6第六讲 现代投资理论：马科维茨投资组合选择理论(E-V)

180 -80 17.4 0.29 0.38 0.46 0.58
200 -100 18.0 0.30 0.42 0.51 0.66
股票1 股票2
假设股票1和2相关系数为1、0.5、0和-1，那么在股票1 的权重由100%逐渐增加到200%时，组合的预期收益率与 风险值如下表所示：
金融学院金融学系
ρ12=0.5 ρ12=0.0 ρ12=-1
1.无风险资产的特点 9收益率是确定的或已知的，用Rf来表示； 9标准差为0，即σRf=0 ； 9与任意风险资产或者风险资产组合的收益率之间的协方 差为0，即σiRf=0 ；
2.无风险资产与风险资产[组合]的组合 考虑投资者可以无限按照无风险利率借入或贷出资金 的情况。假设投资者愿意将自己的部分资金投资于风险资 产[组合]，以及愿意借入或贷出无风险资金。Wr表示投资 于风险资产[组合]的比例， 因此有：
9假设6：不考虑无风险资产，投资者不可以按无风险利率进 行资金借贷[后来Tobin修正了这一假设，在模型中引入了无风 险借贷假设，见表6-1“Markowitz投资组合模型的拓展”]； 9假设7：不考虑税收、交易成本等因素，即市场环境是无摩 擦的。
金融学院金融学系
金融学院金融学系
表6-1 Markowitz投资组合模型的拓展 模型 假设 假设 允许以无风险利率 无限制地借入和借出 不允许以无风险 利率进行借贷
(0, R f )
(σ r , ERr )
B
ERr − R f 其中， σ 为夏普比率。新的投资组合点一定落在由无
r
σp
风险资产和风险资产[组合]两点确定的线上。
金融学院金融学系 金融学院金融学系
3.无风险资产对投资组合选择的影响 9在N项风险资产允许卖空的基础上，进一步引入无风险 资产，新的有效集就蜕变成为一条射线。该射线经过无风 险资产A点与N项风险资产允许卖空的有效集NB曲线相切 于一点T，切点组合T是所有风险资产组合中夏普比率最高 的，也称为最优风险资产组合[optimal risky portfolio] 。 9投资者最终选择的最优投资组合则是其无差异曲线与新 的有效集的切点组合[见图6-7]。
权重W1 [%] 100 权重W2 [%] 0 预期回报率 15.0 0.24 0.24 0.24 0.24 标准差 ρ12=1.0
120 -20 15.6 0.25 0.27 0.29 0.32
140 -40 16.2 0.26 0.31 0.34 0.41
160 -60 16.8 0.28 0.34 0.40 0.49
金融学院金融学系
9两项风险资产的组合 A.不允许卖空 记，ERA,ERB, ERp：资产A、B与投资组合的预期收益率； σA, σB，σP ：资产A、B及投资组合的标准差； WA, WB：按市值计算的风险资产A、B在最终投资组合 中所占的权重。
ER p = WA ERA + WB ERB
2 2 2 σp = WA2σ A + WB2σ B + 2WAWB ρ ABσ Aσ B
下面我们用一个投资者资产在两种风险资产[债券和 股票]以及一种无风险资产[短期国债]间的配置实例来对理 论进行说明[允许卖空]。债券和股票的期望收益率分别是 8% 和13% ；收益的标准差分别是12%和20% ；相关系数 为0.3；无风险利率为5%；投资者的风险厌恶系数A=4， 效用函数的形式为U = E ( r ) −
2.投资组合选择的过程 根据Markowitz投资组合理论，投资者的投资组 合选择被分为了两个主要步骤： Black模型 第一步：找到包括所有资产的可行集和有效集； 第二步：单个投资者根据自身风险偏好、无差异曲
允许卖空风险 资产 不允许卖空风 险资产
最终模型
Tobin模型
Markowitz的最初 模型
r r
WD (1 − WD )] SPr =
有效集为无风险资产和最优风险资产组合的组合，即：
8WD + 13 × (1 − WD ) − 5 2 [(144WD + 400(1 − WD ) 2 + 144WD (1 − WD )]1/ 2
金融学院金融学系
E ( R P ) = 0 . 05 + 0 . 42 σ
金融学院金融学系
图6-2 两种证券的风险—收益关系[允许卖空]
预期收益率
9 n项风险资产的组合 A.不允许卖空 图6-3 可行集与有效集[不允许卖空]
15% 13.3%
(σ A , ER A ) (σ B , ERB )
ERp
有效集
ERAσ B + ERBσ A 0, σ A +σ B
线和效用函数找到最优投资组合。
金融学院金融学系
金融学院金融学系
二、理论推导
1. 可行集[feasible set]与有效集[efficient set] 9 可行集：可能的所有投资组合的集合。 9有效集：对理性投资者而言，对于既定的风险水平，他们 会选择最大的预期收益率[非饱和性，假设3]；对于既定的 收益水平则会选择最小的风险[风险厌恶，假设3]。因此， 能同时满足这两个条件的投资组合的集合才成为有效集，而 有效集中的投资组合称为有效投资组合[efficient portfolio]。
金融学院金融学系 金融学院金融学系
ρ12 = 0
ERAσ B + ERBσ A 0, D σ A +σB
ρ12 = 0.5
(σ A , ER A )
ρ12 = 1
ρ12 = −1
(σ B , ERB )
标准差
B.允许卖空 例6-3：我们仍然以表5-2中股票1和2为例。 预期收益率 15% 12% 标准差 24% 18%
金融学院金融学系
U = E (r ) − 2σ
假设投资者将全部资产的份额y投资于无风险资产，将 剩余的部分1-y投资于最优风险资产组合，因此，
U = 5% y + 11%(1 − y ) − 2 × 14.2% 2 × (1 − y ) 2
投资者选择份额y最大化上述效用，得到：
y ∗ = 0.2561
D
12%
·
最小方差 组合 可行集
·
B
N
18% 24%
标准差
A
金融学院金融学系 金融学院金融学系
σp
B.允许卖空 图6-4 可行集和有效集[允许卖空]
ERp
有效集
2.最优投资组合的选择 分析了n项风险资产模型后，我们得到了可供投资者 选择的有效集[可看作备选方案]。这样在引入投资者风险 B
可行集
厌恶的假设后，即可确定某一投资者的最优投资组合，该 组合必然是有效集NB曲线与投资者无差异曲线的切点所 代表的投资组合，如C点、D点[如图6-5、图6-6]。
金融学院金融学系
金融学院金融学系
1.理论假设 9假设1：投资者全部是风险厌恶者。如果用纵坐标表示证 券或证券组合的预期收益率[用预期收益率衡量，ER]，横 坐标表示证券或证券组合的风险大小[用标准差衡量，σ]， 那么该投资者的无差异曲线为向右上方倾斜的曲线。
9假设2：投资者投资于公开金融市场上可交易的资产，并 且，投资者对所有资产的持有期相同，为一个单期。该理论 实质上是一种静态的投资决策； 9假设3：投资者是理性的，即，同一预期收益率水平上风 险小的投资优于风险大的投资[风险厌恶]；同一风险水平上 预期收益率大的投资优于预期收益率小的投资[非饱和性]。
金融学院金融学系
9该理论证明了投资者投资于多样化的风险资产就能够降低 非系统风险[如收益和风险的度量部分所述]。因此，我们可 以逻辑地推理出，只要投资组合设计的足够好，那么投资组 合不应该含有任何非系统性风险。一个隐含的推论就是市场 不对非系统风险进行风险补偿，而只对系统风险进行补偿。 9 该理论在金融学理论发展史上是至关重要的，为后续的 CAPM等理论发展奠定了基础。
图6-7
ER p
II I T B
A
N
切点组合； 夏普比率最高的风险资产组合； 最优风险资产组合。
σp
金融学院金融学系
金融学院金融学系
五、投资组合选择案例
投资者的投资组合选择分为两步：一是,找到有效集。 由于引入无风险资产后的有效集是无风险资产与切点组 合[夏普比率最高的风险资产组合、最优风险资产组合] 的连线,因此，要完成第一步，首先要找到这一切点组 合，然后再求解有效集 ；二是,根据投资者的风险态度、 无差异曲线和效用函数找到投资者的最优投资组合。
最小方差 组合
N A
金融学院金融学系
σp
金融学院金融学系
A.不允许卖空下的最优投资组合 图6-5 不允许卖空下的最优投资组合
ERp
B.允许卖空下的最优投资组合 图6-6 允许卖空下的最优投资组合 II
ER p
II I C N
B D I C N A
·
B D
σp
A
σp
金融学院金融学系
金融学院金融学系
四、引入无风险资产后的理论拓展
ER p = Wr ERr + (1 − Wr ) R fቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
[1] [2] [3]
σ p = W rσ r
根据[2]得到：
Wr =
金融学院金融学系
σp σr
金融学院金融学系
图6-6 无风险资产与风险资产[组合]的组合 将[3]代入[1]可得：
ER p
ERr − R f
ER p = R f +
σr
σp
[4] A
一、Markowitz投资组合理论
现代投资理论
之二：投资组合理论 张璟
Harry Markowitz1952年在Journal of Finance上发表了 一篇名为portfolio selection的文章，在其分析中引入了统计 上的均值-方差[mean-variance，E-V][或标准差]概念来衡量 证券或证券组合的收益与风险，并对投资组合的选择问题 进行了研究。1959年，他出版了同名著作，进一步阐述了 投资组合问题。
1 A σ 2。 2
金融学院金融学系
金融学院金融学系
9 切点组合和有效集的求解 设WD和WE分别是债券和股票在风险资产组合中所 占的权重，并且有WE=1-WD，风险资产组合预期收益率、 标准差和夏普比率分别为：
选择比例WD使夏普比率最大化。将SP对WD求导并令导 数等于零得到：
WD = 0.4,WE = 0.6
金融学院金融学系
p
9 最优投资组合的求解 由于投资者的风险规避系数为4，因此，投资者的 效用函数为： 2
三、理论评价
1.Markowitz投资组合理论的贡献 9Markowitz的投资组合理论建立了一系列的基本概念，运 用统计学的均值和方差[或者标准差]等概念为金融资产的 风险与收益分析提供了科学的依据，使得以均值衡量收益、 方差[标准差]衡量风险的现代风险分析基本框架在现代金 融理论中得到确立； 9该理论提出的有效投资组合概念和投资组合分析方法大 大简化了投资分析的难度。
金融学院金融学系
金融学院金融学系
9假设4：市场完全信息，所有的市场参与者均能免费获得 同样的信息。并且，投资者对市场上各种风险资产的预期 收益率、风险大小以及各种资产之间的相关系数都有一致 的认识，即齐性预期假设[homogeneous expectation]； 9假设5：不允许风险资产的卖空交易[后来Black引入了卖 空假设，见表6-1“Markowitz投资组合模型的拓展”]；
金融学院金融学系
[1] [2]
图6-1两种证券的风险—收益关系
预期收益率
进一步，变换两资产在组合中所占的权重，可以模拟 出不同相关系数ρ情况下组合的标准差与预期收益率的关 系，即图6-1所示的图形[回忆第五讲，投资组合图象引 理]，即可行集。 在此基础上求解在既定预期率收益水平下的最小标准 差组合和在既定标准差下的最大预期收益率组合，就得到 了有效集。
金融学院金融学系
2.投资组合理论的局限性 9Markowitz的投资组合理论的理论假设过于严格，与现实 相去太远； 9该理论也没有考虑到西方金融市场实践中现实存在的可 以卖空风险资产的情况[在引入风险资产卖空假设后，有效 集将会发生轻微的改变。如前所述布莱克完成了拓展工 作。]
金融学院金融学系
9该理论没有考虑现实中存在的无风险资产情况。在该理 论中，我们假定所有证券均是有风险的，而没有考虑无风 险资产的情况[在引入无风险借贷假设后，有效集将发生重 大改变，如前所述托宾完成了拓展工作]； 9Markowitz的投资组合理论面临的主要问题是，他所提供 的方法对普通投资者而言应用难度太大，只有一些大型的 机构投资者才能运用，并且该理论在实际运用中还面临计 算烦琐等问题。
因此，最优风险资产组合的期望收益和方差分别为：
∗
∗
E ( RP r ) = 8% × WD + 13% × (1 − WD )
σ
Pr
= [(12%)2WD + (20%)2 (1 − WD ) 2 + 2(0.3 ×12% × 20%)
1/ 2
2
E( RP ∗ ) = 11%,σ P ∗ = 14.2%