二项式定理

C62 (2x)4

C63 (2x)3
C64 (2x)2 C65 (2x) C66 ]
=64x3
192x2

240x
160

60 x

12 x2

1 x3
(1)求(1+2x)7的展开式的第4项
2求 x 1 9的展开式中x3的系数.
x
分析: 先求出x3是展开式的哪一项,再求它的系数
2)．各项前的系数代表着什么？ 各项前的系数 代表着这些项在展开式中出现 的次数
3)．你能分析说明各项前的系数吗？
a4 a3b a2b2 ab3 b4
每个都不取b的情况有1种,即C40 ,则a4前的系数为C40 恰有1个取b的情况有C41种，则a3b前的系数为C41 恰有2个取b的情况有C42 种，则a2b2前的系数为C42 恰有3个取b的情况有C43 种，则ab3前的系数为C43 恰有4个取b的情况有C44种，则b4前的系数为C44 则 (a+b)4 ＝C40 a4 ＋C41 a3b ＋C42 a2b2 ＋C43 ab3 ＋C44 b4
(a+b)2＝ (a+b) (a+b) 展开后其项的形式为：a2 ， ab ， b2 这三项的系数为各项在展开式中出现的次数. 考虑b: 每个都不取b的情况有C20 种,则a2前的系数为C20 恰有1个取b的情况有C21种，则ab前的系数为C21 恰有2个取b的情况有C22 种，则b2前的系数为C22
2
x

1
9
的展开式的通项是

x
C9r
x9r


1 x
r

1 r C9r x92r
9-2r =3
r =3
x3系数是 (-1)3C93=-84
求（x+a)12的展开式中的倒数第4项
解: (x+a)12的展开式有13项,倒数第4 项是它的第10项
T91 C192 x129a9 220x3a9.
二项展开式定理
a b n Cn0an Cn1an1b L Cnranrbr L Cnnbn n N *
Cnr an-rbr：二项展开式的通项，记作Tr+1 Cnr ： 二项式系数 ①二项展开式共有n+1项 ②各项中a的指数从n起依次减小1，到0为此 各项中b的指数从0起依次增加1，到n为此 如(1+x)n =1+ Cn1 x+ Cn2 x2+ … +Cnr xr +…+ xn
x
解 (1) (1+2x)7的展开式的第4项是
T3+1=C73•17-3•(2x)3 =35×23×x3
=280x3
求 2
x
1
6
的展开式.

x
分析:先化简再运用公式
解
2
x
1 x
6



2x

1
6Biblioteka Baidu


x

1 x3
2x
16
=
1 x3
[(2x)6

C61 (2x)5
二项展开式定理
a b n Cn0an Cn1an1b L Cnranrbr
L Cnnbn n N *
每个都不取b的情况有1种,即Cn0 ,则an前的系数为Cn0
恰有1个取b的情况有Cn1种，则an-1b前的系数为Cn1
恰有2个取b的情况有Cn2 种，则an-2b2前的系数为Cn2 ...... 恰有r个取b的情况有Cnr 种，则an-rbr前的系数为Cnr ...... 恰有n个取b的情况有Cnn 种，则bn前的系数为Cnn
练习 求 x 3 9的展开式常数项 3 x
解:
Tr 1

C9r
( x )9r ( 3
3 )r x

C9r
(1)9r 3
3r
9r 1 r
x2
由9-r-
1 2
r

0得r

6.
T7

C96
(
1 3
)96
36

2268
练习
求 ( x 3 )9的展开式的中间两项 3x
解: 展开式共有10项,中间两项是第5、6项。
右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式 Cnr an-rbr：二项展开式的通项，记作Tr+1 Cnr ： 二项式系数
注 ①二项展开式共有n+1项
②各项中a的指数从n起依次减小1，到0为此 各项中b的指数从0起依次增加1，到n为此
如(1+x)n =1+ Cn1 x+ Cn2 x2+ … +Cnr xr +…+ xn
二项式定理
(a+b)2 = a2 +2ab+b2 ＝C20 a2 + C21 ab+ C22 b2
(a+b)3 =a3 + 3a2b+3ab2 + b3 = C30a3 +C31a2b+C32ab2 +C33 b3
那么将(a+b)4 ，(a+b)5 . . .展开后，它们的 各项是什么呢？
对(a+b)2展开式的分析
求(1+2x)7的展开式的第4项 第4项的二项式系数 第4项的系数
注：1)注意对二项式定理的灵活应用 2)注意区别二项式系数与项的系数的概念
二项式系数：Cnr； 项的系数：二项式系数与数字系数的积
3)求二项式系数或项的系数的一种方法是 将二项式展开
(1)求(1+2x)7的展开式的第4项的系数
2求 x 1 9的展开式中x3的系数.
(a+b)2 = a2 +2ab+b2 ＝C20 a2 + C21 ab+ C22 b2
(a+b)3=a3 + 3a2b+3ab2 + b3 = C30a3 +C31a2b+C32ab2 +C33 b3
(a+b)4＝ (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)＝？
问题
1)．(a+b)4展开后各项形式分别是什么？ a4 a3b a2b2 ab3 b4
T5

T41

C94
(
x 3
)94
(
3 )4 42x3 x
T6

T51

C95
(
x 3
)95
(
3 )5 x
3
42x 2
小结
1）注意二项式定理中二项展开式的特征 2）区别二项式系数，项的系数 3）掌握用通项公式求二项式系数，项的系 数及项