迎风型WENO格式-Read

迎风型WENO 格式

考虑一维标量双曲守恒型方程()0f u u t x

∂∂+=∂∂s 。它的半离散守恒型格式如下 ()()()

112

2

1ˆˆj

j j j

x x f u u L u f f t x x +-=∂∂⎛⎫==-≈-- ⎪∂∂∆⎝⎭ (1)

其中L 是空间离散算子。

下面我们将通量()f u 进行矢通量分裂为：

()()()f u f u f u +-=+

(2)

在此的分裂规则是：

()()

0,0df u df u du du

+-≥<，可以采用多种分裂形式，例如采用简单的Lax-Friedrichs 分裂格式：

()()()()()1

,max 2

u f u f u u f u αα±'=

±= 则有

1111112

2

2

2

2

2

ˆˆˆˆˆˆ,j j j j j j f f f f f f +-+-+++

---

=+=+ (3)

对于时间项，我们可以使用Runge-Kutta 法来提高精度。三阶TVD 型Runge-Kutta 法（简写为RK-3）为：

()()()()()()

()()

()

1211221311

444122

333

n n n n n u u tL u u u u tL u u u u tL u +=+∆=++∆=++∆

四阶非TVD 型Runge-Kutta 法（简写为RK-4）为：

()()()()

()()()()()()()()()()121

3

2

1

2

3

3

1

1

2

12

11

236

n n n n

n n

u u tL u u u tL u u u tL u u u u u u tL u +=+∆=+∆=+∆=-++++∆

下面我们假定()0f u '≥，讨论12

ˆj f ++

的计算，并且略去上标“+”；当()0f u '<

时，12

ˆj f -+与12

ˆj f ++关于12

j x +

对称。 简要介绍一下迎风型WENO 格式的重构，详细过程请参考Jiang 和Shu 的论文。其基本思想通过线性组合低阶通量得到高阶通量，这些系数叫做线性权重。WENO 格式是基于ENO 格式构造出来的，有关ENO 格式的构造这里就不再赘述，可以参考Shu 和Osher 的文章。根据r 阶精度的ENO 格式的选取模板（即

插值区域）思想，考虑迎风效应，选取初始模板为{}1

0j S x =，经过r -1次扩充，

可能的模板有r 个：

{}()12,,,,

0,1,1r k j k r j k r j k S x x x k r +-++-++==-

r 阶ENO 格式是从上述模板中选取一个最光滑的模板r k S ，在其上构造插值

多项式()r k q x 来逼近f 在12

j x x +=附近的数值通量，其数学表达式为：

()()

()

()2111

2

2

2

1

2

221

221ˆ,

,r l r k r

r r l

k

j k r j k k

k

l j j j l

l j P x f q f

f q x P x a x x ⎡⎤⎣⎦

+-+++

++=+⎛⎫

∂===+∆ ⎪∂⎝⎭∑ (4) 其中()r k P x 是一个插值多项式，它满足下面的关系式：

()()(){}

12

1,,r r k j P x f x O x x x x x x ++=+∆∀∈-<∆

(5)

a 2l 为已知常数，可以从Shu 和Osher 的文章查到，例如：2411

,245760

a a =-

=

。 现以三阶的ENO 格式为例说明之。此时被选模板有三个：

{}{}{}333

021111212,,,,,,j j j j j j j j j S x x x S x x x S x x x ---+++===

它们对应的数值通量分别为：()()()3

33021111212,,,,,,,,j j j j j j j j j q f f f q f f f q f f f ---+++。

首先我们来确定()()()1

2

330210,,j j j j q f f f q x --+=，根据式(4)可以得到

()()()2303

32

22

P x q x P x a x x ⎛⎫

∂=+∆ ⎪∂⎝⎭

其中()3

0P x 是在30S 上构造的二次插值多项式，用Newton 插值方式表示如下：

()()()2

212

301112

222j j j j j j j j f f f f f P x f x x x x x

x --------+=+

-+

-∆∆

于是我们可以得到