第6章三维变换和投影1

⎪ 关于 xoy 面反射变换的坐标表示为： ⎨ y ' = y
⎧ x' = x ⎪ ⎩z' = − z 0 0 1 0 0 −1 0 0 0⎤ 0⎥ ⎥。 0⎥ ⎥ 1⎦
⎡1 ⎢0 因此，关于 xoy 面的三维反射变换矩阵为： T = ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0
5. 关于 yoz 面的反射
（6-11）
⎪ 关于 yoz 面反射变换的坐标表示为： ⎨ y ' = y ⎪ ⎩ z' = z
5
⎡1 0 ⎢0 − 1 因此，关于 zox 面的三维反射变换矩阵为： T = ⎢ ⎢0 0 ⎢ ⎣0 0
6.2.5 错切变换
⎧ x' = x + dy + gz ⎪ 三维错切变换的坐标表示为： ⎨ y ' = bx + y + hz ⎪ ⎩ z ' = cx + fy + z
0 0 1 0
0⎤ 0⎥ ⎥。 0⎥ ⎥ 1⎦
⎧ x ' = x + Tx ⎪ 平移变换的坐标表示为： ⎨ y ' = y + T y ⎪ z' = z + T z ⎩ ⎡1 ⎢0 因此，三维平移变换矩阵为： T = ⎢ ⎢0 ⎢ ⎢Tx ⎣
Tx，Ty，Tz 是平移参数。
0 1 0 Ty
0 0 1 Tz
0⎤ 0⎥ ⎥ 0⎥ ⎥ 1⎦ ⎥
（6-3）
0⎤ 0⎥ ⎥ 0⎥ ⎥ 1⎦
（6-20）
(4) 将 P(x，y，z）点绕 y 轴旋转θ角，其变换矩阵为：
⎡cos θ ⎢ 0 T4 = ⎢ ⎢ sin θ ⎢ ⎣ 0
0 − sin θ 1 0 0 cos θ 0 0
0⎤ 0⎥ ⎥ 0⎥ ⎥ 1⎦
（6-21）
（5）将 P1P2 绕 x 轴旋转-θx 角，其变换矩阵为：
0 ⎡1 ⎢0 cos θ x T5 = ⎢ ⎢0 sin θ x ⎢ 0 ⎣0
0 − sin θ x cos θ x 0
0⎤ 0⎥ ⎥ 0⎥ ⎥ 1⎦
（6-22）
（6）将 P1P2 绕 y 轴旋转-θy 角，其变换矩阵为：
⎡ cos θ y ⎢ 0 T6 = ⎢ ⎢− sin θ y ⎢ ⎣ 0
0 sin θ y 1 0 0 cos θ y 0 0
0 − sin θ y 1 0 0 cos θ y 0 0
0⎤ 0⎥ ⎥ 0⎥ ⎥ 1⎦
（6-19）
(3) 将 P1P2 轴绕 x 轴旋转 θx 角，与 y 轴重合，其变换矩阵为：
0 ⎡1 ⎢0 cos θ x T3 = ⎢ ⎢0 − sin θ x ⎢ 0 ⎣0
0 sin θ x cos θ x 0
⎡1 ⎢0 同理可得，沿 y 方向错切变换矩阵为： T = ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0
b 1 h 0
0 0 1 0
0⎤ 0⎥ ⎥ 0⎥ ⎥ 1⎦
（6-16）
当 b＝0 时，错切平面离开 z 轴，沿 y 方向移动 hz 距离；当 h＝0 时，错切平面离开 x 轴，沿 y 方向移动 bx 距离。 3. 沿 z 方向错切 此时，d＝0，g＝0，b＝0，h＝0。
0⎤ 0⎥ ⎥ 0⎥ ⎥ 1⎦
6.2.2 比例变换
⎧ x' = x ⋅ S x ⎪ 比例变换的坐标表示为： ⎨ y ' = y ⋅ S y ⎪z' = z ⋅ S z ⎩ ⎡S x ⎢0 因此，三维比例变换矩阵为： T = ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0
Sx，Sy，Sz 是比例系数。
0 Sy 0 0
0 0 Sz 0
0⎤ 0⎥ ⎥ 0⎥ ⎥ 1⎦
⎡1 ⎢0 同理可得，沿 z 方向错切变换矩阵为： T = ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0
0 1 0 0
c f 1 0
0⎤ 0⎥ ⎥ 0⎥ ⎥ 1⎦
（6-17）
当 c＝0 时，错切平面离开 y 轴，沿 z 方向移动 fy 距离；当 f＝0 时，错切平面离开 x
6
轴，沿 z 方向移动 cx 距离。
6.3 三维复合变换
β是旋转角。 2. 绕 y 轴旋转
0 sin β cos β 0
0⎤ 0⎥ ⎥ 0⎥ ⎥ 1⎦
（6-5）
⎧ x' = z sin β + x cos β ⎪ 同理可得，绕 y 轴旋转变换的坐标表示为： ⎨ y ' = y ⎪ ⎩ z ' = z cos β − x sin β
⎡cos β ⎢ 0 因此，绕 y 轴的三维旋转变换矩阵为： T = ⎢ ⎢ sin β ⎢ ⎣ 0
矩阵。 P2
P γ P1 α β
图 6-1 绕空间直线段旋转
变换方法为，将 P1(x1，y1，z1)平移到坐标原点，并使 P1P2 分别绕 y 轴、x 轴旋转适当 角度与 y 轴重合，再绕 y 轴逆时针旋转 θ 角，最后再进行上述变换的逆变换，使 P1P2 回到 原来位置。 (1) 将 P1(x1，y1，z1)平移到坐标原点
（6-4）
6.2.3 旋转变换
转角的正向满足右手定则：大拇指指向旋转轴正向，四指的转向为转角正向。 1. 绕 x 轴旋转
⎪ 绕 x 轴旋转变换的坐标表示为： ⎨ y' = ycosβ − zsinβ ⎪ ⎩z' = ysinβ + zcosβ
⎧
x' = x
3
0 ⎡1 ⎢0 cos β 因此，绕 x 轴的三维旋转变换矩阵为： T = ⎢ ⎢0 − sin β ⎢ 0 ⎣0
⎧ x' = − x
⎡− 1 ⎢0 因此，关于 yoz 面的三维反射变换矩阵为： T = ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0
6. 关于 zox 面的反射 关于 zox 面反射变换的坐标表示为： ⎨ y ' = − y
0 1 0 0
0 0 1 0
0⎤ 0⎥ ⎥。 0⎥ ⎥ 1⎦
（6-12）
⎧ x' = x ⎪ ⎪ ⎩z' = z
b e h m
c f i n
p⎤ q⎥ ⎥ r⎥ ⎥ s⎦
（6-2）
6.2 三维基本几何变换矩阵
三 维 基 本 几 何 变 换 是 指 将 P ( x, y , z ) 点 从 一 个 坐 标 位 置 变 换 到 另 一 个 坐 标 位 置
P ' ( x ′, y ′, z ' ) 的过程。
6.2.1 平移变换
⎡a ⎢d T =⎢ ⎢g ⎢ ⎣l
b e h m
c f i n
p⎤ q⎥ ⎥ 。则三维几何变换有 P' = P ⋅ T ，可以写成： r⎥ ⎥ s⎦
2
⎡ x1' y1' z1' 1 ⎤ ⎡ x1 y1 z1 1 ⎤ ⎡ a ⎢ ' ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ' ' ⎢ x2 y 2 z 2 1 ⎥ = ⎢ x2 y 2 z 2 1 ⎥ ⋅ ⎢d ⎢L L L L⎥ ⎢L L L L⎥ ⎢ g ⎢ ' ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ' ' ⎢ ⎣ xn y n z n 1 ⎥ ⎦ ⎣ xn y n z n 1 ⎦ ⎣ l
6.1.2 三维几何变换
三维几何变换的基本方法是把变换矩阵作为一个算子，作用到变换前的图形顶点集合 的规范化齐次坐标矩阵上，得到变换后新的图形顶点集合的规范化齐次坐标矩阵。
⎡ x1 y1 z1 1 ⎤ ⎢x y2 z2 1 ⎥ 2 ⎢ ⎥ ，变换后 设变换前的图形顶点集合的规范化齐次坐标矩阵为：P = ⎢L L L L⎥ ⎢ ⎥ ⎣ xn yn z n 1 ⎦ ⎡ x1' y1' z1' 1 ⎤ ⎢ ' ⎥ ' ' 1⎥ x2 y 2 z2 ' ⎢ ，变换矩阵为： 的图形顶点集合的规范化齐次坐标矩阵为： P = ⎢L L L L⎥ ⎢ ' ⎥ ' ' ⎢ ⎣ xn y n z n 1 ⎥ ⎦
课程类型 重 难 点 点
理论
学时
2
主视图、俯视图和侧视图的投影变换矩阵 投影变换矩阵 理论与实践相结合的引导、启发式教学方法 多媒体与其它方式结合
教学方法 教学手段
教学进程（内容安排、时间分配、作业等） 1.三维几何变换(10min) 2.三维基本几何变换矩阵(平移、比列、旋转、反射、错切变换)(40min) 3. 三维复合变换(15min) 4. 三视图投影变换矩阵(30min) 5.小结、布置作业 (5min)
（6-1）
c⎤ f⎥ ⎥ 为 3×3 阶子矩阵，对图形进行比例、旋转、反射和错切变换。 i⎥ ⎦
m n]，为 1×3 阶子矩阵，对图形进行平移变换。
⎡ p⎤ ⎥ T3 = ⎢ ⎢ q ⎥ ，为 3×1 阶子矩阵，对图形进行投影变换。 ⎢ ⎦ ⎣r ⎥ T4 = [s ]，为 1×1 阶子矩阵，对图形进行整体比例变换。
0 0 1 0 0 −1 0 0
0⎤ 0⎥ ⎥。 0⎥ ⎥ 1⎦
（6-9）
⎧ x' = − x ⎪ ⎪ ⎩z' = z
⎡− 1 0 ⎢ 0 −1 因此，关于 z 轴的三维反射变换矩阵为： T = ⎢ ⎢0 0 ⎢ ⎣0 0
4. 关于 xoy 面的反射
0 0 1 0
0⎤ 0⎥ ⎥。 0⎥ ⎥ 1⎦
（6-10）
三维复合变换是指对图形作一次以上的基本几何变换， 总变换矩阵是每一步变换矩阵相 乘的结果。 例 已知空间线段的坐标是 P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，它与三个坐标轴的方向余弦
⎧n1 = cos α ⎪ 分别为： ⎨n2 = cos β ，求空间一点 P(x，y，z)绕 P1P2 逆时针旋转θ角的各个步骤的变换 ⎪n = cos γ ⎩ 3
2. 关于 y 轴的反射
0⎤ 0⎥ ⎥。 0⎥ ⎥ 1⎦
（6-8）
⎧ x' = − x ⎪ 关于 y 轴反射变换的坐标表示为： ⎨ y ' = y ⎪ ⎩ z' = − z