广西陆川县中学2017届高三5月份模拟考试三理科数学试

广西陆川县中学2017年5月毕业班模拟考试（三）
理科数学试题 第I 卷(选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．设集合{}
12A x x =-<<，(){}
lg 1B x y x ==-，则）（B C A R =（ ） A.(-1,1)
B ．[)2 +∞，
C ．(1,1]-
D ．[)1 -+∞，
2.已知复数z 满足(2i)1i z -=+（i 为虚数单位），则z =（ ） A ．
13i 55+ B ．13i 55- C ．13i 55-+ D ．13
i 55
-- 3．《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作．书中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内投豆子，则落 在其内切圆内的概率是
A ．
320π B ．20π C ．310π D ．10
π
4.在考试测评中，常用难度曲线图来检测题目的质量，一般来说，全卷得分最高的学生， 在某道题目上的答对率也应较高.如图是某次数学 测试压轴题的第1、2问得分难度曲线图，第1、2 问满分均为6分，图中横坐标为分数段，纵坐标为 该分数段的全体考生在第1、2问的平均难度，则 下列说法正确的是（ ）。

A. 此题没有考生得12分
B. 此题第1问比第2问更能区分学生数学成绩的好与坏
C. 分数在[40,50)的考生此大题的平均得分大约为4.8分
D. 全体考生第1问的得分标准差小于第2问的得分标准差
5.已知简单组合体的三视图如图所示，则此简单组合体的体积为 A.
4-310π B. 8-310π C. 1643π- D. 1683
π- 6.已知函数1log (2),0
()(),0
a x x f x g x x -+≥⎧=⎨
<⎩是奇函数，则方程
()2g x =的根为（ ）
A.32-
B. 32
C. 6 D ．6- 7．执行如下图所示的程序框图，则输出s 的值为（ ）
A ．1-2018
B ．1-2017 1- D. 1-
8.函数y=
的图象大致是( )
9．把函数())4
f x x π
=-的图象上每个点的横坐标扩大到原来的4倍，再
向左平移3
π
，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的一个单调递减区间为（ ） A ．57[,]66ππ-
B ．719[,]66
ππ C ．24[,]33ππ-
D ．175[,]66
ππ
-- 10．设抛物线2
4x y =的焦点为F ，过点F 作斜率为(0)k k >的直线l 与抛物线相交于
A B 、两点，且点P 恰为AB 的中点，过点P 作x 轴的垂线与抛物线交于点M ,若
4||=MF ,则直线l 的方程为（ ）
A ．1y =+
B ．1y =+
C ．1y =+
D ．2y =+
11．已知函数2
()f x x m =+与函数1()ln
3g x x x =--1
([,2])2
x ∈的图象上至少存在一对关于x 轴对称的点，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．5
[ln 2,2]4+ B ．5[2ln 2,
ln 2]4-+ C ．]2ln 2,2ln 4
5
[++ D ．[2ln 2,2]- 12.若正实数x,y 满足)2()25()122
-⋅+=-y y xy （，则y
x 21
+
的最大值为（ ）
A. 2231+
- B. 2331+- C. 2331+ D. 2
2
31-
- 二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分） 13.若
525n
x dx -=⎰
，则()21n
x -的二项展开式中2x 的系数为 .
14.已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左右焦点分别关于两条渐近线的对称点重
合，则双曲线的离心率为___________．
15. 已知锐角三角形ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 若2cos c a a B -=，
则2sin sin()
A B A -的取值范围是____________． 16.已知函数1()2
f x x =
+，点O 为坐标原点, 点(,())()n A n f n n *∈N ，向量(0,1)=i ， n θ是向量n OA 与i 的夹角，则使得3
12123cos cos cos cos sin sin sin sin n n
t θθθθθθθθ++++< 恒成立的实
数t 的取值范围为_________.
三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2115,(1)n n a nS n S n n +=-+=+． （Ⅰ） 求证：数列n S n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
为等差数列； （Ⅱ）若()1
21n n
b n a =
+，判断{}n b 的前n 项和n T 与16的大小关系，并说明理由．
18．（本小题满分12分）某品牌手机公司一直默默拓展海外市场，在海外共设30多个分支机构，需要国内公司外派大量70后、80后员工.该企业为了解这两个年龄层员工是否愿意被外派工作的态度，按分层抽样的方式从70后和80后的员工中随机调查了100位，得到数据如下表：
（Ⅰ） 根据调查数据，是否有90%以上的把握认为“是否愿意被外派与年龄有关”,并说明理由；
（Ⅱ）该公司举行参观驻海外分支机构的交流体验活动，拟安排6名参与调查的70后、80后员工参加.现70后员工中有5人报名参加， 80后员工中有4人报名参加，从中随机选出6人参加交流体验活动，记选到80后员工的人数为x ，求x 的分布列和数学期望．
参考公式：2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.
参考数据：
19.（本小题满分12分）如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，矩形BFED 所在的平面与平面
ABCD 垂直，且12AD DC CB BF AB ====
．
（Ⅰ） 求证：平面ADE ⊥平面BFED ；
（Ⅱ）若P 为线段EF 上一点，平面PAB 与平面ADE 所成的锐二
面角的大小为θ，求θ的最小值．
20. （本小题满分12分） 已知椭圆1C 的中心为原点O ，离心率2
2
=e ,其中一个焦点的坐标为()
0,2-
（Ⅰ） 求椭圆1C 的标准方程；
（Ⅱ） 当点(),Q u v 在椭圆1C 上运动时，设动点(2,)P v u u v -+的运动轨迹为2C ，若点T 满足：,2ON OM MN OT ++=其中N M ,是2C 上的点.直线ON OM ,的斜率之积为21-，试判断:
是否存在两个定点21,F F ,使得21TF TF +为定值?若存在,求21,F F 的坐标；若不存在，说明理由.
21. （本小题满分12
分）设函数f (x )=ln x ，g (x )=
()1
m x n x ++（m ＞0）．
（Ⅰ）若函数y = f (x )﹣g(x)在定义域内不单调，求m ﹣n 的取值范围； （Ⅱ）是否存在实数a ，使得f (
2a
x )•f (e ax ) + f (2x a
）≤ 0对任意正实数x 恒成立？若存在，求出满足条件的实数a ；若不存在，请说明理由．
F A
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]
(本小题满分10分)极坐标系与直角坐标系x o y 有相同的长度单位，以原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，曲线C 1的极坐标方程为4sin ρθ= ，曲线C 2的参数方程为cos sin x m t y t α
α
=+⎧⎨
=⎩（t 为参数，0≤α＜π)，射线=θφ、=+4
π
θφ、=-
4
π
θφ与曲线C 1交于（不包括极点O ）三点A ，B ，C ．
（Ⅰ） 求证：OB OC OA += ； （Ⅱ）当5=
12
πφ时，B ，C 两点在曲线C 2上，求m 与α的值．
23.[选修4-5：不等式选讲]
(本小题满分10分)已知函数()f x =R ．
（Ⅰ） 求实数a 的取值范围；
（Ⅱ）若a 的最大值为k ，且2(0,0)m n k m n +=>>，求证：
11
3m n
+≥
理科数学试题参考答案及评分标准
1-12 CBABC DADBB DA 13.180 14.2 15.(2
2
21，) 16. ),[43+∞ 三、解答题 17
解：（Ⅰ）∵211(1),(), 5.n n nS n S n n n N a *+-+=+∈= ∴111(1)(1),
1,511
n n n n S S S
nS n S n n n n ++-+=+-==+ ·
················································· 3分 ∴数列{}n S
n 是首项为5,公差为1的等差数列, ····················································· 4分
（Ⅱ）
25(1)4,4,n
n S n n S n n n
=+-=+=+ ·
························································· 5分 当2n ≥时,123,1n n n a S S n n -=-=+=时也符合,
故23,()n a n n *=+∈N ··················································································· 6分 1111
().(21)(23)22123
n b n n n n =
=-++++ ···························································· 8分
11111111111
()()23557212323236n T n n n =-+-+⋅⋅⋅+-=-<+++. ·
······························ 12分 18．
解:（Ⅰ）22
2
()100(20204020)()()()()60406040
n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==
++++⨯⨯⨯ 400400100
2.778 2.7065760000
⨯⨯=
≈>
所以有90% 以上的把握认为“是否愿意被外派与年龄有关”……………………5分 （Ⅱ）x 的取值为1、2、3、4……………………6分
1545694
(1)84C C P x C ===， 24453
930(2)84
C C P x C === 33453940(0)84C C P x C === ， 42453
910
(0)84
C C P x C ===………………………8分
于是x 的分布列为
………………10分
48
()6=93
E x =⋅ …………………………………12分
19.
解：（Ⅰ）取AB 中点G ,连接DG .
梯形ABCD 中，//AB CD ，1
2
AD DC CB AB === ∴ CD BG =
∴ 四边形BCDG 为平行四边形,12
DG BC AB == ·
············································ 2分 ∴ADB ∆为直角三角形,.AD BD ⊥ ·
································································· 3分 因为平面BFED ⊥平面ABCD , 平面BFED 平面ABCD DB =,
,AD DB AD ⊥⊂平面ABCD ,所以AD ⊥平面BFED . ············································· 5分
又AD ⊂平面ADE , ∴平面ADE ⊥平面BFED ; ·················································· 6分 （Ⅱ）以DA ，DB ，DE 分别为x,y,z 轴建立空间直角坐标系D-xyz .
设AD =1,
则(100),(0,,1)(0A B P t t ≤，， ············································· 7分
(1,,1),(1AP t AB =-=- ,设(,,)m x y z =
是平面P AB 的法向量,则
0,0.x ty z x -++=⎧⎪⎨
-=⎪⎩
取m t =-+
··················9分 又平面ADE 的一个法向量为(0,1,0).n =
············ 10分
min 1cos ,[0,),223ππ
θθθ=≤∈=. ················································ 12分 20.
解: (Ⅰ)由题意知
,c e c a === 所以2a =，
2
2222
22,b a c =-=-=
故椭圆1C 的方程为.12
42
2=+y x ……………………………4分
(Ⅱ)设()()()()n m T y x P y x N y x M ,,,,,,,2211则()()12,
23
1,
3u y x x u y u x y ννν⎧
=-⎪=-⎧⎪⇒⎨⎨=+⎩⎪=+⎪⎩
………5分
因为点(),Q u ν在椭圆1C 上运动，
所以()()22
22221112242124233u y x x y x y ν⎡⎤⎡⎤
+=⇒-++=⇒+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
故动点P 的轨迹2C 的方程为1222
2
=+y x ……………………………………7分 由
++=2得
()()()()(),2,2,,2,,212122111212y y x x y x y x y y x x n m ++=++--=
21212,2y y n x x m +=+=……………………8分
设ON OM k k ,分别为直线ON OM ,的斜率，由已知条件知2
1
2121-==⋅x x y y k k ON OM 所以022121=+y y x x ………………………………9分
因为点N M ,在椭圆2C 上，所以,122,1222
2222121=+=+y x y x 故(
)(
)
212
221212
2212
2442442y y y y x x x x n m +++++=+
()()
()602424221212
2222121=+++++=y y x x y x y x ……………………………11分
从而知T 点是椭圆1306022=+y x 上的点，所以，存在两个定点,,21F F 且为椭圆130
602
2=+y x 的两个焦点，使得21TF TF +为定值.其坐标分别为()(
)
0,30,
0,30- (12)
分 21.
解：解：（1）易知函数()()y f x g x =-的定义域为()0,+∞，
22
1
2(1)1(1)
''()'()(1)
(1)x m n m n x y f x g x x x x +--+
-=-=
-=++…………………………….2分
由题意，1
2(1)x m n x
+--+
的最小值为负值， ∴(1)4m n ->，由0,10m n >->，∴
()2
+(1)(1)44
m n m n -≥->
∴(1)4m n +->，∴3m n ->.………………………….5分 （2）解法一、假设存在实数a ，使得2()()()02ax a x
f f e f x a
⋅+≤对任意正实数x 恒成立． 令2()(
)()()ln 2ln ln ln 22ax a x
x f f e f ax a ax x x a x a
θ=⋅+=⋅-⋅+-，其中0,0x a >>， 则
1
()ln 2ln x a a a x a x
θ'=⋅--+
，
设
1
()l
n 2l n x a a a
x a
x
δ=⋅--+，22
11()0a ax x x
x x δ+'=--
=-<， ∴()x δ在()0,+∞单调递减，()0x δ=在区间()0,+∞必存在实根，……………………………8分
不妨设0)0x δ
=（，即000
1
()ln 2ln 0x a a a x a x δ=⋅--+=， 可得00
1
ln ln 21x a ax =+-（*）,所以()x θ在区间()00,x 上单调递增，在()0,x +∞上单调递减， 所以
m a x 00
0()()(1)l n 2(1)l n x x a x a a x x θθ==-⋅--⋅，将（*）式代入得
000
1
()2x ax ax θ=+
-， 根据题意000
1
()20x ax ax θ=+
-≤恒成立．………………………………….10分 又根据基本不等式，0012ax ax +≥，当且仅当00
1ax ax =时，等式成立 即有0012ax ax +
=，即01ax =，即01x a =．代入（*）式得，1ln ln 2a a =，即1
2a a
=，
解得2
a =
．……………………………………12分 解法二、假设存在实数a ，使得2(
)()()02ax a x
f f e f x a
⋅+≤对任意正实数x 恒成立． 令()ln 2ln ln ln 2(1)(ln 2ln )x ax a ax x x a ax a x θ=⋅-⋅+-=--，其中0,0x a >> 根据条件2(
)()()02ax a x
f f e f x a
⋅+≤对任意正数x 恒成立， 即(1)(ln 2ln )0ax a x --≤对任意正数x 恒成立，
∴010ln 2ln 0a ax a x >⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩且0
10ln 2ln 0
a ax a x >⎧⎪
-≤⎨⎪-≥⎩
，解得12x a a ≤≤且12a x a ≤≤，
即
1
2x a a ==
时上述条件成立，此时2
a =． 22.[选修4-4：坐标系与参数方程]
解:（1）证明：依题意4sin OA φ=，4sin()4OB π
φ=+
，4sin()4
OC π
φ=-，则
4sin()+4sin -=sin ++sin -cos 44
OB OC OA
ππ
φφφφφφφ+=+=（）cos ））…5分
（2）解：当512πφ=
时，,B C
两点的极坐标分别为2)3π，(2,)6
π
，
化为直角坐标为(B
，C ，
曲线2C 是经过点(,0)m ，且倾斜角为α的直线，又因为经过点,B C
的直线方程为
2y x =+，
所以56
m π
α==
．………………………10分 23.[选修4-5：不等式选讲]
解：（1）依题意:a x x ≥++-|1||12|对于R x ∈恒成立,令|1||12|)(++-=x x x f ，则
a
x f ≥m i n )(
画出函数)(x f 的图象可得23)(min =x f ，所以2
3
≤a ………5分 （2）由
（1）知
)0,0(3>>=+n m n m 所以
3)45(31)41)((3141≥++=++=+n
m m n n m n m n m 当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧==+n m m
n n m
43，即2,1==n m 取等号………….10分。