计数原理+课件-2024届高三数学二轮复习专题

考法聚焦 讲练突破
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排列与组合问题
解答排列、组合问题要从“分析”“分辨”“分类”
“分步”4个角度入手
(1)“分析”就是找出题目的条件、结论,Байду номын сангаас些是“元
素”,哪些是“位置”;
(2)“分辨”就是辨别是排列还是组合,对某些元素的位
置有无限制等;
(3)“分类”就是对于较复杂的应用题中的元素往往分
成互相排斥的几类,然后逐类解决;
)
B.36种
√
C.48种
D.60种
解析:(3)①若失重飞行安排在第一天,则前庭功能安排在第二
天,则后面三天安排其他三项测试有 =6 种安排方法,此情况
跟失重飞行安排在第五天则前庭功能安排在第四天安排方案种
数相同;
②若失重飞行安排在第二天,则前庭功能有 种选择,超重耐力
在第四、第五天有 种选择,剩下两种测试全排列有 种安排
共有 64
种(用数字作答).
解析:(1)当从 8 门课中选修 2 门,则不同的选课方案共有 =16 种.
(2)当从 8 门课中选修 3 门,
①若体育类选修课选修 1 门,则不同的选课方案共有 =24 种;
②若体育类选修课选修 2 门,则不同的选课方案共有 =24 种.
(1)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、
定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常
用方法.
(2)对于分组与分配问题应注意三点:①处理分配问题要
然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的 5 种读物里,选出
两种进行排列,共有 种,
根据分步乘法计数原理得共有 =120 种选法.故选 C.
3.[组合的应用与计数原理](2023·新课标Ⅰ卷)某学校开设了
4门体育类选修课和4门艺术类选修课,学生需从这8门课中选修
2门或3门课,并且每类选修课至少选修1门,则不同的选课方案
T6+1= x y ,令
r=5,得

8
3 5
T5+1= x y ,所以(1-)(x+y)
的展开式中 x y 的系数为 - =-28.
2
6
r
5.[二项式系数与项的系数](2021·浙江卷)已知多项
5
式(x-1)3+(x+1)4=x4+a1x3+a2x2+a3x+a4,则a1=
,
a2+a3+a4=
10
.
解析:(x-1)3 展开式的通项 Tr+1= x3-r·(-1)r,(x+1)4 展开式
的通项 Tk+1 = x 4-k ,则 a1 = + =1+4=5;a 2 = (-1)1 + =3;
2
3



a3= (-1) + =7;a4= (-1) + =0.所以 a2+a3+a4=3+7+0=10.



·
种.故选 D.
(2)(2023·全国甲卷)有五名志愿者参加社区服务,共服务星期六、
星期天两天,每天从中任选两人参加服务,则恰有1人连续参加两天
服务的选择种数为(
A.120
B.60
√
)
C.40
D.30
解析:(2)不妨记五名志愿者为 a,b,c,d,e,假设 a 连续参加了两
航天员选拔是载人航天事业发展中的重要一环.已知航天员选拔
时要接受特殊环境的耐受性测试,主要包括前庭功能、超重耐力、
失重飞行、飞行跳伞、着陆冲击五项.若这五项测试每天进行一
项,连续5天完成.且前庭功能和失重飞行需安排在相邻两天测试,
超重耐力和失重飞行不能安排在相邻两天测试,则选拔测试的安
排方案有(
A.24种
综上所述,不同的选课方案共有 16+24+24=64(种).

8
4.[二项式定理特定项](2022·新高考Ⅰ卷)(1-)(x+y) 的展
2
6
开式中 x y 的系数为 -28
(用数字作答).
解析:(x+y) 展开式的通项 Tr+1= x y ,r=0,1,…,7,8.令
8
r=6,得
8-r
2 6
考情预览 明确考向
1.[排列的应用](2022·新高考Ⅱ卷)甲、乙、丙、丁、
戊5名同学站成一排参加文艺汇演,若甲不站在两端,丙
和丁相邻,则不同的排列方式共有(
A.12种
B.24种
√
C.36种
)
D.48种
解析:先将丙和丁捆在一起有 种排列方式,然后将其与乙、
戊排列,有 种排列方式,最后将甲插入中间两空,有 种排
样结果共有(
)


A.
·
种


B.
·
种


C.
·
种


D.
·
√ 种

解析:(1)根据分层随机抽样的定义知从初中部共抽取 60×=

40(人),高中部共抽取 60×=20(人),
根据组合数公式和分步乘法计数原理可知不同的抽样结果共有
列方式,所以不同的排列方式共有 =24 种.故选 B.
2.[排列与组合综合应用](2023·全国乙卷)甲、乙两位
同学从6种课外读物中各自选读2种,则这两人选读的课外
读物中恰有1种相同的选法共有(
A.30种
B.60种
C.120种
√
)
D.240种
解析:首先确定相同的读物,共有 种情况,
方法,则有 =8 种安排方法,此情况与失重飞行安排在第
四天安排方案种数相同;
③若失重飞行安排在第三天,则前庭功能有 种选择,超重耐力
在第一、第五天有 种选择,剩下两种测试全排列有 种安排
方法,则有 =8 种安排方法.
故选拔测试的安排方案有 6×2+8×2+8=36(种).故选 B.
天社区服务,再从剩余的 4 人抽取 2 人各参加星期六与星期天的
社区服务,共有 =12(种)方法,同理,b,c,d,e 连续参加了两天
社区服务,也各有 12 种方法,所以恰有 1 人连续参加了两天社区
服务的选择种数有 5×12=60(种).故选 B.
(3)(2023·山东潍坊统考一模)我国载人航天事业突飞猛进,其中
(4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤,而
每一步都是简单的排列、组合问题,然后逐步解决.
典例1
(1)(2023·新课标Ⅱ卷)某学校为了解学生参加
体育运动的情况,用比例分配的分层随机抽样方法作抽样
调查,拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生,已知该
校初中部和高中部分别有400名和200名学生,则不同的抽