知识点应力状态理论和强度理论

知识点9：应力状态理论和强度理论
一、应力状态理论
（一）应力状态的概念
１．一般情况下，受力构件内各点的应力是不同的，且同一点的不同方位截面上应力也不相同。

过构件内某一点不同方位上总的应力情况，称为该点的应力状态。

２．研究一点的应力状态，通常是围绕该点截取一个微小的正六面体（即单元体）来考虑。

单元体各面上的应力假设是均匀分布的，并且每对互相平行截面上的应力，其大小和性质完全相同，三对平面上的应力代表通过该点互相垂直的三个截面上的应力。

当单元体三个互相垂直截面上的应力已知时，可通过截面法确定该点任一截面上的应力。

截取单元体时，应尽可能使其三个互相垂直截面的应力为已知。

３．单元体上切应力等于零的截面称为主平面，主平面上的正应力称为主应力。

过受力构件内任一点，一定可以找到一个由三个相互垂直主平面组成的单元
体，称为主单元体。

它的三个主应力通常用σ
１，σ
２
和σ
３
来表示，它们按代数值
大小顺序排列，即σ
１＞σ
２
＞σ
３。

４．一点的应力状态常用该点的三个主应力来表示，根据三个主应力的情况可分为三类：只有一个主应力不等于零时，称为单向应力状态；有两个主应力不等于零时，称为二向应力状态（或平面应力状态）；三个主应力都不等于零时，称为三向应力状态。

其中二向和三向应力状态称为复杂应力状态，单向应力状态称为简单应力状态。

5．研究一点的应力状态是对构件进行强度计算的基础。

（二）平面应力状态的分析
１．分析一点的平面应力状态有解析法和图解法两种方法，应用两种方法时都必须已知过该点任意一对相互垂直截面上的应力值，从而求得任一斜截面上的应力。

２．应力圆和单元体相互对应，应力圆上的一个点对应于单元体的一个面，应力圆上点的走向和单元体上截面转向一致。

应力圆一点的坐标为单元体相应截面上的应力值；单元体两截面夹角为α，应力圆上两对应点中心角为２α；应力圆与σ轴两个交点的坐标为单元体的两个主应力值；应力圆的半径为单元体的最大切应力值。

３．在平面应力状态中，过一点的所有截面中，必有一对主平面，也必有一对与主平面夹角为４５︒的最大（最小）切应力截面。

４．在平面应力状态中，任意两个相互垂直截面上的正应力之和等于常数。

图9-1（a ）所示单元体为平面应力状态的一般情况。

单元体上，与x 轴垂直的平面称为x 平面，其上有正应力σx 和切应力τxy ；与y 轴垂直的平面称为y 平面，其上有正应力σy 和切应力τyx ；与z 轴垂直的z 平面上应力等于零，该平面是主平面，其上主应力为零。

平面应力状态也可用图9-1（b ）所示单元体的平面图来表示。

设正应力以拉应力为正，切应力以截面外法线顺时针转90︒所得的方向为正，反之为负。

（a ）
（b ）
（c ）
图9-1
图9-1（c ）所示斜截面的外法线与x 轴之间的夹角为α。

规定α角从x 轴逆时针向转到截面外法线n 方向时为正。

α斜截面上的正应力和切应力为：
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+-=--++=ατασστατασσσσσαα2cos 2sin 22sin 2cos 22xy y x xy y x y x 最大正应力和最小正应力
2
2
min max 22xy y
x y x τσσσσσσ+⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-±+=
最大正应力和最小正应力是平面应力状态的两个主应力，其所在截面即为两个主平面，方位由下式确定：
y
x xy
σστα--
=22tan 0
最大切应力和最小切应力
2
2
min
max
2xy y x τσσττ+⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-±= 最大切应力和最小切应力所在截面相互垂直，且和两个主平面成45︒，其方位由下式确定：
xy
y
x τσσα22tan 1-=
（三）平面应力状态分析的图解法
１．在σ，τ直角坐标系中，平面应力状态可用一个圆表示，如图9-2所示。

其圆心坐标为⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+0,2y x σσ，半径为2
2
2x y
x τσσ+⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-。

该圆周上任一点的坐标都对应着单元体上某一个α截面上的应力，这个圆称为应力圆。

图9-2
（四）三向应力状态
2
１．在三向应力状态分析中，通常仅需求出最大（最小）正应力和最大切应力。

如欲求空间任意斜截面上的应力，则应用截面法求得。

２．在三向应力状态中，如已知一个主应力值和另外两对非主平面上的正应力和切应力，应由两对非主平面上的正应力和切应力分别求出另外两个主应力，然后根据三个主应力的大小分别写出σ1，σ2和σ3。

（五）广义虎克定律与体积变形 1． 广义虎克定律
广义虎克定律表示复杂应力状态下的应力应变关系，虎克定律σ＝Ｅε表示单向应力状态的应力应变关系。

工程实际中，常由实验测得构件某点处的应变，这时可用广义虎克定律求得该点的应力状态。

以主应力表示的广义虎克定律
[][][]⎪⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧
+-=+-=+-=)(1)(1)(1213313223211σσμσεσσμσεσσμσεE E E
式中σ1，σ2，σ3为代数值，各主应变ε1，ε2，ε3的代数值间相应地有ε1＞ε2＞ε3。

如果单元体的各面上既有正应力又有切应力时，不计切应力对单元棱边的长度变化的影响，广义虎克定律为
[][][]⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧=
+-==+-==+-=G
E G
E G
E zx
zx y x z z yz
yz x z y y xy
xy z y x x τγσσμσετγσσμσετγσσμσε,)(1,
)(1,)(1
2．体积变形
图9.3
图9-3所示单元体的单位体积变化（即体积变形）为
θ＝ε1＋ε2＋ε3
设平均主应力σm ＝3
1
（σ1＋σ2＋σ3），则体积改变虎克定律为
K
m
σθ=
式中)
21(3μ-=
E
K ，称为体积弹性模量。

（六）平面应变分析
１．本章所指平面应变状态是平面应力所对应的应变状态，不同于弹性力学中的平面应变状态，研究的范围仅限于应变发生在同一平面内的平面应变状态。

切应变为零方向上的线应变称为主应变，各向同性材料的主应力和主应变方向相同。

２．在用实测方法研究构件的变形和应力时，一般是用电测法测出一点处几个方向的应变，然后确定主应变及其方向，进行应变分析。

３．在进行一点的平面应变分析时，首先应测定该点的三个应变分量εx ，εy
和γxy 。

由于切应变难以直接测量，一般先测出三个选定方向α1，α2，α3上的线应变，然后求解下列联立方程式
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎨⎧--++=--++=--++=3322
112sin 22cos 222sin 22cos 222sin 22cos 22321
αγαεεεεεαγαεεεεεαγαεεεεεαααxy y x y x xy y x y x xy y x y x 即可求得εx ，εy 和γxy 。

实际测量时，常把α1，α2，α3选取便于计算的数值，得到简单的计算式，以简化计算。

如选取α1＝０︒，α2＝４５︒，α3＝９０︒，则得到
εε=x
90
εε=y
90
4502εεεγ+-=xy
主应变的数值
29045245090021)()(2
2
2
εεεεεεεε-+-±+= 主应变方向
90
090
045022tan εεεεεα---=
４．一点的应变分析完成后，可用广义虎克定律求得该点的应力状态。

二、 强度理论
（一）强度理论的概念
１．杆件在轴向拉伸时的强度条件为
[]σσ≤=A
N
式中许用应力[]n
σσ=
，σ︒为材料破坏时的应力，塑性材料以屈服极限σs （或σ0.2）
为其破坏应力，而脆性材料则以强度极限σb 为其破坏应力。

简单应力状态的强度条件是根据试验结果建立的。

２．材料的破坏形式大致可分为两种类型：一种是塑性屈服；另一种是脆性断裂。

不同的破坏形式有不同的破坏原因。

３．关于材料破坏原因的假说称为强度理论。

这些假说认为在不同应力状态下，材料某种破坏形式是由于某一种相同的因素引起的。

这样，便可以利用轴向拉伸的试验结果，建立复杂应力状态下的强度条件。

(二)四种常用的强度理论
１．最大拉应力理论（第一强度理论）
这一理论认为：最大拉应力是引起材料断裂破坏的主要因素。

第一强度理论的强度条件是
σ１≤［σ］
２．最大拉应变理论（第二强度理论）
这一理论认为：最大拉应变是引起材料断裂破坏的主要因素。

第二强度理论的强度条件是
σ１－μ（σ２＋σ３）≤［σ］
这一理论假设材料直到断裂前服从虎克定律。

３．最大切应力理论（第三强度理论）
这一理论认为：材料发生塑性屈服的主要因素是最大切应力。

第三强度理论的强度条件是
σ１－σ３≤［σ］
４．形状改变比能理论（第四强度理论）
这一理论认为：材料发生塑性屈服的主要因素是形状改变比能。

第四强度理论的强度条件是
[]σσσσσσσ≤-+-+-213232221)()()[(2
1
（三）强度理论的应用与相当应力
１．运用强度理论解决工程实际问题，应当注意其适用范围。

脆性材料一般是发生脆性断裂，应选用第一或第二理论，而塑性材料的破坏形式大多是塑性屈服，应选用第三或第四强度理论。

２．工程实际中，常将强度条件中与许用应力[σ]进行比较的应力称为相当应力，用σxd 表示。

上述四种强度理论的强度条件，可写成统一的形式
σxdi ≤[σ] （i ＝1，2，3，4）
四种强度理论的相当应力分别是
σxd １＝σ１
σxd ２＝σ１－μ（σ２＋σ３） σxd ３＝σ１－σ３
2132322214)()()[(2
1
σσσσσσσ-+-+-=xd
三、难题解析
【例1】 一点处的平面应力状态如图9-4（a ）所示。

已知MPa 60=x σ，
MPa 40-=y σ，MPa 30-=xy τ， 30-=α。

试求
（1）α 斜面上的应力； （2）主应力、主平面； （3）绘出主应力单元体。

（a ）
（b ）
图9-4
解：（1）α 斜面上的应力
MPa
02.9)60sin(30)60cos(24060240602sin 2cos 2
2=-+-++-=--++= α
τασσσσσαxy y
x y x
MPa
xy y
x 3.58)60cos(30)60sin(2
40602cos 2sin 2-=---+=+-=
ατασστα
（2）主应力、主平面
MPa xy y
x y
x 3.68)2
(
2
22max =+-++=τσσσσσ
MPa xy y
x y
x 3.48)2
(
2
22min -=+--+=
τσσσσσ
所以
MPa 3.48,0MPa,3.68321-===σσσ 主平面的方位角为
6.040
6060
22tan 0=+--
=--
=y
x xy
σστα
5.150=α
5.105905.150=+=α
由此可知，主应力1σ方向： 5.150=α，主应力3σ方向： 5.1050=α
（3）绘制主应力单元体，如图9-4（b ）所示。

【例2】如图9-5所示圆柱体，在刚性圆柱形凹模中轴向受压，压应力为σ。

试计算圆柱体的主应力与轴向变形，材料的弹性模量与泊松比分别为E 与μ，圆柱长度为l 。

图9-5
解：在凹模中的轴向压缩圆柱体，由于其横向变形受阻，其侧面也受压，压
强值用p 表示。

对于侧面均匀受压的圆柱体，其内任一点处的任一纵截面上，压应力值均等
于侧压p 。

因此，根据广义胡克定律，并设圆柱体的直径为d ，则其横向变形为
()()[]{}()[]μσμσμ+-=-+---=
∆1p E
d p p E d
d 由于横向变形为零，于是得
σμ
μσ
<-=
1p 所以，圆柱体内各点处的主应力为
σσμ
μσ
σσ-=--
==3211，
其轴向变形则为
()()
()μμμσμμσμσε----=⎪⎭
⎪
⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----==∆121122E l E l l l。