(学习指导) 分层随机抽样的均值与方差43 百分位数Word版含解析

4.2分层随机抽样的均值与方差
4.3百分位数
学习目标核心素养
1.结合具体实例，掌握分层随机抽样的样本均值和样本方差．(难点、重点) 2．结合实例，能用样本估计百分位数，理解百分位数的统计含义．(难点、重点)1．通过计算分层随机抽样的样本的均值和方差，培养数学运算素养．
2．通过学习分层随机抽样的样本均值和样本方差的意义，培养数据分析素养．
设样本中不同层的平均数和相应权重分别为x1，x2，…，x n和w1，w2, …，w n，则这个样本的平均数为w1x1＋w2x2＋…＋w n x n．为了简化表示，引进求和符号，记作w1x1＋w2x2＋…＋w n x n＝∑
n
i＝1
w i x i．
2．分层随机抽样的方差
设样本中不同层的平均数分别为x1，x2，…，x n，方差分别为s21，s22，…s2n，相应的权重分别为w1，w2，…，w n，则这个样本的方差为s2＝∑
n
i＝1
w i[s2i＋(x i－x)2] ，其中x为样本平均数．
3．百分位数
(1)定义：一般地，当总体是连续变量时，给定一个百分数p∈(0，1)，总体的p分位数有这样的特点：总体数据中的任意一个数小于或等于它的可能性是p.
(2)常用的百分位数：
①四分位数：25%，50%，75%，
②其它常用的百分位数：1%，5%，10%，90%，95%，99%．
(3)计算一组n个数据的p分位数的一般步骤如下：
第1步，按照从小到大排列原始数据；
第2步，计算i＝np；
第3步，若i不是整数，大于i的最小整数为j，则p分位数为第j项数据；若i是整数，则p分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数．
思考：1.甲班和乙班各有学生20人、40人，甲班的数学成绩的平均数为80分，方差为2，乙班的数学成绩的平均数为82分，方差为4，那么甲班和乙班这
60人的数学成绩的平均分是80＋82
2
＝81分吗？方差是
2＋4
2
＝3吗？为什么？
[提示]不是，因为甲班和乙班在这60人中的权重是不同的．
2．“这次数学测试成绩的70%分位数是85分”这句话是什么意思？
提示：有70%的同学数学测试成绩小于或等于85分．
1．下列一组数据的25%分位数是()
2．1, 3.0, 3.2, 3.8, 3.4, 4.0, 4.2, 4.4, 5.3, 5.6.
A．3.2B．3.0C．4.4D．2.5
A[把该组数据按照由小到大排列，可得：
2．1, 3.0, 3.2, 3.4, 3.8, 4.0, 4.2, 4.4, 5.3, 5.6.
由i＝10×25%＝2.5，不是整数，则第3个数据3.2是25%分位数．]
2．某单位共有员工100人，其中年轻人有20人，平均年薪为5万元，中年人有80人，平均年薪为8万元，则该单位员工的平均年薪为() A．5万元B．8万元C．6.5万元D．7.4万元
D[由题意可知x＝20
100×5＋
80
100×8＝7.4(万元).]
3．利用分层随机抽样抽得A，B两组数据，其平均数分别是x A＝2.3，x B＝2.8，这两组数据的平均数x＝2.4，则A组数据在两组数据中的权重w A＝________．
4
5[由x＝w A x A＋w B x B可得2.4＝w A×2.3＋(1－w A)×2.8，解得w A＝4 5.]
分层随机抽样的平均数
【例1】某公益组织在某社区调查年龄在[20，50]内的居民熬夜时间，得到如下表格：
夜时长．
[解]由表可知该社区在[20，50]内的居民人数为3.6÷30%＝12(百人)，则年龄在[30，40)的居民所占比例为6÷12＝50%，年龄在[40，50]的居民人数所占比例为1－30%－50%＝20%，故该社区所调查居民的平均熬夜时长为x＝4×30%＋2×50%＋1×20%＝1.2＋1＋0.2＝2.4(h).
分层随机抽样的平均数的计算方法
(1)第i层的权重w i、第i层的个体数x i，样本容量n，三者满足w i＝x i
n，已知
其中2个可求另外1个．
(2)在利用公式x＝w1x1＋w2x2＋…＋w n x n求分层随机抽样的平均数时，要清楚公式中各符号的含义，避免代入数据时出现失误，同时要仔细运算，按照要求保留有效小数．
[跟进训练]
1．某市有大、中、小型商店的数量之比为1∶5∶9，其中大型商店的年纳税额为300万元，中型商店的年纳税额为25万元，小型商店的年纳税额为0.4万元，求该市所有商店的年平均纳税额．(结果保留一位小数)
[解]由题意知，该市所有商店的年平均纳税额为
x＝
1
1＋5＋9
×300＋
5
1＋5＋9
×25＋
9
1＋5＋9
×0.4≈28.6(万元)，
所以该市所有商店的年平均纳税额为28.6万元．分层随机抽样的方差
【例2】 甲、乙两支田径队体检结果为：甲队体重的平均数为60 kg ，方差为200，乙队体重的平均数为70 kg ，方差为300，又已知甲、乙两队的队员人数之比为1∶4，那么甲、乙两队全部队员的平均体重和方差分别是什么？
[解] 由题意可知x 甲＝60，甲队队员在所有队员中所占权重为w 甲＝
11＋4＝15， x 乙＝70，乙队队员在所有队员中所占权重为w 乙＝41＋4
＝45， 则甲、乙两队全部队员的平均体重为x ＝w
甲x 甲＋w 乙x 乙＝15×60＋45×70
＝68(kg)，
甲、乙两队全部队员的体重的方差为 s 2＝w 甲[s 2甲＋(x 甲－x )2]＋w 乙[s 2乙＋(x 乙－x )2]
＝15[200＋(60－68)2]＋45[300＋(70－68)2]＝296.
计算分层随机抽样的方差s 2的步骤
(1)确定x 1，x 2，…，x n ，s 21，s 22，…，s 2n ，w 1，w 2，…，w n ；
(2)确定x ；
(3)应用公式 s 2＝∑n
i ＝1
w i [s 2i ＋(x i －x )2]计算s 2.
[跟进训练]
2．已知某省二、三、四线城市数量之比为1∶3∶6，2019年6月份调查得知该省所有城市房产均价为1.2万元/平方米，方差为20，二、三、四线城市的房产均价分别为2.4万元/平方米，1.8万元/平方米，0.8万元/平方米，三、四线城市房价的方差分别为10, 8，则二线城市的房价的方差为________．
118．52[设二线城市的房价的方差为s 2，由题意可知
20＝
11＋3＋6[s 2＋(1.2－2.4)2]＋31＋3＋6[10＋(1.2－1.8)2]＋61＋3＋6[8＋(1.2－
0.8)2]， 解得s 2＝118.52，即二线城市的房价的方差为118.52.]
百分位数
[探究问题]
1．p 分位数有什么特点？
提示：总体数据中的任意一个数小于或等于它的可能性是p .
2．某组数据的p 分位数在此组数据中一定存在吗？为什么？
提示：不一定．因为按照计算p 分位数的步骤，第2步计算所得的i ＝np 如果是整数，则p 分位数为第i 项与第(i ＋1)项数据的平均数，若第i 项与第(i ＋1)项数据不相等，则p 分位数在此组数据中就不存在．
【例3】 从某珍珠公司生产的产品中，任意抽取12颗珍珠，得到它们的质量(单位：g)如下：
7．9, 9.0, 8.9, 8.6, 8.4, 8.5, 8.5, 8.5, 9.9, 7.8, 8.3, 8.0，
分别求出这组数据的25%，75%，95%分位数．
[思路点拨]按照从小到大排列数据→计算i ＝np →按照规则确定百分位数
[解] 将所有数据按从小到大排列，得
7．8, 7.9, 8.0, 8.3, 8.4, 8.5, 8.5, 8.5, 8.6, 8.9, 9.0, 9.9，
因为共有12个数据，所以12×25%＝3，12×75%＝9，12×95%＝11.4，
则25%分位数是8.0＋8.32
＝8.15， 75%分位数是8.6＋8.92
＝8.75， 95%分位数是第12个数据，为9.9.
计算一组n个数据的p分位数的一般步骤
(1)排列：按照从小到大排列原始数据；
(2)算i：计算i＝np；
(3)定数：若i不是整数，大于i的最小整数为j，则p分位数为第j项数据；若i是整数，则p分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数．
1．本节的重点和难点是对两个公式的理解与应用：
n
w i x i．计算分层随机抽样的平均数的公式：x＝w1x1＋w2x2＋…＋w n x n＝∑
i＝1
n
w i[s2i＋(x i－x)2].
计算分层随机抽样的方差的公式：s2＝∑
i＝1
2．求一组数据的百分位数时，掌握其步骤：①按照从小到大排列原始数据；
②计算i＝np；③若i不是整数，大于i的最小整数为j，则p分位数为第j项数据；若i是整数，则p分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若一组样本数据各不相等，则75%分位数大于25%分位数．()
(2)计算分层随机抽样的均值与方差时，必须已知各层的权重．()
(3)若一组样本数据的10%分位数是23，则在这组数据中有10%的数据大于23.()
[提示](1)正确．
(2)正确．
(3)错误．若一组样本数据的10%分位数是23，则在这组数据中有10%的数据小于或等于23.
[答案](1)√(2)√(3)×
2．下列关于50%分位数的说法正确的是()
A．50%分位数就是中位数
B．总体数据中的任意一个数小于它的可能性一定是50%
C．它是四分位数
D．它适用于总体是离散型的数据
A[由百分位数的意义可知选项B，C，D错误．]
3．已知甲、乙两地人口之比为2∶3，其中甲地人均年收入为8万元，乙地人均年收入为10万元，则甲、乙两地的人均年收入为________万元．
9．2[x＝2
5×8＋
3
5×10＝9.2(万元).]
4．农科院在试验田中种植了两个小麦品种，亩数、亩均产量和标准差如下：
[解]甲、乙两个品种的平均亩产量为10
18×540＋
8
18×576＝556 kg；
甲、乙两个品种的亩产量的方差是
s2＝w甲[s2甲＋(x甲－x)2]＋w乙[s2乙＋(x乙－x)2]
＝10
18[3
2＋(540－556)2]＋818[22＋(576－556)2]≈326.78.
即甲、乙两个品种的平均亩产量和方差分别是556 kg，326.78.。