2016-2017年广东省汕头市潮南实验学校高二(下)第一次月考数学试卷(理科)(解析版)

2016-2017学年广东省汕头市潮南实验学校高二（下）第一次月
考数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，计60分）
1．（5分）若集合A＝{x∈R|lgx2＞0}，集合B＝{x∈R|1≤2x+3＜7}，则（）A．∁U B⊆A B．B⊆A C．A⊆∁U B D．A⊆B
2．（5分）设a是实数，若复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点在直线x+y ＝0上，则a的值为（）
A．﹣1B．0C．1D．2
3．（5分）函数f（x）＝ln（4+3x﹣x2）的单调递减区间是（）
A．B．C．D．
4．（5分）下列命题正确的是（）
A．已知p：＞0，则﹣p：≤0
B．存在实数x∈R，使sin x+cos x＝成立
C．命题p：对任意的x∈R，x2+x+1＞0，则﹣p：对任意的x∈R，x2+x+1≤0
D．若p或q为假命题，则p，q均为假命题
5．（5分）某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（）
A．2011B．2012C．2013D．2014
6．（5分）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米
1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）
A．134石B．169石C．338石D．1365石
7．（5分）如图，边长为1的正方形ABCD的顶点A，D分别在x轴、y轴正半轴上移动，则的最大值是（）
A．2B．C．πD．4
8．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）
A．64B．72C．80D．112
9．（5分）若a，b是正数，直线2ax+by﹣2＝0被圆x2+y2＝4截得的弦长为2，则t＝a 取得最大值时a的值为（）
A．B．C．D．
10．（5分）若x，y满足且z＝3x﹣y的最大值为2，则实数m的值为（）A．B．C．1D．2
11．（5分）若双曲线的渐近线和圆x2+y2﹣4x+3＝0相切，则该双曲线的离心率为（）
A．B．C．D．2
12．（5分）函数f（x）＝|e x+|（a∈R）在区间[0，1]上单调递增，则a的取值范围是（）A．a∈[﹣1，1]B．a∈[﹣1，0]C．a∈[0，1]D．a∈[﹣，e]
二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上.
13．（5分）（﹣2x）dx＝．
14．（5分）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为．
15．（5分）已知f（x）＝x3+3x2+a（a为常数），在[﹣3，3]上有最小值3，那么在[﹣3，3]上f（x）的最大值是．
16．（5分）已知f（x）为R上的偶函数，对任意x∈R都有f（x+6）＝f（x）+f（3）且当x1，x2∈[0，3]，x1≠x2时，有＞0成立，给出四个命题：
①f（3）＝0；②直线x＝﹣6是函数y＝f（x）的图象的一条对称轴；
③函数y＝f（x）在[﹣9，﹣6]上为增函数；④函数y＝f（x）在[﹣9，9]上有四个零点．其中所有正确命题的序号为．
三、解答题（本题共6题，共70分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．（10分）在△ABC中，角A，B，C对的边分别为a，b，c，且c＝2，C＝60°．（1）求的值；
（2）若a+b＝ab，求△ABC的面积S△ABC．
18．（12分）如图，已知长方形ABCD中，AB＝2，AD＝1，M为CD的中点．将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．
（1）求证：AD⊥BM；
（2）若点E是线段BD的中点，求二面角E﹣AM﹣D的余弦值．
19．（12分）某民营企业生产A，B两种产品，根据市场调查和预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图1，B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2（注：利润与投资单位是万元）
（1）分别将A，B两种产品的利润表示为投资的函数，并写出它们的函数关系式．
（2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A，B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元．（精确到1万元）．
20．（12分）已知二次函数y＝f（x）的图象经过坐标原点，其导函数为f′（x）＝6x﹣2，数列{a n}的前n项和为S n，点（n，S n）（n∈N*）均在函数y＝f（x）的图象上．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设b n＝，T n是数列{b n}的前n项和，求使得T n＜对所有n∈N*都成立的最小正整数m．
21．（12分）已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线x﹣y+＝0相切，过点P（4，0）的直线L与椭圆C相交于A、B两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求的取值范围．
22．（12分）已知函数f（x）＝x2+2alnx．
（1）若函数f（x）的图象在（2，f（2））处的切线斜率为1，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，求函数f（x）的单调区间；
（3）若函数g（x）＝+f（x）在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围．
2016-2017学年广东省汕头市潮南实验学校高二（下）第
一次月考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，计60分）
1．（5分）若集合A＝{x∈R|lgx2＞0}，集合B＝{x∈R|1≤2x+3＜7}，则（）A．∁U B⊆A B．B⊆A C．A⊆∁U B D．A⊆B
【解答】解：A＝{x∈R|lgx2＞0}＝{x|x＞1或x＜﹣1}，B＝{x∈R|1≤2x+3＜7}＝{x|﹣1≤x＜2}，
∁U B＝{x|x＜﹣1或x≥2}，则∁U B⊆A．
故选：A．
2．（5分）设a是实数，若复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点在直线x+y ＝0上，则a的值为（）
A．﹣1B．0C．1D．2
【解答】解：∵a是实数，复数＝＝＝
，所对应的点为．
∵点在直线x+y＝0上，∴，化为a＝0．
故选：B．
3．（5分）函数f（x）＝ln（4+3x﹣x2）的单调递减区间是（）
A．B．C．D．
【解答】解：要使函数有意义，则4+3x﹣x2＞0，即x2﹣3x﹣4＜0解得﹣1＜x＜4，
设t＝4+3x﹣x2，则函数在（﹣1，]上单调递增，在[，4）上单调递减．
因为函数y＝lnt，在定义域上为增函数，
所以由复合函数的单调性性质可知，则此函数的单调递减区间是[，4）．
故选：D．
4．（5分）下列命题正确的是（）
A．已知p：＞0，则﹣p：≤0
B．存在实数x∈R，使sin x+cos x＝成立
C．命题p：对任意的x∈R，x2+x+1＞0，则﹣p：对任意的x∈R，x2+x+1≤0
D．若p或q为假命题，则p，q均为假命题
【解答】解：已知p：＞0，则﹣p：≤0或x＝﹣1，故A错误；
sin x+cos x∈[，]，故存在实数x∈R，使sin x+cos x＝成立错误；
命题p：对任意的x∈R，x2+x+1＞0，则﹣p：存在x∈R，x2+x+1≤0，故C错误；
根据p或q一真为真，同假为假的原则，可得若p或q为假命题，则p，q均为假命题，故D正确
故选：D．
5．（5分）某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（）
A．2011B．2012C．2013D．2014
【解答】解：当i＝2013时，满足进入循环的条件，故i＝2012，S＝S﹣1，
当i＝2012时，满足进入循环的条件，故i＝2011，S＝S+1，
当i＝2011时，满足进入循环的条件，故i＝2010，S＝S﹣1，
当i＝2010时，满足进入循环的条件，故i＝2009，S＝S+1，
…
当i＝3时，满足进入循环的条件，故i＝2，S＝S﹣1，
当i＝2时，满足进入循环的条件，故i＝1，S＝S+1，
当i＝1时，满足进入循环的条件，故i＝0，S＝S﹣1，
当i＝0时，不满足进入循环的条件，
故循环结束后，S的值减小1，
故输出的S为2012，
故选：B．
6．（5分）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）
A．134石B．169石C．338石D．1365石
【解答】解：由题意，这批米内夹谷约为1534×≈169石，
故选：B．
7．（5分）如图，边长为1的正方形ABCD的顶点A，D分别在x轴、y轴正半轴上移动，则的最大值是（）
A．2B．C．πD．4
【解答】解：如图令∠OAD＝θ，由于AD＝1故0A＝cosθ，OD＝sinθ，
如图∠BAx＝﹣θ，AB＝1，故x B＝cosθ+cos（﹣θ）＝cosθ+sinθ，y B＝sin（﹣θ）＝cosθ，
故＝（cosθ+sinθ，cosθ），
同理可求得C（sinθ，cosθ+sinθ），即＝（sinθ，cosθ+sinθ），
∴•＝（cosθ+sinθ，cosθ）•（sinθ，cosθ+sinθ）＝1+sin2θ，
＝1+sin2θ的最大值是2，
故选：A．
8．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）
A．64B．72C．80D．112
【解答】解：由三视图可知该几何体为上部是一四棱锥，下部为正方体的组合体．四棱锥的高h1＝3，正方体棱长为4
V正方体＝Sh2＝42×4＝64，V四棱锥＝Sh1＝＝16，
所以V＝64+16＝80．
故选：C．
9．（5分）若a，b是正数，直线2ax+by﹣2＝0被圆x2+y2＝4截得的弦长为2，则t＝a 取得最大值时a的值为（）
A．B．C．D．
【解答】解：圆的圆心坐标为（0，0），半径r＝2，
由直线被圆截取的弦长为2，可得圆心到直线的距离＝1，
∴4a2+b2＝4，
t＝a＝＝，
则a＝时，t＝a取得最大值．
故选：D．
10．（5分）若x，y满足且z＝3x﹣y的最大值为2，则实数m的值为（）A．B．C．1D．2
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
z＝3x﹣y的最大值为2，
联立，解得A（2，4），
化目标函数z＝3x﹣y为y＝3x﹣z，
由图可知，当直线mx﹣y＝0必须过A，可得2m﹣4＝0，
解得：m＝2．
故选：D．
11．（5分）若双曲线的渐近线和圆x2+y2﹣4x+3＝0相切，则该双曲线的离心率为（）
A．B．C．D．2
【解答】解：圆x2+y2﹣4x+3＝0可化为（x﹣2）2+y2＝1
∴圆心坐标C（2，0）
∵双曲线的渐近线为ax±by＝0，
圆x2+y2﹣4x+3＝0与渐近线相切，
∴C到渐近线的距离为＝1，即c＝2a
因此该双曲线的离心率为e＝＝2
故选：D．
12．（5分）函数f（x）＝|e x+|（a∈R）在区间[0，1]上单调递增，则a的取值范围是（）A．a∈[﹣1，1]B．a∈[﹣1，0]C．a∈[0，1]D．a∈[﹣，e]
【解答】解：f（x）＝；
∵x∈[0，1]；
∴a≥﹣1时，f（x）＝，；
∴a≤1时，f′（x）≥0；
即﹣1≤a≤1时，f′（x）≥0，f（x）在[0，1]上单调递增；
即a的取值范围是[﹣1，1]．
故选：A．
二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上.
13．（5分）（﹣2x）dx＝﹣1．
【解答】解：（﹣2x）dx
＝（）dx﹣2xdx．
令，则（x﹣1）2+y2＝1（y≥0），
表示的是以（1，0）为圆心，以1为半径的圆．
∴（）等于四分之一圆的面积，为．
又2xdx＝．
∴（﹣2x）dx＝．
故答案为：．
14．（5分）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球
的表面积为．
【解答】解：根据题意条件可知三棱柱是棱长都为a的正三棱柱，设上下底面中心连线EF 的中点O，则O就是球心，
则其外接球的半径为OA1，又设D为A1C1中点，在直角三角形EDA1中，EA1＝＝
在直角三角形OEA1中，OE＝，由勾股定理
∴，
球的表面积为，
故答案为：．
15．（5分）已知f（x）＝x3+3x2+a（a为常数），在[﹣3，3]上有最小值3，那么在[﹣3，3]上f（x）的最大值是57．
【解答】解析：f′（x）＝3x2+6x，令f′（x）＝0，得3x（x+2）＝0⇒x＝0，x＝﹣2．（i）当0≤x≤3，或﹣3≤x≤﹣2时，f′（x）≥0，f（x）单调递增，
（ii）当﹣2＜x＜0时，f（x）单调递减，由最小值为3知，最小为f（﹣3）或f（0）⇒
f（﹣3）＝（﹣3）3+3×（﹣3）2+a＝a，f（0）＝a，则a＝3，
∴f（x）＝x3+3x2+3，其最大值为f（﹣2）或f（3），
f（﹣2）＝（﹣2）3+3×（﹣2）2+3＝7，f（3）＝33+3×32+3＝57，则最大值为57．
故答案为：57．
16．（5分）已知f（x）为R上的偶函数，对任意x∈R都有f（x+6）＝f（x）+f（3）且当x1，x2∈[0，3]，x1≠x2时，有＞0成立，给出四个命题：
①f（3）＝0；②直线x＝﹣6是函数y＝f（x）的图象的一条对称轴；
③函数y＝f（x）在[﹣9，﹣6]上为增函数；④函数y＝f（x）在[﹣9，9]上有四个零点．其中所有正确命题的序号为①②④．
【解答】解：①令x＝﹣3，则由f（x+6）＝f（x）+f（3）得f（3）＝f（﹣3）+f（3）＝2f （3），故f（3）＝0．①正确；
②由f（3）＝0，f（x）为偶函数得：f（﹣6﹣x）＝f（x），故直线x＝﹣6是函数y＝f（x）
的图象的一条对称轴，②正确；
③因为当x1，x2∈[0，3]，x1≠x2时，有＞0成立，故f（x）在[0，3]上为增
函数，又f（x）为偶函数，故在[﹣3，0]上为减函数，又周期为6．故在[﹣9，﹣6]上为减函数，③错误；
④函数f（x）周期为6，故f（﹣9）＝f（﹣3）＝f（3）＝f（9）＝0，故y＝f（x）在[﹣9，
9]上有四个零点，④正确．
故答案为：①②④．
三、解答题（本题共6题，共70分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．（10分）在△ABC中，角A，B，C对的边分别为a，b，c，且c＝2，C＝60°．
（1）求的值；
（2）若a+b＝ab，求△ABC的面积S△ABC．
【解答】解：（1）由正弦定理可设，
所以，
所以．…（6分）
（2）由余弦定理得c2＝a2+b2﹣2ab cos C，
即4＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣3ab，
又a+b＝ab，所以（ab）2﹣3ab﹣4＝0，
解得ab＝4或ab＝﹣1（舍去）
所以．…（14分）
18．（12分）如图，已知长方形ABCD中，AB＝2，AD＝1，M为CD的中点．将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．
（1）求证：AD⊥BM；
（2）若点E是线段BD的中点，求二面角E﹣AM﹣D的余弦值．
【解答】（1）证明：∵AM＝BM＝，∴AB2＝AM2+BM2，即AM⊥BM．
∵平面ADM⊥平面ABCD，∴BM⊥平面ADM，∴AD⊥BM．…（5分）
（2）解：取DM的中点F，则EF∥BM，
由（1）知BM⊥平面ADM，∴EF⊥平面ADM．
过F作FH⊥AM，连接EH，
则∠FHE即二面角E﹣AM﹣D的平面角，
由已知EF＝，FH＝，
∴EH＝，∴cos∠FHE＝＝．
∴二面角E﹣AM﹣D的余弦值是．…（13分）
19．（12分）某民营企业生产A，B两种产品，根据市场调查和预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图1，B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2（注：利润与投资单位是万元）
（1）分别将A，B两种产品的利润表示为投资的函数，并写出它们的函数关系式．
（2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A，B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元．（精确到1万元）．
【解答】解：（1）投资为x万元，A产品的利润为f（x）万元，B产品的利润为g（x）万元，由题设f（x）＝k1x，g（x）＝k2，（k1，k2≠0；x≥0）
由图知f（1）＝，∴k1＝
又g（4）＝，∴k2＝
从而f（x）＝，g（x）＝（x≥0）
（2）设A产品投入x万元，则B产品投入10﹣x万元，设企业的利润为y万元
y＝f（x）+g（10﹣x）＝，（0≤x≤10），
令，∴（0≤t≤）
当t＝，y max≈4，此时x＝3.75
∴当A产品投入3.75万元，B产品投入6.25万元时，企业获得最大利润约为4万元．20．（12分）已知二次函数y＝f（x）的图象经过坐标原点，其导函数为f′（x）＝6x﹣2，数列{a n}的前n项和为S n，点（n，S n）（n∈N*）均在函数y＝f（x）的图象上．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设b n＝，T n是数列{b n}的前n项和，求使得T n＜对所有n∈N*都成立的最小正整数m．
【解答】解：（Ⅰ）设这二次函数f（x）＝ax2+bx（a≠0），
则f′（x）＝2ax+b，
由于f′（x）＝6x﹣2，得
a＝3，b＝﹣2，
所以f（x）＝3x2﹣2x．
又因为点（n，S n）（n∈N*）均在函数y＝f（x）的图象上，
所以S n＝3n2﹣2n．
当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝（3n2﹣2n）﹣[3（n﹣1）2﹣2（n﹣1）]＝6n﹣5．
当n＝1时，a1＝S1＝3×12﹣2＝6×1﹣5，
所以，a n＝6n﹣5（n∈N*）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得知＝＝，
故T n＝＝＝（1﹣）．
因此，要使（1﹣）＜（n∈N*）成立的m，必须且仅须满足≤，即m≥10，所以满足要求的最小正整数m为10．
21．（12分）已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线x﹣y+＝0相切，过点P（4，0）的直线L与椭圆C相交于A、B两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求的取值范围．
【解答】解：（1）由题意知e＝＝，∴e2＝＝＝，即a2＝b2
又∵椭圆的短半轴为半径的圆与直线x﹣y+＝0相切
∴b＝＝，∴a2＝4，b2＝3，
故椭圆的方程为
（2）由题意知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y＝k（x﹣4）．
疳直线方程y＝k（x﹣4）代入椭圆方程可得：（3+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣12＝0
由△＞0得：1024k4﹣4（3+4k2）（64k2﹣12）＞0，解得k2＜
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝，x1x2＝
∴
∵，
∴
∴的取值范围是
22．（12分）已知函数f（x）＝x2+2alnx．
（1）若函数f（x）的图象在（2，f（2））处的切线斜率为1，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，求函数f（x）的单调区间；
（3）若函数g（x）＝+f（x）在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）＝x2+2alnx的导数为f′（x）＝2x+，
由已知f'（2）＝1，即4+a＝1，解得a＝﹣3．
（2）f（x）＝x2﹣6lnx的导数为f′（x）＝2x﹣，x＞0．
由f′（x）＞0，可得x＞，f′（x）＜0，可得0＜x＜，
即有f（x）的减区间为（0，），增区间为（，+∞）；
（3）由g（x）＝+x2+2alnx，得g′（x）＝﹣+2x+，
由已知函数g（x）为[1，2]上的单调减函数，
则g'（x）≤0在[1，2]上恒成立，
即﹣+2x+≤0在[1，2]上恒成立．
即a≤﹣x2在[1，2]上恒成立．
令h（x）＝﹣x2，在[1，2]上h′（x）＝﹣﹣2x＜0，
所以h（x）在[1，2]为减函数．h（x）min＝h（2）＝﹣，
所以a≤﹣．。