最新人教B版高中数学选择性必修第二册第四章 概率与统计4.2.3 二项分布与超几何分布

2021
第四章
高中同步学案
4.2.3 二项分布与超几何分布
内
容
索
引
01
课前篇 自主预习
02
课堂篇 探究学习
课标阐释
1.理解n次独立重复试验的模型,掌握二项分布,并能利用它们解决一些简
单的实际问题.
2.理解超几何分布的意义,能够利用超几何分布的概率公式解决实际问题.
3.通过本节的学习,体会模型化思想在解决问题中的作用,感受概率在生活
反思感悟 n次独立重复试验概率求法的三个步骤
(1)判断:依据n次独立重复试验的特征,判断所给试验是否为独立重复试验;
(2)分拆:判断所求事件是否需要拆分;
(3)计算:就每个事件依据n次独立重复试验的概率公式求解,最后利用互斥
事件概率加法公式计算.
变式训练 1某篮球运动员投篮的命中率为0.7,现投了8次球,求下列事件的
(3)至多有 4 次投中的概率为
C80 ×0.38+C81 ×0.7×0.37+C82 ×0.72×0.36+C83 ×0.73×0.35+C84 ×0.74×0.34≈0.194.
探究二
二项分布
例2某公司招聘员工,先由两位专家面试,若两位专家都同意通过,则视作通
过初审予以录用;若这两位专家都未同意通过,则视作未通过初审不予录用;
具体的分布列.
微思考1
独立重复试验满足什么条件?
提示 (1)每次试验是在相同的条件下进行的;
(2)各次试验的结果互不影响,即每次试验是相互独立的;
(3)每次试验都只有两种结果,即事件要么发生,要么不发生.
微思考2
二项分布与两点分布有什么关系?
提示 (1)两点分布的试验次数只有一次,试验结果只有两种:事件A发生
(X=1)或不发生(X=0);二项分布是指在n次独立重复试验中事件A发生的次
数X的分布列,试验次数为n次,每次试验的结果也只有两种:事件A发生或不
发生.试验结果有n+1种:事件A恰好发生0次,1次,2次,…,n次.
(2)二项分布是两点分布的一般形式,两点分布是一种特殊的二项分布,即
n=1的二项分布.
5
(2)根据题意,X 可能的取值为 0,1,2,3,4,且
2
X~B(4,5),
设 Ai 表示“应聘的 4 人中恰有 i 人被录用”(i=0,1,2,3,4),
因为
3 4 81
0
P(A0)=C4 ×
= ,
5
625
P(A1)=C41
×
P(A2)=C42 ×
2
3 3 216
×
= ,
5
5
625
81
625
=
率公式的应用.
解 设“两位专家都同意通过”为事件A,“只有一位专家同意通过”为事件
B,“通过复审”为事件C.
(1)设“某应聘人员被录用”为事件D,则D=A∪BC,
因为
1
P(A)=
2
1
2
× =
1
,
4
1
1 1
P(B)=2×2×(1-2)=2,
3
P(C)= ,
10
所以
2
P(D)=P(A∪BC)=P(A)+P(B)P(C)= .
概率.(结果保留三位小数)
(1)恰有4次投中;
(2)至少有4次投中;
(3)至多有4次投中.
解 (1)某篮球运动员投篮的命中率为 0.7,现投了 8 次球,恰有 4 次投中的概率
为C84 ×0.74×0.34≈0.136.
(2)至少有 4 次投中的概率为
C84 ×0.74×0.34+C85 ×0.75×0.33+C86 ×0.76×0.32+C87 ×0.77×0.3+C88 ×0.78≈0.942.
1
))=P(A)P(B)+P()P()=
2
(2)随机变量 ξ 的可能取值为 0,1,2,3,4.且 ξ~B
所以 P(ξ=k)=C4
1
2
1 4-
1- 2
所以变量 ξ 的分布列为
ξ
0
P
1
16
= C4
1
2
× +
1
4, 2
1
12
×
1
12
=
1
.
2
.
1 4
(k=0,1,2,3,4).
2
1
2
3
4
1
4
3
8
1
4
1
16
探究三
超几何分布
例3在一次购物抽奖活动中,假设10张奖券中有一等奖奖券1张,可获价值50
元的奖品,有二等奖奖券3张,每张可获价值10元的奖品,其余6张没有奖品.
(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张,求中奖次数X的分布列;
(2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张,
①求顾客乙中奖的概率;
…
k
…
…
名师点析 求超几何分布列的步骤
(1)验证随机变量是否服从超几何分布,并确定参数N,M,n;
(2)确定X的所有可能取值;
(3)利用超几何分布公式计算P(X=k);
(4)写出分布列(用表格或式子表示).
s
微思考
在超几何分布中,随机变量X取值的最大值是M吗?
提示 不一定,当n≥M时,随机变量X取值的最大值是M;当n<M时,随机变量
择.为增加趣味性约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加
哪个游戏,掷出点数为1或2的人去参加甲游戏,掷出点数大于2的人去参加
乙游戏.
(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率;
(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率.
解 依题意,这 4
1
个人中,每个人去参加甲游戏的概率为3,去参加乙游戏的概
2
(1)求其中甲、乙两名考生选做同一道题的概率;
(2)设这4名考生中选做第15题的考生数为ξ,求ξ的分布列.
解 (1)设事件 A 表示“甲选做 14 题”,事件 B 表示“乙选做 14 题”,则甲、乙两
名考生选做同一道题的事件为“(AB)∪( )”,且事件 A,B 相互独立.
所以 P((AB)∪(
中的作用,提高数学应用能力.
思维脉络
课前篇 自主预习
【情境导入】
不少企业成立智囊团,帮助企业发展.某公司鼓励员工提出合理化建议,谁
提的建议多而且有成效,就给予谁奖励.这大大调动了员工的积极性,充分
发挥了员工的聪明才智,使公司实现飞跃发展.
“三个臭皮匠,顶个诸葛亮”是中国民间广为流传的一句谚语,从上面的事实
P(X=k),从而求出X的分布列.
变式训练 3老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵,规定至少要背出其
中2篇才能及格.某同学只能背诵其中的6篇.试求:
(1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列;
(2)该同学及格的概率.
解 (1)设抽到他能背诵的课文的数量为 X,
3-
C 6 C 4
则 P(X=r)=
试验次数n与成功概率p.
2.解决二项分布问题的关键
对于公式P(X=k)= C pk(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n)必须在满足“独立重复试验”时
才能运用,否则不能应用该公式.
变式训练 2在一次数学考试中,第14题和第15题为选做题.规定每位考生必
须且只需在其中选做一题.设4名考生选做这两题的可能性均为 1 .
96
,
625
2 4
3 0 16
4
P(A4)=C4 ×
×
= .
5
5
625
2 2
3 2 216
×
= ,
5
5
625
所以 X 的分布列为
X
0
P
2 3 3
3
P(A3)=C4 ×
×
5
5
1
2
3
4
216
625
216
625
96
625
16
625
反思感悟 1.本例属于二项分布,当X服从二项分布时,应弄清X~B(n,p)中的
10
=
4
10
=
2
,则
5
2
P(X=0)=1-P(X=1)=1-5
因此 X 的分布列为
X
P
=
3
.
5
0
1
3
5
2
5
(2)①顾客乙中奖可分为互斥的两类事件:所抽取的 2 张奖券中有 1 张中奖或
2 张都中奖.故所求概率
C 14 C 16 +C 24 C 06
P= C 2
10
=
30
45
=
2
.
3
②Y 的所有可能取值为 0,10,20,50,60,且
X取值的最大值为n.
微练习
某小组共有10名学生,其中女生3名,现选举2名代表,则至少有1名女生当选
的概率为(
)
8
A.15
7
B.15
4
C.15
1
D.15
答案 A
解析
71 31
由题意可得所求概率为 2
10
+
70 32
2
10
=
8
.
15
课堂篇 探究学习
探究一
n次独立重复试验概率的求法
例1现有4个人去参加某娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选
所以
C 310
(r=0,1,2,3).
C 06 C 34
P(X=0)= 3
C 04 C 26
P(Y=0)= 2
C 10
=
C 13 C 16
P(Y=10)= 2
C 10
C 23 C 06
P(Y=20)= 2
C 10
15
45
=
=
18
45
=
3
45
1
,
3
C 11 C 16
P(Y=50)= 2
C 10
=
2
,
5
=
1
,
15
C 11 C 13
P(Y=60)= 2
C 10
=
6
45
=
3
45
=
之差(即t=n-(N-M)),而且
k n -k
M
N -M
P(X=k)= n
N
,k=t,t+1,…,s,这里的X称为服从参
数N,n,M的超几何分布,记作X~H(N,n,M).
2.超几何分布列
如果X~H(N,n,M)且n+M-N≤0,则X能取所有不大于s的自然数,此时X的分
布列如下表:
X
0
1
P
…
二、超几何分布
1.定义:一般地,若有总数为N件的甲、乙两类物品,其中甲类有M件(M<N),
从所有物品中随机取出n件(n≤N),则这n件中所含甲类物品数X是一个离
散型随机变量,X能取不小于t且不大于s的所有自然数,其中s是M与n中的较
小者,t在n不大于乙类物品件数(即n≤N-M)时取0,否则t取n减乙类物品件数
【知识梳理】
一、n次独立重复试验与二项分布
1.n次独立重复试验
在相同条件下重复n次伯努利试验时,人们总是约定这n次试验是相互独立
的,此时这n次伯努利试验也常称为n次独立重复试验.
2.二项分布
一般地,如果一次伯努利试验中,出现“成功”的概率为p,记q=1-p,且n次独立
重复试验中出现“成功”的次数为X,则X的取值范围是{0,1,…,k,…,n},而且
②设顾客乙获得的奖品总价值为Y元,求Y的分布列.
分析(1)从10张奖券中抽取1张,其结果有中奖和不中奖两种,故X服从两点
分布.(2)从10张奖券中任意抽取2张,其中含有中奖的奖券的张数服从超几
何分布.
解 (1)抽奖一次,只有中奖和不中奖两种情况,故X的取值只有0和1两种情况.
C 14
P(X=1)=C 1
2
,
15
=
1
.
15
因此随机变量Y的分布列为
Y
0
10
20
50
60
1
3
1
15
2
15
1
15
P
2
5
反思感悟 解决超几何分布问题的两个关键点
(1)超几何分布是概率分布的一种形式,一定要注意公式中字母的范围及其
意义,解决问题时可以直接利用公式求解,但不能机械地记忆.
(2)超几何分布中,只要知道M,N,n,就可以利用公式求出X取不同k的概率
来看,这句谚语是很有道理的,下面我们从概率的角度来探讨一下这个问题.
假如刘备手下有诸葛亮和9名谋士组成的智囊团,假定对某事进行决策时,
每名谋士决策正确的概率为0.7,诸葛亮决策正确的概率为0.85.现在为某事
能否可行而征求每位谋士的意见,并按多数人的意见做出决策.试比较诸葛
亮和智囊团决策正确的概率.
从参数 n,p 的二项分布,记作 X~B(n,p).
名师点析 (1)二项分布是n次独立重复试验在k取遍0,1,2,…,n各种情况下的
一个分布列.
(2)在X~B(n,p)中,X可以取0,1,2,…,n中的任意值,而在n次独立重复试验中,X
却是一个具体结果;注意掌握表示符号n,p的具体含义,并习惯用符号表示
2
率为3.
设“这 4 个人中恰有 i 人去参加甲游戏”为事件 Ai(i=0,1,2,3,4).
则
1 i 2 4-i
P(Ai)=C4 (3) (3) (i=0,1,2,3,4).
(1)这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率
2 1 2 2 2 8
P(A2)=C4 ( ) ( ) = ;
3 3
27
当这两位专家意见不一致时,再由第三位专家进行复审,若能通过复审则予
1
以录用,否则不予录用.设应聘人员获得每位初审专家通过的概率均为 2 ,复
3
审能通过的概率为 10 ,各专家评审的结果相互独立.
(1)求某应聘人员被录用的概率;
(2)若4人应聘,设X为被录用的人数,试求随机变量X的分布列.
分析解答本题可根据二项分布的概率计算方法解答,同时注意互斥事件概
(2)设“这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件 B,
则 B=A3∪A4.由于 A3 与 A4 互斥,
故
3 1 3 2
P(B)=P(A3)+P(A4)=C4 (3) ×3
所以,这 4
+
4 1 4 1
C4 (3) =9.
1
个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为9.
P(X=k)= C pkqn-k,k=0,1,…,n.
因此X的分布列如下表所示:
X
0
1
…
k
…
n
P
p0qn
p1qn-1
中的概率值都是二项展开式
(q+p)n=n0 p0qn+n1 p1qn-1+…+nk pkqn-k+…+nn pnq0 中对应项的值,因此称 X 服