北京高中会考数学分类——集合与函数

北京高中会考数学分类——集合与函数(总8页)
-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除
北京高中会考数学分类——集合与函数
一．选择题（共12小题）
1．（2015•北京）若集合A={x|﹣5＜x＜2}，B={x|﹣3＜x＜3}，则A∩B=（）
A．{x|﹣3＜x＜2} B．{x|﹣5＜x＜2} C．{x|﹣3＜x＜3} D．{x|﹣5＜x＜3}
2．（2014•北京）若集合A={0，1，2，4}，B={1，2，3}，则A∩B=（）
A．{0，1，2，3，4} B．{0，4} C．{1，2} D．{3}
3．（2014•北京）已知集合A={x|x2﹣2x=0}，B={0，1，2}，则A∩B=（）A．{0} B．{0，1} C．{0，2} D．{0，1，2}
4．（2013•北京）已知集合A={﹣1，0，1}，B={x|﹣1≤x＜1}，则A∩B=（）A．{0} B．{﹣1，0} C．{0，1} D．{﹣1，0，1}
5．（2012•北京）已知集合A={x∈R|3x+2＞0}，B={x∈R|（x+1）（x﹣3）＞0}，则A∩B=（）
A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，）C．﹙，3﹚D．（3，+∞）
6．（2011•北京）已知全集U=R，集合P={x|x2≤1}，那么∁U P=（）
A．（﹣∞，﹣1]B．[1，+∞）C．[﹣1，1]D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
7．（2011•北京）已知点A（0，2），B（2，0）．若点C在函数y=x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为（）
A．4 B．3 C．2 D．1
8．（2011•北京）已知集合P={x|x2≤1}，M={a}．若P∪M=P，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]B．[1，+∞）C．[﹣1，1]D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）
9．（2010•北京）（北京卷理1）集合P={x∈Z|0≤x＜3}，M={x∈Z|x2＜9}，则P∩M=
（）
A．{1，2} B．{0，1，2} C．{x|0≤x＜3} D．{x|0≤x≤3}
10．（2009•北京）设集合，则A∪B=（）A．{x|﹣1≤x＜2} B．C．{x|x＜2} D．{x|1≤x＜2}
11．（2008•北京）已知全集U=R，集合A={x|﹣2≤x＜3}，B={x|x＜﹣1或x≥4}，那么集合A∩B等于（）
A．{x|﹣1＜x＜3} B．{x|x≤﹣1或x＞3} C．{x|﹣2≤x＜﹣1} D．{x|﹣1≤x＜3}
12．（2008•北京）若集合A={x|﹣2≤x≤3}，B={x|x＜﹣1或x＞4}，则集合A∩B等于（）
A．{x|x≤3或x＞4} B．{x|﹣1＜x≤3} C．{x|3≤x＜4} D．{x|﹣2≤x＜﹣1}
二．解答题（共1小题）
13．（2014•北京）已知函数f（x）=2x3﹣3x．
（Ⅰ）求f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值；
（Ⅱ）若过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切，求t的取值范围；
（Ⅲ）问过点A（﹣1，2），B（2，10），C（0，2）分别存在几条直线与曲线y=f（x）相切（只需写出结论）
北京高中会考数学分类——集合与函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．（2015•北京）若集合A={x|﹣5＜x＜2}，B={x|﹣3＜x＜3}，则A∩B=（）A．{x|﹣3＜x＜2} B．{x|﹣5＜x＜2} C．{x|﹣3＜x＜3} D．{x|﹣5＜x＜3} 【考点】交集及其运算．
【专题】集合．
【分析】直接利用集合的交集的运算法则求解即可．
【解答】解：集合A={x|﹣5＜x＜2}，B={x|﹣3＜x＜3}，
则A∩B={x|﹣3＜x＜2}．
故选：A．
【点评】本题考查集合的交集的运算法则，考查计算能力．
2．（2014•北京）若集合A={0，1，2，4}，B={1，2，3}，则A∩B=（）
A．{0，1，2，3，4} B．{0，4} C．{1，2} D．{3}
【考点】交集及其运算．
【专题】集合．
【分析】直接利用交集的运算得答案．
【解答】解：∵A={0，1，2，4}，B={1，2，3}，
∴A∩B={0，1，2，4}∩{1，2，3}={1，2}．
故选：C．
【点评】本题考查交集及其运算，是基础题．
3．（2014•北京）已知集合A={x|x2﹣2x=0}，B={0，1，2}，则A∩B=（）A．{0} B．{0，1} C．{0，2} D．{0，1，2}
【考点】交集及其运算．
【专题】集合．
【分析】解出集合A，再由交的定义求出两集合的交集．
【解答】解：∵A={x|x2﹣2x=0}={0，2}，B={0，1，2}，
∴A∩B={0，2}
故选C
【点评】本题考查交的运算，理解好交的定义是解答的关键．
4．（2013•北京）已知集合A={﹣1，0，1}，B={x|﹣1≤x＜1}，则A∩B=（）A．{0} B．{﹣1，0} C．{0，1} D．{﹣1，0，1}
【考点】交集及其运算．
【专题】集合．
【分析】找出A与B的公共元素，即可确定出两集合的交集．
【解答】解：∵A={﹣1，0，1}，B={x|﹣1≤x＜1}，
∴A∩B={﹣1，0}．
故选B
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
5．（2012•北京）已知集合A={x∈R|3x+2＞0}，B={x∈R|（x+1）（x﹣3）＞0}，则A∩B=（）
A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，）C．﹙，3﹚D．（3，+∞）
【考点】一元二次不等式的解法；交集及其运算．
【专题】集合．
【分析】求出集合B，然后直接求解A∩B．
【解答】解：因为B={x∈R|（x+1）（x﹣3）＞0﹜={x|x＜﹣1或x＞3}，
又集合A={x∈R|3x+2＞0﹜={x|x}，
所以A∩B={x|x}∩{x|x＜﹣1或x＞3}={x|x＞3}，
故选：D．
【点评】本题考查一元二次不等式的解法，交集及其运算，考查计算能力．
6．（2011•北京）已知全集U=R，集合P={x|x2≤1}，那么∁U P=（）
A．（﹣∞，﹣1]B．[1，+∞）C．[﹣1，1]D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【考点】补集及其运算．
【专题】集合．
【分析】先求出集合P中的不等式的解集，然后由全集U=R，根据补集的定义可知，在全集R中不属于集合P的元素构成的集合为集合A的补集，求出集合P的补集即可．
【解答】解：由集合P中的不等式x2≤1，解得﹣1≤x≤1，
所以集合P=[﹣1，1]，由全集U=R，
得到C U P=（﹣∞，1）∪（1，+∞）．
故选D
【点评】此题属于以不等式的解集为平台，考查了补集的运算，是一道基础题．
7．（2011•北京）已知点A（0，2），B（2，0）．若点C在函数y=x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为（）
A．4 B．3 C．2 D．1
【考点】抛物线的应用．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】本题可以设出点C的坐标（a，a2），求出C到直线AB的距离，得出三角形面积表达式，进而得到关于参数a的方程，转化为求解方程根的个数（不必解出这个跟），从而得到点C的个数．
【解答】解：设C（a，a2），由已知得直线AB的方程为，即：x+y﹣2=0
点C到直线AB的距离为：d=，
有三角形ABC的面积为2可得：
=|a+a2﹣2|=2
得：a2+a=0或a2+a﹣4=0，显然方程共有四个根，
可知函数y=x2的图象上存在四个点（如上面图中四个点C1，C2，C3，C4）
使得△ABC的面积为2（即图中的三角形△ABC1，△ABC2，△ABC3，△ABC4）．
故应选：A
【点评】本题考查了截距式直线方程，点到直线的距离公式，三角形的面积的求法，就参数的值或范围，考查了数形结合的思想
8．（2011•北京）已知集合P={x|x2≤1}，M={a}．若P∪M=P，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]B．[1，+∞）C．[﹣1，1]D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）
【考点】集合关系中的参数取值问题．
【专题】集合．
【分析】通过解不等式化简集合P；利用P∪M=P⇔M⊆P；求出a的范围．
【解答】解：∵P={x|x2≤1}，
∴P={x|﹣1≤x≤1}
∵P∪M=P
∴M⊆P
∴a∈P
﹣1≤a≤1
故选：C．
【点评】本题考查不等式的解法、考查集合的包含关系：根据条件P∪M=P⇔M⊆P是解题关键．
9．（2010•北京）（北京卷理1）集合P={x∈Z|0≤x＜3}，M={x∈Z|x2＜9}，则P∩M=
（）
A．{1，2} B．{0，1，2} C．{x|0≤x＜3} D．{x|0≤x≤3}
【考点】交集及其运算．
【专题】集合．
【分析】由题意集合P={x∈Z|0≤x＜3}，M={x∈Z|x2＜9}，分别解出集合P，M，从而求出P∩M．
【解答】解：∵集合P={x∈Z|0≤x＜3}，
∴P={0，1，2}，
∵M={x∈Z|x2＜9}，
∴M={﹣2，﹣1，0，1，2}，
∴P∩M={0，1，2}，
故选B．
【点评】此题考查简单的集合的运算，集合在高考的考查是以基础题为主，题目比较容易，复习中我们应从基础出发．
10．（2009•北京）设集合，则A∪B=（）A．{x|﹣1≤x＜2} B．C．{x|x＜2} D．{x|1≤x＜2}
【考点】并集及其运算；一元二次不等式的解法．
【分析】根据题意，分析集合B，解x2≤1，可得集合B，再求AB的并集可得答案．
【解答】解：∵，B={x|x2≤1}={x|﹣1≤x≤1}，
∴A∪B={x|﹣1≤x＜2}，
故选A．
【点评】本题主要考查集合的基本运算以及简单的不等式的解法．属于基础知识、基本运算的考查．
11．（2008•北京）已知全集U=R，集合A={x|﹣2≤x＜3}，B={x|x＜﹣1或x≥4}，那么集合A∩B等于（）
A．{x|﹣1＜x＜3} B．{x|x≤﹣1或x＞3} C．{x|﹣2≤x＜﹣1} D．{x|﹣1≤x＜3} 【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】由题意全集U=R，集合A={x|﹣2≤x＜3}，B={x|x＜﹣1或x≥4}，根据交集的定义计算A∩B．
【解答】解：∵集合A={x|﹣2≤x＜3}，B={x|x＜﹣1或x≥4}，
∴集合A∩B={x|﹣2≤x＜﹣1}，
故选C．
【点评】此题主要考查集合的交集运算，比较基础．
12．（2008•北京）若集合A={x|﹣2≤x≤3}，B={x|x＜﹣1或x＞4}，则集合A∩B等于
（）
A．{x|x≤3或x＞4} B．{x|﹣1＜x≤3} C．{x|3≤x＜4} D．{x|﹣2≤x＜﹣1}
【考点】交集及其运算．
【分析】结合数轴求解，注意等号．
【解答】解：如图所示
，
易得A∩B={x|﹣2≤x＜﹣1}；
故选D．
【点评】本题考查利用数轴求集合的交集问题，较简单．
二．解答题（共1小题）
13．（2014•北京）已知函数f（x）=2x3﹣3x．
（Ⅰ）求f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值；
（Ⅱ）若过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切，求t的取值范围；
（Ⅲ）问过点A（﹣1，2），B（2，10），C（0，2）分别存在几条直线与曲线y=f（x）相切（只需写出结论）
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数的零点；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】导数的综合应用．
【分析】（Ⅰ）利用导数求得极值点比较f（﹣2），f（﹣），f（），f（1）的大小即得结论；
（Ⅱ）利用导数的几何意义得出切线方程4﹣6+t+3=0，设g（x）=4x3﹣6x2+t+3，则
“过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切”，
等价于“g（x）有3个不同的零点”．利用导数判断函数的单调性进而得出函数的零点情况，得出结论；
（Ⅲ）利用（Ⅱ）的结论写出即可．
【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=2x3﹣3x得f′（x）=6x2﹣3，
令f′（x）=0得，x=﹣或x=，
∵f（﹣2）=﹣10，f（﹣）=，f（）=﹣，f（1）=﹣1，
∴f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值为．
（Ⅱ）设过点P（1，t）的直线与曲线y=f（x）相切于点（x0，y0），
则y0=2﹣3x0，且切线斜率为k=6﹣3，
∴切线方程为y﹣y0=（6﹣3）（x﹣x0），
∴t﹣y0=（6﹣3）（1﹣x0），
即4﹣6+t+3=0，
设g（x）=4x3﹣6x2+t+3，
则“过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切”，等价于“g（x）有3个不同的零点”．
∵g′（x）=12x2﹣12x=12x（x﹣1），
∴g（x）与g′（x）变化情况如下：
x （﹣∞，0） 0 （0，1） 1 （1，+∞） g′（x）+ 0 ﹣ 0 +
g（x）↗ t+3 ↘ t+1 ↗
∴g（0）=t+3是g（x）的极大值，g（1）=t+1是g（x）的极小值．
当g（0）=t+3≤0，即t≤﹣3时，g（x）在区间（﹣∞，1]和（1，+∞）上分别至多有一个零点，故g（x）至多有2个零点．
当g（1）=t+1≥0，即t≥﹣1时，g（x）在区间（﹣∞，0]和（0，+∞）上分别至多有一个零点，故g（x）至多有2个零点．
当g（0）＞0且g（1）＜0，即﹣3＜t＜﹣1时，∵g（﹣1）=t﹣7＜0，g（2）=t+11＞0，∴g（x）分别在区间[﹣1，0），[0，1）和[1，2）上恰有1个零点，由于g（x）在区间（﹣∞，0）和[1，+∞）上单调，
故g（x）分别在区间（﹣∞，0）和[1，+∞）上恰有1个零点．
综上所述，当过点过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切时，t的取值范围是（﹣3，﹣1）．
（Ⅲ）过点A（﹣1，2）存在3条直线与曲线y=f（x）相切；
过点B（2，10）存在2条直线与曲线y=f（x）相切；
过点C（0，2）存在1条直线与曲线y=f（x）相切．
【点评】本题主要考查利用导数求切线方程及判断函数的单调性求最值等知识，考查转化划归思想及分类讨论思想的运用能力和运算能力，属难题．。