不等式选讲(选修4-5)典型题及答案

不等式选讲 选修4-5
1．已知函数（其中
）.
（1）当
时，求不等式
的解集；
（2）若关于的不等式恒成立，求的取值范围.
2．设函数()241f x x =-+. (1)画出函数()y f x =的图象；
(2)若不等式()f x a x ≤的解集非空，求a 的取值范围.
3．已知函数f (x )＝|2x ＋1|＋|2x －3|. (1)求不等式f (x )≤6的解集；
(2)若关于x 的不等式f (x )<|a －1|的解集不是空集，求实数a 的取值范围． 4．
已知函数()2123f x x x =++-，
（Ⅰ）若关于x 的不等式()13f x a >-恒成立，求实数a 的取值范围；
（Ⅱ）若关于t 的一次二次方程()2
0t f m -=有实根，求实数m 的取值范围． 5．选修4—5:不等式选讲
已知函数ƒ(x)=|2x -a|+ |x -1|.
（Ⅰ）当a=3时,求不等式ƒ(x)≥2的解集；
(Ⅱ)若ƒ(x)≥5-x 对V.r6 R 恒成立,求实数a 的取值范围. 6．已知函数()()12f x x x m m R =-++∈ （1）若m=2时，解不等式()3f x ≤;
（2）若关于x 的不等式()[]230,1f x x x ≤-∈在上有解，求实数m 的取值范围。

7．已知m ，n ∈R ＋
，f (x )＝|x ＋m |＋|2x －n |. (1)当m ＝n ＝1时，求f (x )的最小值； (2)若f (x )的最小值为2，求证122m n +≥.
8．选修4-5：不等式选讲
已知函数()11f x m x x =---+.
（1）当5m =时，求不等式()2f x >的解集；
（2）若二次函数2
23y x x =++与函数()y f x =的图象恒有公共点，求实数m 的取值范围.
9．已知函数()312f x x x =-+-的最小值为m . （1）求m 的值；
（2）设实数,a b 满足222a b m +=，证明： 2a b +≤10．设函数()2f x x a a =++.
（1）若不等式()1f x ≤的解集为{|24}x x -≤≤，求实数a 的值；
（2）在（1）的条件下，若不等式()2
4f x k k ≥--恒成立，求实数k 的取值范围. 11．(导学号：05856266)[选修4－5：不等式选讲] 设函数f (x )＝|2x －1|－|x ＋2|. (Ⅰ)解不等式f (x )>0；
(Ⅱ)若∃x 0∈R，使得f ()0x ＋2m 2
<4m ，求实数m 的取值范围． 12．设函数()3f x x =+， ()21g x x =-. （1）解不等式()()f x g x <；
（2）若()()24f x g x a x +>+对任意的实数x 恒成立，求a 的取值范围. 13．已知函数()2321f x x x =+-- (1)求不等式()2f x <的解集；
(2)若存在x R ∈，使得()32f x a >-成立，求实数a 的取值范围. 14．选修4-5 不等式选讲
已知函数f (x )＝|x －1|－2|x ＋1|的最大值为m . (1)求m ；
(2)若a ，b ，c ∈(0，＋∞)，a 2＋2b 2＋c 2
＝2m ，求ab ＋bc 的最大值． 15．设函数()2f x x x a =-+-. (Ⅰ)若2a =-，解不等式
；
(Ⅱ)如果当x R ∈时， ()3f x a ≥-，求a 的取值范围．
参考答案
1．(1)；(2).
【解析】试题分析：（1）方法一：分类讨论去掉绝对值，转化为一般的不等式，即可求解不等式的解集；
方法二：去掉绝对值，得到分段函数，画出函数的图象，结合图象即可求解不等式的解集.（2）不等式即关于的不等式恒成立，利用绝对值不等式，得，进而求解实数的取值范围.
试题解析：
（1）当时，函数，
则不等式为，
①当时，原不等式为，解得：；
②当时，原不等式为，解得：.此时不等式无解；
③当时，原不等式为，解得：，
原不等式的解集为.
方法二：当时，函数，画出函数的图象，如图：
结合图象可得原不等式的解集为.
（2）不等式即为
，
即关于的不等式恒成立.
而
，
所以， 解得
或
，
解得或.
所以的取值范围是.
2．（1）见解析（2）()1
,2,2⎡⎫
-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭
【解析】试题分析：（1）先讨论x 的范围，将函数f x （）写成分段函数，然后根据分段函数分段画出函数的图象即可；
（II ）根据函数y f x =（）与函数y ax =的图象可知先寻找满足f x a x ≤（）的零界情况，从而求出a 的范围．
试题解析： (1)由于()25,2{
23,2
x x f x x x -+<=-≥，则()y f
x =的图象如图所示：
(2)由函数()y f x =与函数y ax =的图象可知，当且仅当12
a ≥或2a <-时，
函数()y f x =与函数y ax =的图象有交点，
故不等式()f x a x ≤的解集非空时， a 的取值范围是()1,2,2⎡⎫
-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭.
3．（1）{|12}x x -≤≤；（2）()(),35,-∞-⋃+∞ 【解析】试题分析：
(1)由题意结合不等式的性质零点分段可得不等式的解集为{}|12x x -≤≤.
(2)由绝对值三角不等式的性质可得()4f x ≥，结合集合关系可得关于实数a 的不等式
14,a ->求解绝对值不等式可得实数a 的取值范围为()(),35,-∞-⋃+∞.
试题解析：
(1)原不等式等价于()()3{
2
21236x x x >
++-≤
或()()13{
22
21236x x x -≤≤
+--≤
或()()1{ 2
21236
x x x <-
-+--≤，解得
322
x <≤或132
2
x -
≤≤
或112
x -≤<-
.
∴原不等式的解集为{}|12x x -≤≤. (2)
()()()
212321234f
x x x x x =
++-≥
+--=，
14,3a a ∴->∴<-或5a >，
∴实数a 的取值范围为()(),35,-∞-⋃+∞.
点睛：绝对值不等式的解法：
法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．
4．（Ⅰ）51,
3⎛
⎫- ⎪⎝⎭；（Ⅱ）35
{|}22
m m -≤≤． 【解析】试题分析：
(1)由题意结合绝对值三角不等式可得()f x 的最小值为4，据此可得134a -<，
则实数a 的取值范围为51,
3⎛
⎫
- ⎪⎝⎭
；
(2)方程的判别式()324
2123
0m m ∆
=-++-≥，即21238
m m ++
-≤，零点分
段可得实数m 的取值范围是35{|}2
2
m m -
≤≤
．
试题解析： （Ⅰ）因为()2123f x x x =++-≥
()()
21234
x x +--=，
所以134a
-<，即513
a -<<
，
所以实数a 的取值范围为51,3⎛⎫- ⎪⎝
⎭
；
（Ⅱ）()324
2123
0m m ∆=-++
-≥，
即
21238
m m ++-≤，
所以不等式等价于()()3{
2
21238
m m
m >
++-≤
或13{
22
21238
m m m -≤≤
+-+≤或()()1{
2
21238m m m <-
-+--≤，
所以
352
2
m <≤
，或1322m -≤≤
，或312
2
m -
≤<-，
所以实数m 的取值范围是35{|}2
2m
m -
≤≤
．
5．(Ⅰ){x|x≤
32
或x≥2}.(Ⅱ)[6，+∞).
【解析】试题分析：(Ⅰ) 3a =时，即求解2312x x -+-≥，分33,1,12
2
x x x ≥
<<
≤三
种情况，分别去掉绝对值得不等式的解集即可；(Ⅱ)根据题设条件得251
x a x x -≥---恒成立，令()62,151{ 4,1
x x g x x x x -≥=---=<，再根据再根据数形结合可求得a 的范围.
试题解析：(Ⅰ)当3a =时,即求不等式2312x x -+-≥的解集. 33,1,12
2
x x x ≥<<
≤
①当32
x ≥
时， 2312x x -+-≥，解得2x ≥；
②当312
x <<时， 3212x x -+-≥，解得0x ≤，此时无解；
③当1x ≤时, 3212x x -+-≥，解得23
x ≤.
综上，原不等式的解集为2{ 3
x x ≤
或}2x ≥.
(Ⅱ)由题设得不等式251x a x x -≥---对x R ∀∈恒成立.
令()62,151{ 4,1
x x g x x x x -≥=---=<，作出函数()g x 和2y x a =-的图象(如图所示),
则只需满足
32
a ≥，即6a ≥.
故所求实数a 的取值范围是[)6,+∞.
点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向． 6．（1）4{|0}3
x x -
≤≤；
（2）32m -≤≤. 【解析】试题分析：
（1）当2m =时，不等式为1223x x -++≤，根据分类讨论解不等式即可．（2）由题意可得当[]0,1x ∈时， 22x m x +≤-有解，即[]2230,1x m x x --≤≤-∈在上有解，故只需（()m in m ax 2)23x m x --≤≤-，由此可得结论． 试题解析：
（1）当2m =时，不等式为1223x x -++≤，
若1x ≤-，则原不等式可化为412233
x x x -+--≤≥-
，解得，所以413
x -
≤≤-；
若11x -<<，则原不等式可化为12230x x x -++≤≤，解得，所以10x -<≤； 若1x ≥，则原不等式可化为212233
x x x -++≤≤，解得，所以x ∈Φ．
综上不等式的解集为4{|0}3
x x -
≤≤．
（2）当[]0,1x ∈时，由()23f x x ≤-，得1232x x m x -++≤- 即22x m x +≤-
故222223x x m x x m x -≤+≤---≤≤-，解得， 又由题意知（()m in m ax 2)23x m x --≤≤-， 所以32m -≤≤．
故实数m 的取值范围为[]3,2-． 7．(1)
32
. (2)见解析.
【解析】试题分析：（1）代入m ＝n ＝1，却掉绝对值，得到分段函数，判定分段函数的单调性，确定函数的最小值；
（2）由题意得，函数的最小值为2，得22
n m += ，利用基本不等式求解最值，即可证明.
试题解析：
(1)∵f (x )＝
∴f (x )在(－∞，)是减函数，在(，＋∞)是增函数，∴当x ＝时，f (x )取最小值.
(2)∵f (x )＝，
∴f (x )在(－∞，)是减函数，在(，＋∞)是增函数， ∴当x ＝时，f (x )取最小值f ()＝m ＋.
∵m ，n ∈R，∴＋＝ (＋)(m ＋) ＝ (2＋
＋
)≥2
点晴:本题主要考查了绝含有绝对值的函数的最小值问题及分段函数的图象与性质、基本不等式的应用，属于中档试题，着重考查了分类讨论思想与转化与化归思想的应用，本题的解答中，根据绝对值的概念合理去掉绝对值号，转化为分段函数，利用分段函数的图象与性质，确定函数的最小值，构造基本不等式的条件，利用基本不等式是解答问题的关键. 【答案】(1) 3322x x ⎧
⎫
-
<<
⎨⎬⎩⎭
(2) 4m ≥ 【解析】试题分析：（1）当m=5时，把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，
求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．
（2）由二次函数y=x 2+2x+3=（x+1）2+2在x=﹣1取得最小值2，f （x ）在x=﹣1处取得最大值m ﹣2，故有m ﹣2≥2，由此求得m 的范围． 试题解析：
（1）当5m =时， ()()
()()521{311 521x x f x x x x +<-=-≤≤->，
由()2f x >得不等式的解集为332
2x x ⎧⎫-
<<
⎨⎬⎩
⎭
. （2）由二次函数()2
22312y x x x =++=++， 知函数在1x =-取得最小值2，
因为()()
()()
21{211 21m x x f x m x m x x +<-=--≤≤->，在1x =-处取得最大值2m -，
所以要是二次函数2
23y x x =++与函数()y f x =的图象恒有公共点. 只需22m -≥，即4m ≥. 9．（1）
53
；（2）见解析
【解析】试题分析： ()1写出分段函数，求得()f x 在1
,3
⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
上单调递增，在1,
3⎛⎫
-∞ ⎪⎝
⎭
上单调递减，即可求出m 的值； ()2计算()2
2a b +，利用基本不等式即可得出结论。

解析：（1）∵()43,2
1{21,
2 3
143,3x x f x x x x x -≥=+≤<-+<
∴()f x 在1,3
⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
上单调递增，在1,
3⎛⎫
-∞ ⎪⎝
⎭
上单调递减，∴()f x 的最小值为1533f ⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
（2）由（1）知， 22523
a b +=
∵
2
2
2a b a b
≤+，
∴()()()2
2
2
2
2
22
2
2
24442325a b a b a b a b a b a
b
+=++≤+++=+=
∴2a b +≤
10．(1) 1a =-；(2) []1,2-.
【解析】试题分析：（1）2112a x a a -≤+≤-，所以113a x a -≤≤-，所以12{
134
a a -=--=，
解得1a =-；（2）224k k -≥--，即220k k --≤，所以k 的取值范围是[]1,2-. 试题解析：
（1）因为21x a a ++≤，所以12x a a +≤-， 所以2112a x a a -≤+≤-，所以113a x a -≤≤-. 因为不等式()1f x ≤的解集为{|24}x x -≤≤，
所以12{ 134
a a -=--=，解得1a =-.
（2）由（1）得()12f x x =--.不等式()2
4f x k k ≥--恒成立， 只需()2
m in 4f x k k ≥--，所以224k k -≥--，即220k k --≤， 所以k 的取值范围是[]1,2-.
11．(1) ()133∞∞⎛⎫
--⋃+ ⎪⎝
⎭
，
，
(2)
1522⎛⎫
- ⎪⎝⎭
， 【解析】试题分析：（1）利用零点分区间讨论去掉绝对值符号，化为分段函数，在每一个前提下去解不等式，每一步的解都要和前提条件找交集得出每一步的解，最后把每一步最后结果找并集得出不等式的解；
（2）根据第一步所化出的分段函数求出函数f （x ）的最小值，若∃x 0∈R ，使得f （x 0）+2m 2＜4m 成立，只需4m ﹣2m 2＞f min （x ），解出实数m 的取值范围． 试题解析：
(Ⅰ)当x <－2时，f (x )＝
－
＝1－2x ＋x ＋2＝－x ＋3，
由f (x )>0，即－x ＋3>0，解得x <3. 又x <－2，所以x <－2； 当－2≤x ≤时，f (x )＝
－
＝1－2x －x －2＝－3x －1，
由f (x )>0，即－3x －1>0，解得x <－.又－2≤x ≤，所以－2≤x <－； 当x >时，f (x )＝－
＝2x －1－x －2＝x －3，由f (x )>0，即x －3>0，解得x >3.
又x >，所以x >3.
综上，不等式f (x )>0的解集为()133∞∞⎛
⎫
--⋃+ ⎪⎝
⎭
，
，
.
(Ⅱ)f (x )
＝－
＝
所以f (x )min ＝
f
＝－.
因为∃x 0∈R ，使得f
＋2m 2<4m ，
所以4m －2m 2>f (x )min ＝－，整理得4m 2－8m －5<0，解得－<m <. 因此，实数m 的取值范围是1522⎛
⎫-
⎪⎝⎭
，. 12．(1) ()2,4,3⎛
⎫
-∞-
⋃+∞ ⎪⎝
⎭
；(2) (]1,4.-
【解析】试题分析：
（1）将绝对值不等式两边平方，化为二次不等式求解．（2）将问题化为分段函数问题，通过分类讨论并根据恒成立问题的解法求解即可． 试题解析：
()1321,x x +<-由已知，可得
2
2
3
21.x x +<-即
整理得2
31080,x x -->
解得2 4.3
x x
-
或
()2,4,.3⎛
⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝
⎭故所求不等式的解集为
()()
()()
45,3,
1222321{7,3, 2145,.
2
x x h x f
x g
x x x x x x --≤-=+
=++-=-<<
+≥
由已知，设
①3454,x x a x ≤--->+当时，只需恒成立
49,a x x <--即
30x ≤-<，
49
94.x a x
x
--∴>
=--
恒成立
m a x 94,a x ⎛
⎫∴>-- ⎪⎝⎭
1,a ∴>-
②137
4,2
x
a x -<+当时，只需恒成立
30.a x -<即恒成立
330
{ ,1
30
2
a a --≤-≤只需
解得1 6.a -≤≤ ③1454,2
x x a x ≥
+>+当时，只需恒成立
4 1.a x x <+即
10,2
x ≥>
4114.x
x a x +∴<=+
恒成立
144x
+
>,且无限趋近于4，
4.a ∴≤
综上a 的取值范围是(]1,4.- 13．(1) (),0-∞；(2) 2,23⎛
⎫
-
⎪⎝⎭
． 【解析】试题分析：（Ⅰ）通过讨论x 的范围，得到关于x 的不等式组，解出取并集即可；
（Ⅱ）求出f （x ）的最大值，得到关于a 的不等式，解出即可． 试题解析：
（1）不等式()2f x <等价于()()3{
2
23212
x x x <-
-++-<或()()31{
22
23212x x x -≤≤
++-<
或()()1{
2
23212
x x x >
+--<
，解得32
x <-
或302
x -
≤<，
所以不等式()2f x <的解集是(),0-∞； （2）
()()()23214f
x x x ≤+--=， ()m ax
4f
x ∴=，
324a ∴-<，解得实数a 的取值范围是2,23⎛⎫
- ⎪⎝⎭
．
点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值
的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．
14．(1) m ＝2 (2) ab ＋bc 的最大值为2 【解析】试题分析：（1）根据绝对值内的零点，分类讨论，去掉绝对值符号，求出函数的最大值，即可得到m ．（2）利用重要不等式求解ab+bc 的最大值． 解析：
(1)当x ≤－1时，f (x )＝3＋x ≤2； 当－1<x <1时，f (x )＝－1－3x <2； 当x ≥1时，f (x )＝－x －3≤－4.
故当x ＝－1时，f (x )取得最大值2，即m ＝2.
(2)因为a 2＋2b 2＋c 2＝(a 2＋b 2)＋(b 2＋c 2
)≥2ab ＋2bc ＝2(ab ＋bc )， 当且仅当a ＝b ＝c ＝1时取等号， 所以ab ＋bc ≤
2
2
2
22a b c
++ ＝2，即ab ＋bc 的最大值为2.
15．（Ⅰ）55| 2
2x x x ⎧
⎫≤-
≥
⎨⎬⎩
⎭或；(Ⅱ) 5
[,+2
∞）. 【解析】试题分析：（Ⅰ）讨论222x x ≤--<≤，和2x >即可解不等式即可；
（Ⅱ）利用绝对值三角不等式可得22x x a a -+-≥-，故等价于23a a -≥-，求解a 即可.
试题解析：
(Ⅰ)当a ＝－2时，f (x )＝|x －2|＋|x ＋2|，
①当2x ≤-时，原不等式化为： 25,x -≥解得52
x ≤-
，从而52
x ≤-
；
②当22x -<≤时，原不等式化为： 45≥，无解； ③当2x >时，原不等式化为： 25,x ≥解得52
x ≥
，从而52
x ≥
；
综上得不等式的解集为55| 2
2x x x ⎧⎫≤-
≥
⎨⎬⎩
⎭
或.
(Ⅱ)当x R ∈时， ()222x x a x x a a -+-≥---=- 所以当x R ∈时， ()3f x a ≥-等价于23a a -≥------（*） 当2a ≥时，（ *）等价于23,a a -≥-解得52
a ≥，从而52
a ≥
；
当2a <时，（ *）等价于23,a a -≥-无解； 故所求a 的取值范围为5
[,+2∞）.。