2022-2023学年山东省青岛市青岛第九中学高二年级上册学期期中数学试题【含答案】

2022-2023学年山东省青岛市青岛第九中学高二上学期期中数学试题
一、单选题
1．双曲线2
214
y x -=的渐近线方程是（ ）
A ．0x =
B 0y ±=
C ．20x y ±=
D ．20x y ±=
【答案】C
【分析】根据双曲线的标准方程，即可直接求出其渐近线方程. 【详解】∵双曲线的标准方程为2
214
y x -=，
∴双曲线的焦点在y 轴，2a =，1b =，且双曲线的渐近线方程为2a
y x x b
=±=±，即20x y ±=. 故选：C.
2．若两个不同平面,αβ的法向量分别为()()1,2,1,3,6,3u v =-=--，则（ ） A ．//αβ B ．αβ⊥ C ．,αβ相交但不垂直 D ．以上均不正确
【答案】A
【分析】根据法向量()()1,2,1,3,6,3u v =-=--，可得3v u =-，可得法向量v 和u 平行即可得解. 【详解】由3v u =-， 所以法向量v 和u 平行， 所以平面α和β平行， 故选：A.
3．已知圆C 的圆心(2,3)-，一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程为 A ．22460x y x y +-+= B ．224680x y x y +-++= C ．22460x y x y +--= D ．224680x y x y +-+-=
【答案】A
【详解】设直径的两个端点分别A （a ，0）B （0，b ）．圆心C 为点（2，﹣3）， 由中点坐标公式得，a=4，b=﹣6，
∴r=
1AB 2= 则此圆的方程是（x ﹣2）2+（y+3）2=13，
即x 2+y 2﹣4x+6y=0． 故选A ．
4．过点()4,2P 作直线l 分别与x 轴、y 轴的正半轴交于A 、B 两点，点O 为坐标原点，则OA OB +的最小值为（ ） A
．B
．2+C
．6+D ．6
【答案】C
【解析】由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()24y k x -=-，根据已知条件求出k 的取值范围，并求出A 、B 两点的坐标，再利用基本不等式可求得OA OB +的最小值.
【详解】由于过点()4,2P 作直线l 分别与x 轴、y 轴的正半轴交于A 、B 两点，则直线l 的斜率存在， 设直线l 的方程为()24y k x -=-，即240kx y k -+-=， 在直线l 的方程中，令0y =，可得42k x k -=
，即点42,0k A k -⎛⎫
⎪⎝⎭
； 令0x =，可得24y k =-，即点()0,24B k -. 由题意可得42
0240
k k k -⎧>⎪
⎨⎪->⎩，解得0k <，
所以，()
422
246466k OA OB k k k k
-+
=+-=+-+≥+=+-
当且仅当k =时，等号成立， 因此，OA OB +的最小值为6+故选：C.
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
5．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12AA AD ==，3AB =，点F 在线段11C D 上，且11D F =，则异面直线CD 与BF 所成角的余弦值为（ ）
A ．
22
B ．
33
C ．23
D ．
24
【答案】B
【分析】构建空间直角坐标系，求DC ，BF 的坐标，应用空间向量夹角的坐标表示求CD 与BF 所成角的余弦值即可.
【详解】如图，以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系D xyz -，则()0,0,0D ，()0,3,0C ，()2,3,0B ，
()0,1,2F ，
∴()0,3,0DC =，()2,2,2BF =--. ∴63
cos ,3323
DC BF DC BF DC BF
⋅-〈〉=
=
=-⨯，
∴异面直线CD 与BF 所成角的余弦值为
33
.
故选：B
6．已知圆22()4x a y -+=截直线4y x =-所得的弦的长度为22a 等于 A ．2 B ．6 C ．2或6
D ．22【答案】C
【详解】∵圆()2
24x a y -+= 截直线4y x =- 所得的弦的长度为22，圆心(),0a 到直线4
y x =-的距离 4
2a d -=
，∴2
4 422a ⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
2a = 或6a = ．故选C ．
7．椭圆
22
1
164
x y
+=
上的点到直线20
x y
+=的最大距离是（）
A．3 B
C
．D
【答案】D
【分析】设椭圆
22
1
164
x y
+=上的点P（4cosθ，2sinθ）
，由点到直线20
x y
+=的距离公式，计算
可得答案．
【详解】设椭圆
22
1
164
x y
+=上的点P（4cosθ，2sinθ）
则点P
到直线20
x y
+=的距离
=
max
d==D．
【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，解题时要认真审题，仔细求解．
8．已知圆()()
22
:341
C x y
-+-=和两点(),0
A m
-，()()
,00
B m m>，若圆C上存在点P，使得
90
APB
∠=︒，则m的最大值为
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】B
【详解】由题意知，点P在以原点（0，0）为圆心，以m为半径的圆上，又因为点P在已知圆上，所以只要两圆有交点即可，所以15
m-=，故选B.
【解析】本小题主要考查两圆的位置关系，考查数形结合思想，考查分析问题与解决问题的能力.
二、多选题
9．如图，一个结晶体的形状为平行六面体1111
ABCD A B C D
-，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60︒，下列说法中不正确的是（）
A ．16AC =
B ．1A
C B
D ⊥
C ．向量1B C 与1AA 的夹角是60︒
D ．1BD 与AC 6
【答案】ACD
【分析】根据题意，利用空间向量的线性运算和数量积运算，对选项中的命题分析，判断正误即可． 【详解】解：对于A 111:AC AB BC CC AB AD AA =++=++， ∴22221111222AC AB AD AA AB AD AD AA AD AA =+++⋅+⋅+⋅
363636266cos60266cos60266cos60216=+++⨯⨯⨯︒+⨯⨯⨯︒+⨯⨯⨯︒=，
所以1||21666AC A 错误；
对于B ：2
2
1111()()2AC BD AB AD AA AD AB AB AD AB AD AA AD AA AB ⋅=++⋅+=⋅+++⋅+⋅
66cos603666cos603666cos6066cos600=⨯⨯︒++⨯⨯︒--⨯⨯︒-⨯⨯︒=，
所以10AC DB ⋅=，即1AC DB ⊥，选项B 正确；
对于C ：向量1B C 与1BB 的夹角是18060120︒-︒=︒，所以向量1B C 与1AA 的夹角也是120︒，选项C 错误；
对于D ：11BD AD AA AB =+-，AC AB AD =+ 得()2
211||BD AD AA AB =+-，
1111
||36363626626626662222
BD ∴=+++⨯⨯⨯
-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯ 同理，可得||63AC =
11(AC BD AD AA AB ⋅=+-)()18183636181836AB AD ⋅+=+-++-=，
所以111
cos 63||AC BD BD AC AC BD ⋅<⋅>==
=
⋅D 错误．
故选：ACD ．
10．已知椭圆22
:143
x y C +=的左､右焦点分别为12F F 、
，P
为椭圆C 上不同于左右顶点的任意一点，则下列说法正确的是（ ） A ．12PF F △的周长为8
B ．12PF F △
C ．12PF PF ⋅的取值范围为[23)
，
D ．12||||PF PF 的取值范围为(34]，
【答案】BCD
【分析】计算周长得到6，A 错误，P S y =，B 正确，2
12124
PF PF x ⋅=+，根据定义域得到范围，C
正确，()2
12
24PF PF t ⋅=--+，得到值域，得到答案. 【详解】根据题意：2a =，b =1c =， 12PF F △的周长为224
26a c +=+=，A 错误； 12PF F △面积的为121
2
P P S F F y y =
⋅=≤P 在上下顶点时等号成立，B 正确； 设(),P x y ，则()()222
2212311,1,113244
PF PF x y x y x y x x x ⋅=---=-+=-+-=+，
()2,2x ∈-，故[)122,3PF PF ⋅∈，C 正确； 1224PF PF a +==，设1PF t =，()1,3t ∈，
则()()2
2124424PF PF t t t t t ⋅=-=-+=--+，故12PF PF ⋅的取值范围为(34]，
，D 正确. 故选：BCD.
11．如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，ED ⊥平面ABCD ，FB ⊥平面ABCD ，且1ED FB ==，
G 为线段EC 上的动点，则下列结论中正确的是（ ）
A ．EC AF ⊥
B ．该几何体外接球的体积为3π
C ．若G 为EC 中点，则//GB 平面AEF
D ．22AG BG +的最小值为
11
4
【答案】ACD
【分析】以D 为原点，DA 、DC 、DE 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，分别求得D ，A ，B ，C ，F ，E 的坐标，由AF ，EC 的数量积可判断A 选项；该几何体外接球的球心为矩形BDEF 的对角线交点，即可求得半径，可判断B 选项；求得G 的坐标，求得平面AEF 的法向量，计算可判断C 选项；设()0,,1G t t -（01t ≤≤），由两点的距离公式，结合二次函数的最值求法，可判断D 选项．
【详解】由题意以D 为原点，DA 、DC 、DE 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，
可得(0,0,0)D ，(1,0,0)A ，(1,1,0)B ，(0,1,0)C ，(1,1,1)F ，(0,0,1)E ，
对于A 选项：有(0,1,1)EC =-，(0,1,1)AF =，由0110AF EC ⋅=+-=，可得EC AF ⊥即EC AF ⊥，所以A 选项正确；
对于B 选项：由球的截面性质可知，球心在过正方形ABCD 的中心的垂面上，即为矩形BDEF 的对角线的交点，
则该球的半径222222113
11122R AB AD BF =++++
即该几何体外接球的体积33
4π4π33V R ==⨯=⎝⎭B 选项错误； 对于C 选项：若G 为EC 中点，则110,,22G ⎛⎫
⎪⎝⎭
，
即111,,22BG ⎛
⎫=-- ⎪⎝
⎭，(1,0,1)AE =-，(0,1,1)AF =，
设平面AEF 的法向量为(,,)n x y z =，
由0
0n AE x z n AF y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩
，令1x =，可得(1,1,1)n =-，
即11
1022
BG n ⋅=-++=，可得BG n ⊥，
又BG ⊄平面AEF ，则GB //平面AEF ，所以C 选项正确；
对于D 选项：由三角形EDC 是等腰直角三角形，可设(0,,1)G t t -（01t ≤≤），
则2
2
2
2
2
2
311
465444AG BG t t t ⎛⎫+=
+=-+=-+ ⎪⎝⎭
，
又01t ≤≤，则当3
t 4
=时，22AG BG +取得最小值114，所以D 选项正确．
故选：ACD.
12．卵形曲线也叫卵形线，是常见曲线的一种，分笛卡尔卵形线和卡西尼卵形线.卡西尼卵形线是平
面内与两个定点（叫做焦点）距离之积等于常数的点的轨迹.设焦点12(0)(0)F c F c -，
，，是平面内两个定点，2
12||||PF PF a ⋅=（a 是定长），特别地，当c a =时的卡西尼卵形线又称为伯努利双纽线，某同
学通过类比椭圆与双曲线的研究方法，对伯努利双纽线进行了相关性质的探究，得到下列结论，其中正确的是（ ） A ．曲线过原点
B ．关于原点中心对称且关于坐标轴成轴对称
C ．方程为2
22
22
2()2()x y a x y
D ．曲线上任意点00()P x y ，
，0[]x a a ∈-，，0[]22
a a
y ∈-， 【答案】ABC
【分析】根据2
12||||PF PF a ⋅=得到轨迹方程为222222()2()x y a x y 得到ABC 正确，验证知
)
,0
在曲线上，故D 错误，得到答案.
【详解】设(),P x y ，c a =时，212||||PF PF a ⋅=
=，
化简得到：222222()2()x y a x y ，故C 正确；
曲线过原点，A 正确；关于原点中心对称且关于坐标轴成轴对称，B 正确；
验证知
)
,0在曲线上，故D 错误.
故选：ABC.
三、填空题
13．直线1:330l mx y m +++=与直线2:220l x y -+=平行，则m 的值为____________． 【答案】3
2
-## 1.5-
【分析】利用直线的一般式方程确定两直线平行的条件即可求解. 【详解】因为直线1:330l mx y m +++=与直线2:220l x y -+=平行， 所以()()()×21?3=03?22+30
m m ----≠⎧⎪⎨⎪⎩，解得32m =-,
所以m 的值为32
-. 故答案为：32
-.
14．记双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的离心率为e ，写出满足条件“直线2y x =与C 无公共点”的e 的
一个值______________．
【答案】2（满足1e <≤
【分析】根据题干信息，只需双曲线渐近线b
y x a =±
中02b a
<≤即可求得满足要求的e 值. 【详解】解：22
22:1(0,0)x y C a b a b -=>>，所以C 的渐近线方程为b y x a
=±,
结合渐近线的特点，只需02b a <≤，即2
24b a
≤，
可满足条件“直线2y x =与C 无公共点”
所以==c e a
又因为1e >，所以1e <≤
故答案为：2（满足1e <≤
15．如图，已知圆22:16,,O x y A B +=是圆O 上两个动点，点(2,0)P ，则矩形PACB 的顶点C 的轨迹方程是___________．
【答案】2228x y +=
【解析】设点(,)C x y ，连接,AB PC 交于M ，可写出M 的坐标，再在直角OMB △中，OM MB ⊥，利用勾股定理列方程可得x, y 的关系式，即顶点C 的轨迹方程. 【详解】设点(,)C x y ，如图连接,AB PC 交于M ，
由矩形PACB 可知M 为PC 的中点，2,22x y M +⎛⎫
⎪⎝⎭
，PM MB = 连接,OB OM ，在直角OMB △中，OM MB ⊥，则22222OB OM BM OM MP =+=+
即2222
221622222x y x y +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=+-+ ⎪ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，整理得2228x y +=， 所以顶点C 的轨迹方程是2228x y += 故答案为：2228x y +=
【点睛】关键点睛：本题考查求轨迹方程，解题的关键是求谁设谁，设点(,)C x y ，然后再利用图像的几何关系找到x, y 的关系式，即求得轨迹方程，考查学生的直观想象能力与运算求解能力，属于中档题.
四、双空题
16．已知点 ()1,2,3P 是空间直角坐标系 O xyz - 内一点， 则点 P 关于 x 轴的对称点 Q 的 坐标为 ________．
若点 P 在平面 xOy 上的射影为 M ， 则四面体 O PQM - 的体积为________． 【答案】 （1，－2，－3） 2
【分析】由空间直角坐标系中的点的对称性质求解，利用棱锥的体积公式直接求解
【详解】()1,2,3P 是空间直角坐标系 O xyz - 内一点， 则点 P 关于 x 轴的对称点 Q 的 坐标为（1，－2，－3），
因为点 P 在平面 xOy 上的射影为 M ，所以(1,2,0)M ， 所以四面体 O PQM - 的体积为11
2213232
⨯⨯⨯⨯⨯=，
故答案为：（1，－2，－3），2
五、解答题
17．已知斜率为1的直线l 与圆心为1(1,0)O 的圆相切于点P ，且点P 在y 轴上. （1）求圆1O 的方程；
（2）若直线l '与直线l 平行，且圆1O 上恰有四个不同点到直线l '距离等于2
，求直线l '纵截距的取值范围.
【答案】（1）22(1)2x y -+=；（2）()2,0-.
【解析】（1）由题意可知1O P l ⊥，从而可得
101
t -=--，求出1t =，再由1||r O P =.
（2）设l '：y x b =+，由题意可得圆心到直线y x b =+的距离d . 【详解】解：（1）依题意，设点P 的坐标为(0,)t .1O P l ⊥，∴
101
t -=--，解得1t =，
即点P 的坐标为(0,1)，从而圆1O 的半径1||r O P ==故所求圆1O 的方程为22(1)2x y -+=. （2）因为//l l '，设l '：y x b =+，
由圆1O 上恰有四个不同点到直线l '
得圆心到直线y x b =+的距离d =
<
，
解得20b -<<.即直线l '纵截距的取值范围为()2,0-.
18．已知椭圆2222x y C 1a b +=：()0,0a b >>
4．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知过点P （2,1）作弦且弦被P 平分，则此弦所在的直线方程. 【答案】(1)
221164
x y += (2) 240x y +-= 【详解】试题分析：（1）根据椭圆的性质列方程组解出a ，b ，c 即可；
（2）设直线斜率为k ，把直线方程代入椭圆方程，根据根与系数的关系和中点坐标公式列方程即可得出k 的值，从而求出直线方程． 试题解析：
（1
）c e a ==2b=4，所以a=4，b=2，
c=221164x y +
= （2）设以点()2,1P 为中点的弦与椭圆交于()()1122,,,A x y B x y ，则12124,2x x y y +=+=，分别代入椭圆的方程，两式相减得()()()()1212121240x x x x y y y y +-++-=，所以()()1212480x x y y -+-=，所以12121
2y y k x x -=
=--，由直线的点斜式方程可知，所求直线方程为()1122
y x -=--，即240x y +-=． 点睛：弦中点问题解法一般为设而不求，关键是求出弦AB 所在直线方程的斜率k,方法一利用点差法，列出有关弦AB 的中点及弦斜率之间关系求解；方法二是直接设出斜率k ，利用根与系数的关系及中点坐标公式求得直线方程.
19．已知ABC 的顶点()2,8C -，直线AB 的方程为211y x =-+，AC 边上的高BH 所在直线的方程为320x y ++=.
(1)求顶点A 和B 的坐标； (2)求ABC 外接圆的一般方程. 【答案】(1)()5,1A ，()7,3B - (2)2246120x y x y +-+-=
【分析】（1）联立直线BH ，AB 的方程求出点B 的坐标，由AC BH ⊥求出直线AC 的斜率及方程，
AC 的方程与直线AB 方程联立求出A 的坐标；
（2）设圆的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=，将A ，B ，C 三点坐标代入求出圆的一般方程求出,,D E F 的值即可求解.
【详解】（1）由211320y x x y =-+⎧⎨++=⎩可得7
3x y =⎧⎨=-⎩，所以点B 的坐标为()7,3-，
由320x y ++=可得12
33
y x =--，所以13BH k =-
由AC BH ⊥，可得3AC k =，
因为()2,8C -，所以直线AC 的方程为：()832y x +=-，即3140x y --=，
由211
3140y x x y =-+⎧⎨--=⎩可得51x y =⎧⎨=⎩
，所以点A 的坐标为()5,1.
（2）设ABC 的外接圆方程为220x y Dx Ey F ++++=，
将()5,1A ，()7,3B -和()2,8C -三点的坐标分别代入圆的方程可得： 52607358028680
D E F D E F D E F +++=⎧⎪-++=⎨⎪-++=⎩
，解得：4612D E F =-⎧⎪
=⎨⎪=-⎩，
所以ABC 的外接圆的一般方程为2246120x y x y +-+-=. 20．在正四棱柱1111ABCD A B C D -中1,2,4,AB AA E ==在线段1CC 上.
（1）若1A C ⊥平面BDE ，求CE 的长；
（2）在（1）的条件下，求直线1D E 与平面BDE 所成角的正弦值. 【答案】（1）1；（2478. 【分析】（1）由已知可得1,,DA DC DD 两两垂直，建立空间直角坐标系D xyz -，利用已知条件写出点的坐标，设CE a =(04a <<)，进而得到点E 的坐标，利用1A C ⊥平面DBE ，
可得1440AC DE a ⋅=-=，即可得出a 的值，即可得出结果；
（2）由（1）得()10,2,3D E =-，1AC 为
平面DBE 的一个法向量，利用线面的所成角的向量求法求解即可. 【详解】解：（1）由已知可得1,,DA DC DD 两两垂直， 建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，
可得()()()()0,0,0,2,0,0,2,2,0,0,2,0D A B C ，
()()()()11110,0,4,2,0,4,2,2,4,0,2,4D A B C ，
设CE a =(04a <<)， 则()0,2,E a ，
()()()1
0,2,,2,2,0,2,2,4DE a DB AC ===--， ∴1440AC DB ⋅=-+=， ∴1A C DB ⊥. 由1A C ⊥平面DBE ， 得1440AC DE a ⋅=-=， 解得1a =， 即CE 的长为1.
（2）由（1）得()10,2,3D E =-，
1AC 为平面DBE 的一个法向量，
∴11
478
cos ,1324
D E AC ==⋅
∴1D E 与平面DBE 所成角的正弦值为
478
39
. 21．如图，直三棱柱111ABC A B C 的体积为4，1A BC 的面积为22．
(1)求A 到平面1A BC 的距离；
(2)设D 为1A C 的中点，1AA AB =，平面1A BC ⊥平面11ABB A ，求二面角A BD C --的正弦值． 【答案】23
【分析】（1）由等体积法运算即可得解；
（2）由面面垂直的性质及判定可得BC ⊥平面11ABB A ，建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可得解.
【详解】（1）在直三棱柱111ABC A B C 中，设点A 到平面1A BC 的距离为h ，
则111111
11
221
14
3
3333
A A BC A A ABC A ABC A
B B
C C C B V S
h h V S A A V ---=⋅=
==⋅==， 解得2h =
所以点A 到平面1A BC 2；
（2）取1A B 的中点E ,连接AE ,如图，因为1AA AB =，所以1AE A B ⊥, 又平面1A BC ⊥平面11ABB A ，平面1A BC ⋂平面111ABB A A B =， 且AE ⊂平面11ABB A ，所以⊥AE 平面1A BC ， 在直三棱柱111ABC A B C 中，1BB ⊥平面ABC ，
由BC ⊂平面1A BC ，BC ⊂平面ABC 可得AE BC ⊥，1BB BC ⊥，
又1,AE BB ⊂平面11ABB A 且相交，所以BC ⊥平面11ABB A ，
所以1,,BC BA BB 两两垂直，以B 为原点，建立空间直角坐标系，如图，
由（1）得2AE =12AA AB ==，122A B =2BC =， 则()()()()10,2,0,0,2,2,0,0,0,2,0,0A A B C ,所以1A C 的中点()1,1,1D ， 则()1,1,1BD =，()()0,2,0,2,0,0BA BC ==,
设平面ABD 的一个法向量(),,m x y z =，则0
20m BD x y z m BA y ⎧⋅=++=⎨⋅==⎩，
可取()1,0,1m =-，
设平面BDC 的一个法向量(),,n a b c =，则0
20n BD a b c n BC a ⎧⋅=++=⎨
⋅==⎩， 可取()0,1,1n =-， 则11
cos ,2
22m n m n m n
⋅=
=
=⨯⋅， 所以二面角A BD C --2
1312⎛⎫- ⎪⎝⎭
22．已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左､右焦点分别为12,F F ，过2F 的直线l 与椭圆C 交于,A B 两
点，点P 为椭圆C 的下顶点，22PF OP ，当l x ⊥轴时，AOB 的面积为2（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）当直线l 不过坐标原点时，求11F A F B ⋅的取值范围. 【答案】（1）
2
2
18
4
x y +
=；
（2）(]4,14-. 【分析】（1）由已知建立关于,,a b c 的方程组，解之可求得椭圆C 的标准方程.
（2）由（1）知1(2,0)F -，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由直线l 不过坐标原点，所以设直线l 的方程为
2x my =+，与椭圆的方程联立得()222440m y my ++-=，得出根与系数的关系式，表示11F A F B ⋅，代入可求得11F A F B ⋅的取值范围.
【详解】（1）因为2POF
为直角三角形，所以2
2222)b c PF +==，则b c =，
又22122AOB
b b c
S
c a a
=⨯⨯==
2b c =， 又222a b c =+
，所以34b b ==，则24b =，
2
2
2
448a b c =+=+=，故椭圆C 的标准方程为
2
2
18
4
x y +
=
（2）由（1）知1(2,0)F -，设11(,)A x y ，22(,)B x y ， 则()1112,F A x y =+，()1222,F B x y =+，
又直线l 不过坐标原点，所以设直线l 的方程为2x my =+，则222
18
4x my x y =+⎧⎪
⎨+=⎪
⎩，
消去x 得()22
2440m y my ++-=，
所以12242m
y y m -+=
+，12
242
y y m -=+， 则111212(2)(2)F A F B x x y y ⋅=+++1212(4)(4)my my y y =+++ 21212(1)4()16m y y m y y =++++(
)22
2
441
41622m m m m m --=++⋅+++2
36
42
m =-++， 因为222m +≥，所以2360182m <
≤+，所以236
44142
m -<-+≤+， 所以11F A F B ⋅(]4,14∈-，即11F A F B ⋅的取值范围是(]4,14-.
【点睛】方法点睛：(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系；(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．有时若直线过x 轴上的一点，可将直线设成横截式.。