旋转培优讲座
七年级数学培优提高讲义：相交线与平行线(一) (1)
七年级数学竞赛讲座：相交线与平行线一、知识要点：1.平面上两条不重合的直线，位置关系只有两种：相交和平行。
2.两条不同的直线，若它们只有一个公共点，就说它们相交。
即，两条直线相交有且只有一个交点。
3.垂直是相交的特殊情况。
有关两直线垂直，有两个重要的结论：（1）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（2）直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短。
4．两条直线被第三条直线所截，构成八个角，在那些没有公共顶点的角中，⑴如果两个角分别在两条直线的同一方，并且都在第三条直线的同侧，具有这种关系的一对角叫做___________ ；⑵如果两个角都在两直线之间，并且分别在第三条直线的两侧，具有这种关系的一对角叫做____________ ；⑶如果两个角都在两直线之间，但它们在第三条直线的同一旁，具有这种关系的一对角叫做_______________.5．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线______.推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么_____________________.6．平行线的判定：⑴两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简单说成：_______________________.⑵两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简单说成：___________________________.⑶两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简单说成：_______________________. 7．在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线_______ .8．平行线的性质：⑴两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.⑵两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等.简单说成：__________.⑶两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补.简单说成：__________________。
2023中考数学培优专题讲座
2023中考数学培优专题讲座摘要本文将为大家介绍2023年中考中数学培优的相关内容。
我们将从数学培优的定义和意义开始，逐步介绍培优的方法和技巧。
希望通过本文的阅读，能够帮助学生们更好地备战2023年中考数学科目。
一、数学培优的定义和意义数学培优指的是针对某一学科中具有较强数学能力的学生，通过一系列培训和教育活动，进一步提升他们的数学学科能力。
数学培优的目的是发现和培养潜在的数学人才，为他们提供更高层次的数学学习机会。
数学培优的意义在于：1.培养数学兴趣：通过培优活动，学生们可以接触到更多有趣的数学问题和挑战，激发他们对数学的兴趣。
2.提高数学能力：培优活动将主要关注于针对学生数学能力的提升，通过学习更高层次的数学知识和解题方法，帮助学生们更好地掌握数学技巧。
3.培养解决问题的能力：数学培优不只着眼于纯粹的数学知识，还注重培养学生解决实际问题的能力，提高他们的思维逻辑和分析能力。
二、数学培优的方法和技巧数学培优的方法和技巧包括以下几个方面：1. 多元化学习资源为了提高数学学科能力，学生们可以利用各种学习资源，包括课本、习题集、参考书籍、网络资源等。
通过多样化的学习资源，学生们可以更全面地掌握数学知识。
2. 培养解题思维解题思维是数学学习中至关重要的一环。
学生们可以通过练习不同类型的数学题目，培养解决问题的思维模式。
同时，学生们还可以参加解题比赛等活动，锻炼解题能力。
3. 积极参与数学讲座和讨论数学讲座和讨论是学生们学习数学的重要方式。
通过参加数学讲座，学生们可以了解最新的数学发展动态，同时与其他数学爱好者进行交流，拓宽数学知识视野。
4. 寻找数学学习小组学习小组是互帮互助的学习方式，可以加强学生们的学习氛围和动力。
通过组建数学学习小组，学生们可以共同讨论问题、解决难题，相互促进，提高数学学科能力。
5. 定期进行模拟测试和复习定期进行模拟测试和复习是对学生们学习效果的检测和总结。
通过模拟测试，学生们可以了解自己的数学水平，及时发现问题并加以改进。
数学培优竞赛新方法(九年级)-第3讲-充满活力的韦达定理
A.不大于 1
B.大于 1
C.小于 1
D.不小于 1
（2011 年《数学周报杯》全国初中数学竞赛题）
7.若 ab 1 ，且有 5a 2 2001a 9 0及9b2 2001b 5 0,则 a 的值为（ ） b
9
A．
5
5
B．
9
C． 2001 5
D ． 2001 9
（全国初中数学联赛题）
1
九年级数学培优竞赛辅导讲座
[充满活力的韦达定理] 学历训练
1．已知方程 x 2 px q 0 的两根均为正整数，且 p q 28 ，那么这个方程两根为
．
（“祖冲之杯”邀请赛）
2．已知整数 p,q 满足 p q 2010, 且关于 x 的一元二次方程 67x 2 px q 0 的两个根均为正整数，
值范围是( )
A． 0 m 1
B． m 3 4
（全国初中数学联赛题）
C． 3 m 1 D． 3 m 1
4
4
思路点拨 设方程的根分别为 1、 x1, x2 ，由三角形三边关系定理、韦达定理建立 m 的不等式组。
例 3.设 x1 、 x2 是方程 2x 2 4mx 2m 2 3m 2 0 的两个实数根，当 m 为何值时， x12 x2 2 有最小值?
九年级数学培优竞赛辅导讲座
第 3 讲 充满活力的韦达定理
知识纵横
一元二次方程的根与系数的关系，通常也称 为韦达定理，这是因为该定理是由 16 世纪法国最杰出 的数学家韦达发现的．
韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容，应用广泛，主要体现在： 运用韦达定理，求方程中参数的值； 运用韦达定理，求代数式的值； 利用韦达定理并结合根的判别式，讨论根的符号特征 ； 利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等． 韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路． 韦达定理，充满活力，它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩的数学问题，而解 这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法．
2025版《师说》高中全程复习构想地理(湘教版)高分培优讲座11
高分培优讲座⑪ 地租曲线与城市地域结构图的判读第一步：明确地租变化图形类型。
城市中地租变化的图像有坐标图、立体图、等值线图等，要在理解以上内容的基础上，运用正确的读图方法仔细分析，这往往成为题目解决的关键。
第二步：解读图表信息。
(1)坐标图的判读(2)立体图的判读(3)等值线图的判读第三步：根据不同地区地租高低，判断功能区布局。
商业区适宜布局在地租高、交通便利的地区；工业区适宜布局在地租低的城市郊外。
针对训练[海南卷]某中心城市，各方向发展比较均衡，城市中心附近人口和产业分布过于集中，交通拥堵，人居环境较差。
下图示意该城市某个方向的土地价格(P)变化。
据此完成1～2题。
1．为优化城市中心附近的功能布局，在城市更新改造过程中，甲地宜增建()A．公园B．工业园区C．住宅D．物流园区2．乙地附近比例最大的用地类型可能是()A．仓储用地B．公共绿地C．工业用地D．居住用地下图为某城市功能分区示意图。
读图，回答3～4题。
3．图中最有可能是住宅区的是()A．①B．②C．③D．④4．沿甲—乙方向，气温、地租变化趋势曲线最有可能的是()下图为某市中心城区地租等值线分布图，数值自中心向外围递减。
据此完成5～6题。
5．影响图中地租等值线凸出方向的因素最有可能是()A．距市中心远近B．交通通达度C．大气环境质量D．盛行风向6．相比较，在甲处最适合布局()A．商业区B．现代农业区C．工业区D．高级居住区温馨提示：请完成章末真题集训高分培优讲座⑪[针对训练]1～2.解析：第1题，甲地位于城市中心附近，地价较低，该处人居环境较差。
第2题，该城市各方向发展比较均衡，因此城市空间结构最可能为同心圆模式；图中乙地附近地价较高。
答案：1.A 2.D3～4.解析：第3题，住宅区在城市各功能区当中占地面积最大，分析图例可知①最可能为住宅区，正确答案为A。
第4题，根据各功能区布局特点分析图例可知①为住宅区、②为工业区、③为商业区、④为仓储区，因此甲—乙方向地租最高的点为③处，交通便利的地方地租较高；根据城市人为热量排放特点，工业区附近及交通流量大的住宅区及商业区附近气温较高，甲侧右山脉，气温低，再往右河流附近经济社会活动少，气温较低，对比分析C 项符合题意。
(完整版)初中数学培优竞赛讲座第30讲__创新命题
第三十讲 创新命题计算机技术与网络技术的迅猛发展，深刻改变了我们的学习方式、生活方式与思维方式．IT 技术、Cyber 空间、bemgdigital(数字化生存)等新概念层出不穷．与时俱进，科学的发展对数学的需求，不断提出了新问题，在解决新问题的过程中又产生了许多新方法．近年各地中考、各级竞赛出现了丰富的以考查创新意识、创造精神为目的的创新命题，归纳起来有以下类型：1．定义一种新运算； 2．定义一类新数；3．给定一定规则或要求，然后按上述规则要求解题； 4．注重跨学科命题．解创新命题时，需要在新的问题情境下，尽快适应新情况，充分运用已学过的数学知识方法去创造性地思考解决问题，对培养阅读理解能力、创新能力、提高学习兴趣有重要的促进作用．例题【例1】 一个非零自然数若能表示为两个非零自然数的平方差，则称这个自然数为“智慧数”，比如16＝52－32，故16是一个“智慧数”，在自然数列中，从1开始起，第1990个“智慧数”是 ． (北京市竞赛题) 思路点拨 自然数可分为奇数与偶数，从分析奇数与偶数中“智慧数”的特征入手． 注： 定义新数，即给出一种特殊的概念或满足某种特殊的关系，解这类问题的关键是准确全面理解“新数”的意义，通过推理解决问题．【例2】 在甲组图形的4个图中，每个图是由4种简单图形A 、B 、C 、D(不同的线段或圆)中的某两个图形组成的，例如由A 、B 组成的图形记为B A ⋅，在乙组图形的(a)、(b)、(c)、(d)4个图中，表示“D A ⋅”和“C A ⋅”的是( ) ．A ．(a)，(b)B ．(b)，(c)C ． (c)，(d)D ．(b)，(d) (江苏省竞赛题)思路点拨 从甲组图形中，两两比较A 、B 、C 、D 分别代表的哪种线段，哪种圆．【例3】 有依次排列的3个数：3，9，8．对任相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：3，6，9，－1，8，这称为第一次操作；做第二次同样的操作后也可产生一个新数串：3，3，6，3，9，－10，－1，9，8，继续依次操作下去，问：从数串3，9，8开始操作第100次以后所产生的那个新数串的所有数之和是多少?( “希望杯”邀请赛试题)思路点拨 用字母表示数，通过对一般性的考查，探求新增数之和的规律，以此作为解题的突破口． 【例4】 设[x]表示不超过x 的最大整数(如[3.7]＝3，[－3.7]＝－4)解下列了程： (1)[－l. 77x]＝[－1.77]x ；(x 为非零自然数) (四川省选拔赛试题) (2)[3x+1]=2x －21(全国初中数学联赛题) 思路点拨 解与[x]相关的问题，关键是去掉符号“[ ]”，需灵活运用[x]的性质，并善于把估算、等式与不等式知识综合起来．注：解决实际问题及计算机的运算时，常常需要对一些数据进行取整运算，即用不超过它的最大整数取而代之．[x]有以下基本性质：(1)x=[x]+r ，0≤r<l ； (2) [x]≤x ＜[x]+1； (3)x －1＜[x]≤x ； (4)[n+x]＝n+[x]； (5)[x+y]≥[x]+[y]其中当n 为整数，当且仅当x 为整数时等号成立．【例5】 如图，沿着圆周放着一些数，如果有依次相连的4个数a ，b ，c ，d 满足不等式(a 一d)(b 一c)>0，那么就可以交换b ，c 的位置，这称为一次操作．(1)若圆周上依次放着数1，2，3，4，5，6，问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个数a ，b ，c ，d 都有(a 一d)(b 一c)≤0?请说明理由．(2)若圆周上从小到大按顺时针方向依次放着2003个正整数1，2…，2003，问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个数a ，b ，c ，d 都有(a 一d)(b 一c)≤0 ?请说明理由．(全国初中数学竞赛题)思路点拨 (1)从1～6中选取满足(a 一d)(b 一c)>0的四个数，按题设条件操作， 直至符合结论的要求；(2)略．注：解按规则要求操作类的问题或写出具体操作步骤，或指出按规则要求不能实现的理由．解题的关键是善于在变化中把握不变量，利用不变量解题，此外，还要能灵活运用整数的整除性、奇偶性、通过赋值数学化等知识与方法．【例6】 假设a#a+b 表示经过计算后a 的值变为a 的原值和b 的原值的和，又b#b.c 表示经过计算后b 的值变为b 的原值和c 的原值和乘飘假设计算开始时a=0，b=1，c=1，对a 、b 、c 同时进行以下计算：(1) a#a+b ；(2) b#b.c ；(3) c#a+b+c(即c 的值变为所得到的a 、b 的值与c 的原值的和)．连续进行上述运算共三次，试判断a 、b 、c 三个数值之和是几位数?思路点拨 对a 、b 运算次数1 2 3 a 1 2 5 b 1 3 24 c3837经过三次运算后，a+b+c=5+24+37=66，它是一个两位数．学力训练1．现定义两种运算： ，对于任意两个整数a ，b ， ＝a+b －1，=a b －1，那么 = ．2．对于任意有理数a ，b ，c ，d ，我们规定bc ad dc b a -=,如果81122<--x ，那么x 的取值范围是 ． 3．餐厅里有两种餐桌，方桌可坐4人，圆桌可坐9人，若就餐人数刚好坐满若干张方桌和圆桌，餐厅经理就称此数为“发财数”，在l ～100这100个数中，“发财数”有 个． (“五羊杯”竞赛题) 4．读一读：式子“1＋2＋3＋4＋5＋……＋100”表示从1开始的100个连续自然数的和.由于上述式子比较长，书写也不方便，为了简便起见，我们可将“1＋2＋3＋4＋5＋……＋100”表示为∑=1001n n ，这里“∑”是求和符号.例如：“1＋3＋5＋7＋9＋……＋99”（即从1开始的100以内的连续奇数的和）可表示为∑=-50112n n ；又如“13＋23＋33＋43＋53＋63＋73＋83＋93＋103”可表示为∑=1013n n.同学们，通过对以上材料的阅读，请解答下列问题：①2＋4＋6＋8＋10＋……＋100（即从2开始的100以内的连续偶数的和）用求和符号可表示为 ； ②计算：∑=-512)1(n n＝ （填写最后的计算结果）。
培优联盟骨干教师数学讲座-竞赛培优课件讲座(共82张PPT)
单墫:怎样搞数学竞赛 【很重要的高中竞赛学习策略】
在进度方面： 要在高一开学之前的那个暑假里把整个高中 的数学内容全部学完，并在高一上 学期应该完成像高三一样的两轮复习，基础太重要了，第一试占了120分，不可 小视。然后，就是竞赛内容了，不要以为看几本 竞赛书就可以了，因为那些书 上讲得较粗略；要多向老师学习并要不断地总结重要的思想方法，使自己能够 灵活运用。
几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点——
费马点，到三角形顶点距离的平方和最小的点——重心。
三角形内到三边距离之积最大的点——重心。
几何不等式 简单的等周问题。了解下述定理： 在周长一定的n边形的集合中，正n边形的面积最大 在周长一定的简单闭曲线的集合中，圆的面积最大 在面积一定的n边形的集合中，正n边形的周长最小 在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小 几何中的运动：反射、平移、旋转。
复数方法、向量方法。
2、代数
在一试大纲的基础上另外要求的内容：周期函数与周期，带绝对值的函数的图像。 三倍角公式，三角形的一些简单的恒等试，三角形不等式。 第二数学归纳法。 递归，一阶、二阶递归，特征方程法。
函数迭代，求n次迭代，简单的函数方程。 N个变元的平均不等式，柯西不等式，排序不等式及应用。
3、立体几何 多面角，多面角的性质；三面角、直三面角的基本性 质；正多面体， 欧拉定理；体积证法；截面，会作截面、表面展开图。 4、平面解析几何 直线的法线式，直线的极坐标方程，直线束及其应； 二元一次不等式表示的区域；三角形的面积公式；圆锥 曲线的切线和法线；圆的幂和根轴。 5、其他 抽屉原理；容斥原理；极端原理；集合的划分；覆盖。
数学培优竞赛新方法-第13讲 旋转变换
第13讲 旋转变换知识纵横在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一定的角度，这样的图形变换称为旋转，这个定点叫旋转中心，旋转的角度叫旋转角。
旋转变换不改变图形的形状和大小，通过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同的方向转动同样大小的角度，旋转变换前后的图形有下列性质： （1） 对应点到旋转中心的距离相等（2） 对应点与旋转中心的连线所成的角等于旋转角（3） 对应线段相等，对应线段的夹角等于旋转角，对应线段的垂直平分线都经过旋转中心。
例题求解【例1】如图，在ABC Rt ∆中，已知50,90=∠=∠B C ,点D 在边BC 上，BD=2CD,把ABC∆绕着点D 逆时针旋转m （0<m<180）度后，如果点B 恰好落在初始ABC Rt ∆的边上，那么m= 。
【例2】如图，P 是等边ABC ∆内部一点，CPA BPC APB ∠∠∠,,的大小之比是5:6:7，则PB.PA.PC 为边的三角形的三个角的大小（从小到大）之比是（ ）A 2：3：4B 3：4：C 4：5：6D 不确定【例3】点B,C,E 在同一直线上，点A,D 在直线CE 的同侧，AB=AC,EC=ED,CED BAC ∠=∠,直线AE,BD 交于点F ，（1）如图①，若=∠=∠AFB BAC 则,60_____________;如图②，若=∠=∠AFB BAC 则,90 __________________（2）如图③，若=∠=∠AFB BAC 则,α___________(用含α的式子表示)（3）将图③中的ABC ∆绕点C 旋转（点F 不与点A,B 重合），得图④或⑤，在图④中，α∠∠与AFB 的数量关系是_________;在图⑤中，α∠∠与AFB 的数量关系是__________请你任选其中一个结论证明。
【例4】如图，在ABC Rt ∆中，AB=AC=2，90=∠BAC ,将直角三角板EPF 的直角顶点P 放在线段BC 的中点上，以点P 为旋转中心，转动三角板并使三角板的两直角边PE,PF 分别与AC,AB 相交于点N,M,链接MN,AP,交于点D. (1)求证：PN=PM(2)设线段AM 的长为x ，PMN ∆的面积为y ，求x y 与的函数关系式。
吴正宪《移动和旋转》讲座实录
吴正宪《移动和旋转》讲座实录本次讲座以吴正宪教授的《移动和旋转》为主题，主要介绍___和旋转的数学原理以及其在现实生活中的应用。
简介吴正宪教授是一位数学领域的著名学者，他在___和旋转等数学问题上具有深厚的研究经验和卓越的学术成就。
他通过本次讲座，希望向大家分享他对___和旋转的研究成果，以及这些原理在实际应用中的意义和价值。
___和旋转的数学原理___和旋转是几何学中重要的基本操作，它们通过改变物体的位置和方向，影响着物体的形状和位置。
吴正宪教授深入研究了移动和旋转的数学原理，并对其进行了全面系统的解析。
具体来说，移动是指改变物体的位置，使其从一个位置平移至另一个位置。
而旋转是指改变物体的方向或角度，使其绕着某个点或轴心旋转。
在讲座中，吴正宪教授将从数学模型、变换矩阵等角度详细介绍___和旋转的数学原理，包括欧拉角、四元数等相关概念和算法。
___和旋转在现实生活中的应用___和旋转在现实生活中有着广泛的应用。
它们不仅影响着几何学和物理学等学科的发展，还在众多领域中发挥着重要作用。
在工程领域，移动和旋转的原理被应用于机械设计、航空航天、汽车工程等方面。
通过合理的移动和旋转操作，可以实现各种功能和效果，提高工程的效率和性能。
在计算机图形学领域，移动和旋转被广泛应用于三维模型的变换和渲染。
通过移动和旋转操作，可以实现物体的平移、旋转、缩放等效果，进而创建出逼真的视觉效果。
此外，在生物学、地理学、舞蹈等领域中，移动和旋转也有着重要的应用价值。
在研究和实践中，人们利用移动和旋转的原理，探索着自然界和人类活动的规律。
总结吴正宪教授的《移动和旋转》讲座深入浅出地介绍了___和旋转的数学原理及其在实际应用中的重要性。
通过本次讲座，我们对___和旋转有了更深入的了解，同时也深刻认识到数学在现实生活中的广泛应用。
该讲座为我们提供了一个了解、学习和探索移动和旋转的良好机会，相信对于数学和相关学科的研究和应用都将产生积极的影响。
中考复习专题讲座(旋转)
中考复习专题讲座：旋转知识点：1旋转，平移，翻折是全等的三种变换 2.旋转的性质: 旋转前后的两个图形全等3，旋转的三要素：旋转中心，旋转方向，旋转角（一般是特殊角，30°，45°，60°，90°） 【入门篇】例题1，如图，已知正方形ABCD 中，点 E 在边DC 上，DE = 2 ，EC = 1 ，把线段 AE 绕点A 旋转，使点E 落在直线BC 上的点F 处，则 F ，C 两点之间的距离为__________例题2.如图，直线434+-=x y 与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，把△AOB 绕点A 顺指针旋转90°后得到△AO ’B ，则点 B ’的坐标是_____________【基础篇】例题3、如图，P 是 正△ABC 内的一点，且PA = 6 ，PB = 8 ，PC = 10 , 若将 △PAC 绕点A 逆时针旋转后，得到△P ’AB ，则点P 与点P ’之间的距离为__________ , ∠APB =___________例题4、如图，P 是等边△ABC 内部一点，∠APB 、∠BPC 、∠CPA 的大小之比是5:6:7，则以PA 、PB 、PC 为边的三角形的三个角的大小之比（从小到大）是________ A. 2 : 3 : 4 B. 3 : 4 : 5 C. 4 : 5 : 6 D. 不能确定P'B【提高篇】 ______________1800250,905=∆︒<<∆=︒=∠︒=∠∆m ABC Rt B m m D ABC CD BD BC D B C ABC Rt 边上，那么的恰好落在初始）后，如果点（逆时针旋转绕着点把，上，在边，点中，已知、如图，在例题例题6.如图，将△ABC 绕A 点顺时针方向旋转α角度到△ADE 的位置，设BC 与DE 交于M 点，连接AM ，下列结论：① BC = DE ; ② ∠BAE = α ③ ∠DMB = α ④ MA 平分∠DMC,其中正确的结论只有_______________例题7、如图，将△ABC 绕点C （ 0 , - 1 ）旋转180°得到 △A ’B ’C ，设点 A ’ 的坐标为（b a ,）, 则点 A 的坐标为_____________例题8.已知Rt △ABC 中，AB = BC ，在Rt △ADE 中，连接EC ，取EC 中点M ，连接DM 和BM（1） 若点D 在边AC 上，点E 在边AB 上且与点B 不重合，如图，求证：BM=DM 且BM ⊥DMD（2）如图中的△ADE绕点A逆时针转小于45°的角，那么（1）中的结论是否仍然成立? 如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明【竞赛篇】例题9.如图，已知正方形ABCD内一动点 E 到A、B、C三点的距离之和的最小值为62 ，求此正方形的边长。
初中数学培优竞赛讲座第26讲__整数整除的概念和性质
第二十六讲整数整除的概念和性质对于整数和不为零的整数b，总存在整数m，n使得a＝bm+n(0≤n<b)，其中m称为商，n称为余数，特别地，n＝0时，即a＝bm，便称a被被b整除(也称a是b的倍数或的约数)，记为b|a．整除有以下基本性质：1．若a|b，a|c，则a|（b c）；2．若a|b，b|c，则a|c；3．若a| b c，且(a，c)=1，则a|b，特别地，若质数p|b c，则必有p|b或p|c；4．若b|a，c|a，且(b，c) =1，则b c|a．解整除有关问题常用到数的整除性常见特征：1．被2整除的数：个位数字是偶数；2．被5整除的数：个位数字是0或5；3．被4整除的数：末两位组成的数被4整除；被25整除的数，末两位组成的数被25整除；4．被8整除的数：末三位组成的数被8整除；被125整除的数，末三位组成的数被125整除；5．被3整除的数：数字和被3整除；6．被9整除的数：数字和被9整除；7．被11整除的数：奇数位数字和与偶数位数字和的差被11整除．【例1】一个自然数与13的和是5的倍数，与13的差是6的倍数，则满足条件的最小自然数是．思路点拨略(重庆市竞赛题)注：确定已知条件来确定自然数，是数学活动中常见的一类问题，解这类问题时往往用到下列知识方法：(1)运用整除性质；(2)确定首位数字；(3)利用末位数字；(4)代数化；(5)不等式估算；(6)分类讨论求解等．【例2】有三个正整数a、b、c其中a与b互质且b与c也互质，给出下面四个判断：①(a+c)2不能被b整除，②a2+c2不能被b整除：③(a+b)2不能被c整除；④a2+b2不能被c整除，其中，不正确的判断有( )．A．4个B．3个 C 2个D．1个思路点拨举例验证．(“希望杯”邀请赛试题)1287xy是72的倍数，求出所有的符合条件的7位数．(江苏省竞赛题)【例3】已知7位数61287xy能被8，9整除，运用整数能被8、9整除的性质求出x，y的值．思路点拨7位数6【例4】(1)若a、b、c、d是互不相等的整数，且整数x满足等式(x一a)(x一b)(x一c)(x一d)一9＝0，求证：4︳(a+b+c+d)．(2)已知两个三位数abc与def的和abc+def能被37整除，证明：六位数abcdef也能被37整除．思路点拨(1)x一a，x一b，x一c，x一d是互不相等的整数，且它们的乘积等于9，于是必须把9分解为4个互不相等的因数的积；(2)因已知条件的数是三位数，故应设法把六位数abcdef用三位数的形式表示，以沟通已知与求证结论的联系．注：运用整除的概念与性质，建立关于数字谜中字母的方程、方程组，是解数学谜问题的重要技巧．华罗庚曾说：“善于‘退’，足够地，‘退’，‘退’到最原始而不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窍．”从一般退到特殊，从多维退到低维，从空间退到平面，从抽象退到具体……只要不影响问题的求解，对于许多复杂的问题，以退求进是一种重要的解题思想．【例5】(1)一个自然数N被10除余9，被9除余8，被8除余7，被7除余6，被6除余5，被5除余4，被3除余2，被2除余1，则N的最小值是．(北京市竞赛题)(2)若1059、1417、2312分别被自然数x除时，所得的余数都是y，则x—y的值等于( )．A．15 B．1 C．164 D．174 (“五羊杯”竞赛题)(3)设N=个1990111，试问N 被7除余几?并证明你的结论． (安徽省竞赛题) 思路点拨 运用余数公式，余数性质，化不整除问题为整除问题．(1)N+1能分别被2，3，4，5，6，7，8，9，10整除，(2)建立关于x ，y 的方程组，通过解方程组求解，(3)从考察11，111，…111111被7除的余数人手．【例6】盒中原有7个球，一位魔术师从中任取几个球，把每一个小球都变成了7个小球，将其放回盒中，他又从盒中任取一些小球，把每一个小球又都变成了7个小球后放回盒中，如此进行，到某一时刻魔术师停止取球变魔术时，盒中球的总数可能是( )A ．1990个B ．1991个C 1992个D ．1993个思路点拨 无论魔术师如何变，盒中球的总数为6k+7个，其中k 为自然数，经验证，1993=331×6+7符合要求．故选D ．【例7】在100以内同时被2、3、5整除的正整数有多少个?思路点拨 由于2与3互质，3与5互质，5与2互质(这种特性我们也称为2、3、5两两互质)，所以同时被2、3、5整除的整数必然被2×3×5=30整除；另—方面，被30整除的正整数必然可同时被2、3、5整除，因此，在100以内同时被2、3、5整除的正整数就是在100以内被30整除的正整数，显然只有30、60、90三个．【例8】某商场向顾客发放9999张购物券，每张购物券上印有一个四位数的号码，从0001到9999号，如果号码的前两位数字之和等于后两位数字之和，则称这张购物券为“幸运券”．证明：这个商场所发放的购物券中，所有的幸运券的号码之和能被101整除．思路点拨 显然，号码为9999是幸运券，除这张外，如果某个号码n 是幸运券，那么号m=9999—n 也是幸运券，由于9是奇数，所以m ≠n ．由于m+n=9999相加时不出现进位，这就是说，除去号码9999这张幸运券外，其余所有幸运券可全部两两配对，而每一对两个号码之和均为9999，即所有幸运券号码之和是9999的整倍数，而101│9999，故知所有幸运券号码之和也能被101整除思考：“如果某个号码n 是幸运券，那么号m=9999—n 也是幸运券”，这是解决问题的关键，请你考虑这句话合理性． 若六位数9381ab 是99的倍数，求整数a 、b 的值．∵9381ab 能被9整除，∴8+1+a+b+9+3=21+a+b 能被9整除，得3+a+b=9k l (k 1为整数)． ① 又9381ab 能被11整除，∴8—1+a —b+9—3=13+a —b 能被11整除，得2+a —b=11k 2(k 2为整数)． ② ∵ 0≤a ，b ≤9 ∴ 0≤a+b ≤18，－9≤a －b ≤9．由①、②两式，得3≤<9k 1≤21，－7≤11k 2≤1l ，知k 1=1，或k 1=2；k 2=0，或，而3+a+b 与2+a —b 的奇偶性相异，而k 1=2，k 2=1不符合题意． 故把k 1=1，k 2=0代人①、②两式，解方程组可求得a=2，b=4．【例9】 写出都是合数的13个连续自然数．思路点拨 方法一：直接寻找从2开始，在自然数2，3，4，5，6，…中把质数全部划去，若划去的两个质数之间的自然数个数不小于13个，则从中取13个连续的自然数，就是符合要求的一组解，例如：自然数114，115，116，…，126就是符合题意的一组解．方法二：构造法我们知道，若一个自然数a 是2的倍数，则a+2也是2的倍数，若是3的倍数，则a+3也是3的倍数，…，若a 是14的倍数，则a+14也母14的倍数，所以只要取a 为2，3，…，14的倍数，则a+2，a+3，…a+14分别为2，3，…，14的倍数，从而它们是13个连续的自然．所以，取a=2×3×4×…×14，则a+2，a+3，…，a+14必为13个都是合数的连续的自然数．【例10】已知定由“若大于3的三个质数a 、b 、c 满足关系式20+5b=c ，则a+b+c 是整数n 的倍数”．试问：这个定理中的整数n 的最大可能值是多少?请证明你的结论．思路点拨 先将a+b+c 化为3(a+2b)的形式，说明a+b+c 是3的倍数，然后利用整除的性质对a 、b 被3整除后的余数加以讨论得出a+2b 也为3的倍数．∵ =a+b+2a+5b=3(a+2b)，显然，3│a+b+c若设a 、b 被3整除后的余数分别为r a 、r b ，则r a ≠0， r b ≠0．若r a ≠r b ，则r a =2，r b =1或r a =1，r b =2，则2a+5b =2(3m+2)+5(3n+1)=3(2m+5n+3)，或者2a+5b=2(3p+1)+5(3q+2)；3(2P+59+4)，即2a+5b 为合数与已知c 为质数矛盾．∴ 只有r a =r b ，则r a =r b =1或r a =r b =2．于是a+2b 必是3的倍数，从而a+b+c 是9的倍数．又2a+5b=2×11十5×5=47时，=a+b+c=11+5+47=63，2a+5b =2×13十5×7=61时，a+b+c =13+7+61=81，而(63，81)=9，故9为最大可能值．注： 由余数切入进行讨论，是解决整除问题的重要方法．【例11】一个正整数N 的各位数字不全相等，如果将N 的各位数字重新排列，必可得到一个最大数和一个最小数，若最大数与最小数的差正好等于原来的数N ，则称N 为“新生数”，试求所有的三位“新生数”． 思路点拨 将所有的三位“新生数”写出来，然后设出最大数、最小数，求差后分析求出所有三位“新生数”的可能值，再进行筛选确定．【例12】设N 是所求的三位“新生数”，它的各位数字分别为a 、b 、c (a 、b 、c 不全相等)，将其各位数字重新排列后，连同原数共得6个三位数：cba cab bca bac acb abc ,,,,,，不妨设其中的最大数为abc ，则最小数为cba ．由“新生数”的定义，得N=abc —cba =(100a+l0b+c)一(100c+l0b+d)=99(a —c)．由上式知N 为99的整数倍，这样的三位数可能为：198，297，396，495，594，693，792，891，990．这九个数中，只有954－459=495符合条件，故495是唯一的三位‘新生数”．注：本题主要应用“新生数”的定义和整数性质，先将三位“新生数”进行预选，然后再从中筛选出符合题意的数。
小学生培优补差讲座心得体会范文
小学生培优补差讲座心得体会范文全文共5篇示例，供读者参考小学生培优补差讲座心得体会范文篇1本学期在“培优补差”工作中，我能依照计划，根据实际情况，有步骤、有措施地实施落实“培优补差”的内容。
计划中要求达到的目标基本能实现，一学期来，通过师生的共同努力，顺利完成了本学期的培优补差工作任务。
2、能够根据学生成绩情况确定需要培优或补差的学生名单，利用空余时间辅导。
3、培优补差做到了“六定”，即定对象、定时间、定任务、定计划、定内容、定措施、定目标。
4、培优着眼于长远，侧重于加大学生学习的难度，拓宽知识面，开发求异思维，培养创新能力，同时还要落实到课堂教学中，以确保优生更优。
5、辅导差生做到了“三要三不要”，即要了解后进生，要尊重后进生，对后进生要有信心。
思想上不歧视，感情上不厌恶，态度上不粗暴。
对后进生的教育采取：低起点，小步子，一点点引导，一步步向前，积小胜为大胜，对学生既要看到希望，对学生每一点进步要及时赏识，提高他们的学习兴趣。
6、结合考试，搞好培优补差工作的查漏补缺。
7、利用适当时间对学生进行思想道德教育，文明教育，纪律教育。
8、课堂上创造机会，用优生学习思维、方法来影响差生。
充分发挥优生的表率作用来影响差生，改变差生，在学生中形成“赶、帮、超”的浓厚学习氛围。
9、激励机制，多给点差生表现的机会，让他们树立起学习的信心和勇气，克服自卑的心理。
10、必要时与家长联系，共同来解决差生各方面存在的问题。
小学生培优补差讲座心得体会范文篇2在长期教育教学工作中，使我认识到培优辅差工作的重要性和必要性。
培养国家的栋梁，首先应当重视特优生的培养，使其从小能在好的方面，发展其聪明才智的特长及综合素质的本事，使其从小养成努力学习，群类拔萃，鹤立鸡群，为以后的成就打下良好的基础。
而素质教育的首要标志是学校教育要面向全体学生。
要想使每个学生都得到全面发展，这就存在一个带有普遍性、长期性的问题——差生的转化。
那么怎样才能做好差生的转化工作呢这就要求我们教师要更新教育观念。
初三上册数学直升班培优讲义学生版第18讲几何变换之旋转(一)(学生版)
第18讲几何变换之旋转（一）『/ /一、旋转初步：旋转在生活中很常见，在数学中，旋转变换也是几何三大变换中最常考的一种，也是在近几年中考和直升外地生考试中频繁出现的热点考点。
1.旋转的三要素：旋转角度，旋转中心和旋转方向。
2 •旋转的性质：旋转前后对应的图形全等，对应的旋转角度相等。
3.中心对称：特别的，如果旋转角度为180 ,那么旋转前后两个图形成中心对称。
注意：两个图形成中心对称和中心对称图形要区别清楚，两个图形成中心对称指的是两个图形，中心对称图形指的是一个图形，比如说平行四边形是一个中心对称图形。
二、大角夹半角：大角2 a和半角a,比较常见的是90和45 , 120和60，以90和45为例。
模型I:正方形中，EAF 45 , AH EF可得：① BE DF EF :② AH AB .模型II :等腰直角△ ABC中，MAN 45，可得DN 2 BM 2 MN 2.(1)如图1-1，在Rt △ ABC 中，BAC 90，将△ ABC 绕点顺时针旋转 90后得到的△ ABC (点的对应点是点 B ，点的对应点是点 C )，连接CC .若 CC B 32，贝U B 的大小是 ( ).旋转初步A . 32B . 64C . 77D . 87 (2)如图1-2，将矩形绕点旋转至矩形 点.若AB 3，则△ AEC 的面积为( A . 3B . 1.5ABC D 位置，此时的中点恰好与点重合，AB 交于).C . 2 3例2 -------------------------------------- *如图2-1, △ ABC是等边三角形，点P为射线AD上任意一点(点P与点A不重合)，连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60得到线段CQ，连接QB交直线AD于点E.(1)如图2-1,若DAC是锐角，其它条件不变，猜想QEP的度数；(2)如图2-2，若DAC 135 ,ACP 15B图2-1模块二 大角夹半角正方形ABCD 中，点M 、N 分别为BC 、CD 边上的点，且 MAN 45，连接MN ，过A 作AE MN 交MN 于点E ,连接BD ,分别交 AM 、AN 于点F 、G .试证明以下结论：① MN BM DN ; ② C ^ CMN2 AB ； ③ AB AE ;④AM 平分 BAE , AN 平分 DAE ；如图，在正方形ABCD 中，E 为CD 上一动点，连接AE 交对角线BD 于点F ，过点F 作FG AEE⑤BF 2 _ 2 _ 2 GD FG .N1G4ADN例5f/如图，在直角梯形 ABCD 中，AD//BC (BC AD) , B 90 , AB BC 12 , E 是AB 上的 一点，且 DCE45 , BE 4，求DE 的长. 例6 AB , AC 所在直线上分别有两点 120 , BD CD ,探究： MN 之间的数量关系及△ AMN 的周长 6-1，当点M , N 在边AB , AC 上，且 ;此时Q. L 在等边△ ABC 的两边 MDN 60 , BDCBM , CN , (1)如图 关系式(2) 如图6-2，当点，在边，上，且 DM 出你的猜想并加以证明；(3) 如图6-3,当点M , N 分别在边 AB , (用x , L 表示). 图6图①M , N , D 为△ ABC 外一点，且 当点M , N 分别在直线 AB , AC 上移动时, Q 与等边△ ABC 的周长L 的关系. DM DN DN 时，猜想( CA 的延长线上时, 图6-图②时, BM , NC , MN 之间的数量 问的两个结论还成立吗？写 AN x ，贝U QC图6图③例7如图所示，△ ABC是边长为1的正三角形，△ BDC是顶角为120的等腰三角形，以D为顶点作一个60的MDN，点M、N分别在AB、AC上，求△ AMN的周长.如图，菱形ABCD中，点E、M在AD上，且CD CM，点F为AB上的点，且ECF求证：BF EF EM .竝■演练1(1)如图1-1，边长为6正方形绕点B 按顺时针方向旋转 30后得到正方形 EBGF , EF 交 CD 于点H ，则FH 的长为 __________ (结果保留根号)(2)如图 贝 U BAC 1-2, (在同一平面内, ). △ ABC 绕点旋转40到厶ABC 的位置，使得 CC II AB ,A . 30 C . 70D . 80B . 40G图1-2图1-1模块一旋转初步BAC 45 , △AEF是由△ ABC绕点A 如图，△ ABC 中，AB AC 1 ,按顺时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D .(1)求证：BE CF ；(2)当四边形ACDE为菱形时，求BD的长.模块二大角夹半角演练3已知梯形ABCD中，AD //BC, AB BC DC , 点E、F分别在AD、AB上，且FCE = ^2BCD .(1)求证：BF EF ED ；(2)连接AC,若 B 80 , DEC70，求ACF的度数.B C演练4(1)如图上的点，且(2)如图上的点，且(3)如图4-1,在四边形ABCD中，1Z EAF —Z BAD .求证:24-2,在四边形ABCD中，1Z EAF -Z BAD , (1)24-3,在四边形ABCD中，ABEFABAD ,BEAD ,Z B Z DFD.Z B Z D90180,E、,E、中的结论是否仍然成立？不用证明.AB AD, Z B Z D 180 , E、F分别是边F分别是边F分别是边BC、BC、BC、中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不延长线上的点，且Z EAF 1Z BAD2成立，请写出它们之间的数量关系，图4-1并证明.图4-2CDCDCD如图，已知正方形 ABCD 的边长为1 , P 、 PABPCQ QAD的值.演练5.求。
著名机构初中数学培优讲义旋转与中心对称.第06讲(C级).学生版
内容基本要求略高要求较高要求旋转了解图形的旋转，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质；会识别中心对称图形能按要求作出简单平面图形旋转后的图形，能依据旋转前、后的图形，指出旋转中心和旋转角能运用旋转的知识解决简单问题；【例1】 (08年大兴一模考试题)如图，例题条件不变，将等腰直角三角形ADE 绕A 点按逆时针方向旋转45o ，结论：BMD ∆为等腰直角三角形，成立吗?M D E CBAT MDE CBA【巩固】如图将等腰直角三角形ADE 绕点A 按逆时针方向旋转90o ，其余条件不变，结论：BMD ∆为等腰直角三角形还成立吗?MDECBA例题精讲中考要求旋转【巩固】如图，上例中的条件不变，将等腰直角三角形ADE 绕点A 按逆时针方向旋转135o ，其余条件不变，证明：MBD MDB ∠=∠．MDE C BA【例2】 已知：2PA =,4PB =,以AB 为一边作正方形ABCD ，使P ,D 两点落在直线AB 的两侧如图，当45APB ∠=︒时，求AB 及PD 的长；当APB ∠变化，且其它条件不变时，求PD 的最大值，及相应的APB ∠的大小。
【例3】 已知正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，过E 点作EF BD ⊥交BC 于F ，连接DF ，G 为DF 中点，连接EG ，CG ． ⑴求证：EG CG =；⑵将图①中BEF ∆绕B 点逆时针旋转45︒，如图②所示，取DF 中点G ，连接EG ，CG ．问⑴中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．⑶将图①中BEF ∆绕B 点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问⑴中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）FBADEG图①FB ADEG图②FB A图③【例4】 以ABC ∆的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰Rt ABD ∆和等腰Rt ACE ∆，90BAD CAE ∠=∠=︒.连接DE ，M 、N 分别是BC 、DE 的中点．探究：AM 与DE 的位置关系及数量关系．⑴如图① 当ABC ∆为直角三角形时，AM 与DE 的位置关系是；线段AM 与DE 的数量关系是 ；⑵将图①中的等腰Rt ABD ∆绕点A 沿逆时针方向旋转θ︒(090θ<<)后，如图②所示，⑴问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．NM DECB AM NEDCBA图① 图②【例5】 在课外小组活动时，小慧拿来一道题（原问题）和小东，小明交流原问题：如图1，已知︒=∠︒=∠∆4590,ABC ACB ABC ，,分别以AB,BC 为边向外作,BCE ABD ∆∆和且DA=DB ，EB=EC ，︒=∠=∠90BEC ADB ，连接DE 交AB 于点F ，探究线段DF 与EF 的数量关系。
2025版《师说》高中全程复习构想地理(湘教版)高分培优讲座23
A．发电 B．防洪
C．灌溉
D．水产养殖
答案：C
解析：第2题，河套灌区中修建的水闸，其作用是灌溉，控制水流，引水自流 灌溉。水闸分布在引黄河水灌溉的自流灌溉区，落差很小，不能用来发电、防洪。 水闸分布在灌渠上，水产养殖不是其主要功能。
3．河套灌区进行秋浇，其目的是( ) ①秋后淋盐 ②冬季保温 ③春季保墒(土壤湿度) A．①② B．①③ C．②③ D．①④
1．导致图中甲、乙两地景观差异的原因最可能是( ) A．海拔差异 B．热量差异 C．土质差异 D．降水差异
答案：A
解析：第1题，图示甲地位于河套平原区，乙地位于鄂尔多斯高原区，两地景 观差异的原因最可能是海拔差异。两地都属于温带季风气候区，热量、降水差异 不明显。两地气候相同，土质差异较小。
2．河套灌区中修建的水闸，其作用是( )
行政区及城市 主要地形区及山脉
40°N
辽/大连北、冀/
秦皇岛、津、 京、晋/大同、 内蒙古/鄂尔多 斯、甘/敦煌、 新/喀什北
辽东半岛、华北平 原、黄土高原/太行 山、内蒙古高原、 河西走廊、塔里木 盆地
50°N
黑/黑河、内蒙 古/满洲里北
小兴安岭、嫩江上 游沼泽地、大兴安 岭、呼伦贝尔高原
80°E
新/和田、藏/狮 泉河
伊犁河谷、天山、 塔里木盆地、昆仑 山、青藏高原
河流、矿产、交通线、农 业区、工业区 黄河、塔里木河；迁安铁 矿、大同煤矿、准格尔煤 矿、东胜煤矿、玉门油田； 包兰线、兰新线；京津唐 工业区；南疆长绒棉基地
嫩江上游；嫩西线
伊犁河、塔里木河；新藏 公路
行政区及城市
主要地形区及山脉
高分培优讲座 23 中国地理空间定位
行政区及城市
九年级化学培优辅差讲座计划
九年级化学培优辅差讲座计划目标本讲座计划的目标是提供有针对性的化学知识培优辅导，帮助九年级学生在化学学科上取得更好的成绩。
通过讲座，学生将能够加深对化学知识的理解，提高解题技巧，并增强应对化学考试的自信心。
讲座内容1. 化学基础知识复：深入讲解九年级化学核心概念，包括原子结构、化学键、化学方程式等。
通过解析典型例题，帮助学生理解和掌握这些概念。
2. 常见化学实验与实践：介绍九年级常见的化学实验，如酸碱中和反应、氧化还原反应等。
学生将通过观察实验现象、分析实验结果，探索化学原理与实际应用的关系。
3. 解题技巧分享：针对九年级化学考试中常见的难点和解题技巧，通过解析典型题目，教授有效的解题思路和方法，帮助学生提高解题效率和准确性。
4. 互动讨论与答疑环节：鼓励学生参与互动讨论，提出问题并进行答疑。
老师将耐心解答学生的疑惑，并通过互动环节促进学生之间的交流和合作。
讲座安排1. 时间：计划于每月的第一个周末举行，共举办六次讲座，每次两小时，共计12小时的培优辅导时间。
2. 地点：图书馆或学校化学实验室，根据实际情况进行安排。
3. 参与人员：面向九年级化学研究有兴趣的学生，每次讲座不超过30人，先到先得。
4. 讲座形式：采用授课与互动相结合的形式，讲座内容生动有趣，通过演示、实验等方式增加吸引力。
评估与奖励1. 讲座结束后，将通过小测验对学生的研究效果进行评估，以评选出优秀学员。
2. 对于优秀学员，将颁发荣誉证书并提供奖励，以鼓励学生在化学研究上的进一步努力。
预期效果通过本讲座计划，我们期望九年级学生能够深入理解化学知识，提高解题能力，增强兴趣，并为进一步研究高中化学打下坚实基础。
如果您有任何问题或意见，欢迎与我们联系。
感谢您的支持与参与！。
著名机构初中数学培优讲义中考复习.旋转.第14讲(通用讲).学生版
内容基本要求略高要求 较高要求旋转了解图形的旋转，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质；会识别中心对称图形． 能按要求作出简单平面图形旋转后的图形，能依据旋转前后的图形，指出旋转中心和旋转角．能运用旋转的知识解决简单的计算问题；能运用旋转的知识进行图案设计．板块一 图形的旋转☞旋转：把一个图形绕着某一点O 转动一个角度的图形变换叫做旋转，点O 叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P 经过旋转变为点'P ，那么这两个点叫做这个旋转的的对应点．如图R'RQ'P'QPO注意：⑴研究旋转问题应把握两个元素：旋转中心与旋转角．⑵每一组对应点所构成的旋转角相等．【例1】 在平面内，把一个图形绕着某______沿着某个方向转动______的图形变换叫做旋转．这个点O 叫做______，转动的角叫做______．因此，图形的旋转是由______和______决定的．【巩固】下图中，不是旋转对称图形的是( )．中考要求例题精讲中考复习：几何变换之旋转【例2】有下列四个说法，其中正确说法的个数是( )．①图形旋转时，位置保持不变的点只有旋转中心；②图形旋转时，图形上的每一个点都绕着旋转中心旋转了相同的角度；③图形旋转时，对应点与旋转中心的距离相等；④图形旋转时，对应线段相等，对应角相等，图形的形状和大小都没有发生变化A．1个B．2个C．3个D．4个【巩固】如图，把菱形ABOC绕点O顺时针旋转得到菱形DFOE，则下列角中不是旋转角的为( )．A．∠BOF B．∠AOD C．∠COE D．∠COF【例3】如图，若正方形DCEF旋转后能与正方形ABCD重合，则图形所在平面内可作为旋转中心的点共有( )个．A．1 B．2 C．3 D．4【巩固】如图，这是一个正面为黑，反面为白的未拼完的拼木盘，给出如下四块正面为黑、反面为白的拼木，现欲拼满拼木盘并使其颜色一致，请问应选择的拼木是（）A．B．C．D．【例4】按图中第一、二两行图形的平移、轴对称及旋转等变换规律，填入第三行“？”处的图形应是（）A、B、C、D、板块二中心对称与中心对称图形☞中心对称的有关概念：把一个图形绕着某一点旋转180︒，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做中心对称点，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点，如图FEDCBAO注意：⑴两个图形成中心对称是旋转角为定角(180︒)的旋转问题，它是一种特殊的旋转，反映的是两个图形的一种特殊关系．⑵中心对称阐明的是两个图形的特殊位置关系． ☞中心对称的特征：关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分． 关于中心对称的两个图形是全等图形．关于中心对称的两个图形，对应线段平行(或在同一直线上)且相等．如果连接两个图形的对应点的线段都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形一定关于这一点成中心对称．☞中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转180︒，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．如图ODCBA☞中心对称与中心对称图形的区别与联系：中心对称是指两个图形的关系，中心对称图形是指具有某种性质的一个图形．若把中心对称图形的两个部分分别看作两个图形，则他们成中心对称；若把中心对称的两个图形看作一个整体，则成为中心对称图形． ☞关于原点对称的点的坐标特征：两个点关于原点对称时，他们坐标符号相反，反过来，只要两个点的坐标符号相反，则两个点关于原点对称．【例5】 ⑴线段不仅是轴对称图形，而且是______图形，它的对称中心是______．⑵平行四边形是______图形，它的对称中心是____________．⑶圆不仅是轴对称图形，而且是______图形，它的对称中心是______．【例6】 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )【巩固】下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【例7】 下列语句中正确的是（ ）A.一个图形如果既是旋转对称图形又是轴对称图形，那么它一定是中心对称图形B.一个图形在旋转变换下对应线段不一定相互平行，对应点连线不一定经过旋转中心C.一个图形绕一点旋转α︒之后与自身重合，则α一定是整数，且是360︒的因数D.一个不是旋转对称的图形，无论绕任何点旋转多少度，都不会与自身重合板块三旋转类几何作图【例8】如下图，图(1)和图(2)是中心对称图形，仿照(1)和(2)，完成(3)，(4)，(5)，(6)的中心对称图形．【例9】已知：如图，四边形ABCD及一点P．求作：四边形A′B′C′D′，使得它是由四边形ABCD绕P点顺时针旋转150°得到的．PDCBA【巩固】如图，已知有两个同心圆，半径OA、OB成30°角，OB与小圆交于C点，若把△ABC每次绕O 点逆时针旋转30°，试画出所得的图形．板块四旋转性质的应用【例10】正三角形ABC绕其中心O至少旋转______度，可与其自身重合．【例11】一个平行四边形ABCD，如果绕其对角线的交点O旋转，至少要旋转______度，才可与其自身重合．【例12】D是等腰Rt ABC∆内一点，BC是斜边，如果将ABD∆绕点A逆时针方向旋转到'ACD∆的度数是( )A．25︒B．30︒C．35︒D．45︒D'DCBA【例13】如图，将ABC∆绕点A逆时针旋转80︒得到AB C''∆．若50BAC∠=︒，则CAB'∠的度数为( ) A．30︒B．40︒C．50︒D．80︒ABCB'C'【例14】 ABC ∆中，108ACB ∠=︒，将它绕着C 逆时针旋转30︒后得到''A B C ∆，则'ACB ∠的度数是多少？ B'A'CBA【例15】 如图，将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转90︒后，得到矩形'''AB C D ，如果22CD DA ==，那么'CC =_________．D'C'B'D CB A【例16】 如图，P 是正三角形ABC 内的一点，且6PA =，8PB =，10PC =．若将PAC ∆绕点A 逆时针旋转后，得到'P AB ∆，则点P 与点'P 之间的距离为______，APB ∠= ．P'CB PA板块五、旋转有关的综合题【例17】 ⑴如图1，点O 是线段AD 的中点，分别以AO 和DO 为边在线段AD 的同侧作等边三角形OAB 和等边三角形OCD ，连结AC 和BD ，相交于点E ，连结BC ．求AEB ∠的大小．⑵如图2，OAB ∆固定不动，保持COD ∆的形状和大小不变，将COD ∆绕着点O 逆时针旋转15︒，求AEB ∠的大小．图1ABCDEO 图2ABCDEO【例18】 把边长分别为4和6的矩形ABCO 如图放在平面直角坐标系中，将它绕点C 顺时针旋转α角，旋转后的矩形记为矩形EDCF ．在旋转过程中，（1）如图①，当点E 在射线CB 上时，E 点坐标为___________；（2）当CBD ∆是等边三角形时，旋转角α的度数是____________(α为锐角时)； （3）如图②，设EF 与BC 交于点G ，当EG CG =时，求点G 的坐标；图①图②【例19】 请阅读下列材料：已知：如图1在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 、E 分别为线段BC 上两动点，若45DAE ∠=︒．探究线段BD 、DE 、EC 三条线段之间的数量关系．小明的思路是：把AEC ∆绕点A 顺时针旋转90︒，得到ABE '∆，连结E D '， 使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：⑴ 猜想BD 、DE 、EC 三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；⑵ 当动点E 在线段BC 上，动点D 运动在线段CB 延长线上时，如图2，其它条件不变，⑴中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明．图1ABCDE图2AB CDE【例20】 在等腰直角ABC ∆中，90ACB ∠=o ，AC BC =，M 是AB 的中点，点P 从B 出发向C 运动，MQ MP ⊥ 交AC 于点Q ，试说明MPQ ∆的形状和面积将如何变化．APMCQ B【例21】 等腰直角三角形ABC ，90ABC =︒∠，AB a =，O 为AC 中点，45EOF =︒∠，试猜想，BE 、BF 、EF 三者的关系．【例22】 如图所示：ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC =，P 是ABC ∆内的一点，且3AP =，2CP =，1BP =，求BPC ∠的度数．123P CB A1．E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，且45EAF =︒∠，AH EF ⊥，H 为垂足， 求证：AH AB =．课堂检测CHF E D B A2．四边形ABCD 被对角线BD 分为等腰直角三角形ABD 和直角三角形CBD ，其中A ∠和C ∠都是直角，另一条对角线AC 的长度为2，求四边形ABCD 的面积．DCB A1．取一副三角板按图①拼，固定三角板ADC ，将三角板ABC 绕点A 依顺时针方向旋转一个大小为α的角()045α︒<︒≤得到ABC '∆，如图所示．试问：⑴当α为多少度时，能使得图②中AB DC ∥？⑵连结BD ，当045α︒<︒≤时，探寻DBC CAC BDC ''∠+∠+∠值的大小变化情况，并给出你的证明．ABCDABCDC'图2图12．⑴ 如图所示，在四边形ABCD 中，AB AD =，60BAD ∠=o ，120BCD ∠=o，证明：BC +DC AC =. ⑵ 如图所示，在四边形ABCD 中，AB BC =,60ABC ∠=o ，P 为四边形ABCD 内部一点，120APD ∠=o ，证明：PA PD PC BD ++≥.课后作业DCBAPDCBA。
走进重高培优讲义专题集训 初中综合教练 第21讲 图形的对称、平移和旋转
第21讲 图形的对称、平移和旋转1．了解轴对称图形和图形成轴对称的概念，知道线段、角、等腰三角形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形、圆等常见的轴对称图形；了解平移、旋转的概念，掌握平移变换、旋转变换的基本性质，能按要求作出简单平面图形平移后的图形．2．掌握中心对称的概念，会判断一些基本图形的中心对称性，理解中心对称与旋转变换的区别．3．探索图形之间的变换关系（轴对称、平移、旋转及其组合），能灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计．1．判断轴对称图形以及图形成轴对称的条件，首先要掌握概念，然后认真观察、分析图形，必要时应动手操作．与轴对称有关的作图，首先要明确轴对称的基本性质，掌握画轴对称图形的一般方法和步骤，作图要认真细致．2．平移变换、旋转变换、中心对称图形的概念比较抽象，平移、旋转的特征和性质也不容易记忆，要弄清基本概念，并结合图形，准确理解相关变换和对称性的基本特征．3．平移、旋转变换以及中心对称都是全等变换，变换前后图形的全等性是解决问题的重要依据，同时要注意平移和旋转变换的要素，在进行综合应用时既要注意各种变换的基本要素，又要注意各种变换之间的联系．例1 【张家界】下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是( )．【参考答案】C【方法归纳】本题考查中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180。
后与原图形重合．【误区提醒】注意中心对称图形是旋转180。
后可与原图形重合，B ，D 选项的两个图形可以旋转一定的角度与原图形重合，但不是中心对称图形．例2 如图1，将三角形纸片ABC 沿DE 折叠，使点A 落在BC 边上的点F 处，且,//BC DE 下列结论：①△BDF 是等腰三角形；②;21BC DE =③四边形ADFE 是菱形；④.2A FEC BDF ∠=∠+∠其中一定正确的个数是( )．图1 图21.A2.B3.C4.D【参考答案】C【方法归纳】轴对称图形的定义：把一个图形沿着一条直线对折后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．轴对称图形的性质：(1)对应点所连的线段被对称轴垂直平分．(2)对应线段相等、对应角相等，对应的图形是全等图形．【误区提醒】折纸问题是近年来中考中的热点问题，本题巧妙地运用平行线性质、折叠全等性质得到三角形中位线，如果能顺利地判断出这一点，其他问题就将迎刃而解，在解题时不要受给出的图形影响，如△ABC 像是等腰三角形，就认为△ABC 就是等腰三角形，那样的话四边形ADFE 就是菱形了，造成判断上的错误．此外，轴对称图形是指一个图形，而轴对称变换是指两个图形之间的关系，例3 如图，把△ABC 沿着BC 的方向平移到△DEF 的位置，它们重叠部分的面积是△ABC 面积的一半，若,4 BC 则△ABC 移动的距离是________.【方法归纳】本题主要考查相似三角形的判定和性质、平移的性质，由平移可得到线段的平行关系，从而得到△.ABC 与阴影部分为相似三角形．【误区提醒】平移变换中的平移距离等于对应点之间线段的长度，即图中的BE 或CF ，而不是EC.例4 如图1，将矩形ABCD 尧点A 按逆时针方向旋转，得到矩形AEFG ，点E 正好落在边CD 上，连接BE ，BG ，且BG 交AE 千点P ．(1)求证：.21BAE CBE ∠=∠ (2)求证：.2PB BG = (3)若,3,41==BC AB 直接写出BG 的长.图1【方法归纳】本题考查勾股定理、矩形的性质、旋转的性质、全等三角形的性质和判定等知识，主要考查学生综合运行定理进行推理的能力，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形．【误区提醒】旋转变换的三个要素：(1)旋转中心．(2)旋转方向．(3)旋转角度，描述旋转变换时三要素缺一不可，特别要关注旋转角度，旋转变换前后图形对应线段所在直线的夹角都等于旋转角度，例5如图，在矩形纸片ABCD 中，将△AMP 和△BPQ 分别沿PM 和PQ 折叠(AP>AM ），点A 和点B 都与点E 重合；再将△coD 沿DQ 折叠，点C 落在线段EQ 上的点F 处．(1)判断△AMP，△BPQ，△CQD 和△FDM 中有哪几对相似三角形？（不需说明理由）(2)如果,53sin ,1=∠=DMF AM 求AB 的长．【方法归纳】本题主要考查相似三角形的判定与性质、矩形的性质、翻折的性质以及锐角三角函数的综合运用，图形的折叠是对称变换，是一种全等变换，【误区提醒】折叠问题要注意找正确边角的等量关系，本题求AB 的长时，关键是恰当的设出未知数表示出一对相似三角形的对应边并列比例式，例 【临沂】数学课上，张老师提出了问题：如图1，AC ，BD 是四边形ABCD 的对角线，若=∠ACB ,60 =∠=∠=∠ADB ABD ACD 则线段BC ，CD ，AC 三者之间有何等量关系？经过思考，小明展示了一种正确的思路：如图2，延长CB 到点E ，使BE - CD ，连接AE ，证得△ABE ≌ △ADC ，从而容易证明△ACE 是等边三角形，故=AC ,CE 所以.CD BC AC +=小亮展示了另一种正确的思路：如图3，将△ABC 绕着点A 按逆时针方向旋转,60o使AB 与AD 重合，从而容易证明△ACF 是等边三角形，故,CF AC =所以AC .CD BC +=在此基础上，同学们作了进一步的研究：(1)小颖提出：如图4，如果把“ACB ACD ∠=∠=60?ABD ADB ∠=∠=改为“ACB ACD ∠=∠= 045?，ABD ADB ∠=∠=其他条件不变，那么线段BC ，CD ，AC 三者之间有何等量关系？针对小颖提出的问题，请你写出结论，并给出证明．(2)小华提出：如图5，如果把“ACB ACD ∠=∠=ABD ADB ∠=∠=60”改为“=∠=∠ACD ACB ”,ABD ADB α∠=∠=其他条件不变，那么线段BC ，CD ，AC 三者之间有何等量关系？针对小华提出的问题，请你写出结论，不用证明.图1 图2 图3图4 图5【方法归纳】本题是几何变换综合题，主要考查全等三角形的判定、四边形的内角和、等腰三角形的判定和性质，解答本题的关键是利用旋转变换构造全等三角形，是一道综合性较强的题目.1．下列各图是选自历届世博会会徽中的图案，其中属于中心对称图形的是( )．2．在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(4，3)，将线段OA 绕原点0按逆时针方向旋转 90得到,OA 则点/A 的坐标是( )．)3,4.(-A )4,3.(-B )4,3.(-c )3,4.(-D3．【宜宾】如图，将△ABC 沿BC 边上的中线AD 平移到///AB C ∆的位置，已知△ABC 的面积为9，阴影部分三角形的面积为4．若/AA ,1=则/A D 等于( )．2.A3.B 32.C 23.D4．【新疆】如图，P 是边长为1的菱形ABCD 对角线AC 上的一个动点，M ，N 分别是AB ，BC 边上的中点，则MP+PN 的最小值是( ) 21.A 1.B2.C 2.D5．将抛物线122--=x y 向上平移若干个单位，使抛物线与坐标轴有3个交点，如果这些交点能构成直角三角形，那么平移的距离为( )． 23.A 个单位 B ．1个单位 21.C 个单位 ⋅2.D 个单位6．【德州】如图，等边三角形ABC 的边长为4，0是△ABC 的中心，120,FOG ∠=绕点0旋转∠FOG ，分别交线段AB ，BC 于D ，E 两点，连接DE ，给出下列四个结论：①OD=OE;②;ODE BDE s s ∆∆=③四边形ODBE 的面积始终等于 ;334④△BDE 周长的最小值为6．上述结论中正确的个数是( )． 1.A 2.B 3.C 4.D7．如图，将△ABC 沿BC 方向平移2 cm 得到△DEF，若△ABC 的周长为16 cm ，则四边形ABFD 的周长为 ______ ．8．【曲靖】如图，图形①②③均是以0p 为圆心、1个单位长度为半径的扇形，将图形①②③分别沿东北、正南、西北方向同时平移，每次移动一个单位长度，第一次移动后图形①②③的圆心依次为,,,321p p p 第二次移动后图形①②③的圆心依次为 654,,p p p 依此规律，=20180p p ________个单位长度．9．【福州】如图，在Rt△ABC 中，ABC ∠,2,90===BC AB 将△ABC 绕点C 按逆时针方向旋转,60 得到△MNC ，连接BM ，则BM 的长是________．10.【盘锦】如图，已知Rt △ABC 中，B ∠,432,60,90+==∠=AC A 点M ，N 分别在线段AC ，AB 上，将△ANM 沿直线MN 折叠，使点A 的对应点D 恰好落在线段BC 上，当△DCM 为直角三角形时，折痕MN 的长为_______．11.图1、图2均为7×6的正方形网格，A ，B ，C 在格点（小正方形的顶点）上．(1)在图1中确定格点D ，并画出一个以A ，B ，C,D 为顶点的四边形，使其为轴对称图形．(2)在图2中确定格点E ，并画出一个以A ，B ，C ，E 为顶点的四边形，使其为中心对称图形．图1 图212.如图，在矩形ABCD 中，点E 在边CD 上，将该矩形沿AE 折叠，使点D 落在边BC 上的点F 处，过点F 作FG∥CD， 交AE 于点G ，连接DG.(1)求证：四边形DEFG 为菱形．(2)若,4,8==CF CD 求DECE 的值．13.如图，△ABC 和△DEF 是两个全等的等腰直角三角形，,90 =∠=∠EDF BAC △DEF 的顶点E 与△ABC 的斜边BC 的中点重合．将△DEF 绕点E 旋转，旋转过程中，线段DE 与线段AB 相交于点P ，线段EF 与射线CA 相交于点Q.(1)如图1，当点Q 在线段AC 上，且AP=AQ 时，求证：△BPF≌△CQE．(2)如图2，当点Q 在线段CA 的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ;并求当a CQ a BP 29,==时，P ，Q 两点间的距离（用含a 的代数式表示）．图1 图214．【德州】再读教材：宽与长的比是215-(约为0.618)的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．下面，我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形．（提示：MN=2）第一步：在矩形纸片一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平，第二步：如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平．图1 图2 图3 图4第三步：折出内侧矩形的对角线AB ，并把AB 折到图3中的AD 处．第四步：展平纸片，按照所得的点D 折出DE ，使DEIND ，则图4中就会出现黄金矩形．问题解决：(1)图3中AB=___________（保留根号）．(2)如图3，判断四边形BADQ 的形状，并说明理由．(3)请写出图4中所有的黄金矩形，并选择其中一个说明理由.实际操作：(4)结合图4，请在矩形BCDE 中添加一条线段，设计一个新的黄金矩形，用字母表示出来，并写出它的长和宽．1．【苏州】下列四个图形中，不是轴对称图形的是( )．2．【海南】如图，在平面直角坐标系中，△ABC 位于第一象限，点A 的坐标是(4，3)，把△ABC 向左平移6个单位长度，得到,111C B A ∆则点1B 的坐标是( )．)3,2.(-A )1,3.(-B )1,3.(-C )2,5.(-D3．【大连】如图，将△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转,α得到△EBD ，若点A 恰好在ED 的延长线上，则∠CAD 的度数为( )．α- 90.A α.B α- 180.C α2.D（第3题） （第4题）4．【烟台】如图是对角线长分别为6和8的菱形ABCD ，0为对角线的交点，过点0折叠菱形，使/,B B 两点重合，MN 是折痕，若/1,B M =则CN 的长为( )．7.A 6.B 5.C 4.D 5．【武汉】如图，在⊙0中，点C 在优弧AB 上，将BC 沿BC 折叠后刚好经过AB 的中点D.若⊙0的半径为,4,5=AB 则BC 的长是( )．32.A 23.B .2C 265.D（第5题） （第6题）6．【淄博】如图，P 为等边三角形ABC 内的一点，且P 到三个顶点A ，B ，C 的距离分别为3，4，5，则△ABC 的面积为( )．43259.+A 23259.+B 32518.+C 232518.+D 7．【南京】在平面直角坐标系中，点A 的坐标是（-1，2），作点A 关于y 轴的对称点，得到点,/A 再将点/A 向下平移4个单位，得到点//,A 则点//A 的坐标是(_______,________).8．【重庆】如图，把三角形纸片折叠，使点B ，C 都与点A 重合，折痕分别为DE ，FG ，得到30若AGE AE EG ∠=== ,32cm 则△ABC 的边BC 的长为_________.cm（第8题） （第9题）9．【镇江】如图，在△ABC 中，,//,6AC DE AB =将△BDE 绕点B 按顺时针方向旋转得到//,BDE ∆点D 的对应点/D 落在边BC 上．已知,4,5==DC BE 则BC 的长为________.10.【乌鲁木齐】如图，在Rt△ABC 中，==∠BC C ,90 D AC ,2,32=是BC 的中点，E 是AB 边上一动点，沿DE 所在直线把△BDE 翻折到/B DE ∆的位置，/B D 交AB 于点F ．若/AB F ∆为直角三角形，则AE 的长为_________11．【眉山】在如图的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1．格点三角形ABC(顶点是网格线交点的三角形)的顶点A ，C 的坐标分别是（-4，6），(-1，4).(1)请在图中的网格平面内建立平面直角坐标系．(2)请画出△ABC 关于x 轴对称的⋅∆111C B A(3)请在y 轴上求作一点P ，使1PB C ∆的周长最小，并写出点P 的坐标．12．【绥化】如图，在Rt△ABC 中，BC AC C ,3,90==∠E D ,,4=分别是斜边AB 、直角边BC 上的点，把△ABC 沿着直线DE 折叠．(1)如图1，当折叠后点B 和点A 重合时，用直尺和圆规作出直线DE.（不写作法和证明，保留作图痕迹）(2)如图2，当折叠后点B 落在AC 边上点P 处，且四边形PEBD 是菱形时，求折痕DE 的长.图1 图213.【南充】如图，在矩形ABCD 中．AC= 2AB ，将矩形ABCD 绕点A 旋转得到矩形///,AB C D 使点B 的对应点/B 落在AC 上，//B C 交AD 于点E ，在//B C 上取点F ，使/.B F AB =(1)求证：/.AE C E =(2)求FBB ∠的度数．(3)已知,2=AB 求BF 的长．14.【岳阳】问题背景：已知∠EDF 的顶点D 在△ABC 的边AB 所在的直线上（不与点A ，B 重合），DE 交AC 所在的直线于点M ，DF 交BC 所在的直线于点N ，记△ADM 的面积为BND S ∆,1的面积为⋅2s(1)初步尝试：如图1，当△ABC 是等边三角形，AB ,,6A EDF ∠=∠=且2,//=AD BC DE 时，则1S ⋅=2s ______(2)类比探究：在(1)的条件下，先将点D 沿AB 平移，使AD=4，再将∠ EDF 绕点D 旋转至如图2的位置，求21s s ⋅的值．(3)延伸拓展：当△ABC 是等腰三角形时，设=∠B .α=∠=∠EDF A①如图3，当点D 在线段AB 上运动时，设=AD ,,b BD a =求21s S ⋅的表达式（用含a ，b 和α的三角函数表示）． ②如图4，当点D 在BA 的延长线上运动时，设,,b BD a AD ==直接写出21S s ⋅的表达式，不必写出解答过程．图1 图2 图3 图41．【咸宁】如图，已知,120 =∠MON 点A ，B 分别在OM ，ON 上，且,a OB OA ==将射线OM 绕点0逆时针旋转得到,OM 旋转角为(0120且60),ααα<<=/作点A 关于直线/OM 的对称点C ，画直线BC 交/OM 于点D ，连接AC ，AD ，有下列结论：;CD AD =①ACD ∠②的大小随着α的变化而变化；③当 30=α时，四边形OADC 为菱形；④△ACD 面积的最大值为.32a 其中正确的是________（填序号）．2．【金华】如图，已知点A(2，3)和点B(O ，2)，点A 在反比例函数xk y =的图象上，作射线AB ，再将射线AB 绕点A 按逆时针方向旋转,45 交反比例函数图象于点C ，则点C 的坐标为______.3．如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC 和DEC 重合放置，其中.30,90 =∠=∠=∠E B C图1 图2(1)操作发现：如图2，固定△ABC，使△DEC 绕点C 旋转，当点D 恰好落在AB 边上时：①线段DE 与AC 的位置关系是_______．②设△BDC 的面积为AEC s ∆,1的面积为,2s 则1s 与2s 的数量关系是(2)猜想论证：当△DEC 绕点C 旋转到图3的位置时，小明猜想(1)中1s 与2s 的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC 和 △AEC 中BC ，CE 边上的高，请你证明小明的猜想．(3)拓展探究：已知D ABC ,60 =∠是其角平分线上一点，=BD AB DF CD //,4=交BC 于点E （如图4），若在射线BA 上存在点F ，使,DCF BDE s s ∆∆=请直接写出相应的BF 的长．图3 图44．【乐山】如图1，△ABC 是等腰直角三角形，四边形ADEF 是正方形，D ，F 分别在AB ，AC 边上，此时BDCF BD CF ⊥=,成立．(1)当正方形ADEF 绕点A 按逆时针方向旋转 0(θ)90o <<θ时，如图2，BD= CF 成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．(2)当正方形ADEF 绕点A 按逆时针方向旋转 45时，如图3，延长BD 交CF 于点G.①求证：.CF BD ⊥ ②当2,4==AD AB 时，求线段BG 的长.图1 图2 图3答案。
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图形的旋转复习
一、选择题
1、如图1，P 是正△ABC 内的一点，若将△PBC 绕点B 旋转到△P ’BA ，则∠PBP ’的度数是（ ）
A ．45°
B ．60°
C ．90°
D ．120°
2、如图，∠AOB ＝90°，∠B ＝30°，△A ’OB ’可以看作是由△AOB 绕点O 顺时针旋转α角度得到的，若点A ’在AB 上，则旋转角α的大小可以是 （ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°
3、如图所示，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将△ABO 绕点O 按顺时针方向旋转90°，得A B O ''△ ，则点A '的坐标为 （ ）．
A ．（3，1）
B ．（3，2）
C ．（2，3）
D ．（1，3）
4、下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A ．等腰梯形 B ．平行四边形 C ．正三角形 D ．矩形
5、单词NAME 的四个字母中，是中心对称图形的是（ ） A ．N B ．A Ｃ．M D ．E
6、某校计划修建一座既是中心对称图形又是轴对称图形的花坛，从学生中征集到的设计方案有等腰三角形、正三角形、等腰梯形、菱形等四种方案，你认为符合条件的是（ ） A ．等腰三角形 B ．正三角形 C ．等腰梯形 D ．菱形
7、下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 ( )
A B C D
8、在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (2，3)，若将OA 绕原点O 逆时针旋转180°得到0A ′，则点A ′在平面直角坐标系中的位置是在（ ）
A ．第一象限
B .第二象限
C .第三象限
D .第四象限
9、已知点A 的坐标为(a ,b ),O 为坐标原点，连结OA ，将线段OA 绕点O 按逆时针方向旋转90°得OA 1，则点A 1的坐标为（ ）．
A ．(-a ,b )
B ．(a ,-b )
C ．(-b ,a )
D ．(b ,-a )
10、已知如图1所示的四张牌，若将其中一张牌旋转180O 后得到图2，则旋转的牌是 （ ）
x
y
1 2 4 3 0 -1
-2 -3 1
2 3
A
B
11、如图所示，在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为（﹣2，0）和（2，0）.月牙①绕点B 顺时针旋转900得到月牙②，则点A 的对应点A ’的坐标为 （ ）
A .（2，2）
B .（2，4）
C .（4，2）
D .（1，2） 12、下列各组图中，图形甲变成图形乙，既能用平移，又能用旋转的是（ ）
13、如图，点A ，B ，C 的坐标分别为(0,-1),(0,2),(3,0)．从下面四个点M (3,3) ，N (3,-3) ，P (-3,0) ，Q (-3,1)，中选择一个点，以A ，B ，C 与该点为顶点的四边形不是中心对称图形，则该点是（ ） A ．M B ．N C ．P
D ．Q
二、填空题
1、在平面直角坐标系中，点P (2,-3)关于原点对称点P ’
的坐标是 ．
2、如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(1，4)，将线段OA 绕点O 顺时针旋转90°得到线段OA ′，则点A ′的坐标是 ．
3、如图，四边形EFGH 是由四边形ABCD 经过旋转得到的．如果用有序数对（2，1）表示方格纸上A 点的位置，用（1，2）表示B 点的位置，那么四边形ABCD 旋转得到四边形EFGH 时的旋转中心用有序数对表示是 ．
.4、如图2 所示，五角星的顶点是一个正五边形的五个顶点．这个五角星可以由一个基本图形（图中的阴影部分）绕中心O 至少经过____________次旋转而得到， 每一次旋转_______度．
图1
图
2
A ．
B ．
C ．
D ．
图2
甲
乙
甲
乙
A ．
B ．
C ．
D
．
甲
乙
甲
乙
5、点A 的坐标为（2，0），把点A 绕着坐标原点顺时针旋转135º到点B ，那么点B 的坐标是 _________ ．
6、如图，直线43
4+-
=x y 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，
把ΔABC 绕点A 顺时针旋转90°后得到ΔAO ′B ′，则点B ′的坐标是 ． 7、如图所示，在平面直角坐标系中，ΔOAB 三个顶点的坐标是O (0,0),A (3,4),B (5,2)．将ΔOAB 绕原点O 按逆时针方向旋转900
后得到ΔO 1A 1B ，则点A 1的坐标是 ． 8、在平面直角坐标系中，已知3个点的坐标分别为A 1(1,1)、A 2(0,2)、A 3(-1,1). 一只电子蛙位于坐标原点处，第1次电子蛙由原点跳到以A 1为对称中心的对称点P 1，第2次电子蛙由P 1
点跳到以A 2为对称中心的对称点P 2，第3次电子蛙由P 2点跳到以A 3为对称中心的对称点P 3，…，按此规律，电子蛙分别以
A 1、A 2、A 3为对称中心继续跳下去．问当电子蛙跳了2009次后，电子蛙落点的坐标是P 2009（_______ ，_______）.
三、解答题
1、如图是由若干个边长为1的小正方形组成的网格，请在图中作出将“蘑菇”ABCDE 绕A 点逆时针旋转90︒再向右平移2个单位的图形（其中C 、D 为所在小正方形边的中点）．
2、如图所示，每个小方格都是边长为1的正方形，以O 点为坐标原点建立平面直角坐标系.
（1）画出四边形OABC 关于y 轴对称的四边形OA 1B 1C 1，并写出点B 1的坐标是 . （2）画出四边形OABC 绕点O 顺时针方向旋转90°后得到的四边形OA 2B 2C 2.
3、在如图所示的方格
纸中，每
个小方格都是边长为1个单位的正方形，ΔABC 的
三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点）．画出绕ΔABC 点O 逆时针旋转90°后的ΔA ′B ′C ．
4、图①、图②均为7×6的正方形网格，点A 、B 、C 在格点上．
（1）在图①中确定格点D ，并画出以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形，使其为轴对称图形．（画一个即可） （2）在图②中确定格点E ，并画出以A 、B 、C 、E 为顶点的四边形，使其为中心对称图形．（画
A
B
E
C D
x
一个即可）
5、如图，在Rt △OAB 中，∠OAB =90°，OA =AB =6，将△OAB 绕点O 沿逆时针方向旋转90°得到△OA 1B 1．（1）线段OA 1的长是 ，∠OAB 1的度数是 ；
（2）连结AA 1，求证：四边形OAA 1B 1是平行四边形； （3）求四边形OAA 1B 1的面积．
6、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°, ∠B =60°，BC=2．点O 是AC 的中点，过点O 的直线l 从与AC 重合的位置开始，绕点O 作逆时针旋转，交AB 边于点D .过点C 作CE ∥AB 交直线l 于点E ，设直线l 的旋转角为α.
(1) ①当α=________度时，四边形E DBC 是等腰梯形，此时AD 的长为_________； ②当α=________度时，四边形EDBC 是直角梯形，此时AD 的长为_________； (2)当α=90°时,判断四边形EDBC 是否为菱形，并说明理由
图①
图②。