电路分析简明教程(王松林)章 (2)

第 2 章 电阻电路分析
2.1.1 KCL和KVL的独立方程 设某电路拓扑图如图2.1-1(a)所示,对图中的节点和支路分别 编号,支路的参考方向(即支路电流方向,支路电压取关联参考 方向)如图所示。
第 2 章 电阻电路分析 图2.1-1 KCL与KVL的独立方程
第 2 章 电阻电路分析
对于图2.1-1(a)节点a、b、c、d列出的KCL方程为(设流出电流
第 2 章 电阻电路分析
综上所述,以支路电流法为例,用支路分析法分析求解电路 的步骤如下:
(1)选定个支路电流的参考方向。 (2)对(n-1)个独立节点,列出独立KCL方程。 (3)选定(b-n+1)个独立回路,指定回路绕行方向,根据KVL和 OL列出回路电压方程。列写过程中将支路电压用支路电流来 表示。 (4)联立求解上述b 个支路电流方程。 (5)进而求题中要求的支路电压或功率等。
第 2 章 电阻电路分析
对于具有n 个节点、b 条支路的电路,以回路电流为变量,则 能够列写出(b-n+1)个独立的回路电流方程进行电路分析。
如图2.2 1所示的平面电路,共有n=4个节点、b=6条支路(把
电压源与电阻串联的电路看成一条支路),显然,独立回路数=网
孔数=b-n+1=3个。
第 2 章 电阻电路分析 图 2.2-1 回路法示例
(8)电阻吸收的功率为P1 =i21×2=2W, P2 =i22×2=18W
第 2 章 电阻电路分析
2.2 回路法和网孔法
2.2.1 回路法与网孔法
回路法是以平面电路或非平面电路的一组独立回路电 流为电路变量,并对独立回路应用KVL列出用回路电流表达 有关支路电压的方程的求解方法。对于平面电路,其网孔就 是一组独立回路,所以在分析平面电路时,常选择网孔作为 该电路的独立回路组,以网孔电流作为变量列写方程并求解 电路,因此,也常把这种方法称为网孔法(注:网孔法仅适用 于平面电路)。
第 2 章 电阻电路分析
例2.1-1 如图2.1-2所示的电路，求各支路电流。
解 图2.1-2的电路中，如将电压源(受控电压源)与电 阻的串联组合看做是一条支路，则该电路共有2个节点， 3条支路。用支路电流法可列出1个KCL方程，2个KVL
选节点a为独立节点，可列出KCL方程为
－i1+i2+i3= 0
和电流关系的方程。 这样,就可列写出总数为2b 个相互独立(即方程之间是线性
无关的)的方程,求解该方程组,就可以求得电路中b 个支路电压 和电这种方法称为2b 分析法。
第 2 章 电阻电路分析
2b分析法是电路分析中最基本的方法,其中包含许多电路分 析的基本思想和基本概念,是其他电路分析方法的基础,因此 具有重要的理论价值。2b 分析法方程数目较多,它所能直接 求出的未知量也较多,但使用起来比较灵活,能适应各种情况。 这种方法由于方程个数较多,手工计算量大且繁琐,因此并不 适合手工理论分析,但是,2b 分析法分析思想直接,方程列写 简单实用,所以这种方法是各种分析方法的基础,特别是计算 机辅助分析方法的基础。
第 2 章 电阻电路分析
2.1 2b法和支路法
2.2回路法和网孔法 2.3节 点 法 2.4齐次定理和叠加定理 2.5替 代 定 理 2.6等效电源定理 2.7最大功率传输定理 2.8电路的对偶性 2.9应 用 实 例 习题2
第 2 章 电阻电路分析
第2章 电阻电路分析
分析电路的一般方法是首先选择一组合适的电路基本变量 (电流或/和电压),根据KCL和KVL及元件的伏安关系(VAR)建立 该组变量的独立方程组,即电路方程,然后从方程中解出电路 变量。除独立源外,仅含有线性电阻和线性受控源的线性电阻 电路简称电阻电路,其电路方程是一组线性代数方程。本章以 电阻电路为讨论对象。许多实际电路都可看做是线性电阻电 路。电阻电路是研究动态电路、非线性电路以及电路的计算 机辅助分析和设计的基础。
第 2 章 电阻电路分析
列写回路电流方程,首先要选择一组独立回路,并确定回路 电流的参考方向。在每个独立回路中假想有一个电流在回路 中环流一周,而各支路电流看做是由独立回路电流合成的结果, 回路的巡行方向也是回路电流的方向。如图2.2-1所示电路, 选网孔作独立回路,并设定回路Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的回路电流方向i1、 i2、i3如图2.2-1所示。各支路电流看成是由回路电流合成得 到的,为回路Ⅰ电流i1,回路Ⅱ电流i2,回路Ⅲ电流i3。
第 2 章 电阻电路分析
支路电流法共有b 个方程,能直接解得b 个支路电流,这比 2b 分析法方便了许多。不过支路电流法要求每一条支路电压 都能用支路电流来表示,否则就难写成以支路电流为变量的电 路方程。譬如,若某一支路仅有电流源(或受控电流源),我们 把这种电流源称为无伴电流源,则该支路电压为未知量,而且 不能用该支路电流表示。在这种情况下,就需要另行处理,而 2b 分析法不受这种限制。
i2 -i1 -2=0 (1)
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(5)对两个网孔,利用KVL 和OL 列回路方程为
2i1+U -12=0
(2)
2i2 +2u1-U =0
(3)
(6)上面3个方程中,有4个未知量。补一个方程:将受控源控制
量u1用支路电流表示,有
u1 =2i1
(4)
(7)解式(1)、(2)、(3)、(4)得支路电流为i1 =1A, i2 =3A
第 2 章 电阻电路分析
分析如下: (1)对于具有n 个节点的电路而言,其n-1个节点是独立的,因
此,根据KCL可列出n-1个相互独立的节点方程。 (2)对于一个具有b 条支路和n 个节点的电路而言,其具有b-
n+1个独立的回路,因此根据KVL可以列写b-n+1个独立回路方程。 (3)根据元件的伏安关系,可以列写出b 个相互独立支路电压
个独立的KVL方程。将能列出独立KVL方程的回路称为独立回 路。
常见的独立回路有:
① (b-n+1)个基本回路; ② 平面电路的(b-n+1)个网孔。
第 2 章 电阻电路分析
2.1.2 2b分析法 对于给定的电路,电路分析的任务就是计算出各个支路电流
和支路电压,以便对电路有一个全面的了解。对于一个具有b 条支路和n 个节点的电路,当以支路电压和支路电流为变量列 写电路方程时,共有2b 个未知变量,所以需要列写2b 个相互独 立的电路方程并求解,进而完成对该电路的分析任务。那么,如 何列写分析电路所需要的2b 个相互独立的电路方程呢?
例2.1-2 用支路法求解图2.1-3所示电路中各支路电流及 各电阻吸收的功率。
解: (1)标出支路电流的参考方向,如图所示。 例2.1-2 用支路法求解图2.1-3所示电路中各支路电流及各电 阻吸收的功率。 解 (1)标出支路电流的参考方向,如图所示。
(2)选定独立回路。这里选网孔。 (3)对无伴电流源的处理方法:在其设定一电压U 。 (4)对独立节点a,列KCL方程为
第 2 章 电阻电路分析
第 2 章 电阻电路分析 显然,根据式(2.2 1)可以解出3个回路电流i1、i2、i3,再 根据各个回路电流,可以进一步求出各个支路的电流。式(2.2 1)就是回路法的方程,且常称为回路方程。为此,将上式整理 写成如下形式:
式中,Rkk 称为回路k 的自电阻,它是绕过该回路包含的所有电 阻之和,恒取“+”,例如:R11=R1+R4+R5, R22=R2+R6+R4, R33=R5+R3+R6
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R4支路上有两个回路电流i1、i2流经,且两回路电流方向均与 i4相反,故
i4 =-i1 -i2 R5支路上有两个回路电流i1、i3流经,故
i5=-i1 +i3 R6支路上有两个回路电流i2、i3流经,故
i6 = -i2-i3
注:相邻两个网孔间的公共支路电流可以用两个网孔电流 的代数和表示,方向与支路电流相同取正值,反之,取负值。 对节点a 列出KCL方程,有i1 +i4 +i2 =i1 + (-i1 -i2)+i2 ≡0
第 2 章 电阻电路分析
2.1 2b法和支路法
当研究电路中各元件的连接关系时,一个二端元件可 以用一条线段来表示,称为支路;各支路的连接点画为黑 点,称为节点(或结点)。如果将电路中每一条支路抽象成 线段所形成的节点和支路集合称为拓扑图。能够画在平 面上,并且除端点外所有支路都没有交叉的图称为平面图, 否则称为非平面图。图中任何一个闭合路径,即始节点和 终节点为同一节点的路径称为回路;平面电路中,内部不 含节点和支路的回路称为网孔。
uskk 是回路k 中所有电压源电压的代数和。取和时,与回路
电流相反的电压源(即回路电流从电压源的“-”极流入,“+” 极流出)前面取“+”号,否则取“-”,例如:
u =u , u =-u , u =-u -u s11
s5
s22
s2
s33
s5
s3
第 2 章 电阻电路分析
如有电流源与电阻并联的组合,可将其变换为电压源。 根据式(2.2-2)可以得到回路电流方程的一般形式: 自电阻×本回路电流±Σ(互电阻×相邻回路电流)=本回路电 压源沿电位升方向的代数和。 对于具有n 个节点、b 条支路的电路,其方程组的独立回 路方程是b-n+1个。这可以根据式(2.2-2)推广。 需要指出,回路方程式(2.2-2)是各个独立回路的KVL方程, 其等号左端是各个回路电流产生的电压(降),而等号的右端是 电压源的电压(升)。
上述分析告诉我们,电路分析的基本方法就是应用KCL、KVL、 OL对电路列写方程并进行求解,下面所讨论的各种分析方法都 是基于2b 分析法进一步分析推导而得的。
第 2 章 电阻电路分析
2.1.3 支路法
利用2b 分析法列写出可以求解电路的2b 个方程。根据数 学知识可以得知,要求解电路,必须化简方程组并进行求解,即 减少方程数目。因此人们提出利用支路法求解电路。
(1)
第 2 章 电阻电路分析 图 2.1-2 例2.1-1图
第 2 章 电阻电路分析
选网孔为独立回路，如图所示。可列出KVL方程为
3i1+i2=9
(2)
-i2+2i3=-2.5i1 (或2.5i1-i2+2i3=0)
(3)
联立3个方程可解得
i1 =2A, i2 =3A, i3 =-1A
第 2 章 电阻电路分析
第 2 章 电阻电路分析
结论1:对n 个节点的电路,有且仅有(n-1)个独立的KCL方程。 ① 任取(n-1)个节点列写的KCL方程相互独立; ② 取(n-1)个基本割集列写的KCL方程相互独立。 对于图2.1 1(b)所示的电路,选回路列出KVL方程为(支路
电压与回路方向一致取“+”;支路电压与回路方向相反取 “-”)
以支路电流(或电压)为未知变量列出方程,求解支路电流 (或电压),称为支路电流(或电压)法,简称支路法。
第 2 章 电阻电路分析
支路法是在2b 法的基础上,利用支路的伏安关系,用支路 电流表示支路电压(或用支路电压表示支路电流),即以支路电 流(或电压)作为电路变量,这样,只要列写b 个电路方程就可 以求解电路了。b 个方程分别是(n-1)个独立的KCL节点电流 方程和(b-n+1)个独立的KVL回路方程。求出这b 个支路电流 (或电压)后,再利用各个支路的伏安关系求出b 个电压(或电 流),进而再计算出电路的其他变量(如电功率或能量)。相对 于2b 法,支路法的方程数减少了一半,其计算量同样也减小了 很多。
第 2 章 电阻电路分析
将式(2.1-2)中任意3个方程相加,就得到另一个方程。也就 是说,式(2.1-2)中4个方程中,最多3个是独立的。即每一个回 路至少包含一条其他回路所不包含的支路,这样的一组回路即 独立回路组成基本回路组。独立回路组列写的方程组是一组 独立的方程。
结论2:对具有n 个节点、b条支路的连通图,有且仅有(b-n+1)
第 2 章 电阻电路分析
Rkj(k≠j)称为回路k 与回路j的互电阻,它是回路k与回路j 公共支路上所有公共电阻之和。如果流过公共电阻上的两个回 路电流方向相同,其取“+”号,方向相反,取“-”号,例如:R12 =R21 =R4, R13 =R31 =-R5, R23=R32=R6
如果两个回路间无公共支路。显然也无公共电阻,则对应的 互电阻为零。
取“+”,流入取“-”)
在以上方程组中,每个支路电流都出现两次,其前面的符号一次 为“+”,另一次为“-”,这是因为每一支路都连接2个节点,支路 电流必从一个节点流出,而流入另一个节点。因此,将式(2.1 1) 中任意3个方程相加,就得到另一个方程。也就是说,式(2.1 1)中 4个方程中,最多3个是独立的。