电路原理课件 二阶电路的冲激响应讲解

冲激响应电流为
i(t) ?
C duC (t) ? dt
s1
I0 ? s2
( s1e s1t
?
s2e s2t )ε(t )
s1 ? ? α ?
uc(t) ? 2C
I0
( e s1t ? e s2t ) ε ( t )
α2
?
ω
2 0
s2 ? ? α ?
α 2 ? ω02 α 2 ? ω02
i (t ) ? C du C ? dt 2
解：将R、L、C的值代入计算出固有频率
R s1，2 ? ? 2L ?
则
??
R
2
?? ?
1
? ?3?
? 2L ? LC
32 ? 52 ? ? 3 ? j4
uC(t) ? e?3t[ K1 cos(4t) ? K2 sin(4t)]
(t ? 0? )
uC (t )
?
e? 3t [
K1 cos4t
?
K2 sin(4t) ]
初始条件为
uC (0? ) ? uC (0? ) ? 0
uC?(0? ) ?
i(0? ) ? C
I0 C
A1 ? 0
? ?
? αA1 ?
A2
?
I0 ? C ??
A1 ? 0
A2 ?
I0 C
uC (t ) ?
I0t e?? t?(t)
C
i(t) ?
C
du dt
?
(1 ?
?
t)I0e?? t?(t)
非振荡放电（临界阻尼放电）
R s1,2 ? ? 2L ?
?
R
2
?
?? 2L ??
?
1 LC
令
def R α?
2L
def
ω0 ?
1 LC
s1 ? ? α ? s2 ? ? α ?
α 2 ? ω02 ?? ?
α 2 ? ω02 ??
参数不同时，S1，S2为：
1.R ? 0,? ? ? 0 (R ? 2
L C
),
s1、s2为不等的负实根
临界阻尼状态
（3）当 G ? 2
C L
时， s1、s2为共轭的复数根
欠阻尼状态
? 5e?3t cos(4t ? 53.1 )V ( t ? 0? )
iL (t ) ?
C duc dt
?
0.04e ? 3 t [7cos(
4t ) ? 24sin( 4t )]
? e?3t cos(4t ? 73.74 )A ( t ? 0? )
二、RLC 并联电路的零输入响应
uc (0＋) = uc (0?) = 0
3. 二阶电路冲激响应形式的判据。（见下表）
特征根
参数关系
两个不相等的负 实根
L R?2
C
两个相等的负实 根
R?2 L C
一对共轭复根 一对共轭虚根
L R? 2
C
R=0, L、C不等于 零
阻尼状态 过阻尼 临界阻尼 欠阻尼 无阻尼
振荡情况 不振荡，衰减到零 不振荡，衰减到零 衰减振荡直到零 等幅振荡不衰减
C
duC dt
?
I 0 cos(? d t )? (t )
L
等幅振荡(无阻尼情形)
i(t)
+ C u(t)
－
u、i随时间变化的曲线
I II III
? s1和 s2为相等的负实根
? =? 0
? ???即
R 2L
?
1 ，或R ? 2 LC
L? C ???
此时，微分方程的通解为 uC (t ) ? ( A1 ? A2t )e? αt
(t ? 0? )
带入初值：uC(0+)= uC(0-)= 3V iL(0+)= iL(0-)= 0.28A
uC (0? ) ? K1
duC (t) dt
t ? 0?
?
?3K1 ? 4K2
?
iL (0? ) C
?
7
K1=3 K2=4
最后得到电容电压和电感电流的零输入响应为
uc (t ) ? e?3t[3cos( 4t) ? 4sin( 4t)]
d
2uC ( dt 2
t
)
+
RC
duC ( dt
t
)
+
uC
(
t
)
=
0
解：特征方程
LC s2+RC s+1=0 特征根(即电路的自然频率)为
? RC ? (RC )2 ? 4LC
s1 ?
2LC
?? R ? 2L
?
R
2
?
?? 2L ??
?
1 LC
R s2 ? ? 2L ?
?
R
2
?
?? 2L ??
?
1 LC
?
I0? 0 ?d
e?? t cos(? dt ? ? )?(t)
α称为衰减常数，或阻尼常数
角频率? d称为阻尼振荡角频率
阻尼振荡角频率不仅决定于电感 L和电容C，也和电阻 R 有关。
1
在R = 0的极限情况下， ? = 0， ? d ? ? 0 ? LC
θ = 0，在R = 0情况下的响应 uC(t)、i (t) 均变为等幅振 荡，或称为无阻尼振荡。其函数表达式为
4
iL(0+)= iL(0-)= 1A K1=6 K2=-4
最后得到电容电压和电感电流的零输入响应为
uC(t) ? (6e?2t ? 4e?4t )V
(t ? 0? )
iL(t) ?
iC (t) ?
C duC dt
?
(? 3e?2t ?
4e?4t )A
(t ? 0? )
例2 如图所示电路，已知R=6? ， L=1H，C=0.04F， uC(0-)=3V, iL(0-)=0.28A，求电容电压和电感 电流的零输入响应。
u、i随时间变化的与过曲阻线尼情况相同
I II III
1.t ? 0, te??t ? 0
2.t ? ? , te ?? t ? 0
3.t ? 0,te??t ? 0
总结
1. 二阶电路冲激响应的形式取决于 电路的参数 ， 与初始条件无关。
2. 二阶电路冲激响应有 过阻尼放电 、临界阻尼 放电、欠阻尼放电 、无阻尼放电 等情形。
2.?
?
?
0
? ???即
R 2L
?
1 或R ? 2 LC
L? C ???
此时，
s1 ? ? α ? ? (ω02 ? α 2 ) ? ? α ? jωd s2 ? ? α ? ? (ω02 ? α 2 ) ? ? α ? jωd
其中，
?d ?
?
2 0
?
?
2
因此，? d、? 0、? 三者之间的关系，
I0 α2 ?
ω
2 0
( s1e s1t
?
s2e s2t )ε(t )
?s1和s2为不相等的根
1.?
?
?
0
????即
R 2L
?
1 或R ? 2 LC
L? C ???
uc (t) ? 2C
I0
(e s1t ? e s2t )ε (t )
α2
?
ω
2 0
i( t ) ? C du C ? dt 2
I0 α2 ?
?
I0
C? d
e?? t
sin( ?
d t)? (t)
i(t ) ? C duC (t ) ? I 0
dt ? d
e?? t ??? ? sin ? d t ? ? d cos? d t ??
? I 0? 0 ?d
e?? t cos(? d t ? ? )? (t)
uC (t) ?
I0
C? d
e?? t
?当t < 0时，? (t) = 0，i(0?) = 0，uC (0?) = 0。 ?从0-到0+时间内 uL=δ(t)
?当t = 0+ 时，有
?1
i(0? ) ? L
0? δ(t) dt ?
0?
1 L
?
I0
电容电流为有限值， 电容电压不跳变 ，即
uC (0? ) ? uC (0? ) ? 0
?当t > 0时，?(t) = 0，单位冲激电压源相当于短路。
?
s2 s2 ? s1
?
2tm
uc(t) ? 2C
I0
(e s1t ? e s2t )ε ( t )
α2
?
ω
2 0
i( t ) ? C du C ? dt 2
I0 α2 ?
ω
2 0
( s1e s1t
?
s2e s2t )ε(t )
I
非振荡放电（过阻尼放电）
II
u、i随时间变化的曲线
III I II III
LC
d 2uC (t) dt 2
?
RC
duC (t ) dt
?
uC (t)
?
0
?GL? s1,2 ?
(GL)2 ? 4LC G
?? ?
2LC
2C
?G ?? 2C
2
? ??
?
1 LC
（1）当 G ? 2
C L
时，s1、s2为不相等的负实根
过阻尼状态
（2）当 G ? 2
C L
时，s1、s2为相ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的负实根
2 4
则 uC (t) ? K1e?2t ? K2e?4t
(t ? 0? )
uC (t ) ? K1e?2t ? K2e?4t
(t ? 0? )
带入初值： uC(0+)= uC(0-)= 2V
uC (0? ) ? K1 ? K 2 ? 2
duC (t) dt
t ? 0?
?
?2K1 ? 4K2
?
iL (0? ) ? C
iL (0? ) ?
iL (0? ) ?
Us Rs
?
I0
当t > 0 时，有
iL(t) ?
C
duc (t) dt
?
uc (t) R
?
0
1t
? iL (t ) ? iL (0? ) ? L 0? uc (t ')dt '
CL
d 2uC (t) dt 2
?
GL
duC (t) dt
?
uC (t)
?
0
RLC 串联电路
2.R ? 0,? ? ? 0 (R ? 2
L C
),
s1、 s2实重根
3.R ? 0,? ? ? 0 (R ? 2
L C
),
s1、 s2为一对共轭复根
4.R ? 0, s1、s2为一对共轭虚根
?当s1? s2时，微分方程的通解为
uC (t ) ? A1es1t ? A2es2t
初始条件为 uC (0? ) ? uC (0? ) ? 0
可用直角三角形表示。
? d ? ? 0 cos?
? ? ? 0 sin ?
? ? arccos ? d ?0
uC (t ) ?
I0 C ( s1 ?
(e s1t s2 )
?
e s2t )ε(t )
s1，2 ? ? α ? jωd
? ? uC (t ) ?
I0
j2C? d
e e ? ? t j? d t ? e ? ? t e ? j? d t
ω
2 0
( s1e s1t
?
s2e s2t )ε(t )
1.t ? 0,
es1t ? es2t ? 1
u、i随时间变化的曲线
2.t ? ? , e s1t ? e s2t ? 0
3.t ? 0, e s1t ? e s2t
4. duc dt
?0 2ln
tm s1
?
ln s1 s2
s2 ? s1
5.tm'
uC(t) ?
I0 (ej? dt ? e? j? dt ) ?
j2C? d
I0
C? d
sin(?
d t)?(t)
i(t) ?
C
duC dt
?
I0 cos(? dt)?(t)
uC (t) ?
I0
j 2C?
d
(e j? d t
?
e ? j? d t ) ?
I0
C? d
sin(?
d t )? (t)
i(t) ?
§4-5 二阶电路的冲激响应
本节主要讨论 RLC 串联电路冲激响应的求解方 法及其性质。
要求
1 能根据给定电路列写二阶动态电路的输入 — 输出方程；
2 能根据已知条件确定求解微分方程的初始条 件；
3 能根据电路参数定性的 判断 R、L、C 串联 （或并联）电路的冲激响应的 几种放电类型 。
一、RLC 串联电路的冲激响应
di(t ) Ri(t) ? L dt ? uC (t) ? 0 i(t) ? C duC (t)
dt
输入输出方程
LC
d 2uC (t ) dt 2
+ RC
duC (t) dt
+uC (t)
=0
初始条件
uC (0? ) ? uC (0? ) ? 0
uC?(0? ) ?
i(0? ) ? C
I0 C
LC
uC?(0? ) ?
i(0? ) ? C
I0 C
A1 ? A2 ? 0
? ?
s1 A1 ? s2 A2 ?
I0 ? C ??
A1
?
I0 C (s1 ?
s2 )
A2
?
? I0 C(s1 ? s2 )
电容上的冲激响应电压为
uC (t ) ?
I0 C ( s1 ?
(e s1t s2 )
?
e s2t )ε(t )
sin(? dt)?(t)
i(t) ? C duC dt
?
I0? 0 ?d
e?? t cos(? dt ? ? )?(t)
振荡放电（欠阻尼放电）
I
II
u、I随时间变化的曲线
I II III IV
III
uC (t)
?
I0
C? d
e?? t
sin(?
d t )? (t )
i(t) ? C duC dt
例1 如图所示电路，已知R=3? ， L=0.5H，C=0.25F， uC(0-)=2V, iL(0-)=1A，求电容电压和电感 电流的零输入响应。
解：将 R 、L 、C的值代入计算出固有频率
R s1，2 ? ? 2L ?
??
R
2
? ?
?
1
? ?3?
? 2L ? LC
32
?
8
?
?3
?
1
?
?? ???