2020版新学优数学同步人教A必修五课件：2.5 第1课时 等比数列的前n项和

S6=
1
a1=2,a6=16,则
.
解析:①由公式可得
②由
.
3×(1-45 )
S5=
=1
1-4
023.
1
a1=2,a6=16,得 q=2,
1
63
2-16×2
故 S6=
1-2
答案:①1 023=2. Nhomakorabea63
②2
第七页，编辑于星期日：一点 二十八分。
课前篇自主预习
二、错位相减法求数列的和
1.思考:推导等比数列前n项和公式的方法称为错位相减法,这种方法还适合
和一个等比数列的各项相乘得到的数列,可以采用错位相减法求和.
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课堂篇探究学习
探究一
1
2
探究二
思维辨析
5
8
2-1
,①
2
2-1
3
4
当堂检测
解:设 Sn= + + +…+
1
1 3
5
则2Sn=4 + 8 + 16+…+ +1 ,②
2
1
1 2 2
2
2
①-②,得2Sn=2 + 4 + 8 + 16+…+
1 (1-1 )
1 -
(n≥2).当 n=1 时,S1=a1=
,也满足上式.于是 Sn=
1-
1-
1-
1 (1- )
(q≠1).
1-
=
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4.填空:
等比数列的前n项和公式
已知量
求和公式
首项、公比与项数
na1 ,q = 1,
Sn= a 1 (1-q n )
正解:(1)当 a=0 时,易得数列的前 n 项和 Sn=1.
(2)当 a≠0 时,数列是公比为 2a 的等比数列.
1
若 2a=1,即 a=2,这时数列为常数列,Sn=n×1=n;
1
1-(2)
若 2a≠1,即 a≠2,其前 n 项和 Sn= 1-2 .
1-(2)
又当 a=0 时,Sn=1,适合 Sn= 1-2 ,
1-
1 -
.
1-
Sn=
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6.做一做:
(1)判断正误.
①数列
1 1 2
1 100
1, ,
,…,
的各项和等于
2 2
2
2 1-
1 100
2
.(
)
②若首项为 a 的数列既是等比数列又是等差数列,则其前 n 项和等于
na. (
)
③若 a∈R,则
15
所以 4 =
= .
2
21
2
(2)从第 5 项到第 10 项的和等于
答案:(1)C
63
(2)
1 024
17
D.
2
10 项的和等于
1
1 10
2 1- 2
S10-S4=
1
1-2
.
1
1 4
2 1- 2
−
1
1-2
=
63
.
1 024
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探究一
探究二
思维辨析
2
2
2
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课堂篇探究学习
探究一
探究二
思维辨析
当堂检测
反思感悟1.如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应
项乘积组成,此时可把式子Sn=a1+a2+…+an两边同乘公比q,得到
qSn=a1q+a2q+…+anq,两式错位相减整理即可求出Sn.
2.错位相减法求和是一种非常重要的求和方法,这种方法的计算过程
3.做一做:
下列数列中,可以用错位相减法求和的是(
A.{n2}
B.{n+3n}
C.
1
-· 2
D.
)
2

解析:C项中的数列是一个等差数列与一个等比数列对应项的积,故可用
错位相减法求和.
答案:C
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探究一
探究二
思维辨析
当堂检测
等比数列前n项和公式的应用
1
96
所以 a1=3.又因为 2n-1= 3 =32,故 n=6.
1 -
及已知条件,得
1-
(方法 2)由公式 Sn=
1 -96×2
,解得 a1=3.又
1-2
189=
由 an=a1·qn-1,得 96=3·2n-1,解得 n=6.
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课堂篇探究学习
探究一

故 Sn=
1-(2)
1-2
,
,
≠
=
1
,
2
1
.
2
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探究一
探究二
思维辨析
当堂检测
防范措施等比数列与等差数列相比,具有更多的特殊性,例如:等比数列
中的任何一项均不能为零,等比数列的求和公式中,要分q=1和q≠1两种情况
1
2
3
-1
2 +3 +…+
由等比性质,得 + +…+ =q,至此你能用 a1 和
1
2
-1
+ +…+
-
q 表示出 Sn 吗?
-
提示:由 2+ 3+…+ =q(n≥2),得 1 =q,于是 Sn= 1 =
-
1-
1
2
-1
1 (1- )
例1在等比数列{an}中,Sn为其前n项和,解决下列问题:
(1)若an=3×2n,求S6;
5
4
(2)若 a1+a3=10,a4+a6= ,求 S5;
(3)若Sn=189,q=2,an=96,求a1和n.
分析:先利用等比数列前n项和公式直接计算或建立方程组求得基本量后,
再代入计算.
解:(1)因为 an=3×2n=6×2n-1,所以该等比数列的首项 a1=6,公比 q=2,
1-
1+a+a2+…+an-1=

1-

n-1 1×(1-2)
④1-2+4-8+16-…+(-2) =
.(
1-(-2)
答案:①× ②√
.(
)
)
③× ④×
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课前篇自主预习
(2)①在等比数列{an}中,Sn为其前n项和,若a1=3,q=4,则S5=
②在等比数列{an}中,Sn 为其前 n 项和,若
第1课时
等比数列的前n项和
-1-
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课标阐释
思维脉络
1.掌握等比数列前 n 项和公式的
等比数列的前 n 项和
推导方法.
前 n 项和公式的推导
2.掌握等比数列的前 n 项和公
式,能够运用公式解决相关问题. 前 n 项和公式的应用
3.理解并掌握错位相减法求数
错位相减法求和
解:依题意,得 an=5·5n-1=5n,
1
2
于是 bn=5n·log255n= n·5n.
1
1
1
2 1
3
所以 Sn= ×1×5+ ×2×5 + ×3×5 +…+ ×n×5n,
2
2
2
2
1
1
1
1
1
则 5Sn=2×1×52+2×2×53+2×3×54+…+2×(n-1)×5n+2×n×5n+1,
1
1 2 1 3
1 n 1
两式相减,得-4Sn=2×5+2×5 +2×5 +…+2×5 -2×n×5n+1,

1
1
1
5(1-5
)
n
n+1
2
3
即-4Sn= (5+5 +5 +…+5 )- ×n×5 = ×
−
2
2
2
1-5
+1
1
-5 ·5+1
n+1 5
×n×5 = 8 − 2 ,
2
5-5+1 +4·5+1
故 Sn=
探究二
思维辨析
当堂检测
反思感悟在等比数列{an}的五个量a1,q,an,n,Sn中,a1与q是最基本的元素,当
条件与结论间的联系不明显时,均可以用a1与q表示an与Sn,从而列方程
组求解,在解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的目的.这是
方程思想与整体思想在数列中的具体应用.
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较为复杂,对计算能力要求较高,应加强训练,要注意通过训练,掌握在
错位相减过程中的几个关键环节,避免出错.
第十八页，编辑于星期日：一点 二十八分。
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探究一
思维辨析
探究二
当堂检测
变式训练2已知数列{an}是首项、公比都为5的等比数
列,bn=anlog25an(n∈N*),求数列{bn}的前n项和Sn.
列前 n 项和的方法及应用.
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课前篇自主预习
一、等比数列的前n项和公式
1.思考:若等比数列{an}的公比q=1,这时数列{an}是什么数列?其前n项和
公式是什么?
提示:数列{an}是常数列,这时Sn=na1.
2.思考:对于等比数列{an},若q≠1,Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn1=a +q(a +a q+…+a qn-2+a qn-1-a qn-1)=a +q(S -a qn-1),至此,你能用a
当堂检测
例2设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S2+S4=S6,求其公比q.
分析:可根据前n项和公式建立公比q的方程求解,但必须先对q的值分
q=1和q≠1进行分类讨论.
解:(1)若q=1,则S2=2a1,S4=4a1,S6=6a1,显然满足S2+S4=S6,所以q=1符合
题意;
(2)若
1 (1-2 ) 1 (1-4 )
1
1
1
1
1
1
1
1
n 1
和q表示出Sn吗?
提示:由 Sn=a1+q(Sn-a1q ),得(1-q)Sn=a1-a1q .所以
n-1
n
1 (1- )
Sn=
(q≠1).
1-
第三页，编辑于星期日：一点 二十八分。
课前篇自主预习




3.思考:在等比数列{an}中,若 q≠1,当 n≥2 时,2 = 3 = 4=…= =q.
q≠1,则
+
1-
1-
=
1 (1-6 )
,整理,得(q2+1)(q+1)2(q1-
1)2=0,解得q=-1(q=1舍去).综上,公比q的值等于1或-1.
反思感悟在利用等比数列的前n项和公式时,若其公比不确定,则应对公
比分q=1和q≠1两种情况分别进行讨论.
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.
32
第十九页，编辑于星期日：一点 二十八分。
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探究一
探究二
思维辨析
当堂检测
忽视等比数列前n项和公式应用的条件致误
典例求数列1,2a,4a2,8a3,…的前n项和Sn.
错解:该数列是首项为 1,公比为 2a 的等比数列,所以其前 n 项和
1-(2)
Sn= 1-2 .
提示:错解中,忽视了根据公比对参数a的取值进行讨论,从而导致错误.
2
1
1
+…+
8
2-1
−
2-1
2+1
1
=2+
1
1 -1
2 1- 2
1
1-2
−
−
2-1
1
1
1
1
+1 ,即2Sn=2 + 2 + 4 +
2
2-1
2+1
1
1 -1
2-1
3
1
2-1
=2+1- 2
− +1 = 2 − -1 − +1 .
2
2
2
1
2-1
2+3
所以 Sn=3- -2 − =3- .
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探究一
探究二
思维辨析
当堂检测
延伸探究本例中,若条件改为“数列{an}是等比数列,其前n项和为Sn,且
S3=3a3”,再求其公比q的值.
解:当 q=1 时,S3=3a1=3a3,符合题意;
1 (1-3 )
当 q≠1 时,
=3a1q2,因为 a1≠0,所以
1-
1
上,q=1 或 q=-2.
于什么类型的数列求和呢?
提示:形如{an·bn}(其中{an}为等差数列,{bn}为等比数列)的数列都可用错
位相减法求和.
2.填空:
错位相减法求数列和
推导等比数列前n项和的方法叫做错位相减法,一般适用于求一个等
差数列与一个等比数列对应项积的前n项和.
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探究一
探究二
思维辨析
当堂检测
变式训练 1(1)设等比数列{an}的公比 q=2,前 n 项和为 Sn,则
4
=(
2
)
A.2
B.4
15
C.
2
1 1 1 1
(2)等比数列 , , , ,…从第 5 项到第
2 4 8 16
1 (1-24 )
解析:(1)因为 S4=
=15a1,
1-2

151
,q ≠ 1
1-q
首项、末项与公比
na1 ,q = 1,
Sn= a 1 -a n q ,q ≠ 1
1-q
5.对等比数列前n项和公式的说明:
(1)等比数列的前n项和公式分q=1和q≠1两种情形,注意应用公式的前提条
件;
(2)当 q≠1 时,若已知 a1,q,用公式
1 (1- )
Sn=
;若已知 a1,an,q,则用公式
2
= ,
31
= 2.
1 (1-2 )
189 =
,
1-2
(1- )
1
(3)(方法 1)由 Sn= 1- ,an=a1qn-1 以及已知条件,得
96 = 1 ·2-1 ,
n
n 192
所以 a1·2 =192,所以 2 = .