量子力学-第四版-卷一-（曾谨言-著）习题答案第5章-1

量⼦⼒学-第四版-卷⼀-（曾谨⾔-著）习题答案第5章-1第五章：对称性及守恒定律

P248设粒⼦的哈密顿量为 )(2??2r V p H

+=µ

。（１）证明

V r p p r dt

d ??-=?

µ/)(2。（２）证明：对于定态 V r T ??=2

（证明）（１）z y x p z p y p x

p r ++=?

，运⽤⼒学量平均值导数公式，以及对易算符的公配律：

]?,??[1)??(H p r i p r

dt d

=

]?,??[H p r =?

=)],z y （２） ?[r

x x x x p x p p x p p x

]?,??[23

2-= x x x x x x p x p p x p p x p p x

22

23-+-= x x x x x p p x p p p x

],[],[2+= 2222x x x p i p i p i =+= （４）

],?[],??[V p x p V x V p x p x V V p x V p x

x x x x x x =-=-=

x

V x i ??=?? （５）将（４）（５）代⼊（３），得：

}{)(]?,??[222z

V z y V y x V x i p p p i H p r

z y x ??+??+??+++=? µ }?{2V r p

i ??+=

µ

代⼊（１），证得题给公式：

2?)( （６）的平均值，按前述习题２的结论，其则=?p r dt d 由前式

P249 ）（２）库仑场 T V 2-= （３）T V n Cr V n

2,==

（解）先证明维⾥定理：假设粒⼦所在的势场是直⾓坐标),,(z y x 的n 次齐次式，则不论n 是正、负数，势场⽤直⾓坐标表⽰的函数，可以表⽰为以下形式，式中Ｖ假定是有理函数（若是⽆理式，也可展开成级数）：

∑=ijk

k

j i ijk z y x C z y x V ),,( （１）

此处的k j i ,,暂设是正或负的整数，它们满⾜：

n k j i =++ （定数）

ijk C 是展开式系数，该求和式可设为有限项，即多项式。

根据前⼀题的结论：

V r

T ??=?2 （２）现在试⾏计算本题条件下V r ??

的式⼦及其定态下平均值。 z

V z y V y x V x

V r ??+??+??=??

直接看出=n z z y y x x 321µωµωµω?+?+?=

V z y x 2)(2

32221=++=ωωωµ

V V r 2=??

，由（３）式可知V T =

（２）库仑场 2

2

2

1z

y x V ++=

直接看出Ｖ是z y x ,,的1-=n 次齐次式，按（３）式有： V T -=2

但这个结论也能⽤（３）式验证，为此也利⽤前⼀题结论（２）有：

z

V z y V y x V x V r ??+??+??=??

2

/32222/32222/3222)()()(z y x z

V z y x -=++-

=2

221 V V r -=??

V r =??

x =)2()1222z z y n

++-

n =由（２）得

P260（解）根据海森伯表象（绘景）的定义可导得海森伯运动⽅程式，即对于任何⽤海⽒表象的⼒学算符)(?t A 应满⾜：

]?,?[1?H A i dt A d = （１）⼜对于⾃由粒⼦，有µ

2??2p H =（p ? 不随时间t 变化）

令)(?)(?t x t A

=为海⽒表象座标算符；代⼊（１）

]2?),(?[1)(?2µ

p

t x i dt t x d =

]?),(?[21

)(?2p t x

i

dt t x d µ= （２）但 x p p x p t x

]?),(?[222-= x p p p x p p x p p p x

-+-= p i p x p p p x

2],[],[ =+= （３）

代⼊（２）积分得将初始条件t

P260

]2

)(?2)(?),(?[1)(?222t x t p t x i dt t x d µωµ+= （２）将等式右⽅化简，⽤前⼀题的化简⽅法：

µ

µωµµωµ)(?]?,?[2]?,?[21]2,?[1222222t p x x i p x i x p x i =+=+?

)(?1)(?t p

dt t x

但这个结果却不能直接积分（与前题不同，p ?与t 有关），为此需另⾏建⽴动量算符的运动⽅程式：]2

)(2)(?),(?[1)(?222t x t p

t p i dt t p d µωµ+= 化简右⽅

}{2]2)(),([1222

22p x x p hi

t x t p hi -=µωµω =

}{22

p x x x p x x x p

hi

--µω =

)(?]}?,?[??]?,?{[2222

t x x p x x x p

hi

µωµω-=-

x

i p x x

=

= )0(??)0(?

c.f.P.Roman.Advanced Quantum Theory:§1.1.p.47-48 Addison-Wesley

5.1设⼒学量A 不显含t ，H 为本体系的Hamilton 量，证明

[][]H H A A dt d ,,2

2

2

=-

证.若⼒学量A 不显含t ，则有

[]H A i dt dA ,1

=,令[]C H A =, 则

[][]H C H C i dt C d i dt A d ,1

,112

22 -===, [][]H H A A dt

d ,, 2