北京市海淀区2007届高三上学期期末考试数学(文)试题(WORD精校版)

北京市海淀区2007年高三年级第一学期期末练习
数学（文科）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有
一项是符合题目要求的. 1． =︒600tan
（ ）
A ．3-
B ．3
C ．
3
3 D ．3
3-
2．椭圆13
42
2=+y x 的准线方程是
（ ）
A ．x =4
B ．4
1
±
=x C ．x =±4 D ．4
1=x 3．已知=-=αα2cos ,5
3cos 则
（ ）
A ．
25
7 B ．257-
C ．
25
24 D ．25
24
-
设集合 4．若直线0164202)1(=++=-+++y mx m y m x 与直线平行，则实数m 的值等于（ ）
A ．1
B ．－2
C ．1或－2
D ．－1或－2
5．已知三条不同直线m 、n 、l ，两个不同平面βα,，有下列命题，其中正确的命题是（ ） A ．βαββαα////,//,,⇒⊂⊂n m n m
B ．ααα⊥⇒⊥⊥⊂⊂l n l m l n m ,,,
C ．αββαβα⊥⇒⊥⊂=⋂⊥n m n n m ,,,
D ．αα//,//m n n m ⇒⊂
6．设a 、b 是两个非零向量，则“2
2
2
||||)(b a b a +=+”是“b a ⊥”的 （ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
7．已知函数),2
0,0)(sin(π
ϕωϕω≤
<>+=x y 且此函数的图象如图所示，则点P （)
,ϕω的坐标是
（ ）
A ．)2
,
2(π
B ．)4
,
2(π
C ．)2
,
4(π
D ．)4
,
4(π
8．设A 、B 、C 、D 是半径为r 的球面上的四点，且满足AB ⊥AC 、AD ⊥AC 、AB ⊥AD ，则
ACD ABD ABC S S S ∆∆∆++ 的最大值是
（ ）
A ．r 2
B ．2 r 2
C ．3 r 2
D ．4 r 2
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.
9．已知双曲线14
22
=-x y ，则其渐近线方程是 ，离心率e= .
10．已知向量,//),1,(),2,13(b a k b k a 且=+=则实数k = .
11．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，直线BD 1与平面ABCD 所成角的正切值是 .
12．设实数x 、y 满足y x z y x y x x 2,030223-=⎪⎩
⎪
⎨⎧≥-+≥--≤则的最小值为 .
13．三棱锥P —ABC 中，PA=PB=PC=2，AB ⊥BC ，AB=1，BC=3，则点P 到平面ABC
的距离为 .
14．动点P 在平面区域|)||(|2:2
2
1y x y x C +≤+内，动点Q 在曲线
1)4()4(:222=-+-y x C 上，则平面区域C 1的面积为 ，|PQ|的最小值
为 .
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．本小题共13分）
在三角形ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，且.si n si n si n 2c o s c o s B
C
A B C -= （Ⅰ）求∠B 的大小； （Ⅱ）若,4,7=+=c a b 求三角形ABC 的面积.
16．（本小题共13分）
已知圆C 的方程为：.42
2
=+y x
（Ⅰ）直线l 过点P （1，2），且与圆C 交于A 、B 两点，若,32||=AB 求直线l 的方程；
（Ⅱ）圆C 上一动点M （),0(),,000y y x =若向量OM +=，求动点Q 的
轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线.
17．（本小题共13分）
如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，,6,3,1,901===︒=∠AA CA CB ACB M 为
侧棱CC 1上一点，AM ⊥A 1C
（Ⅰ）求异面直线A 1B 与AC 所成角的余弦值； （Ⅱ）求证：AM ⊥平面A 1BC ；
（Ⅲ）求二面角M —AB —C 的正切值.
已知向量)sin ,(sin ),cos ,(sin ),sin ,0(),cos ,cos 3x x d x x c x b x x a ====
（Ⅰ）当4
π
=
x 时，求向量a 、b 的夹角；
（Ⅱ）当]2
,
0[π
∈x 时，求c ²d 的最大值；
（Ⅲ）设函数)(),()()(x f d c b a x f 将函数+⋅-=的图象按向量m 平移得到函数g （x ）
的图象，且||,12sin 2)(m x x g 求+=的最小值.
19．（本小题共14分）
已知函数,,,3
1)(23
R c b cx bx x x f ∈++=
且函数f （x ）在区间（－1，1）上单调递增，在区间（1，3）上单调递减. （Ⅰ）若b =－2，求c 的值； （Ⅱ）求证：c ≥3；
（Ⅲ）设函数)(]3,1[),()('
x g x x f x g 时，当-∈=的最小值是－1，求b 、c 的值.
如图，设抛物线)0(22
>=p px y 的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，且A 、B 两点坐标为（P y y y x y x ,0,0),,(),,212211<>是此抛物线的准线上的一点，O 是坐标原点.
（Ⅰ）求证：2
21p y y -=；
（Ⅱ）直线PA 、PF 、PB 的方向向量为（1，a ）、（1，b ）、（1，c ），求证：实数a 、b 、c
成等差数列； （Ⅲ）若||,,,,0βαθθβα-==∠=∠=∠=⋅求证：PFO BPF APF PB PA .
参考答案
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，有两空的小题，第一空3分第二空2分，共
30分）
9．x y 2
1
±
=（缺一扣1分）
， 25 10．－1 11．
2
2
12．－5 13．3 14．122,48-+π 三、解答题（本大题共6小题，共80分） 15．（共12分）
解：（Ⅰ）由已知得
sin B cos C = 2sin A cos B －cos B sin C …………………………………………………1分 ∴2sin A cos B = sin B cos C +cos B sin C = sin(B +C )……………………………………2分 又在三角形ABC 中，sin (B +C ) = sin A ≠0 ∴2sinAcosB = sinA ，即在△ABC 中，cosB=2
1
，………………………………3分 ∵0＜B ＜π∴3
π
=
B ………………………………………………6分
（Ⅱ）B ac c a b cos 272
2
2
-+== =ac c a -+2
2
①………………………8分 ac c a c a 216)(2
2
2
++==+ ②
由①，②可得
3=∴ac …………………………………………………………………………10分 B ac S ABC sin 2
1
=∴∆ 4
3323321=⨯⨯=
∴∆ABC S …………………………………………………13分 16．（共13分）
解：（Ⅰ）①直线l 垂直于x 轴时，则此时直线方程为x =1，l 与圆的两个交点坐标为（1，
3）和（1，－3），这两点的距离为32 满足题意……………………………1分
②若直线l 不垂直于x 轴，设其方程为)1(2-=-x k y ，
即02=+--k y kx …………………………………………………………2分 设圆心到此直线的距离为d ，则2
4232d -=，得d =1…………………3分
1
|2|12++-=
∴k k ，4
3
=
k ，………………………………………………………4分 故所求直线方程为0543=+-y x ………………………………………………5分 综上所述，所求直线方程为0543=+-y x 或x =1……………………………6分 （Ⅱ）设Q 点的坐标为（x ，y ），M 点坐标是),(00y x ，),,0(0y =
,ON OM OQ +=
0002,)2,(),(y y x x y x y x ===∴………………………………………………9分
4
)4
(,
42
2
2
020=+=+y x y x 即116422=+y x ……………………………………………11分
∴Q 点的轨迹方程是116
42
2=+y x ………………………12分
轨迹是一个焦点在y 轴上的椭圆. ……………13分 17．（共13分）
解法一：（Ⅰ）在直棱柱ABC —A 1B 1C 1中， AC//A 1C 1 ∴∠BA 1C 1是异面直线A 1B 与AC 所成的角……………………2分 连接BC 1
∴CC 1⊥平面A 1B 1C 1 ∴CC 1⊥A 1C 1
又∠A 1C 1B 1=∠ACB=90° 即A 1C 1⊥B 1C 1
∴A 1C 1⊥平面BB 1C 1C ∴BC 1⊂平面BB 1C 1C ∴A 1C 1⊥BC 1
在直角三角形BCC 1中，BC=1，CC 1=AA 1=6
72121=+=∴CC BC BC
在直角三角形A 1BC 1中，7,3111==
BC C A
10212111=+=
∴BC C A B A
10
30
cos 11111==
∴B A C A C BA ………………………………………………4分 （Ⅱ）由（I ）可知，BC ⊥AC ，BC ⊥CC 1
∴BC ⊥平面ACC 1A 1，又AM ⊂平面ACC 1A 1，则BC ⊥AM ∵AM ⊥A 1C ，∴AM ⊥平面A 1BC
（Ⅲ）在三角形ABC 中，作AB 边上的高CH ，垂足为H ，连接MH ，显然CH 是MH 在平面ABC 上的射影 ∴MH ⊥AB
∴∠MHC 是二面角M —AB —C 的平面角 …………………………11分 ∵AM ⊥A 1C
∴∠MAC=∠AA 1C ，则 tanMAC=tanAA 1C 即
3,6,11===AC AA AC
MC
AA AC 又 中，
，故在直角三角形又MCH CH MC 2
3
2
6==
∴
22
3
26
tan ===CH MC
MHC ………………………………………………13分
解法二：（I ）如图，以C 为原点，CA ，CB ，CC 1所在 直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则 C （0，0，0）)0,1,0(),6,0,3(),0,0,3(1B A A
),6,1,3(1--=∴A
)0,0,3(=……………………2分
设异面直线A 1B 与AC 所成的角为1θ，则
10
3030
3|
|||cos 111=
=
⋅=
CA B A θ ……………………………………4分
（Ⅱ）同解法一…………………………………………………………9分 （Ⅲ）设M （0，0，z 1） ∵AM ⊥A 1C 01=⋅∴A
即－3+0)2
6,0,0(,26,0611M z z 所以故=
=+………………10分 设向量m=（x ，y ，z ）为平面AMB 的法向量，则m m ⊥⊥,，则
⎪⎩
⎪⎨
⎧=+-=+
-⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅030263,0
0y x z x AB m m 即，令x=1，则平面AMB 的一个法向量为 ),2,3,1(=m
显然向量n=（0，0，1）是平面ABC 的一个法向量， 设所求二面角的大小为2θ 则3
36
2|
||||
|cos 2=
=
⋅⋅=
n m n m θ 2tan 2=∴θ…………………………………………………………13分
18．（共14分）
解：（Ⅰ）4
π
=
x
)2
2
,0(),22,26(
==b a ……………………………………………………………1分 则2
12
2221|
|||,cos ,2
1
)22,0()22,26(
=
⋅
=⋅>=
<=⋅=⋅b a b
a b a b a ∴向量a ，b 的夹角为
3
π
………………………………………………………………3分 （Ⅱ）x x x x x x x d c cos sin sin )sin ,(sin )cos ,(sin 2
+=⋅=⋅
=
)4
2sin(2221)2cos 2(sin 212122sin 22cos 1π
-+=-+=+-x x x x x ……5分
4
3424]2,0[π
πππ≤
-≤-∴∈x x …………………………………………6分 当2
1
2·83,2
4
2+=
=
-
取最大值时，即d c x x ππ
π
…………………………8分 （Ⅲ）)cos sin ,sin 2()sin cos ,cos 3()()()(x x x x x x d c b a x f +⋅-=+⋅-=
=x x x x x x 2cos 2sin 3sin cos cos sin 322
2+=-+
=)6
2sin(2π
+x ……………………………………………………10分
设m=（s ，t ），则
12sin 2)6
22sin(2]6
)(2sin[2)()(+=++
-=++-=+-=x t s x t s x t s x f x g π
π
)(12
,1Z k k s t ∈+
==∴π
π
易知当k=0时，1144
||2
min +=
πm …………………………………………14分
19．（共14分）
解：（Ⅰ）由已知可得f ‘
（1）=0…………………………………………………………1分
又c bx x x f ++=2)(2
'
f ‘
（1）=1+2b+c=0，………………………………………………………………2分
将b=－2代入，可得c=3………………………………………………………………3分 （Ⅱ）可知c x c x x f x f c b ++-=+-
=)1()()(,2
1
2'可得代入‘ 令c x x x f ===21'
,10)(，则……………………………………………………4分
又当－1＜x ＜1时，时，当31,0)('<<≥x x f 0)('
≤x f
如图所示；
易知c ≥3…………………………8分 （Ⅲ）若1≤－b ≤3，则
.12)()(22m in -=+-=-=c b b b g x g
又1+2b+c=0，得b=－2或b=0（舍），c=3， 若－b ≥3，则)3()(m in g x g = =9+6b+c=－1，又1+2b+c=0 得4
9
-
=b （舍） 综上所述，b=－2，c=3…………………………………………14分 20．（共14分）
证明：（I ）（1）当直线AB 的斜率不存在时，设直线AB 的方程为：2
p
x =， 则),,2
(),,2(
p p
B p p A - 221p y y -=∴……………………………………………………1分
（2）当直线AB 的斜率存在且不为0时，设直线AB 方程为：),2
(p
x k y -
=则由 )0(02,2)
2(222≠=--⎪⎩
⎪⎨
⎧
=-=k kp py ky px y p x k y 可得 221p y y -=∴……………………………………………………3分
（Ⅱ）由已知PB PF PA k c k b k a ===,,， 设)0,2
(),,2(p F t p P -
p y x p y x p x t y c p t
b p x t y a 2,2;2
,,22222112211=
=+
-=-=+-=∴且 故222222112222112211)
(2)(22
22222p y t y p p y t y p p p y t y p p y t y p x t y p x t y c a +-++-=+-++-=+-++-=
+ = )
)(()
)(())((22
2222122122221p y p y p y t y p y t y p +++-++-⋅ b p
t
p y y p p y y t p p y y p y y tp ty p y y y tp ty p y y y p 22)
2()
2(2)(222
22
1222
2214
2
221222212
212221222221221=-
=++++-⋅=+++--++--+⋅=
∴a 、b 、c 成等差数列……………………………………………………8分 （Ⅲ）解法一：
1
,0-=⋅⊥∴=⊥c a PB PA PB PA 故
由（Ⅱ）可知c b b a b c a -=-=+即,2 ①若AB ⊥x 轴，则︒=︒==0,45θβα
βαθ-=∴
②若,0>AB k 则
c a
c b a b a ab ac b a ab b a -==--=+--=+-=
1
)(1tan α
同理可得αβ=tan
b c
a a c a c -=+-=-+--=⋅+-=
-∴2
)(1tan tan 1tan tan )tan(βαβαβα
即θβαtan |||)tan(|==-b
易知∠PFO ，∠BPF ，∠APF 都是锐角
||βαθ-=∴
③若,0<AB k 类似的也可证明||βαθ-=
总上所述，||βαθ-=……………………………………………………14分 解法二：
1
,0-=⋅⊥∴=⊥c a PB PA 故
①如图，若AB ⊥x 轴，则︒=︒==0,45θβα
βαθ-=∴
②若,0>AB k ∵A 、B 在抛物线上，
||||,|||BD BF AC AF ==∴
设AB 中点为M ，则2
|
|||AB PM =
=2
||||2||||BD AC BF AF +=
+ 所以PM 是梯形ABDC 的中位线，故P 是CD 中点
2)()
,(),2
,()0,2
(,2),2,2(2
1221212122
12121y y x x p y y x x y y p p F y y t y y p P --
-=⋅∴--=+-=+=+-
∴又
β
=∠=∠∴∆≅∆∴⊥∴=---=DPB BPF PBF PDB x x p x x p .02
)
(2)(1212
βαθβαβθ-=∴+=︒=+∴,902
③若,0<AB k 类似②可证αβθ-=
∴||βαθ-=……………………………………………………14分。