2022-2023学年北京市房山区八年级(下)期末数学试卷【答案版】

2022-2023学年北京市房山区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（共24分，每题3分）
1．在平面直角坐标系中，若点A的坐标为（1，2），则点A在（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．我国一些银行的行标设计都融入了对称的知识，如图四个行标中是中心对称图形的是（）A．B．
C．D．
3．函数y=2
的自变量x的取值范围是（）
x−1
A．x≠﹣1B．x≠0C．x≠1D．x≠2
4．如图多边形中，内角和最大的是（）
A．B．
C．D．
5．用配方法解方程x2+4x﹣1＝0，配方后得到的方程是（）
A．（x+2）2＝5B．（x﹣2）2＝5C．（x+4）2＝3D．（x﹣4）2＝3
6．5月14日北京市气象台发布了2023年首次高温蓝色预警，气温连续两天超过35℃，其中5月15日至19日的最高气温如表所示（单位：℃）
这5天最高气温的极差是（）
A．7B．8C．9D．10
7．粮食是人类赖以生存的重要物质基础．某农业基地现有杂交水稻种植面积30公顷，计划两年后将杂交水稻种植面积增至36.3公顷，设该农业基地杂交水稻种植面积的年平均增长率为x，根据题意列出方程
正确的是（ ） A ．30（1﹣x ）2＝36.3 B ．30（1+x ）2＝36.3
C ．36.3（1﹣x ）2＝30
D ．36.3（1+x ）2＝30
8．下面的四个问题中都有两个变量： ①圆的面积y 与它的半径x ；
②汽车从A 地匀速行驶到B 地，油箱内的剩余油量y 与行驶时间x ； ③将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y 与放水时间x ； ④矩形的面积一定，一边长y 与相邻的另一边长x ．
其中，变量y 与变量x 之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（ ）
A ．①③
B ．①④
C ．②③
D ．②④
二、填空题（共16分，每题2分）
9．一元二次方程3x 2﹣4x ﹣1＝0的二次项系数是 ，一次项系数是 ． 10．平面直角坐标系中，点（2，﹣3）关于原点对称的点的坐标是 ． 11．已知一个n 边形的每一个外角都为30°，则n 等于 ．
12．已知点A （1，y 1），B （4，y 2）在直线y ＝2x ﹣1上，比较y 1与y 2的大小：y 1 y 2．（填“＞”，“＝”或“＜”）
13．若关于x 的方程x 2﹣2x +m ＝0有两个相等的实数根，则m ＝ ．
14．甲、乙、丙、丁四人参加训练，近期的10次百米测试平均成绩都是13.2秒，方差分别为s 甲2=0.030，s 乙2=0.022，s 丙2=0.019，s 丁2
=0.027，则这四人中发挥最稳定的是 ．
15．如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 为BC 的中点，连接OE ，若OE =√5，OA ＝4，则AB ＝ ，菱形ABCD 的面积是 ．
16．在平面直角坐标系中，已知A（﹣3，0），B（0，4），C（a，﹣a），D是平面内的一点，以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形．
（1）若a＝1，则平行四边形ABCD中，点D的坐标为；
（2）CD的最小值为．
三、解答题（共60分，第17-18题，每题4分，第19-26题，每题5分，第27-28题，
17．（4分）解方程：x2﹣5x＝0．
18．（4分）解方程（配方法）：2x2+3x﹣2＝0．
19．（5分）如图，在▱ABCD中，∠DAB的平分线交DC于点E，交BC的延长线于点F．若∠D＝120°，求∠F的度数．
20．（5分）已知：在△AOD中，∠AOD＝90°．
求作：菱形ABCD．
作法：
①延长AO，以点O为圆心，OA长为半径作弧，与AO的延长线交于点C；
②延长DO，以点O为圆心，OD长为半径作弧，与DO的延长线交于点B；
③连接AB，BC，CD．
所以四边形ABCD即为所求作的菱形．
（1）使用直尺和圆规作图（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵AO＝，DO＝，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵∠AOD＝90°，
∴AC⊥BD．
∴平行四边形ABCD是菱形．（）（填推理的依据）．
21．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝﹣2x +4的图象与x 轴，y 轴分别相交于点A ，点B ． （1）直接写出A ，B 两点的坐标；
（2）若点C （1，b ）在一次函数y ＝﹣2x +4的图象上，求△AOC 的面积．
22．（5分）我们把顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．同学们在探究学习中发现：任意一个四边形的中点四边形都是平行四边形．下面是证明一个四边形的中点四边形是平行四边形的三种添加辅助线的方法，请选择其中一种，完成证明．
证明：如图，连接AC ．
证明：如图，连接BD ．
证明：如图，连接AC ，BD ．
23．（5分）已知关于x 的一元二次方程x 2+nx ﹣6＝0． （1
）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有一个根是1，求方程的另一个根．
24．（5分）如图，在▱ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AC ⊥BC ，点E 是BC 延长线上一点，且CE ＝BC ，连接DE ．
（1）求证：四边形ACED 为矩形；
（2）连接OE ，若BC ＝3，DE ＝2，求OE 的长．
25．（5分）2023年4月24日是第8个中国航天日，中央广播电视台联合中国载人航天工程办公室共同推
出中国空间站独家直播《天宫之境》．某校为增强学生的爱国主义情怀，普及航天知识，弘扬航天精神，组织学生观看了直播，并开展了“格物致知，叩问苍穹”知识竞赛，现随机抽取了八年级50名学生的竞赛成绩（百分制），整理并绘制了如下的统计图表：
某校八年级50名学生成绩频数分布表某校八年级50名学生成绩频数分布直方图
根据以上信息，解答下列问题：
（1）在频数分布表中m＝，n＝；
（2）补全频数分布直方图；
（3）若该校八年级有200名学生，成绩在90分及以上的学生可获得一等奖，估计此次知识竞赛八年级学生获一等奖的约有人．
26．（5分）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点（﹣1，5），（2，2）．（1）求该函数的表达式；
（2）当x＞m时，对于x的每一个值，函数y＝x+2的值大于函数y＝kx+b（k≠0）的值，直接写出m 的取值范围．
27．（6分）如图，在正方形ABCD的外侧作射线AP，∠BAP＝α（0°＜α＜45°），作点B关于射线AP的对称点E，连接DE交AP于点F，连接AE．
（1）依题意补全图形；
（2）若α＝20°，则∠AFD＝°；
（3）用等式表示线段FE，F A，FD之间的数量关系，并证明．
28．（6分）在平面直角坐标系xOy中，不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），给出如下定义：若|y2﹣y1|＝|x2﹣x1|，则称点A，B互为“等距点”．例如，点M（3，2），N（2，3）互为“等距点”．（1）P1（1，2），P2（1，1），P3(√2，−1)，P4（1，﹣1）四个点中，能与坐标原点互为“等距点”的是．
（2）已知A（1，0），
①若点B是点A的等距点，且满足△AOB的面积为1，求点B的坐标．
②若以点T（t，3）为中心，边长为2正方形上存在一点P与点A互为等距点，请直接写出t的取值范
围．
2022-2023学年北京市房山区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共24分，每题3分）
1．在平面直角坐标系中，若点A的坐标为（1，2），则点A在（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
解：在平面直角坐标系中，若点A的坐标为（1，2），则点A在第一象限，
故选：A．
2．我国一些银行的行标设计都融入了对称的知识，如图四个行标中是中心对称图形的是（）A．B．
C．D．
解：A、该图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、该图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、该图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、该图形是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
3．函数y=2
的自变量x的取值范围是（）
x−1
A．x≠﹣1B．x≠0C．x≠1D．x≠2
解：由题意得：x﹣1≠0，解得：x≠1，
故选：C．
4．如图多边形中，内角和最大的是（）
A．B．
C．D．
解：三角形的内角和为180°，
四边形的内角和为360°，
五边形的内角和为（5﹣2）×180°＝540°，
六边形的内角和为（6﹣2）×180°＝720°，
∵720°＞540°＞360°＞180°，
∴六边形的内角和最大，
故选：D．
5．用配方法解方程x2+4x﹣1＝0，配方后得到的方程是（）
A．（x+2）2＝5B．（x﹣2）2＝5C．（x+4）2＝3D．（x﹣4）2＝3
解：x2+4x﹣1＝0，
x2+4x＝1，
x2+4x+4＝1+4，
（x+2）2＝5，
故选：A．
6．5月14日北京市气象台发布了2023年首次高温蓝色预警，气温连续两天超过35℃，其中5月15日至19日的最高气温如表所示（单位：℃）
这5天最高气温的极差是（）
A．7B．8C．9D．10
解：本组数据的最大值是36，最小值是26，
则这5天最高气温的极差是：36﹣26＝10，
故选：D．
7．粮食是人类赖以生存的重要物质基础．某农业基地现有杂交水稻种植面积30公顷，计划两年后将杂交水稻种植面积增至36.3公顷，设该农业基地杂交水稻种植面积的年平均增长率为x，根据题意列出方程正确的是（）
A．30（1﹣x）2＝36.3B．30（1+x）2＝36.3
C．36.3（1﹣x）2＝30D．36.3（1+x）2＝30
解：设该农业基地杂交水稻种植面积的年平均增长率为x，
依题意，得：30（1+x）2＝36.3．
故选：B．
8．下面的四个问题中都有两个变量：
①圆的面积y与它的半径x；
②汽车从A地匀速行驶到B地，油箱内的剩余油量y与行驶时间x；
③将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x；
④矩形的面积一定，一边长y与相邻的另一边长x．
其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（）
A．①③B．①④C．②③D．②④
解：圆的面积y随半径x的增大而增大，故①不符合题意；
汽车从A地匀速行驶到B地，油箱内的剩余油量y随x增大逐渐减小，并且减小的变化量相等，是一次函数，故②符合题意；
将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x，y随x增大逐渐减小，并且减小的变化量相等，是一次函数，故③符合题意；
矩形的面积一定，一边长y与相邻的另一边长x成反比，故④不符合题意；
所以变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是②③．
故选：C．
二、填空题（共16分，每题2分）
9．一元二次方程3x2﹣4x﹣1＝0的二次项系数是3，一次项系数是﹣4．解：由题意，得二次项系数为3，一次项系数为﹣4，
故答案为：3，﹣4．
10．平面直角坐标系中，点（2，﹣3）关于原点对称的点的坐标是（﹣2，3）．解：点P（2，﹣3）关于原点对称的点的坐标是（﹣2，3），
故答案为：（﹣2，3）．
11．已知一个n边形的每一个外角都为30°，则n等于12．
解：∵一个n边形的每一个外角都为30°，任意多边形的外角和都是360°，
∴n＝360°÷30°＝12．
故答案为：12．
12．已知点A （1，y 1），B （4，y 2）在直线y ＝2x ﹣1上，比较y 1与y 2的大小：y 1 ＜ y 2．（填“＞”，“＝”或“＜”） 解：∵k ＝2＞0， ∴y 随x 的增大而增大，
又∵点A （1，y 1），B （4，y 2）在直线y ＝2x ﹣1上，且1＜4， ∴y 1＜y 2． 故答案为：＜．
13．若关于x 的方程x 2﹣2x +m ＝0有两个相等的实数根，则m ＝ 1 ． 解：根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4m ＝0，解得m ＝1． 故答案为1．
14．甲、乙、丙、丁四人参加训练，近期的10次百米测试平均成绩都是13.2秒，方差分别为s 甲2=0.030，s 乙2=0.022，s 丙2=0.019，s 丁2
=0.027，则这四人中发挥最稳定的是 丙 ．
解：∵s 甲2＝0.030，s 乙2＝0.022，s 丙2＝0.019，s 丁2＝0.027， ∴s 2丙＜s 2乙＜s 2丁＜s 2甲， ∴这四人中发挥最稳定的是丙． 故答案为：丙．
15．如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 为BC 的中点，连接OE ，若OE =√5，OA ＝4，则AB ＝ 2√5 ，菱形ABCD 的面积是 16 ．
解：∵菱形ABCD 对角线AC 与BD 交于点O ， ∴DO ⊥CO ，AC ＝2OA ＝2OC ＝8， ∵E 是BC 边上的中点， ∴OE 是△CAB 的中位线， ∴AB ＝2OE ＝2√5，
∴OB =√AB 2−OA 2=√20−16=2， ∴BD ＝2OB ＝4，
∴则菱形的面积=1
2×8×4＝16，
故答案为：2√5，16．
16．在平面直角坐标系中，已知A （﹣3，0），B （0，4），C （a ，﹣a ），D 是平面内的一点，以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形是平行四边形．
（1）若a ＝1，则平行四边形ABCD 中，点D 的坐标为 （﹣2，﹣5）或（﹣4，5）或（4，3） ；
（2）CD 的最小值为 √22
． 解：（1）如图1，四边形ABDC 、四边形ABCD 2、四边形ACBD 1都是平行四边形，
∵A （﹣3，0），B （0，4），C （a ，﹣a ），且a ＝1，
∴C （1，﹣1），
设AC 、AB 、BC 的中点分别为P （m ，n ）、Q （q ，b ）、R （r ，c ），
∴m =−3+12=−1，n =0−12=−12，q =−3+02=−32，b =0+42=2，r =0+12=12，c =4−12
=32， ∴P （﹣1，−12），Q （−32，2），R （12，32），
设D 2（h ，i ），D 1（f ，g ），D （d ，e ），
∵点D 2与点B 关于点P 对称，点D 1与点C 关于点Q 对称，点D 与点A 关于点R 对称，
∴h +0＝2×（﹣1），i +4＝2×（−12），f +1＝2×（−32），g ﹣1＝2×2，d ﹣3＝2×12，e +0＝2×32， ∴h ＝﹣2，i ＝﹣5，f ＝﹣4，g ＝5，d ＝4，e ＝3，
∴D 2（﹣2，﹣5），D 1（﹣4，5），D （4，3），
故答案为：（﹣2，﹣5）或（﹣4，5）或（4，3）．
（2）∵∠AOB ＝90°，OA ＝3，OB ＝4，
∴AB =√OA 2+OB 2=√32+42=5，
由（1）可知，当AB 是以A ，B ，C ，D 为顶点的平行四边形的一边时，则CD ＝AB ＝5，
设直线OC 的解析式为y ＝kx ，则ak ＝﹣a ，
解得k ＝﹣1，
∴点C 在直线y ＝﹣x ，即第二象限、第四象限的角平分线上，
如图2，AB 是以A ，B ，C ，D 为顶点的平行四边形的对角线，
∴点D 与点C 关于AB 的中点Q （−32，2）对称，
∴CD ＝2CQ ，
当CQ ⊥OC 时，CQ 的值最小，此时CD 的值即小，
设直线CD 交x 轴于点M ，交y 轴于点N ，
∵∠OCM ＝∠OCN ＝90°，∠COM ＝∠CON ＝45°，
∴∠OMN ＝∠ONM ＝45°，
∴OM ＝ON ，
设M （﹣n ，0），则N （0，n ），
设直线CD 的解析式为y ＝qx +n ，则{−nq +n =0
−32q +n =2，解得{q =1n =72
， ∴直线CD 的解析式为y ＝x +72，
解方程组{y =−x y =x +72，得{x =−74y =74
， ∴C （−74，74）， ∴CD ＝2CQ ＝2×√(−32+74)2+(2−74)2=√22，
∵√22＜5， ∴CD 的最小值是√22
， 故答案为：√22
． 三、解答题（共60分，第17-18题，每题4分，第19-26题，每题5分，第27-28题，
17．（4分）解方程：x 2﹣5x ＝0．
解：原方程可化为x （x ﹣5）＝0，
x ＝0或x ﹣5＝0，
所以x 1＝0，x 2＝5．
18．（4分）解方程（配方法）：2x 2+3x ﹣2＝0．
解：由原方程，得2x 2+3x ＝2，
化二次项系数为1，得x 2+32x ＝1，
等式两边同时加上一次项系数一半的平方(34)2，得x 2+32x +(34)2=1+(34)2，即（x +34）2=2516，
∴x +34=±54， ∴x 1=12
，x 2＝﹣2．
19．（5分）如图，在▱ABCD 中，∠DAB 的平分线交DC 于点E ，交BC 的延长线于点F ．若∠D ＝120°，求∠F 的度数．
解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD ∥BC ，
∴∠DAC ＝∠F ，
∵∠DAB 的平分线交DC 于点E ，
∴∠DAE ＝∠BAE =12
∠DAB ，
∵AB ∥DC ，∠D ＝120°，
∴∠DAB ＝60°，
∴∠F 的度数为：12∠DAB ＝30°． 20．（5分）已知：在△AOD 中，∠AOD ＝90°．
求作：菱形ABCD ．
作法：
①延长AO ，以点O 为圆心，OA 长为半径作弧，与AO 的延长线交于点C ；
②延长DO ，以点O 为圆心，OD 长为半径作弧，与DO 的延长线交于点B ；
③连接AB ，BC ，CD ．
所以四边形ABCD 即为所求作的菱形．
（1）使用直尺和圆规作图（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵AO ＝ OC ，DO ＝ OB ，
∴四边形ABCD 是平行四边形．
∵∠AOD ＝90°，
∴AC ⊥BD ．
∴平行四边形ABCD 是菱形．（ 对角线垂直的平行四边形是菱形 ）（填推理的依据）．
（1）解：如图，菱形ABCD 即为所求；
（2）证明：∵AO ＝OC ，DO ＝OB ，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵∠AOD＝90°，
∴AC⊥BD．
∴平行四边形ABCD是菱形（对角线垂直的平行四边形是菱形）．
故答案为：OC，OB，对角线垂直的平行四边形是菱形．
21．（5分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣2x+4的图象与x轴，y轴分别相交于点A，点B．（1）直接写出A，B两点的坐标；
（2）若点C（1，b）在一次函数y＝﹣2x+4的图象上，求△AOC的面积．
解：（1）∵一次函数y＝﹣2x+4图象与x轴、y轴分别相交于点A和点B，
∴令y＝0，则﹣2x+4＝0，解得x＝2，
∴点A（2，0），
令x＝0，则y＝4，
∴点B（0，4）．
（2）∵点C（1，b）在一次函数y＝﹣2x+4的图象上，
∴b＝﹣2×1+4＝2，
∴C（1，2），
∵AO＝2，
∴S△AOC=1
2
OA⋅y C=
1
2
×2×2=2．
22．（5分）我们把顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．同学们在探究学习中发现：任意一个四边形的中点四边形都是平行四边形．下面是证明一个四边形的中点四边形是平行四边形的三种添加辅助线的方法，请选择其中一种，完成证明．
证明：如图，连接AC．证明：如图，连接BD．证明：如图，连接AC，BD．
方法一：证明：∵点E 、F 分别为BA 、BC 的中点，
∴EF 是△ABC 的中位线，
∴EF =12
AC ，EF ∥AC ，
同理可得：GH =12AC ，GH ∥AC ，
∴EF ＝GH ，EF ∥GH ，
∴四边形EFGH 是平行四边形；
方法二：证明方法同一；
方法三：由方法一、二可知：EF ＝GH ，EH ＝GF ，
∴四边形EFGH 是平行四边形．
23．（5分）已知关于x 的一元二次方程x 2+nx ﹣6＝0．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有一个根是1，求方程的另一个根．
解：（1）Δ＝b 2﹣4ac ＝n 2﹣4×1×（﹣6）＝n 2+24，
∵无论n 为何值，n 2+24＞0，
即Δ＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根；
（2）设方程的另一个根为m ，
由根与系数关系得1×m ＝﹣6，
解得m ＝﹣6，
∴方程的另一个根为﹣6．
24．（5分）如图，在▱ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AC ⊥BC ，点E 是BC 延长线上一点，且CE ＝BC ，连接DE ．
（1）求证：四边形ACED 为矩形；
（2）连接OE ，若BC ＝3，DE ＝2，求OE 的长．
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵CE＝BC，
∴AD＝CE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∵AC⊥BC，
∴∠ACE＝90°，
∴四边形ACED是矩形；
（2）解：∵对角线AC，BD交于点O，连接OE，
∴点O是BD的中点，
∵四边形ACED是矩形，
∴∠BED＝90°，
∴OE=1
2 BD，
∵BC＝3，DE＝2，
∴BE＝6，
BD=√62+22=2√10，
∴OE=√10．
25．（5分）2023年4月24日是第8个中国航天日，中央广播电视台联合中国载人航天工程办公室共同推出中国空间站独家直播《天宫之境》．某校为增强学生的爱国主义情怀，普及航天知识，弘扬航天精神，组织学生观看了直播，并开展了“格物致知，叩问苍穹”知识竞赛，现随机抽取了八年级50名学生的竞赛成绩（百分制），整理并绘制了如下的统计图表：
某校八年级50名学生成绩频数分布表某校八年级50名学生成绩频数分布直方图
根据以上信息，解答下列问题：
（1）在频数分布表中m ＝ 10 ，n ＝ 0.28 ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）若该校八年级有200名学生，成绩在90分及以上的学生可获得一等奖，估计此次知识竞赛八年级学生获一等奖的约有 40 人．
解：（1）m ＝50×0.20＝10，n =14
50=0.28；
故答案为：10，0.28；
（2）由（1）知m ＝10，补全频数分布直方图如图：
（3）估计此次知识竞赛八年级学生获一等奖的约有：200×0.20＝40（人），
故答案为：40．
26．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，函数y ＝kx +b （k ≠0）的图象经过点（﹣1，5），（2，2）．
（1）求该函数的表达式；
（2）当x ＞m 时，对于x 的每一个值，函数y ＝x +2的值大于函数y ＝kx +b （k ≠0）的值，直接写出m 的取值范围．
解：（1）由题意得：{−k +b =52k +b =2
， 解得：{k =−1b =4
， 所以该函数的表达式为：y ＝﹣x +4；
（2）由题意得：x +2＞﹣x +4，
解得：x ＞1，
∴m ≥1．
27．（6分）如图，在正方形ABCD 的外侧作射线AP ，∠BAP ＝α（0°＜α＜45°），作点B 关于射线AP 的对称点E ，连接DE 交AP 于点F ，连接AE ．
（1）依题意补全图形；
（2）若α＝20°，则∠AFD ＝ 45 °；
（3）用等式表示线段FE ，F A ，FD 之间的数量关系，并证明．
（1）解：如图，
（2）解：∵四边形ABCD 是正方形，
∴AD ＝AB ，∠DAB ＝90°，
由对称的性质可得AB ＝AE ，∠BAP ＝∠EAP ＝α＝20°，
∴AD ＝AE ，∠DAE ＝∠DAB +∠BAP +∠EAP ＝90°+20°+20°＝130°，
∴∠AED ＝∠ADE =180°−∠DAE 2=180°−130°2
=25°， ∵∠AFD 是△AEF 的一个外角，
∴∠AFD ＝∠EAP +∠AED ＝20°+25°＝45°， 故答案为：45；
（3）FD =FE +√2FA ；
证明：如图，过点A 作AH ⊥AF ，垂足为点A ，
∴∠BAF +∠BAH ＝90°，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴AD ＝AB ，∠DAB ＝90°，
∴∠DAH +∠BAH ＝90°，
∴∠BAF ＝∠DAH ，
由对称的性质可得AB ＝AE ，∠BAF ＝∠EAF ， ∴AE ＝AD ，∠EAF ＝∠DAH ，
∴∠AEF ＝∠ADH ，
在△AEF 和△ADH 中，
{∠AEF =∠ADH
AE =AD ∠EAF =∠DAH
，
∴△AEF ≌△ADH （ASA ），
∴FE ＝HD ，∠AFE ＝∠AHD ，
∴180°﹣∠AFE ＝180°﹣∠AHD ，
即∠AFH ＝∠AHF ，
∴△AFH 是等腰直角三角形，
由勾股定理得FH =√2FA ，
∵FD ＝HD +FH ，FE ＝HD ，
∴FD =FE +√2FA ．
28．（6分）在平面直角坐标系xOy 中，不同的两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），给出如下定义：
若|y 2﹣y 1|＝|x 2﹣x 1|，则称点A ，B 互为“等距点”．例如，点M （3，2），N （2，3）互为“等距点”．
（1）P 1（1，2），P 2（1，1），P 3(√2，−1)，P 4（1，﹣1）四个点中，能与坐标原点互为“等距点”的 是 P 2（1，1）、P 4（1，﹣1） ．
（2）已知A （1，0），
①若点B 是点A 的等距点，且满足△AOB 的面积为1，求点B 的坐标．
②若以点T （t ，3）为中心，边长为2正方形上存在一点P 与点A 互为等距点，请直接写出t 的取值范围．
（1）解：根据“等距点”定义，得：
∵P 1（1，2）、O （0，0），
∴|1﹣0|＝1≠|2﹣0|＝2，即P 1（1，2）与坐标原点不是“等距点“；
∵P 2（1，1）、O （0，0），
∴|1﹣0|＝1＝|1﹣0|，即P 2（1，1）与坐标原点互为“等距点“；
∵P 3（√2，﹣1），O （0，0），
∴|√2−0|=√2≠|﹣1﹣0|＝1，即P 3（2，﹣1）与坐标原点不是“等距点”：
∵P 4（1，﹣1），O （0，0），
∴|1﹣0|＝1＝|﹣1﹣0|，即P 4（1，﹣1）与坐标原点互为“等距点“；
综上所述，与坐标原点互为“等距点“的是P 2（1，1）、P 4（1，﹣1）
故答案为：P 2（1，1）、P 4（1，﹣1）；
（2）解：①∵A （1，0），点B 是点A 的等距点，
∴设B （x ，y ），则|x ﹣1|＝|y ﹣0|，即|y |＝|x ﹣1|，
∴y ＝x ﹣l 或y ＝﹣x +1，
如图所示：
∵△AOB 的面积为1，
由图可知，1=12OA •|y B |=12×1×|y B |，
解得y B＝±2，
∴当点B在y＝x﹣l上时，由y B＝2得到x＝3；由y B＝﹣2得到x＝﹣1，
即：点B的坐标为B（3，2）或B（﹣1，﹣2）；
当点B在y＝﹣x+1上时，由y B＝2得到x＝﹣1；由y B＝﹣2得到x＝3，
即：点B的坐标为B（﹣1，2）或B（3，﹣2）；
综_上所述，点B的坐标为B（3，2）或B（﹣1，﹣2）或B（﹣1，2）或B（3，﹣2）；
②如图所示，
∵T（t，3），正方形边长为2，
设P（m，n），当与点A（1，0）互为等距点，则|m﹣1|＝|n|，
∴当P（m，n）在正方形左边上，有m＝t﹣1，2≤n≤4，即|t﹣2|＝|n|，得到2≤|t﹣2|≤4，解得4≤t≤6或﹣2≤t≤0；
当P（m，n）在正方形右边上，有m＝t+1，2≤n≤4，即|t|＝|n|，得到2≤|t|≤4，解得2≤t≤4或﹣4≤t≤﹣2；
当P（m，n）在正方形上边时，有t﹣1≤m≤t+1，n＝4，再由|m﹣1|＝4解得m＝5或m＝﹣3，则t﹣1≤5≤t+l或t﹣l≤﹣3≤t+1，解得4≤t≤6或﹣4≤t≤一2；
当P（m，n）在正方形下边时，有t﹣1≤m≤t+1，n＝2，再由|m﹣1|＝2解得m＝3或m＝﹣1，则t﹣1≤3≤t+1或t﹣1≤﹣1≤t+1，解得2≤t≤4或﹣2≤t≤0；
综上所述，若以点T（t，3）为中心，边长为2正方形上存在一点P与点A互为等距点，t的取值范围为﹣4≤t≤0或2≤t≤6．。