＋∞)上为减函数，∴f (x )在(－∞，8)上为增函数.由f (2＋8)＝f (－2＋8)，即f (10)＝f (6)，又由6<7<8，则有f (6)<f (7)，即f (7)>f (10)，故选D.]
12.⎣⎢⎡⎦⎥⎤
12，2 [∵f (x )为偶函数，∴f (log 12a )＝f (－log 2a )＝f (log 2a )，代入f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)得f (log 2a )≤f (1)，又∵f (x )为增函数，∴|log 2a |≤1，解得1
2≤a ≤2.] 13.D
14.[5，＋∞) [依题意得，当x ∈[0，1]时，f (x )＝x －
1
x ＋1
单调递增，f (x )的最小值是f (0)＝－1，则要求存在x ∈[1，3]，关于x 的不等式x 2－2ax ＋4≤－1，即a ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫
x ＋5x 有解，所以
a ≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤
12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋5x min
.注意到当x ∈[1，3]时，12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋5x ≥
x ·5x ＝5，当且仅当x ＝5
x ，即x ＝5∈[1，3]
时取等号，此时⎣⎢⎡⎦⎥⎤
12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋5x min
＝5，所以a ≥5，则实数a 的取值范围是[5，＋∞).]。