全等三角形基本模型综合训练(一)(解析版)

全等三角形基本模型综合训练（一）
1．如图，A 点坐标(0，4)，B 为x 轴上一动点，将线段AB 绕点B 顺时针旋转90°，得到BC ，连接OC ，则B 在运动过程中，线段OC 的最小值是（ ）
A ．4
B ．2
C ．2
D ．3【答案】C 【详解】解：过点C 作CD ⊥x 轴于点D ，⊥⊥CDB =90°
又线段AB 绕点B 顺时针旋转90°，⊥⊥ABC =90°，AB =BC
⊥⊥ABO +⊥CBD =90°，⊥BCD +⊥CBD =90°，⊥⊥ABO =⊥BCD
由图可知，⊥AOB =90°，⊥⊥AOB =⊥CDB
⊥△AOB ⊥⊥BDC （AAS ），⊥OB =CD ，OA =BD =4，令点B （x ，0）
①当x >0时，如图1，在Rt △COD 中
OC 22CD OD +224x x ++（）2228x ++（）⊥当x =-2时，OC 有最小值，又x >0
⊥x =-2不符合题意，舍去
②当x <0时，如图2，在Rt⊥COD 中
OC 22CD OD +()224x x -++（）2228x ++（）⊥当x =-2时，OC 有最小值，且最小值为2，故选：C ．
2．如图，在ABC ∆中，40A ∠=︒，60C ∠=°，D 为AC 边上一点，DE BC ⊥于点E ．若AD BD =，2BE =，则AB 的长为（ ）
A 3
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】D
【详解】解：如图，作DF ⊥AB 于点F ，
⊥ AD ＝BD
⊥△ADB 是等腰三角形，⊥ABD ＝⊥A ＝40°
⊥AB ＝2AF ＝2BF
⊥40A ∠=︒，60C ∠=°，
⊥⊥ABC ＝180°－⊥A －⊥C ＝80°，
⊥ ⊥DBE ＝⊥ABC －⊥ABD ＝40°
⊥⊥DBE ＝⊥ABD
⊥DE BC ⊥
⊥ ⊥DE ＝DF
⊥BD ＝BD
⊥Rt △BDF ⊥Rt △BDE （HL ）
⊥BF ＝BE ＝2
⊥AB ＝2BF ＝4，故选：D
3．如图，Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠，交BC 于点D ，10AB =，15ABD S ∆=，则CD 的长为（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
【答案】A 【详解】解：过点D 作DF ⊥AB 于点F ，
⊥10AB =，15ABD S ∆=，⊥1152AB DF ⋅=，⊥110152
DF ⨯=,得DF =3， ⊥90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠，DF ⊥AB ，
⊥CD =DF =3，
故选：A ．
4．正方形ABCD 的边长为4，点E 是射线AD 上的一个动点，连结CE ，以CE 为边往右侧作正方形CEFG ，连结DF 、DG ．
（1）当点E在AD延长线上，且DE=AD时，DG=________．
（2）当点E在线段AD上，且△DGF为等腰三角形时，DG=________．【答案】454或542
【详解】解：（1）过点F作FH⊥AD交AD延长线于点H，
⊥四边形ABCD是正方形，且DE=AD，
⊥DE=AD=CD，⊥ADC=⊥CDE=90°，
⊥△EDC是等腰直角三角形，
⊥⊥DCE=⊥DEC=45°，
⊥四边形CEFG是正方形，
⊥CG=CE=EF，⊥GCE=⊥CEF=90°，
⊥⊥DCG=⊥DEF=135°，
⊥△DCG⊥△DEF，
⊥DG=DF，
⊥⊥DEC=45°，⊥CEF=90°，
⊥⊥HEF=45°，
⊥△EHF是等腰直角三角形，
⊥CE=EF，
⊥DE=CD=EH=FH=4，
在Rt△DFH中，FH=4，DH=8，
⊥DG=DF22
+=
4845
（2）当点E与点A重合时，DG=DF，
⊥DG=DE=DC=4；
当DG=GF时，
过点G作GI⊥CD于点I，
⊥四边形CEFG是正方形，
⊥CG=GF=CE，⊥GCE=90°，
⊥DG=GC，
CD=2，
⊥CI=DI=1
2
⊥DCE+⊥ICG=90°，⊥IGC+⊥ICG=90°，⊥⊥DCE=⊥IGC，
⊥△DCE⊥△IGC，
⊥IG=DC=4，
⊥DG=GC22
+=
2425
点E与点D重合时，DF=GF，
此时，FG=FD=DC=4，
⊥DG22
4442；
综上，△DGF为等腰三角形时，DG=4或542
故答案为：4或542
5．如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F在BC上，且BF=2CF，DE，AF相交于点G，则DG的长为___________．
9
5
8
【详解】如图，延长DG、CB，二线交于点H，
⊥四边形ABCD是正方形，E是AB的中点，
⊥⊥DAE=⊥HBE=90°，AE=BE，
⊥⊥AED =⊥BEH
⊥△DAE ⊥△HBE ，⊥BH =AD =3，
⊥BF =2CF ，BC =3，⊥BF =2，CF =1，⊥FH =FB +BH =3+2=5，CH =FH +CF =1+5=6，
⊥四边形ABCD 是正方形，⊥⊥DCH =90°，AD ∥BC ，
⊥△DAG ⊥△HFG ，DH 22223635CD CH ++=⊥
35DG AD GH FH ==，⊥38DG DH =， ⊥333588DG DH ==⨯958958 6．如图，△ABC 中，AB =AC ，点 D 在 AC 上，连接 BD ，△ABD 的中线 AE 的延长线交 BC 于点 F ，⊥F AC =60°，若 AD =5，AB =7，则 EF 的长为__________．
【答案】23
【详解】解：延长AE 至点G ，使得AE ＝EG ，
⊥E 是BD 的中点，⊥BE ＝DE ，
在△ADE 和△GBE 中，DE BE AED GEB AE GE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
⊥⊥ADE ⊥⊥GBE （SAS ）， ⊥AD ＝GB ＝5，⊥G
＝
⊥F AC ＝60°，
过点B 作BH ⊥GE 于点H ，
在Rt ⊥BGH 中，⊥GBH ＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
⊥GH ＝12BG ＝52，BH 22555()322
-=， 在Rt ⊥ABH 中，AH 225117(3)22
-，⊥AG ＝AH +GH ＝8，⊥AE ＝GE ＝4， 过点D 作DM AB 2AC =EF ，交BC 于点M ．⊥
12BE EF BD DM == ， 设EF ＝x ，则DM ＝2x ，
⊥DM AB 2AC =EF ，⊥
225
DM CD AF CA ==+，⊥AF ＝7x ，⊥AE ＝7x ﹣x ＝6x ＝4，⊥x ＝23，⊥EF ＝23， 故答案为：2
3． 7．如图，将矩形ABCD 绕着点B 逆时针旋转得到矩形GBEF ，使点C 恰好落到线段AD 上的E 点处，连接CE ，连接CG 交BE 于点H ．
(1)求证：CE 平分⊥BED ；
(2)取BC 的中点M ，连接MH ，求证：MH ∥BG ；
(3)若BC ＝2AB ＝4，求CG 的长．
【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)7【解析】(1)⊥四边形ABCD 是矩形，
⊥BC =BE ，DE ∥BC ，⊥⊥BEC =⊥BCE ，⊥BCE =⊥DEC ，
⊥⊥BEC =⊥DEC ，⊥CE 平分⊥BED ．
(2)过点C 作CN ⊥BE ，垂足为N ，
⊥四边形ABCD 是矩形，⊥CD ⊥DE ，
⊥CE 平分⊥BED ，⊥CD =CN ，
⊥矩形ABCD 绕着点B 逆时针旋转得到矩形GBEF ，
⊥CD =BG ，⊥GBH =⊥CNH =90°，⊥CN =BG ，⊥BHG =⊥NHC ，
⊥△BHG ⊥△CHN ，⊥HG =HC ，⊥H 是GC 的中点，
⊥BC 的中点是M ，⊥MH 是△BGC 中位线，⊥MH ∥BG ．
(3)过点C 作CN ⊥BE ，垂足为N ，
⊥四边形ABCD 是矩形，BC ＝2AB ＝4，矩形ABCD 绕着点B 逆时针旋转得到矩形GBEF ，
⊥GB ⊥BH ，GB =BM =2，
⊥MH 是△BGC 中位线，⊥MH =1，
⊥⊥HBM =⊥QGB ，
⊥GB =BM =2，⊥BHM =⊥GQB ，
⊥△QBG ⊥△HMB ，
⊥QB =MH =1，GQ =BH 3QC =5，
⊥CG 22(3)52827+=．
8．如图，在正方形ABCD 中，点E 是CD 中点，连接AE ．过点C 作CF AE ⊥，交AE 的延长线于点F ，连接DF ．过点D 作DG DF ⊥交AF 于点G ．若2DF =，则正方形ABCD 的边长为________．
10【详解】解：⊥四边形ABCD 是正方形，
⊥AD =CD ，⊥ADC =90°，⊥⊥DAE +⊥AED =90°，
⊥CF ⊥AE ，⊥⊥ECF +⊥CEF =90°，⊥⊥DAE =⊥ECF ，
同理，⊥⊥ADG +⊥GDE =90°，⊥GDE +⊥CDF =90°，
在⊥AGD 与⊥CFD 中，DAE ECF AD CD ADG CDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
，⊥⊥AGD ⊥⊥CFD （ASA ），
⊥DG =DF ，AG =CF ，
⊥DG ⊥DF ，⊥⊥DGF 是等腰直角三角形，⊥2222GF DG DF +=过点D 作DK ⊥AE 于点K ，则122
DK GK GF === ， 在⊥DKE 与⊥CFE 中，DEK CEF DKE CFE DE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，⊥⊥DKE ⊥⊥CFE （AAS ），⊥DK =CF ，
⊥2AG CF DK GK ====⊥22AK =⊥2210AD AK DK +
10．
9．已知：如图，AC ⊥BD ，AE 、BE 分别平分⊥CAB 和⊥ABD ，点E 在CD
上．用等式表示线段
AB 、AC 、BD 三者之间的数量关系，并证明．
【答案】AC +BD =AB ，理由见见解析
【详解】解：AC +BD =AB ，证明如下：
在BA 上截取BF =BD ，连接EF ，如图所示：
⊥AE 、BE 分别平分⊥CAB 和⊥ABD ，
⊥⊥EAF =⊥EAC ，⊥EBF =⊥EBD ，
在⊥BEF 和⊥BED 中，
BF BD EBF EBD BE BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
⊥BEF BED ≌（SAS ），
⊥⊥BFE =⊥D ，
⊥AC ⊥BD ，⊥⊥C +⊥D =180°，
⊥⊥AFE +⊥BFE =180°，⊥⊥AFE +⊥D =180°，⊥⊥AFE =⊥C ，
在⊥AEF 和⊥AEC 中，EAF EAC AFE C AE AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
⊥AEF AEC ≌（AAS ），⊥AF =AC ，
⊥AF +BF =AB ，⊥AC +BD =AB ．
10．如图1，ΔΔRt ABF Rt CBE ≌，90ABC ∠=︒，点E ，F 分别在边AB
，
BC 上，点M 为AF 中点．
(1)请直接写出线段CE 与BM 的关系；
(2)连接EF ，将EBF ∆绕点B 逆时针旋转至如图2位置，请写出CE 与BM 的关系，并说明理由；
(3)在EBF ∆绕点B 旋转的过程中，当B ，C ，E 三点共线时，若3BC =，2EF =CM 的长．
【答案】(1)2CE BM = ，CE BM ⊥；(2)2CE BM = ，CE BM ⊥，理由见解析；(3)13CM =10【解析】(1)2CE BM =，CE BM ⊥，理由如下，
设BM 与CE 相交于点N ，如图，
⊥Rt ABF Rt CBE ≅△△，⊥ABC =90°，⊥AF =CE ，⊥A =⊥C ，⊥⊥A +⊥AFB =90°，
⊥M 为AF 的中点，⊥BM =AM =FM =12AF ，⊥BM =1
2CE ，即2BM =CE ，⊥AFB =⊥CBM ，
⊥⊥C +⊥CBM =90°，⊥⊥CNB =90°，⊥BM ⊥CE ，故BM 与CE 的关系为：2CE BM =，CE BM ⊥，
(2)2CE BM =，CE BM ⊥，理由如下：证明：延长AB 至点N ，使NB AB =，连接NF
⊥M 为AF 的中点，B 为AN 中点
⊥BM 为ANF 的中位线
⊥2NF BM =
⊥90ABC ∠=︒，90EBF ∠=︒，⊥ABE ABF CBF ABF ∠+∠=∠+∠，⊥ABE CBF ∠=∠，
⊥90ABC ∠=︒，AB BC BN ==，⊥CBA ABE CBN CBF ∠+∠=∠+∠，⊥CBE NBF ∠=∠，
又⊥BE BF =，⊥()CBE NBF SAS ≅△△，⊥NF CE =，⊥2CE BM =，
⊥BM 为ANF 的中位线，⊥BM FN ∥，⊥MBA N ∠=∠，
⊥CBE NBF ≅△△，⊥ECB N ∠=∠，⊥MBA ECB ∠=∠，
⊥90MBA CBM ∠+∠=︒，⊥90ECB CBM ∠+∠=︒，⊥CE BM ⊥，
综上2CE BM =且CE BM ⊥；
(3)当点E 在CB 的延长线上时，如图，
⊥⊥ABC =⊥ABE =90°，AB =BC =3，BE =BF ，
⊥在等腰Rt ⊥BEF 中，有EF 22，
又⊥EF 2⊥BE =BF =1，⊥AF =AB -EF =3-1=2，
⊥M 为AF 的中点，⊥FM =1
2AF =1，⊥22223213CM BC BM ++=
当点E 在CB 上时，如图，
同理可求得BF =BE =1，⊥AF =AB +BF =3+1=4，
⊥M 为AF 的中点，⊥FM =1
2AF =2，⊥BM =FM -BF =2-1=1， ⊥22223110CM BC BM ++ 即CM 1310．
11．在四边形ABCD 中，180B D ∠+∠=︒，对角线AC 平分⊥BAD ．
(1)推理证明：如图1，若120DAB ∠=︒，且90D ∠=︒，求证：AD AB AC +=；
(2)问题探究：如图2，若120DAB ∠=︒，试探究AD 、AB 、AC 之间的数量关系；
(3)迁移应用：如图3，若90DAB ∠=︒，AD =2，AB =4，求线段AC 的长度．
【答案】(1)见解析；(2)AD AB AC +=；(3)32AC =【解析】(1)证明：⊥AC 平分BAD ∠，⊥12
DAC BAC DAB ∠=∠=∠， 又⊥120DAB ∠=，⊥60DAC BAC ∠=∠=，
又⊥180B D ∠+∠=，90D ∠=，⊥90B D ∠=∠=，
⊥30ACD ACB ∠=∠=︒，⊥12AD AC =
，12
AB AC =， ⊥AD AB AC +=．
(2)解：AD AB AC +=；
过点C 作CE AD ⊥于点E ，过点C 作CF AE ⊥的延长线于点F ，
⊥AC 平分BAD ∠，⊥CE CF =，90DEC CFB ∠=∠=，
⊥180D ABC ∠+∠=，而180ABC FBC ∠+∠=，⊥D FBC ∠=∠，
在BFC △与DEC 中D FBC DEC BFC CE CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊥()AAS BFC DEC ≌，⊥DF BF =，
⊥AD AB AE DE AF BF AE AF +=++-=+，
由（1）知AE AF AC +=，⊥AD AB AC +=．
(3)过点C 作CM AB ⊥于点M ，过点C 作CN AD ⊥的延长线于点N ，
由（2）知：CDN CBM ∆∆≌，
⊥DN BM =，⊥AD AB AN DN AM BM AN AM +=-++=+，
而90DAB ∠=︒，AC 平分BAD ∠，⊥45NAC MAC ACN ∠=∠=∠=︒，
⊥2AN AM NC AC ===，⊥2AD AB AN AM +=+=， 又2AD =，4AB =，⊥32AC =
12．如图，点F 在四边形ABCD 的边AB 上．
(1)如图1，当四边形ABCD 是正方形时，过点B 作BE CF ⊥，垂足为O ，交AD 于点.E 求证：BE CF =；
(2)当四边形ABCD 是矩形，6AD =，8AB =时，
①如图2，点P 是BC 上的一点，过点P 作PE CF ⊥，垂足为O ，点O 恰好落在对角线BD 上，求OC OE 的值； ②如图3，点P 是BC 上的一点，过点P 作PE CF ⊥，垂足为O ，点O 恰好落在对角线BD 上，延长EP 、AB 交于点G
，当
2BG =时，请直接写出DE 的值．
【答案】(1)证明见解析；(2)①34
；②83． 【解析】(1)证明：四边形ABCD 是正方形，AB BC ∴=，90A FBC ∠=∠=︒，
BE CF ⊥于点O ，90BOC ∴∠=︒，90ABE OBC BCF ∴∠=︒-∠=∠，ABE ∴⊥()BCF ASA ， BE CF ∴=．
(2)解：①如图2，过O 作OM AD ⊥于点M ，ON CD ⊥于点N ，
则90OMD OND ∠=∠=︒，
四边形ABCD 是矩形，6BC AD ∴==，8AB CD ==，90MDN A BCD ∠=∠=∠=︒，
∴四边形OMDN 是矩形，90MON ∴∠=︒，
PE CF ⊥于点O ，90COE ∴∠=︒，90CON EOM EON ∴∠=∠=︒-∠，
90ONC OME ∠=∠=︒，ONC ∴⊥OME ，OC ON OE OM ∴
=， OND BCD ∠=∠，//ON BC ∴， DON ∴⊥DBC △，ON OD BC BD ∴
=，同理OM OD AB BD =， ON OM BC AB ∴=，ON BC OM AB ∴=，6384
OC BC OE AB ∴===； ②如图3，连接CE 、CG ，
90ABC ∠=︒，18090PBG ABC ∴∠=︒-∠=︒，90PBG POC ∴∠=∠=︒，
BPG OPC ∠=∠，BPG ∴⊥OPC ，PB PG PO PC ∴=，PB PO PG PC ∴=，
OPB CPG ∠=∠，OPB ∴⊥CPG △，CBD OGC ∴∠=∠， 34OC OE =，6384
CB CD ==；OC CB OE CD ∴=， 90COE BOD ∠=∠=︒，COE ∴⊥BOD ，CDB OEC ∴∠=∠，90OGC OEC CBD CDB ∴∠+∠=∠+∠=︒，
90ECG ∴∠=︒，90BCG DCE BCE ∴∠=∠=︒-∠，
90CBG CDE ∠=∠=︒，CBG ∴△⊥CDE △，34BG CB DE CD ∴==，4482333
DE BG ∴==⨯=． 13．将一块足够大的直角三角板的直角顶点P 放在边长为1的正方形ABCD 的对角线AC 上滑动,一条直角边始终经过点B ,另一条直角边与射线DC 交于点E ．
(1)当点E 在边DC 上时（如图1），求证：①⊥PBC ⊥⊥PDC ；②PB =PE ．
(2)当点E 在边DC 的延长线上时（如图2）,（1）中的结论②还成立吗？如果不成立，请说明理由；如果成立，请给予证明．
【答案】(1)①见解析；②见解析(2)（1）中的结论②仍然成立，证明见解析
【解析】(1)
①⊥四边形ABCD 是正方形，⊥BC =CD ,⊥BCP =⊥DCP=45°,又⊥CP =CP ，⊥⊥PBC ⊥⊥PDC ，
②过点P 分别作PF ⊥BC 于点F ，PG ⊥CD 于点G ，
易证四边形PFCG 为正方形，
⊥⊥BFP =⊥EGP=90°，PF =PG ，
⊥⊥EPG+⊥EPF=90°=⊥BPF+⊥EPF ，
⊥⊥BFP =⊥EGP ⊥⊥PGE ⊥⊥PFB (ASA)，
⊥PB =PE .
(2)PB =PE 成立，证明：设PE 交BC 于点O ，
⊥⊥BPE =⊥BCE=90°，⊥BOP =⊥COE ，⊥⊥PBC =⊥PEC ，
由（1）得：⊥PBC =⊥PDC ，⊥⊥PDC =⊥PEC ，PB =PD ，
⊥PE =PD=PB ，故（1）中的结论②仍然成．
14．在ABC 中，22BAC ABC ACB ∠=∠=∠，D 是BC 所在直线上的一个动点（点D 不与点B 、点C 重合），
以AD 为边在AD 右侧作正方形ADEF ，连接CF ．
(1)观察发现：
如图1，当点D 在线段BC 上时，①BC 、CF 的位置关系为___________；
②BC 、CD 、CF 之间的数量关系为___________．
(2)探究证明：如图2，当点D 在线段CB 的延长线上时，（1）中的两个结论是否仍然成立？请说明理由．
(3)问题解决：如图3，当点D 在线段BC 的延长线上时，延长BA 交CF 于点G ，连接GE .若62AB =4BC CD =时，直接写出GE 的长．
【答案】(1)①BC CF ⊥，②BC CF CD =+；(2)（1）中结论①成立，②不成立，理由见解析； (3)310
【解析】(1)①在正方形ADEF 中，AD =AF ，⊥DAF =90°，
⊥⊥BAC =90°，⊥⊥BAC =⊥DAF =90°⊥⊥BAD =⊥CAF ，
在△DAB 与△F AC 中，AD AF BAD CAF AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
⊥⊥DAB ⊥⊥F AC （SAS ），
⊥⊥ABD =⊥ACF ，
⊥⊥ACB +⊥ACF =⊥ACB +⊥ABD =180°-⊥BAC =90°，
⊥BC ⊥CF ；
故答案为：BC ⊥CF ；
②由①知，△DAB ⊥⊥F AC ，
⊥BD =CF ，
⊥BC =BD +CD ，
⊥BC =CF +CD ；
故答案为：BC =CF +CD ；
(2)（1）中结论①成立．②不成立．理由如下：
⊥四边形ADEF 是正方形：
⊥AD AF =，90DAF ∠=︒．
⊥22BAC ABC ACB ∠=∠=∠，180BAC ABC ACB ∠+∠+∠=︒，
⊥90BAC ∠=︒，45ABC ACB ∠=∠=︒，
⊥AB AC =，BAC DAF ∠=∠，⊥BAD CAF ∠=∠，
⊥()SAS DAB FAC △△≌
，⊥135ABD ACF ∠=∠=︒，=CF BD ． ⊥45ACB ∠=︒，⊥1354590DCF ACF ACB ∠=∠-∠=︒-︒=︒，⊥CF BD ⊥． ⊥BC CD BD =-，⊥BC CD CF =-．⊥（1）中结论①成立．②不成立．
(3)如图，作AH BC ⊥于点H ，EM BD ⊥于点M ，EN CF 于点N ．
易证90BAC ∠=︒，45ABC ACB ∠=∠=︒，
⊥AB AC =，⊥BH CH =，⊥6212sin 452
AB BC ==︒，⊥6AH BH CH ===． ⊥4BC CD =，3CD =，⊥9DH =．
由（2）得BC CF ⊥，15CF BD ==．
⊥BC CF ⊥，EM BD ⊥，EN CF ，⊥四边形CMEN 是矩形，⊥NE CM =，EM CN =． ⊥90AHD ADE EMD ∠=∠=∠=︒，
⊥90ADH EDM ∠+∠=︒，90EDM DEM ∠+∠=︒，⊥ADH DEM =∠∠． ⊥AD DE =，
⊥()ADH DEM AAS △△≌
，⊥9EM DH ==，6DM AH ==， ⊥9CN EM ==，9669EN CM DH DM CH ==+-=+-=．
⊥45ABC ∠=︒，⊥45BGC ∠=︒，⊥12CG BC ==，⊥1293GN CG CN =-=-=． ⊥2239310EG +=
15．【探究建模】已知正方形ABCD ，E ，F 为平面内两点．
(1)如图1，当点E 在边AB 上时，DE ⊥DF ，且B ，C ，F 三点共线．求证：AE ＝CF ；
(2)【类比应用】
如图2，当点E 在正方形ABCD 外部时，DE ⊥DF ，AE ⊥EF ，且
E ，C ，
F 三点共线．
①（1）中的结论AE＝CF还成立吗？请说明理由；
②猜想并证明线段AE，CE，DE之间的数量关系．
【答案】(1)见解析；(2)①成立，理由见解析；②EA+EC2，证明见解析【解析】(1)证明：⊥四边形ABCD是正方形，
⊥DA＝DC，⊥A＝⊥ADC＝⊥DCB＝90°，
⊥DE⊥DF，⊥⊥EDF＝⊥ADC＝90°，⊥⊥ADE＝⊥CDF，
在⊥DAE和⊥DCF中，
ADE CDF AD CD
A DCF
∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
，
⊥⊥DAE⊥⊥DCF（ASA），⊥AE＝CF．
(2)解：①（1）中的结论AE＝CF还成立．
证明：⊥四边形ABCD是正方形，
⊥DA＝DC，⊥DAB＝⊥ADC＝⊥DCB＝⊥DCF＝90°，⊥DE⊥DF，⊥⊥EDF＝⊥ADC＝90°，⊥⊥ADE＝⊥CDF，⊥AE⊥EF，⊥⊥AEF＝90°，⊥⊥DAE+⊥DCE＝180°，
⊥⊥DCF+⊥DCE＝180°，⊥⊥DAE＝⊥DCF，
在⊥DAE和⊥DCF中，
ADE CDF
AD CD
DAE DCF
∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
，⊥⊥DAE⊥⊥DCF（ASA），⊥AE＝CF．
②解：结论：EA+EC2．
理由：由①知，⊥DAE⊥⊥DCF（ASA），
⊥AE＝CF，DE=DF，∥ADE=∥CDF,⊥∥EDF=90°，⊥⊥DEF为等腰直角三角形，
⊥EF2
⊥FC+EC2．
⊥AE+EC2．。