北京市2018年中考数学二模试题汇编(Word版)

代几综合题
2018昌平二模
28.在平面直角坐标系xOy 中，对于任意三点A 、B 、C 我们给出如下定义：“横长”a ：三点中横坐标的最大值与最小值的差，“纵长”
b ：三点中纵坐标的最大值与最小值的差，若三点的横长与纵长相等，
我们称这三点为正方点.
例如：点A (2-,0) ，点 B (1,1) ，点 C (1-, 2-)，则A 、
B 、
C 三点的 “横长”a =|1(2)--|=3，A 、B 、C 三点的“纵
长”b =|1(2)--|=3. 因为a =b ，所以A 、B 、C 三点为正方点. （1）在点R (3，5) ，S (3，2-) ，T (4-，3-)中，与点A 、
B 为正方点的是 ； （2）点P (0，t )为y 轴上一动点，若A ，B ，P 三点为正方点，t 的值为 ；
（3）已知点D (1，0).
①平面直角坐标系中的点E 满足以下条件：点A ，D ，E 三点为正方点，在图中画出所有符合条件的点E 组成的图形； ②若直线l ：1
2
y x m =+上存在点N ，使得A ，D ，N 三点为正方点，直接写出m 的取值范围．
y x
x
y y
x
2018朝阳二模
28. 对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和直线m ，给出如下定义：若存在一点P ，使得点P 到直线m 的距离等于，则称P 为直线m 的平行点． （1）当直线m 的表达式为y =x 时， ①在点P 1（1，1），P 2（0，2），P 3（22-
，2
2）中，直线m 的平行点是 ； ②⊙O 的半径为10，点Q 在⊙O 上，若点Q 为直线m 的平行点，求点Q 的坐标. （2）点A 的坐标为（n ，0），⊙A 半径等于1，若⊙A 上存在直线x y 3=的平行点，直接写出n 的取值范围．
2018东城二模
28. 研究发现，抛物线2
14
y x =
上的点到点F (0，
1)的距离与到直线l ：1y =-的距离相等.如图1所示，若点P 是抛物线2
14
y x =上任意一点，PH ⊥l 于点H ，则PH PF =.
基于上述发现，对于平面直角坐标系x O y 中的点M ，记点M 到点P 的距离与点P 到点F 的距离之和的最小值为d ，称d 为点M 关于抛物线2
14
y x =的关联距离；
当24d ≤≤时，称点M 为抛物线2
14
y x =
的关联点.
（1）在点1(20)M ，，2(12)M ，，3(45)M ，，4(04)M -，中，抛物线2
14
y x =
的关联点是______ ；
（2）如图2，在矩形ABCD 中，点(1)A t ，
，点(13)C t +， ①若t =4，点M 在矩形ABCD 上，求点M 关于抛物线2
14
y x =的关联距离d 的取值范围； ②若矩形ABCD 上的所有点都是抛物线2
14
y x =的关联点，则t 的取值范围是__________.
2018房山二模
28. 已知点P，Q为平面直角坐标系xOy中不重合的两点，以点P为圆心且经过点Q作⊙P，则称点Q为⊙P的“关联点”，⊙P为点Q的“关联圆”.
（1）已知⊙O的半径为1，在点E（1，1），F（－1
2，
3
2），M（0，－1）中，⊙O的“关联
点”为；
（2）若点P（2，0），点Q（3，n），⊙Q为点P的“关联圆”，且⊙Q的半径为 5 ，求n的值；
（3）已知点D（0，2），点H（m，2），⊙D是点H的“关联圆”，直线
4
4
3
y x
=-+与x轴，
y轴分别交于点A，B. 若线段AB上存在⊙D的“关联点”，求m的取值范围.
2018丰台二模
28．在平面直角坐标系xOy 中，将任意两点()11,y x P 与()22y x Q ，之间的“直距”定义为：
2121y y x x D PQ -+-=.
例如：点M （1，2-），点N （3，5-），则132(5)5MN D =-+---=. 已知点A (1，0)、点B (-1，4).
（1）则_______=AO D ，_______=BO D ；
（2）如果直线AB 上存在点C ，使得CO D 为2，请你求出点C 的坐标； （3）如果⊙B 的半径为3，点E 为⊙B 上一点，请你直接写出EO D 的取值范围.
2018海淀二模
28．对某一个函数给出如下定义：若存在实数k ，对于函数图象上横坐标之差为1的任意两点1(,)a b ，2(1,)a b +，21b b k -≥都成立，则称这个函数是限减函数，在所有满足条件的k 中，其最大值称为这个函数的限减系数．例如，函数2y x =-+，当x 取值a 和1a +时，函数值分别为12b a =-+，21b a =-+，故211b b k -=-≥，因此函数2y x =-+是限减函数，它的限减系数为1-．
（1）写出函数21y x =-的限减系数； （2）0m >，已知1
y x
=（1,0x m x -≤≤≠）是限减函数，且限减系数4k =，求m 的取值范围．
（3）已知函数2
y x =-的图象上一点P ，过点P 作直线l 垂直于y 轴，将函数2
y x =-的图象在点P 右侧的部分关于直线l 翻折，其余部分保持不变，得到一个新函数的图象，如果这个新函数是限减函数，且限减系数1k ≥-，直接写出P 点横坐标n 的取值范围．
2018平谷二模
28．对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙M，给出如下定义：若⊙M上存在两个点A，B，使AB=2PM，则称点P为⊙M的“美好点”．
（1）当⊙M半径为2，点M和点O重合时，
○1点
()
1
20
P-，，()
2
11
P，，()
3
22
P，中，⊙O的“美好点”是；
○2点P为直线y=x+b上一动点，点P为⊙O的“美好点”，求b的取值范围；
（2）点M为直线y=x上一动点，以2为半径作⊙M，点P为直线y=4上一动点，点P为⊙M的“美好点”，求点M的横坐标m的取值范围．
2018石景山二模
28．在平面直角坐标系xOy 中，对于任意点P ，给出如下定义：若⊙P 的半径为1，则称⊙P 为点P 的“伴随圆”． （1）已知，点()1,0P ，
①点1,22A ⎛-
⎝
⎭在点P 的“伴随圆” （填“上”或“内”或“外”）； ②点()1,0B -在点P 的“伴随圆” （填“上”或“内”或“外”）；
（2）若点P 在x 轴上，且点P 的“伴随圆”与直线x y 3
3
=
相切，求点P 的坐标； （3）已知直线2+=x y 与x 、y 轴分别交于点A ，B ，直线2-=x y 与x 、y 轴分别交于点
C ，
D ，点P 在四边形ABCD 的边上并沿DA CD BC AB →→→的方向移动，直接写出点P 的“伴随圆”经过的平面区域的面积．
2018西城二模
28. 对于平面直角坐标系xOy 中的点(,)Q x y （x ≠0），将它的纵坐标y 与横坐标x 的比y
x
称为点Q 的“理想值”，记作Q L .如(1,2)Q -的“理想值”2
21
Q L =
=--. （1）①若点(1,)Q a 在直线4y x =-上，则点Q 的“理想值”Q L 等于_________；
②如图，C ，⊙C 的半径为1. 若点Q 在⊙C 上，则点Q 的“理想值”Q L 的取值范围是 .
（2）点D 在直线+3y x =上，⊙D 的半径为1，点Q 在⊙D 上运动时都有0≤L Q ，求点D 的横坐标D x 的取值范围；
（3）(2,)M m （m ＞0），Q 是以r 为半径的⊙M 上任意一点，当0≤L Q ≤件的最大圆，并直接写出相应的半径r 的值.（要求画图位置准确，但不必尺规作图）
2018怀柔二模
28. A 为⊙C 上一点，过点A 作弦AB ，取弦AB 上一点P ，若满足
131<≤AB
AP ，则称P 为点A 关于⊙C 的黄金点．已知⊙C 的半径为3，点A 的坐标为（1，0）． (1)当点C 的坐标为（4，0）时，
①在点D （3，0），E （4，1），F （7，0）中，点A 关于⊙C 的黄金点是 ； ②直线3
3
33-=
x y 上存在点A 关于⊙C 的黄金点P ，求点P 的横坐标的取值范围； (2)若y 轴上存在．．点A 关于⊙C 的黄金点，直接写出点C 横坐标的取值范围．
2018门头沟二模
28.在平面直角坐标系xOy中的某圆上，有弦MN，取MN的中点P，我们规定:点P到某点（直
”表示.
线）的距离叫做“弦中距”，用符号“d
中
以(3,0)
W-为圆心，半径为2的圆上.
（1）已知弦MN长度为2.
①如图1：当MN∥x轴时，直接写出到原点O的d
的长度；
中
的取值范围.
②如果MN在圆上运动时，在图2中画出示意图，并直接写出到点O的d
中
（2）已知点(5,0)
y x
=-，求到直线2
=-的d
y x
M-,点N为⊙W上的一动点，有直线2
中
备用图
2018顺义二模
28．已知边长为2a 的正方形ABCD ，对角线AC 、BD 交于点Q ，对于平面内的点P 与正方形
ABCD ，给出如下定义：如果a ≤PQ
，则称点P 为正方形ABCD 的“关联点”．
在平面直角坐标系xOy 中，若A (-1，1)，B (-1，-1)，C (1，-1)，D (1，1) ． （1）在11(,0)2
-P
，21(2P
，3P 中，正方形ABCD 的“关联点”有 ； （2）已知点E 的横坐标是m ，若点E
在直线=y 上，并且E 是正方形ABCD 的“关联点”，求m 的取值范围；
（3）若将正方形ABCD 沿x 轴平移，设该正方形对角线交点Q 的横坐标是n ，
直线1=+y 与x 轴、y 轴分别相交于M 、N 两点．如果线段MN 上的每一个点都是正方形ABCD 的“关联
点”，求n 的取值范围．
代数综合题
2018昌平二模
26.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线223(0)y ax ax a a =--≠，与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)． （1）求点A 和点B 的坐标；
（2）若点P （m ，n ）是抛物线上的一点，
过点P 作x 轴的垂线，垂足为点D ． ①在0a >的条件下，当22m -≤≤时，n 的取值范围是45n -≤≤，求抛物线的表达式；
②若D 点坐标（4，0），当PD AD >时，求a 的取值范围.
2018朝阳二模
26.已知二次函数)0(222≠--=a ax ax y ．
（1）该二次函数图象的对称轴是直线 ； （2）若该二次函数的图象开口向上，当-1≤x ≤5时，函数图象的最高点为M ，最低点为N ，
点M 的纵坐标为211，求点M 和点N 的坐标；
（3）对于该二次函数图象上的两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），设t ≤ x 1 ≤ t +1，当x 2≥3
时，均有y 1 ≥ y 2，请结合图象，直接写出t 的取值范围．
2018东城二模
26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()230y ax bx a =+-≠经过点()1,0A -和点()45B ，．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）求直线AB 关于x 轴的对称直线的表达式；
（3）点P 是x 轴上的动点，过点P 作垂直于x 轴的直线l ，直线l 与该抛物线交于点M ，
与直线AB 交于点N ．当PM PN ＜时，求点P 的横坐标P x 的取值范围．
2018房山二模
26. 在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2
y ax bx c =++（0a ≠）的图象经过A （0，4），
B （2，0），
C （－2，0）三点.
（1）求二次函数的表达式；
（2）在x 轴上有一点D （－4，0），将二次函数的图象沿射线DA 方向平移，使图象再次经过点B .
①求平移后图象顶点E 的坐标；
②直接写出此二次函数的图象在A ，B 两点之间（含A ，B 两点）的曲线部分在平移过程中所扫过的面积.
2018丰台二模
26．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2
2y x hx h =-+的图象的顶点为点D ． （1）当1h =-时，求点D 的坐标； （2）当1x -≤≤≤1≤1时，求函数的最小值m ．
（用含h 的代数式表示m ）
2018海淀二模
26．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(3,1)A -，(1,1)B -，(,)C m n ，其中1n >，以点
,,A B C 为顶点的平行四边形有三个，记第四个顶点分别为123,,D D D ，如图所示.
（1）若1,3m n =-=，则点123,,D D D 的坐标分别是（ ），（ ），（ ）； （2）是否存在点C ，使得点123,,,,A B D D D 在同一条抛物线上？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，说明理由.
2018平谷二模
26．在平面直角坐标系中，点D
是抛物线2
23y ax ax a =--()0a >的顶点，抛物线与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 的左侧）．
（1）求点A ，B 的坐标；
（2）若M 为对称轴与x 轴交点，且DM =2AM ，求抛物线表达式； （3）当30°<∠ADM <45°时，求a 的取值范围．
2018石景山二
26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()
240y ax x c a =++≠经过点()
34,A -和
()02,B ．
（1）求抛物线的表达式和顶点坐标；
（2）将抛物线在A 、B 之间的部分记为图象M （含A 、B 两点）．将图象M 沿直线3x =翻折，得到图象N ．若过点()
94,C 的直线y kx b =+与图象M 、图象N 都相交，且只有两个交点，求b 的取值范围．
2018西城二模
26. 抛物线M ：241y ax ax a =-+- (a ≠0)与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），抛物线的顶点为D .
（1）抛物线M 的对称轴是直线____________； （2）当AB =2时，求抛物线M 的函数表达式；
（3）在（2）的条件下，直线l ：y kx b =+(k ≠0)经过抛物线的顶点D ，直线y n =与抛物线M 有两个公共点，它们的横坐标分别记为1x ，2x ，直线y n =与直线l 的交点的横坐标记为3x （30x >），若当2-≤n ≤1-时，总有13320x x x x ->->，请结合函数的图象，直接写出k 的取值范围.
2018怀柔二模
26.在平面直角坐标系xOy 中，二次函数C 1：()332
--+=x m mx y （m ＞0）的图象与x
轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C . (1)求点A 和点C 的坐标； (2)当AB =4时，
①求二次函数C 1的表达式；
②在抛物线的对称轴上是否存在点D ，使△DAC 的周长最小，若存在，求出点D 的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)将(2)中抛物线C 1向上平移n 个单位，得到抛物线C 2，若当0≤x ≤2
5
时，抛物线C 2与x 轴只有一个公共点，结合函数图象，求出n 的取值范围.
2018门头沟二模
26.在平面直角坐标系xOy 中，有一抛物线其表达式为222y x mx m =-+. （1）当该抛物线过原点时，求m 的值；
（2）坐标系内有一矩形OABC ,其中(4,0)A 、(4,2)B . ①直接写出C 点坐标；
②如果抛物线222y x mx m =-+与该矩形有2个交点，求m 的取值范围.
2018顺义二模
26．在平面直角坐标系中，二次函数2
21y x ax a =+++的图象经过点 M （2，-3）． （1）求二次函数的表达式；
（2）若一次函数(0)y kx b k =+≠的图象与二次函数2
21y x ax a =+++的图象经过x 轴上同一点，探究实数k ，b 满足的关系式； （3）将二次函数2
21y x ax a =+++的图象
向右平移2个单位，若点P （x 0，m ）和Q （2，n ）在平移后的图象上，且m >n ，结合图象求x 0的取值范围．
x
反比例综合题
2018昌平二模
22.如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数+(0)y ax b a =≠与反比例函数
k
y k x
=≠（0）
的图象交于点A （4，1）和B （1-，n ）． （1）求n 的值和直线+y ax b =的表达式；
（2）根据这两个函数的图象，直接写出不等式0k
ax b x
+-<的解集．
2018朝阳二模
21. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线61+=x k y 与函数)0(2
>=x x
k y 的图象的两个交点分别为A （1，5），B . （1）求21,k k 的值；
（2）过点P （n ，0）作x 轴的垂线，与直线61+=x k y 和函数)0(2
>=x x
k y 的图象的交点分别为点M ，N ，当点M 在点N 下方时，写出n 的取值范围.
x
2018东城二模 22. 已知函数1
y x
=
的图象与函数()0y kx k =≠的图象交于点(),P m n . （1）若2m n =，求k 的值和点P 的坐标；
（2）当m n ≤时，结合函数图象，直接写出实数k 的取值范围.
2018房山二模
22. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y kx m =+与双曲线2
y x
=-相交于 点A （m ，2）．
（1）求直线y kx m =+的表达式； （2）直线y kx m =+与双曲线2
y x
=-
的另一个交点为
B ，点P 为x 轴上一点，若AB BP =，直接写出
点
坐标 ．
2018丰台二模
22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：21(0)y mx m m =-+≠. （1）判断直线l 是否经过点M （2，1），并说明理由； （2）直线l 与反比例函数k
y x
=的图象的交点分别为点M ，N ，当OM =ON 时，直接写出点N 的坐标.
2018海淀二模
22．已知直线l 过点(2,2)P ，且与函数(
k
y x
=
的图象相交于,A B 两点，与x 轴、y 点,C D ，如图所示，四边形,ONAE OFBM 均为矩形，且矩形OFBM 的面积为3. （1）求k 的值；
（2）当点B 的横坐标为3时，求直线l 的解析式及线段BC 的长；
（3）如图是小芳同学对线段,AD BC 的长度关系的思考示意图.
记点B 的横坐标为s ，已知当23s <<时，线段BC 的长随s 的增大而减小，请你参考小芳的示意图判断：当3s ≥时，线段BC 的长随s 的增大而 . （填“增大”、“减小”或“不变”）
2018平谷二模
21．如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数()0k
y k x
=≠的图象与直线y =x －2交于 点A （a ，1）． （1）求a ，k 的值；
（2）已知点P （m ，0）（1≤m < 4），过点P 作平行于y 轴的直线，交直线y =x －2于点M （x 1，
y 1），交函数()0k
y k x
=
≠的图象于点N （x 1，y 2）
，结合函数的图象，直接写出12y y -的取值范围．
2018石景山二模
22．在平面直角坐标系xOy 中，直线1:2l y x b =-+与x 轴，y 轴分别交于点1(,0)2
A ，
B ，与反比例函数图象的一个交点为(),3M a . （1）求反比例函数的表达式；
（2）设直线2:2l y x m =-+与x 轴，y 轴分别交于点C ,D ,且3OCD OAB S S ∆∆=，直接写出m 的值 .
2018西城二模
23. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数m
y x
=（0x <）的图象经过点(4,)A n -，AB ⊥x 轴于点B ，点C 与点A 关于原点O 对称， CD ⊥x 轴于点D ，△ABD 的面积为8.
（1）求m ，n 的值；
（2）若直线y kx b =+（k ≠0）经过点C ，且与x 轴，y 轴的交点分别为点E ，F ，当2CF CE =时，求点F 的坐标．
2018怀柔二模
23.在平面直角坐标系xOy 中，直线y =kx +b （k ≠0）与双曲线)0(≠=m x
m
y 相交于A ，B 两点，A 点坐标为（-3，2），B 点坐标为（n ，-3）. (1)求一次函数和反比例函数表达式； (2)如果点P 是x 轴上一点，且△ABP 的面积是5，直接写出点P 的坐标.
2018门头沟二模
20. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y x =与反比例函数k y x
=（k ≠0）的图象
相交于点(2,2)M . （1）求k 的值；
（2）点(0,)P a 是y 轴上一点，过点P 且平行于x 轴的直线分别与一次函数y x =、反比
例函数k y x
=的图象相交于点1(,)A x b 、2(,)B x b ，当12x x <时，画出示意图并直接
写出a 的取值范围.
2018顺义二模
20．如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数k
y x
=（x >0）的图象与直线21y x =+交于点A （1，m ）．
（1）求k 、m 的值；
（2）已知点P （n ，0）（n ≥1），过点P 作平行于y 轴的直线，交直线21y x =+于点B ，交
函数k
y x
=
（x >0）的图象于点C ．横、纵坐标都是整数的点叫做整点． ①当3n =时，求线段AB 上的整点个数；
②若k y x
=（x >0）的图象在点A 、C 之间的部分与线段AB 、BC 所围成的区域内（包括边界）恰有5个整点，直接写出n 的取值范围．
函数操作题
2018昌平二模
25．有这样一个问题：探究函数3
126
y x x =
-的图象与性质.小彤根据学习函数的经验，对函数3
126
y x x =
-的图象与性质进行了探究.下面是小彤探究的过程，请补充完整：
（1）求m 的值为 ；
（2）如图，在平面直角坐标系xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出了图象的一部分，请根据剩余的点补全此函数的图象； （3）方程
3
1226
x x -=-实数根的个数为 ； （4）观察图象，写出该函数的一条性质 ； （5）在第（2）问的平面直角坐标系中画出直线12y x =，根据图象写出方程311
262
x x x -=的一个正数根约为 （精确到0.1）.
2018朝阳二模
25. 在数学活动课上，老师提出了一个问题：把一副三角尺如图1摆放，直角三角尺的两条直角边分别垂直或平行，60°角的顶点在另一个三角尺的斜边上移动，在这个运动过程中，有哪些变量，能研究它们之间的关系吗？小林选择了其中一对变量，根据学习函数的经验，对它们之间的关系进行了探究．
下面是小林的探究过程，请补充完整：
（1）画出几何图形，明确条件和探究对象；
如图2，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6cm，D是线段AB上一动点，射线DE⊥BC于点E，∠EDF= °，射线DF与射线AC交于点F．设B，E两点间的距离为x cm，E，F两点间的距离为y cm．
图1
图2
（说明：补全表格时相关数据保留一位小数）
（3）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
（4）结合画出的函数图象，解决问题：当△DEF为等边三角形时，BE的长度约为 cm.
2018东城二模
25. 小强的妈妈想在自家的院子里用竹篱笆围一个面积为4平方米的矩形小花园，妈妈问九年级的小强至少需要几米长的竹篱笆（不考虑接缝）.
小强根据他学习函数的经验做了如下的探究. 下面是小强的探究过程，请补充完整：
建立函数模型：
设矩形小花园的一边长为x米，篱笆长为y米.则y关于x的函数表达式为 ;
列表（相关数据保留一位小数）：
根据函数的表达式，得到了x与y的几组值，如下表：
描点、画函数图象：
如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，
根据描出的点画出该函数的图象；
观察分析、得出结论：
根据以上信息可得，当x= 时，y有最小值.
由此，小强确定篱笆长至少为米.
2018房山二模
25. 有这样一个问题：探究函数3
126y x x =-的图象与性质． 小东根据学习函数的经验，对函数3
126
y x x =-的图象与性质进行了探究.
下面是小东的探究过程，请补充完整： （1）函数3
126
y x x =
-的自变量x 的取值范围是 ; (2) 下表是y 与x 的几组对应值
则m 的值为 ；
(3) 如下图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，
画出该函数的图象；
（4）观察图象，写出该函数的两条性质 ．
2018丰台二模
25．数学活动课上，老师提出问题：如图，有一张长4dm，宽3dm的长方形纸板，在纸板的四个角裁去四个相同的小正方形，然后把四边折起来，做成一个无盖的盒子，问小正方形的边长为多少时，盒子的体积最大.
下面是探究过程，请补充完整：Array（1）设小正方形的边长为x dm，体积为y dm3，根
据长方体的体积公式得到y和x的关系
式：；
（2）确定自变量x的取值范围是；
（3）列出y与x的几组对应值.
（说明：表格中相关数值保留一位小数）
（4）在下面的平面直角坐标系xOy中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，
画出该函数的图象；
（5）结合画出的函数图象，解决问题：当小正方形的边长约为 dm时，盒子的体积最大，最大值约为 dm3.
2018海淀二模
25．小明对某市出租汽车的计费问题进行研究，他搜集了一些资料，部分信息如下：
备注：出租车计价段里程精确到500米；出租汽车收费结算以元为单位，元以下四舍五入。

小明首先简化模型，从简单情形开始研究：①只考虑白天正常行驶（无低速和等候）；
②行驶路程3公里以上时，计价器每500米计价1次，且每1公里中前500米计价1.2元，后500米计价1.1元.
下面是小明的探究过程，请补充完整：
记一次运营出租车行驶的里程数为x（单位：公里），相应的实付车费为y（单位：元）. （1）下表是y随x的变化情况
（2）在平面直角坐标系xOy 中，画出当0 5.5x <<时y 随x 变化的函数图象；
（3）一次运营行驶x 公里（0x >）的平均单价记为w （单位：元/公里），其中y
w x
=
. ①当3,3.4x =和3.5时，平均单价依次为123,,w w w ，则123,,w w w 的大小关系是____________；（用“＜”连接）
②若一次运营行驶x 公里的平均单价w 不大于行驶任意s （s x ≤）公里的平均单价s w ，则称这次行驶的里程数为幸运里程数.请在上图中x 轴上表示出34（不包括端点）
之间的幸运里程数x 的取值范围.
2018平谷二模
25．如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，
AB=6，点P是斜边AB上一点（点P不与点A，B 重合），过点P作PQ⊥AB于P，交边
AC（或边CB）
于点Q，设AP=x，△APQ的面积为y．
小明根据学习函数的经验，对函数y随自变量x
的变换而变化的规律进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）通过取点、画图、测量、计算，得到了x
与y的几组值，如下表：
P
经测量、计算，的值是 （保留一位小数）．
（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图
象；
（3）结合几何图形和函数图象直接写出，当QP =CQ 时，x 的值是 ．
2018石景山二模
25．如图，在ABC △中，8cm AB =，点D 是AC 边的中点，点P 是边AB 上的一个动
点，过点P 作射线BC 的垂线，垂足为点E ，连接DE .设cm PA x =，cm ED y =.
小石根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究. 下面是小石的探究过程，请补充完整：
（1）通过取点、画图、测量，得到了x 与y 的几组值，如下表：
（说明：补全表格时相关数据保留一位小数）
（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的
图象；
（3）结合画出的函数图象，解决问题：
点E 是BC 边的中点时，PA 的长度约为 cm .
2018西城二模 25.阅读下面材料：
已知：如图，在正方形ABCD 中，边1AB a .
按照以下操作步骤，可以从该正方形开始，构造一系列的正方形，它们之间的边满足一定的关系，并且一个比一个小
.
请解决以下问题：
（1）完成表格中的填空：
① ；② ； ③ ；④ ；
（2）根据以上第三步、第四步的作法画出第三个正方形CHIJ （不要求尺规作图）.
2018怀柔二模
25.如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，∠A =30°，AB =6cm ，点D 是线段AB 上一动点，将线段
CD 绕点C 逆时针旋转50°至CD ′，连接BD ′．设AD 为xcm ，BD ′为ycm ．
小夏根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究.
B
C
A
D'
下面是小夏的探究过程，请补充完整．
(1)通过取点、画图、测量，得到了x 与y 的几组值，如下表：
（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）
(2)建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
(3)结合画出的函数图象，解决问题：当BD=BD'时，线段AD 的长度约为_________cm .
2018门头沟二模
25. 如图，55MAN ∠=︒，在射线AN 上取一点B ，使6AB cm =，过点B 作BC AM ⊥于点
C ，点
D 是线段AB 上的一个动点，
E 是BC 边上一点，且30CDE ∠=︒,设AD=x cm ， BE=y cm ，探究函数y 随自变量x 的变化而变化的规律.
（1）取指定点作图.根据下面表格预填结果，先通过作图确定AD=2cm时，点E的位置，测
量BE的长度。

①根据题意，在答题卡上
．．．．补全图形；
②把表格补充完整：通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组对应值，如下表：
（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）
③建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
（2）结合画出的函数图象，解决问题：当AD BE
=时，x的取值约为__________cm. 2018顺义二模
25．根据函数学习中积累的知识与经验，李老师要求学生探究函数
1
1
y
x
=+的图象．同学
们通过列表、描点、画图象，发现它的图象特征，请你补充完整．
（1）函数
1
1
y
x
=+的图象可以由我们熟悉的函数_______的图象向上平移______个单位得
到；
（2）函数
1
1
y
x
=+的图象与x轴、y轴交点的情况是：；
（3）请你构造一个函数，使其图象与x 轴的交点为（2，0），且与y 轴无交点，这个函数表
达式可以是________________.
几何综合题
2018昌平二模
27.如图，在△ABC 中，AB =AC >BC ，BD 是AC 边上的高，点C 关于直线BD 的对称点为点E ，连接BE .
（1） ①依题意补全图形；
②若∠BAC =α，求∠DBE 的大小（用含α的式子表示）； （2） 若DE =2AE ，点F 是BE 中点，连接AF ，BD =4，求AF 的长.
（备用图）
2018朝阳二模
27.如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC =90°，M 是BC 的中点，延长AM 到点D ，AE = AD ，∠EAD =90°，CE 交AB 于点F ，CD =DF . （1）∠CAD = 度； （2）求∠CDF 的度数；
（3）用等式表示线段CD 和CE 之间的数量关系，并证明.
D C
B A D C
B A
2018东城二模
27. 如图所示，点P 位于等边ABC △的内部，且∠ACP =∠CBP ． (1) ∠BPC 的度数为________°；
(2) 延长BP 至点D ，使得PD =PC ，连接AD ，CD ．
①依题意，补全图形； ②证明：AD +CD =BD ；
(3) 在(2)的条件下，若BD 的长为2，求四边形ABCD 的面积．
2018房山二模
27. 已知AC =DC ，AC ⊥DC ，直线MN 经过点A ，作DB ⊥MN ，垂足为B ，连接CB . （1）直接写出∠D 与∠MAC 之间的数量关系;
（2）① 如图1，猜想AB ，BD 与BC 之间的数量关系，并说明理由；
② 如图2，直接写出AB ，BD 与BC 之间的数量关系；
（3）在MN 绕点A 旋转的过程中，当∠BCD =30°，BD= 2 时，直接写出BC 的值.
图1
图2
2018丰台二模
27．如图，正方形ABCD 中，点E 是BC 边上的一个动点，连接AE ，将线段AE 绕点A 逆时针
旋转90°，得到AF ，连接EF ，交对角线BD 于点G ，连接AG ． （1）根据题意补全图形；
（2）判定AG 与EF 的位置关系并证明；
（3）当AB = 3，BE = 2时，求线段BG 的长．
2018海淀二模
27．如图，在等边ABC △中， ,D E 分别是边,AC BC 上的点，且CD CE = ,
30DBC ∠<︒ ，点C 与点F 关于BD 对称，连接,AF FE ，FE 交BD 于G .
（1）连接,DE DF ，则,DE DF 之间的数量关系是 ； （2）若DBC α∠=，求FEC ∠的大小; （用α的式子表示） （2）用等式表示线段,BG GF 和FA 之间的数量关系，并证明.
A B C
E D G
F
E
D C
B
A
2018平谷二模 27．正方形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，作∠CBD 的角平分线BE ，分别交CD ，OC 于点E ，F ．
（1）依据题意，补全图形（用尺规作图，保留作图痕迹）； （2）求证：CE=CF ； （3）求证：DE =2OF ．
2018石景山二模
27．在△ABC 中，∠ABC =90°，AB =BC =4，点M 是线段BC 的中点，点N 在射线MB 上，连接
AN ，平移△ABN ，使点N 移动到点M ，得到△DEM （点D 与点A 对应，点E 与点B 对应），DM
交AC 于点P ．
（1）若点N 是线段MB 的中点，如图1．
① 依题意补全图1； ② 求DP 的长；
（2）若点N 在线段MB 的延长线上，射线DM 与射线AB 交于点Q ，若MQ =DP ，求CE 的长．
D
A
2018西城二模
27. 如图1，在等边三角形ABC 中，CD 为中线，点Q 在线段CD 上运动，将线段QA 绕点Q 顺时针旋转，使得点A 的对应点E 落在射线BC 上，连接BQ ，设∠DAQ =α（0°＜α＜60°且α≠30°）.
（1）当0°＜α＜30°时，
①在图1中依题意画出图形，并求∠BQE （用含α的式子表示）； ②探究线段CE ，AC ，CQ 之间的数量关系，并加以证明；
（2）当30°＜α＜60°时，直接写出线段CE ，AC ，CQ 之间的数量关系.
2018怀柔二模
27.在△ABC 中，AB=BC =AC ，点M 为直线BC 上一个动点（不与B ，C 重合），连结AM ，将线段
AM 绕点M 顺时针旋转60°，得到线段MN ，连结NC .
(1)如果点M 在线段BC 上运动. ①依题意补全图1；
②点M 在线段BC 上运动的过程中，∠MCN 的度数是否确定？如果确定，求出∠MCN 的度数；如果不确定，说明理由；
B
A A
B。