2018年一轮(理)数学训练：第6章 第3节 课时分层训练34 简单线性规划含解析

课时分层训练(三十四) 简单线性规划

A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)

一、选择题

1．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( )

A ．(－24,7)

B ．(－7,24)

C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)

D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)

B [根据题意知(－9＋2－a )·(12＋12－a )<0， 即(a ＋7)(a －24)<0，解得－7<a <24.]

2．不等式组⎩⎨⎧

x ≥0，x ＋3y ≥4，

3x ＋y ≤4

所表示的平面区域的面积等于( )

A.32 B ．23 C.43

D ．34

C [平面区域如图中阴影部分所示． 解⎩⎨⎧

x ＋3y ＝4，3x ＋y ＝4得A (1,1)， 易得B (0,4)，C ⎝ ⎛

⎭

⎪⎫0，43，

|BC |＝4－43＝83，∴S △ABC ＝12×83×1＝4

3.]

3．(2016·北京高考)若x ，y 满足⎩⎨⎧

2x －y ≤0，

x ＋y ≤3，

x ≥0，

则2x ＋y 的最大值为( )

A ．0

B ．3

C ．4

D ．5

C [根据题意作出可行域如图阴影部分所示，平移直线y ＝－2x ，当直线平移到虚线处时，目标函数取得最大值，由⎩

⎨⎧

2x －y ＝0，

x ＋y ＝3，可得A (1,2)，此时2x ＋y

取最大值为2×1＋2＝4.]

4．(2017·广州综合测试(二))不等式组⎩⎨⎧

x －y ≤0，

x ＋y ≥－2，

x －2y ≥－2

的解集记为D ，若(a ，

b )∈D ，则z ＝2a －3b 的最大值是( )

A ．1

B ．4

C ．－1

D ．－4

A

[由题意得a ，b 满足约束条件⎩⎨⎧

a －

b ≤0，

a ＋

b ≥－2，

a －2

b ≥－2，

以a 为横轴，b 为纵轴建立平面直角坐标系，则不等式组表示的平面区域为以(－2,0)，(－1，－1)，(2,2)为顶点的三角形区域(包含边界)，

由图易得当目标函数z ＝2a －3b 经过平面区域内的点(－1，－1)时，z ＝2a －3b 取得最大值z max ＝2×(－1)－3×(－1)＝1，故选A.]

5．已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧

x －y ≥0，

x ＋y ≤2，

y ≥0，

若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a

＝( )

A ．3

B ．2

C ．－2

D ．－3

B [画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则最优解为x ＝1，y ＝1或x ＝2，y ＝0，经检验知x ＝2，y ＝0符合题意，∴2a ＋0＝4，此时a ＝2，故选B.]

二、填空题

6．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧

x ≥1，

x ＋y －4≤0，

x －3y ＋4≤0，

则目标函数z ＝3x －y 的最

大值为__________.

【导学号：57962291】

4 [根据约束条件作出可行域，如图中阴影部分所示，∵z ＝3x －y ，∴y ＝3x －z ，当该直线经过点A (2,2)时，z 取得最大值，即z max ＝3×2－2＝4.]

7．(2016·江苏高考)已知实数x ，y 满足

⎩⎨⎧

x －2y ＋4≥0，2x ＋y －2≥0，3x －y －3≤0，

则x 2＋y 2的取值范围是________．

⎣⎢⎡⎦⎥⎤

45，13 [根据已知的不等式组画出可行域，如图阴影部分所示，则(x ，y )为阴影区域内的动点．d ＝x 2＋y 2可以看做坐标原点O 与可行域内的点(x ，y )之间的距离．数形结合，知d 的最大值是OA 的长，d 的最小值是点O 到直线2x ＋y －2＝0的距离．由⎩⎨⎧

x －2y ＋4＝0，3x －y －3＝0

可得A (2,3)，

所以d max ＝22

＋32

＝13，d min ＝|－2|22＋12

＝25，所以d 2

的最小值为

45，最大值为13，所以x 2＋y 2的取值范围是⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

45，13.]

8．(2016·郑州第二次质量预测)已知实数x ，y

满足⎩⎨⎧

2x ＋y ≥0，

x －y ≥0，

0≤x ≤a ，

设b ＝x

－2y ，若b 的最小值为－2，则b 的最大值为__________.

【导学号：57962292】

10 [画出可行域，如图阴影部分所示．由b ＝x －2y ，得y ＝12x －b

2.易知在点

(a ，a )处b 取最小值，故a －2a ＝－2，可得a ＝2.在点(2，－4)处b 取最大值，于是b 的最大值为2＋8＝10.]

三、解答题

9．若直线x ＋my ＋m ＝0与以P (－1，－1)，Q (2,3)为端点的线段不相交，求m 的取值范围.

【导学号：57962293】

[解] 直线x ＋my ＋m ＝0将坐标平面划分成两块区域，线段PQ 与直线x ＋my ＋m ＝0不相交，5分

则点P ，Q 在同一区域内，于是⎩⎨⎧ －1－m ＋m >0，2＋3m ＋m >0，或⎩⎨⎧

－1－m ＋m <0，

2＋3m ＋m <0，

所以m 的取值范围是m <－1

2.

12分

10．若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧

x ＋y ≥1，

x －y ≥－1，

2x －y ≤2.

(1)求目标函数z ＝12x －y ＋1

2的最值；

(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值范围． [解] (1)作出可行域如图，可求得A (3,4)，B (0,1)，C (1,0).

2分

平移初始直线12x －y ＋1

2＝0， 过A (3,4)取最小值－2，