2020-2021学年包头市一机一中高三上学期期中数学试卷(文科)(含解析)

2020-2021学年包头市一机一中高三上学期期中数学试卷(文科)
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）
1.设集合A={x|−5≤x<1}，B={x|x≤3}，则A∪B等于()
A. {x|−5≤x<1}
B. x≤1
C. {x|x<1}
D. {x|x≤3}
2.若复数z满足(z−3)(2−i)=5(i为虚数单位)，则在复平面内z对应的点在()
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
3.=()
A. B. C. D. −
4.给出下列命题：
(1)在△ABC中，若A>B，则sinA>sinB；
(2)设a，b，c为实数，若a>b，则ac2>bc2；
(3)设0<α<β<π
2，则α−β的取值范围是(−π
2
,π
2
)．
其中，真命题的个数是()
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
5.已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若8S m−1，8S m+2，S m+3成等差数列，且a6+4a1=S22，则
a1=()
A. 1
6B. 1
4
C. 4
D. 2
6.已知向量=(cosα,sinα)，将向量绕坐标原点O逆时针旋转θ角得到向量(0°<θ<
90°)，则下列说法不正确的为()
A. |+|=|−|
B. ||+||>|−|
C. (+)⊥(−)
D. 、在+方向上的投影相等
7.若则为()
A. 5
B. −1
C. 6
D.
8.已知等比数列的前项和为且，，则下列各
值中可以是的值是()
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
9.已知直线过点)，且与轴轴的正半轴分别交于两点，为坐标原点，则
面积的最小值为()
A. B. C. 4 D. 3
10.下列方程所表示的直线中，是函数y=sin(2x+5
2
π)图象的对称轴的是()
A. x=−π
4B. x=−π
2
C. x=π
8
D. x=5π
4
11.已知数列{a n}为等差数列，且a1=2，a3=8，则a4+a6=()
A. 31
B. 29
C. 28
D. 26
12.下列函数中，既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的是()
A. y=x3
B. y=cosx
C. y=1
x2
D. y=ln|x|
二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.如图，C，B，D，E四点共圆，ED与CB的延长线交于点A.若AB=4，
BC=2，AD=3，则DE=______．
14.若实数x，y满足{x+y−1≥0
x−y−2≤0
y≤1
，则z=−1
3
x+y的最小值为______．
15.已知曲线C：y=1
√x
的一条切线l与两坐标轴交于A，B两点，则线段AB长度的最小值为______ ．
16.在△ABC中，若，，，则_____；_____．
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）
17.已知等差数列{a n}满足：a2=5，a5=11，其前n项和为S n．
(1)求a n及S n；
(n∈N∗)，求数列{b n}的前n项和T n．
(2)令b n=4
a n2−1
18.设△A BC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2acosC+c=2b．
(Ⅰ)求角A的大小；
(Ⅱ)若a=1，求△A BC的周长的取值范围．
)cosA+cosC=0．
19.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2sin(B+π
6
(Ⅰ)求角A的大小；
(Ⅱ)若2a+3c=3b，求cos C的值．
20.若的前n项和为，点均在函数y=的图像上。

(Ⅰ)求数列的通项公式．
(Ⅱ)设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数．
+lnx．
21. 已知函数f(x)=1
x
(Ⅰ)求f(x)的最小值；
(n∈N∗)，证明：a1+a2+a3+⋯+a n<ln(n+1)．
(Ⅱ)设a n=n−1
n
22. 在直角坐标系xOy 中，
设倾斜角为α的直线：{x =2+tcosαy =√3+tsinα
，(t 为参数)与曲线C ：{x =2cosθ
y =sinθ(θ为参数)相交于不同的两点A ，B.以O 为极点，Ox 正半轴为极轴，两坐标系取相同的单位长度，建立极坐标系． (1)求曲线C 的极坐标方程； (2)若α=π
3，求线段|AB|的长度．
23. 已知函数f(x)=|2x +3|．
(1)解不等式f(x)+f(x −3)≤8；
(2)已知关于x 的不等式f(x)+|x +a|≤x +5，在x ∈[−1,1]上有解，求实数a 的取值范围．
【答案与解析】
1.答案：D
解析：解：A∪B
={x|−5≤x<1}∪{x|x≤3}
={x|x≤3}，
故选D．
利用两个集合的并集的定义求出A∪B．
本题考查集合的表示方法、两个集合的并集的定义和求法，属于容易题．2.答案：A
解析：解：∵(z−3)(2−i)=5，
∴z−3=5
2−i
，
∴z=3+5
2−i =3+5(2+i)
(2−i)(2+i)
=3+5(2+i)
5
=5+i，
∴在复平面内z对应的点为(5,1)，
即为第一象限内的点．
故选A．
首先解方程(z−3)(2−i)=5，求出z=5+i，再运用复数的几何意义即可得到答案．本题考查复数的混合运算，以及复数的几何意义，是一道基础题，应掌握．
3.答案：A
解析：
本题考查三角函数诱导公式及特殊角三角函数值的运用，属于基础题目．
解：sin17π
3=sin(6π−π
3
)=−sinπ
3
=−√3
2
．
故选A．4.答案：C。