定陶县高中2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学

定陶县高中2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 数列1，，，，，，，，，，…的前100项的和等于（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2． 设函数f （x ）=，f （﹣2）+f （log 210）=（ ）
A ．11
B ．8
C ．5
D ．2
3． 若复数
2b i
i
++的实部与虚部相等，则实数b 等于（ ） （A ） 3 （ B ） 1 （C ）
13 （D ） 12
- 4． 执行如图所示的程序框图，如果输入的t ＝10，则输出的i ＝（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
5． 已知实数x ，y 满足a x ＜a y （0＜a ＜1），则下列关系式恒成立的是（ ）
A ．
B ．ln （x 2+1）＞ln （y 2+1）
C ．x 3＞y 3
D ．sinx ＞siny
6． 已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>，12,F F 分别在其左、右焦点，点P 为双曲线的右支上
的一点，圆M 为三角形12PF F 的内切圆，
PM 所在直线与轴的交点坐标为(1,0)，与双曲线的一条渐
近线平行且距离为
2
，则双曲线C 的离心率是（ ）
A B ．2 C D ．2
7． 下列计算正确的是（ ）
A 、213
3
x x x ÷= B 、4554()x x = C 、455
4x x x = D 、4455
0x x -
=
8． 12,e e 是平面内不共线的两向量，已知12AB e ke =-，123CD e e =-，若,,A B D 三点共线，则的值是
（ ）
A ．1
B ．2
C ．-1
D ．-2
9． 已知双曲线﹣
=1的右焦点与抛物线y 2=12x 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于
（ ）
A ．
B ．
C ．3
D ．5
10．
+（a ﹣4）0有意义，则a 的取值范围是（ ）
A ．a ≥2
B ．2≤a ＜4或a ＞4
C ．a ≠2
D ．a ≠4
11．已知函数f （x ）=﹣log 2x ，在下列区间中，包含f （x ）零点的区间是（ ） A ．（0，1） B ．（1，2） C ．（2，4） D ．（4，+∞）
12．数列{a n }满足a 1=， =﹣1（n ∈N *
），则a 10=（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题
13．将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n 行（n ≥3）从左向右的第3个数为 ．
14．执行如图所示的程序框图，输出的所有值之和是 .
【命题意图】本题考查程序框图的功能识别，突出对逻辑推理能力的考查，难度中等.
15．抛物线y 2=8x 上到顶点和准线距离相等的点的坐标为 ．
16．如图所示，在三棱锥C ﹣ABD 中，E 、F 分别是AC 和BD 的中点，若CD=2AB=4，EF ⊥AB ，则EF 与CD 所成的角是 ．
17．某校开设9门课程供学生选修，其中A ，B ，C3门课由于上课时间相同，至多选1门，若学校规定每位学生选修4门，则不同选修方案共有 种．
18．以点（1，3）和（5，﹣1）为端点的线段的中垂线的方程是 ．
三、解答题
19．（本小题满分12分）如图所示，已知⊥AB 平面ACD ，⊥DE 平面ACD ，ACD ∆为等边 三角形,AB DE AD 2==，F 为CD 的中点. （1）求证：//AF 平面BCE ； （2）平面⊥BCE 平面CDE .
20．已知向量，满足||=1，||=2，与的夹角为120°．
（1）求
及|+|；
（2）设向量+与﹣的夹角为θ，求cos θ的值．
21．【南师附中2017届高三模拟二】如下图扇形AOB 是一个观光区的平面示意图，其中AOB ∠为
23
π
，半径OA 为1km ，为了便于游客观光休闲，拟在观光区内铺设一条从入口A 到出口B 的观光道路，道路由圆弧
AC 、线段CD 及线段BD 组成．其中D 在线段OB 上，且//CD AO ，设AOC θ∠=．
（1）用θ表示CD 的长度，并写出θ的取值范围；
（2）当 为何值时，观光道路最长？
22．长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，AA1=AD=4，点E为AB中点．（1）求证：BD1∥平面A1DE；
（2）求证：A1D⊥平面ABD1．
23．已知f（）=﹣x﹣1．
（1）求f（x）；
（2）求f（x）在区间[2，6]上的最大值和最小值．
24．在ABC ∆中已知2a b c =+，2
sin sin sin A B C =，试判断ABC ∆的形状.
定陶县高中2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】A 【解析】解：
=1×
故选A ．
2． 【答案】B 【解析】解：∵f （x ）=，
∴f （﹣2）=1+log 24=1+2=3，
=5，
∴f （﹣2）+f （log 210）=3+5=8． 故选：B ．
【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．
3． 【答案】C
【解析】
b ＋i 2＋i ＝(b ＋i)(2－i)(2＋i)(2－i)＝2b ＋15＋2－b 5i ，因为实部与虚部相等，所以2b ＋1＝2－b ，即b ＝1
3.故选C.
4． 【答案】
【解析】解析：选B.程序运行次序为 第一次t ＝5，i ＝2； 第二次t ＝16，i ＝3； 第三次t ＝8，i ＝4；
第四次t ＝4，i ＝5，故输出的i ＝5.
5． 【答案】C
【解析】解：∵实数x 、y 满足a x ＜a y
（1＞a ＞0），∴y ＜x ．
对于A ．取x=1，y=0，
不成立，因此不正确；
对于B ．取y=﹣2，x=﹣1，ln （x 2+1）＞ln （y 2
+1）不成立； 对于C ．利用y=x 3在R 上单调递增，可得x 3＞y 3
，正确；
对于D ．取y=﹣π，x=，但是sinx=，siny=，sinx ＞siny 不成立，不正确．
故选：C ．
【点评】本题考查了函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力，属于基础题．
6． 【答案】C 【解析】
试题分析：由题意知()1,0到直线0bx ay -=
2=
，得a b =，则为等轴双曲
故本题答案选C. 1 考点：双曲线的标准方程与几何性质．
【方法点睛】本题主要考查双曲线的标准方程与几何性质.求解双曲线的离心率问题的关键是利用图形中的几何条件构造,,a b c 的关系,处理方法与椭圆相同,但需要注意双曲线中,,a b c 与椭圆中,,a b c 的关系不同.求双曲线离心率的值或离心率取值范围的两种方法：（1）直接求出,a c 的值,可得；（2）建立,,a b c 的齐次关系式,将用,a c 表示,令两边同除以或2
a 化为的关系式,解方程或者不等式求值或取值范围.
7． 【答案】B 【解析】 试题分析：根据()
a
a β
ααβ⋅=可知，B 正确。

考点：指数运算。

8． 【答案】B 【解析】
考点：向量共线定理．
9． 【答案】A
【解析】解：抛物线y 2
=12x 的焦点坐标为（3，0）
∵双曲线的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合
∴4+b2=9
∴b2=5
∴双曲线的一条渐近线方程为，即
∴双曲线的焦点到其渐近线的距离等于
故选A．
【点评】本题考查抛物线的性质，考查时却显得性质，确定双曲线的渐近线方程是关键．10．【答案】B
【解析】解：∵+（a﹣4）0有意义，
∴，
解得2≤a＜4或a＞4．
故选：B．
11．【答案】C
【解析】解：∵f（x）=﹣log2x，
∴f（2）=2＞0，f（4）=﹣＜0，
满足f（2）f（4）＜0，
∴f（x）在区间（2，4）内必有零点，
故选：C
12．【答案】C
【解析】解：∵=﹣1（n∈N*），
∴﹣=﹣1，
∴数列是等差数列，首项为=﹣2，公差为﹣1．
∴=﹣2﹣（n﹣1）=﹣n﹣1，
∴a n =1﹣=．
∴a 10=
．
故选：C ．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
二、填空题
13．【答案】 3+ ．
【解析】解：本小题考查归纳推理和等差数列求和公式． 前n ﹣1行共有正整数1+2+…+（n ﹣1）个，
即
个，
因此第n 行第3个数是全体正整数中第3+个，
即为3+．
故答案为：3+．
14．【答案】54
【解析】根据程序框图可知循环体共运行了9次，输出的x 是1，3，5，7，9，11，13，15， 17中不是3的倍数的数，所以所有输出值的和54171311751=+++++.
15．【答案】 （ 1，±2） ．
【解析】解：设点P 坐标为（a 2
，a ）
依题意可知抛物线的准线方程为x=﹣2
a 2+2=
，求得a=±2
∴点P 的坐标为（ 1，±2）
故答案为：（ 1，±2
）．
【点评】本题主要考查了两点间的距离公式、抛物线的简单性质，属基础题．
16．【答案】 30° ．
【解析】解：取AD 的中点G ，连接EG ，GF 则EG
DC=2，GF
AB=1，
故∠GEF即为EF与CD所成的角．
又∵FE⊥AB∴FE⊥GF∴在Rt△EFG中EG=2，GF=1故∠GEF=30°．
故答案为：30°
【点评】此题的关键是作出AD的中点然后利用题中的条件在特殊三角形中求解，如果一味的想利用余弦定理求解就出力不讨好了．
17．【答案】75
【解析】计数原理的应用．
【专题】应用题；排列组合．
【分析】由题意分两类，可以从A、B、C三门选一门，再从其它6门选3门，也可以从其他六门中选4门，根据分类计数加法得到结果．
【解答】解：由题意知本题需要分类来解，
第一类，若从A、B、C三门选一门，再从其它6门选3门，有C31C63=60，
第二类，若从其他六门中选4门有C64=15，
∴根据分类计数加法得到共有60+15=75种不同的方法．
故答案为：75．
【点评】本题考查分类计数问题，考查排列组合的实际应用，利用分类加法原理时，要注意按照同一范畴分类，分类做到不重不漏．
18．【答案】x﹣y﹣2=0．
【解析】解：直线AB的斜率k AB=﹣1，所以线段AB的中垂线得斜率k=1，又线段AB的中点为（3，1），
所以线段AB的中垂线得方程为y﹣1=x﹣3即x﹣y﹣2=0，
故答案为x﹣y﹣2=0．
【点评】本题考查利用点斜式求直线的方程的方法，此外，本题还可以利用线段的中垂线的性质（中垂线上的点到线段的2个端点距离相等）来求中垂线的方程．
三、解答题
19．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】
试题分析：（1）推导出BC AC ⊥,1CC AC ⊥，从而⊥AC 平面11B BCC ，连接11,NA CA ，则N A B ,,1三点共线，推导出MN CN BA CN ⊥⊥,1，由线面垂直的判定定理得⊥CN 平面BNM ；（2）连接1AC 交1CA 于点H ，推导出1BA AH ⊥，1BA HQ ⊥，则AQH ∠是二面角C BA A --1的平面角．由此能求出二面角
1B BN C --的余弦值．
试题解析：（1）如图，取CE 的中点G ，连接BG FG ,. ∵F 为CD 的中点，∴DE GF //且DE GF 2
1
=. ∵⊥AB 平面ACD ，⊥DE 平面ACD ， ∴DE AB //， ∴AB GF //.
又DE AB 2
1
=
，∴AB GF =. ∴四边形GFAB 为平行四边形，则BG AF //. （4分） ∵⊄AF 平面BCE ，⊂BG 平面BCE ， ∴//AF 平面BCE （6分）
考点：直线与平面平行和垂直的判定． 20．【答案】
【解析】解：（1）=；
∴=
；
∴
；
（2）同理可求得
；
；
∴
=．
【点评】考查向量数量积的运算及其计算公式，根据
求
的方法，以及向量夹角
余弦的计算公式．
21．【答案】（1
）cos ,0,33CD πθθθ⎛⎫
=+∈ ⎪⎝⎭
;（2）设∴当6πθ=时，()L θ取得最大值，即当6πθ=
时，观光道路最长.
【解析】试题分析：（1）在OCD ∆中，由正弦定理得：sin sin sin CD OD CO COD DCO CDO ==∠∠∠
2cos 333CD πθθθ⎛⎫
∴=-=+ ⎪⎝⎭
，3OD θ=
1sin 0
3OD OB π
θθθ<<∴<<<
cos ,0,3CD πθθθ⎛⎫
∴=∈ ⎪⎝⎭
（2）设观光道路长度为()L θ
， 则(
)L BD CD AC θ=++弧的长
= 1cos θθθθ+++= cos 1θθ
θ++，0,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
∴()sin 1
L θθθ=-+' 由()0L θ'=得：sin 6πθ⎛⎫
+= ⎪⎝
⎭，又0,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
6πθ∴= 列表：
∴当6
π
θ=
时，()L θ取得最大值，即当6
π
θ=
时，观光道路最长.
考点：本题考查了三角函数的实际运用
点评：对三角函数的考试问题通常有：其一是考查三角函数的性质及图象变换，尤其是三角函数的最大值与最小值、周期。

多数题型为选择题或填空题；其次是三角函数式的恒等变形。

如运用三角公式进行化简、求值解决简单的综合题等。

除在填空题和选择题出现外，解答题的中档题也经常出现这方面内容。

另外，还要注意利用三角函数解决一些应用问题 22．【答案】
【解析】证明：（1）连结A 1D ，AD 1，A 1D ∩AD 1=O ，连结OE ， ∵长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，ADD 1A 1是矩形， ∴O 是AD 1的中点，∴OE ∥BD 1，
∵OE ∥BD 1，OE ⊂平面ABD 1，BD 1⊄平面ABD 1， ∴BD 1∥平面A 1DE ．
（2）∵长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=2，AA 1=AD=4，点E 为AB 中点， ∴ADD 1A 1是正方形，∴A 1D ⊥AD 1，
∵长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ⊥平面ADD 1A 1， ∴A 1D ⊥AB ，
又AB ∩AD 1=A ，∴A 1D ⊥平面ABD 1．
23．【答案】
【解析】解：（1）令t=，则x=
，
∴f （t ）=，
∴f （x ）=
（x ≠1）…
（2）任取x 1，x 2∈[2，6]，且x 1＜x 2，
f（x1）﹣f（x2）=﹣=，
∵2≤x1＜x2≤6，∴（x1﹣1）（x2﹣1）＞0，2（x2﹣x1）＞0，
∴f（x1）﹣f（x2）＞0，
∴f（x）在[2，6]上单调递减，…
∴当x=2时，f（x）max=2，当x=6时，f（x）min=…
∆为等边三角形．
24．【答案】ABC
【解析】
试题分析：由2
=，在结合2a b c
=，根据正弦定理得出2a bc
sin sin sin
A B C
==，
=+，可推理得到a b c 即可可判定三角形的形状．
考点：正弦定理；三角形形状的判定．。