矩阵的范数和条件数

① A0,& A ,0 A0
② A A,R
③ A B A B, A ,B R n n ④ A B A B, A ,B R n n
⑤ Ax Ax, xRn
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2 2 x x 1 1 6 .0 0 0 0 6 1 x x 2 2 8 8 .0 0 0 0 1 与 2 2 x x 1 1 5 .9 9 9 9 6 9 x x 2 2 8 8 .0 0 0 0 2
其解分别为：x


x1 x2

College of SciA的实值函数N(A)=‖A‖,满足条件:
(1)非负性: ‖A‖0 ,且‖A‖=0当且仅当 A=0; (2)齐次性: ‖A‖=| |‖A‖, R; (3)三角不等式:‖A+B‖‖A‖+‖B‖; (4)柯西－施瓦茨不等式:‖AB‖‖A‖‖B‖. 则称‖A‖为矩阵A的范数.
x
b
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注：一般判断矩阵是否病态，并不计算A1，而由经验得出。
行列式很大或很小（如某些行、列近似相关）； 元素间相差大数量级，且无规则； 主元消去过程中出现小主元； 特征值相差大数量级。
A1
很小
A
A
A
A
条件数表示了对误差的放大率
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同样，类似有
A(x x) b b
Ax b
x A1 A b

1

1

和
x


x1 x2



10 2

在对方程组的解进行误差分析、讨论解方程组的迭代 法的收敛性以及讨论方程组的“优劣”时，需要利 用向量与矩阵的范数的概念。
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定义 设向量XRn ,若X的实值函数N(X)=‖X‖,满足条件:
(1)非负性: ‖X‖0 ,且‖X‖=0的充要条件为X=0; (2)齐次性: ‖kX ‖=|k |‖X‖, kR；
(3)三角不等式:对任意 X,YRn ,都有: ‖X+Y‖‖X‖+‖Y‖ 则称N(X)=‖X‖为Rn上的向量 X 的范数。
例
A 0.1 990 0..9 9 8 9, b 1 1..9 9 7 9精确解为
x


1 1

.
计算cond (A)2 。
A1 = 99980000919000000
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xx*x2.02203||||xx|||2|2 2.0102 > 200%
定义：设向量XRn ,矩阵ARn×n ,且给定一种向量范数‖X‖p ,则称
AX
A maxpmaAxX,p1,2,
p X0 X
X1
p
p
为由向量范数派生的矩阵算子范数.
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矩阵的范数和条件数矩阵范数矩阵的范数矩阵范数的定义矩阵2范数矩阵的2范数矩阵的范数怎么求矩阵的二范数矩阵范数求导矩阵的无穷范数
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向量的范数
例1 考虑下面的两个线性方程组：
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定理：设A=(aij)n×n,则对应于3种常见的向量范数，有3种矩阵范数
n
A 1
max 1jn i1
aij
n
A
max 1in j1
aij
列和的最大值 行和的最大值
A 2
max max是ATA的最大特征值，也称为谱范数
矩阵范数的一些性质：
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条件数和病态矩阵
定义：（条件数） Copn (A)dAp A1p
p 表示A的某种范数
若矩阵A的条件数较大，则称A为病态矩阵。
设 Axb， A引入误差 A 后，解引入误差 x ，则
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解：考察 A 的特征根
deIt(A )0 1 1.980050504
2 0.000050504
cond(A)2
1 2
39206 >> 1
测试病态程度：
为对称矩阵
给|| |b | bb |一|2 |2 |个0 扰.5 动1 1 b3 0 4 00 ..010 .90% 1 7611此00时34精，确其解相为对误x*差为1.03203
(A A )x (x)b
( A A ) x b A A x x A x
x(AA)1Ax
x (AA)1A
x
A (I A 1A ) 1 (A A ) 1
(IA1A)1A1A
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(IA1A )1A1A
(IA1A)1 A1A
注意到
(I B)1 1 1 B
因为： D ( I B ) 1 1 I ( I B ) D D BD
D BDD (1B)
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xA1 A 1
x
1A1A
条件数

A1 A

A1 A A
A

1 A1 A 1 A1 A A
定义：设X=(x1,x2,…,xn)T Rn ,则定义:
(1)向量的2－范数：
X2x1 2x2 2 xn 2
(2)向量的－范数： (3)向量的1－范数：
Xm 1ian{xxi }
n
X 1
xi
i 1
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定义：设A=(aij)n×n,的特征值为r，定义A的谱半径为：
(A)m 1ran xr
定理：‖A‖为矩阵A的范数，则易知： (A) A
证： xAx x为A的特征向量
x Ax
xxA xA x
A x
A

x
#证毕