简单的三角恒等变换 专题训练

简单的三角恒等变换
一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．(优质试题·苏州暑假测试)已知α∈(0，π)，cos α＝－4
5
，则
tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫α＋π4＝________. 解析：由α∈(0，π)，cos α＝－45，得tan α＝－34，
则tan ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝－34＋11＋
34＝1
7. 答案：1
7
2．设sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝1
3
，则sin 2θ＝________.
解析：由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝13
，得22sin θ＋22cos θ＝13，即sin θ＋cos θ
＝
23，两边平方，得1＋sin 2θ＝29，所以sin 2θ＝－7
9. 答案：－79
3．若tan θ＝3，则sin 2θ
1＋cos 2θ＝________.
解析：sin 2θ1＋cos 2θ＝2sin θcos θ
1＋2cos 2θ－1＝tan θ＝ 3.
答案： 3
4．化简：cos 40°
cos 25°1－sin 40°＝________.
解析：原式＝cos 220°－sin 220°
cos 25°(cos 20°－sin 20°)
答案： 2
5．已知tan(3π－x )＝2，则2cos 2x
2
－sin x －1
sin x ＋cos x ＝________.
解析：由诱导公式得tan(3π－x )＝－tan x ＝2， 故2cos 2x
2
－sin x －1
sin x ＋cos x ＝cos x －sin x sin x ＋cos x ＝1－tan x tan x ＋1＝－3.
答案：－3
6．在△ABC 中，sin(C －A )＝1，sin B ＝1
3，则sin A ＝______.
解析：因为sin(C －A )＝1，所以C －A ＝90°，即C ＝90°＋A ， 因为sin B ＝1
3，所以sin B ＝sin(A ＋C )＝sin(90°＋2A )＝cos 2A
＝13，即1－2sin 2A ＝13，所以sin A ＝33
. 答案：33
二保高考，全练题型做到高考达标
1．(优质试题·金陵中学检测)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π6＋α，则cos 2α
＝________.
解析：因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π6＋α，
所以12cos α－32sin α＝32cos α－1
2
sin α，
即⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32sin α＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫
12
－32cos α，
所以tan α＝sin α
cos α＝－1，
所以cos 2α＝cos2α－sin2α＝cos2α－sin2α
sin2α＋cos2α
＝
1－tan2α
tan2α＋1
＝0.
答案：0
2．已知sin 2α＝3
5⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
π
2<2α<π，tan(α－β)＝
1
2，则tan(α＋β)＝
________.
解析：由题意，可得cos 2α＝－4
5，则tan 2α＝－3
4，tan(α＋β)
＝tan[2α－(α－β)]＝tan 2α－tan(α－β)
1＋tan 2αtan(α－β)
＝－2.
答案：－2
3．计算：2cos 10°－sin 20°
sin 70°＝________.
解析：原式＝2cos(30°－20°)－sin 20°
sin 70°
＝2(cos 30°cos 20°＋sin 30°sin 20°)－sin 20°
sin 70°
＝3cos 20°
cos 20°＝ 3.
答案： 3
4．在斜三角形ABC中，sin A＝－2cos B cos C，且tan B·tan C ＝1－2，则角A的值为________．
解析：由题意知，sin A＝－2cos B cos C＝sin(B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C，
在等式－2cos B cos C＝sin B cos C＋cos B sin C两边同除以cos B cos C得tan B＋tan C＝－2，
又tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C
1－tan B tan C ＝－1＝－tan A ，
即tan A ＝1，所以A ＝π
4.
答案：π
4
5．若tan α＝3，则sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫
2α＋π4＝________.
解析：因为sin 2α＝2sin αcos α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝3
5
，cos
2α＝cos 2α－sin 2
α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α
＝－45，
所以sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝22sin 2α＋2
2cos 2α ＝22×35＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－2
10. 答案：－210
6．已知cos(α＋β)＝16，cos(α－β)＝1
3，则tan αtan β的值为
________．
解析：因为cos(α＋β)＝1
6，
所以cos αcos β－sin αsin β＝1
6.①
因为cos(α－β)＝1
3
，
所以cos αcos β＋sin αsin β＝1
3.②
①＋②得cos αcos β＝1
4
.
②－①得sin αsin β＝1
12.
所以tan αtan β＝sin αsin βcos αcos β＝1
3.
答案：1
3
7．已知方程x 2＋3ax ＋3a ＋1＝0(a ＞1)的两根分别为tan α，tan β，
且α，β∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－π2，π2，则α＋β＝________.
解析：由已知得tan α＋tan β＝－3a ，tan αtan β＝3a ＋1， 所以tan(α＋β)＝1.
又因为α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
－π2，π2，tan α＋tan β＝－3a ＜0，tan αtan β＝
3a ＋1＞0，所以tan α＜0，tan β＜0，所以α，β∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－π2，0，
所以α＋β∈(－π，0)，所以α＋β＝－3π
4.
答案：－3π
4
8．计算：3tan 12°－3
(4cos 12°－2)sin 12°＝________.
解析：原式＝3·
sin 12°
cos 12°
－32(2cos 212°－1)sin 12°
＝
23⎝ ⎛⎭
⎪⎫12sin 12°－3
2cos 12°
cos 12°2cos 24°sin 12°＝23sin (－48°)
2cos 24°sin 12°cos 12°
＝－23sin 48°sin 24°cos 24°＝－23sin 48°
1
2sin 48°＝－4 3. 答案：－4 3
⎝⎭⎝⎭
＋β)的值，并求出α＋β的值．
解：由cos β＝
5
5，β∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，π2， 得sin β＝25
5
，tan β＝2.
所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β
＝－13
＋2
1＋
23
＝1.
因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，β∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，π2， 所以π2<α＋β<3π
2，
所以α＋β＝
5π
4
. 10．已知函数f (x )＝A cos ⎝
⎛⎭
⎪⎫x 4＋π6，x ∈R ，且f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π3＝ 2.
(1)求A 的值；
(2)设α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4α＋4π3＝－3017，f ⎝ ⎛
⎭⎪⎫4β－2π3＝85
，求cos(α
＋β)的值．
解：(1)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋π6＝A cos π4＝2
2A ＝2，所以A ＝2.
(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4α＋4π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
α＋π3＋π6
＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－2sin α＝－3017，
得sin α＝15
17，又α∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，π2，
所以cos α＝8
17
.
由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4β－2π3＝2cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫β－π6＋π6
＝2cos β＝85
，
得cos β＝4
5，又β∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，π2，
所以sin β＝3
5
，
所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝817×45－1517×35＝－1385
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1．计算：cos π9·cos 2π9·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π9＝________.
解析：cos π9·cos 2π
9·cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－23π9
＝cos 20°·cos 40°·cos 100° ＝－cos 20°·cos 40°·cos 80° ＝－
sin 20°·cos 20°·cos 40°·cos 80°
sin 20°
＝－1
2sin 40°·cos 40°·cos 80°sin 20°
＝－1
4sin 80°·cos 80°sin 20°
＝－18sin 160°sin 20°＝－18sin 20°sin 20°＝－18
.
答案：－1
8
2．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点P (－3，3)．
(1)求sin 2α－tan α的值；
(2)若函数f (x )＝cos(x －α)cos α－sin(x －α)sin α，求函数g (x )＝3
f ⎝
⎛⎭
⎪⎫π2－2x －2f 2(x )在区间⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤
0，2π3上的值域． 解：(1)因为角α的终边经过点P (－3，3)， 所以sin α＝12，cos α＝－32，tan α＝－3
3
.
所以sin 2α－tan α＝2sin αcos α－tan α＝－32＋33＝－3
6.
(2)因为f (x )＝cos(x －α)cos α－sin(x －α)sin α＝cos x ，x ∈R ，
所以g (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π2－2x －2cos 2x ＝3sin 2x －1－cos 2x ＝
2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
2x －π6－1，
因为0≤x ≤2π3，所以－π6≤2x －π6≤7π6
.
所以－1
2≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1，所以－2≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－1≤1， 故函数g (x )＝3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －2f 2
(x )在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，2π3上的值域是[－2,1]．。