高中数学第二章平面向量第一讲向量的概念及表示学案苏教版必修1(2021年整理)

高中数学第二章平面向量第一讲向量的概念及表示学案苏教版必修1 编辑整理：
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向量的概念及表示
知识
点
课标要求题型说明
向量
的概
念及
表示
1。

了解向量的实际背景,
理解平面向量的概念；
2. 理解零向量、单位向量、
相等向量、共线（平行）向
量、相反向量的含义；
3. 理解向量的几何表示
选择
填空
高考必考
向量是代数和几何的知识交
汇点，在选择填空题中向量
的几何应用要引起足够的重
视
二、重难点提示
重点：向量的概念、相等向量的概念、向量的几何表示。

难点：向量的概念和共线向量的概念。

一、向量及相关概念
（1）向量:既有大小,又有方向的量叫向量，其中向量的大小称为向量的模（也就是用来表示有向线段的长度）。

注意：向量与数量的区别
向量有大小有方向，数量只有大小没有方向。

故长度能比较大小，而向量不能说哪个大哪个小,只能说相等还是不相等。

（2）零向量：长度为0的向量叫做零向量，记做0。

（3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量。

(4）相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.
（5）相反向量：长度相等且方向相反的向量叫做相反向量。

（6）平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共线向量.规定零向量与任一向量平行。

【要点诠释】
两个向量共线，不一定相等；而两个向量相等,则一定共线。

向量“共线”的含义不是平面几何里的“共线” 的含义。

平面几何里的三点共线与两个向量共线不同：首先共线向量不考虑起点，其次明确共线向量可分为以下五种情况：（1）方向相同、模相等；（2)方向相同、模不等；(3）方向相反、模相等；（4）方向相反、模不等；（5）零向量和任一向量共线。

二、向量的表示
(1）几何法:用有向线段来表示，即用有向线段的起点、终点来表示，如AB用AB表示.
（2）整体法:用一个小写英文字母来表示，如a,b，c等，注意此时手写（a)与书写体a不一样。

(3)坐标法：用坐标来表示向量(以后学习）。

【易错点】
注意：
1。

零向量的手写体为0，书写体用黑体字0表示。

2. 如果有向线段AB表示一个向量,通常我们就说向量AB，但有向线段只是向量的表示,并不是说向量就是有向线段。

3. 共线向量也就是平行向量，其要求是几个非零向量的方向相同或相反，当然向量所在的直线可以平行，也可以重合。

示例：四边形ABCD满足AD＝BC且AC＝BD，则四边形ABCD的形状是________。

思路分析：根据相等向量的定义可得。

答案：由四边形ABCD满足AD＝BC可知，四边形ABCD为平行四边形,又AC＝BD，即平行四边形ABCD对角线相等，从而可知四边形ABCD为矩形。

【重要提示】
本题是考查图形的形状的问题，把向量关系转化为图形的边的关系来解决.
例题1(向量的有关概念)判断下列各说法是否正确：
（1）单位向量一定相等;
(2）若a＝b,b＝c,则a＝c；
(3）若＝，则点A与点C重合，点B与点D重合;
（4）若向量a与b同向,且｜a｜〉｜b｜，则a>b;
（5）若向量a＝b，则a∥b；
（6）若a∥b，b∥c,则a∥c。

思路分析：从概念的理解出发,结合具体实例进行判断。

答案：(1）不正确。

向量有大小和方向两个要素，单位向量的模一定是1,但方向不一定相同，所以单位向量不一定相等。

（2)正确。

∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同；又∵b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.
(3）不正确。

这是因为＝时，应有AB CD及由A到B与由C到D的方向相同，但不一定有A与C重合，B与D重合。

（4）不正确。

“大于”、“小于”对于向量来说是没有意义的。

(5）正确。

相等向量一定是共线向量,但共线向量不一定相等。

（6）不正确。

对于非零向量命题正确,但当b＝0时,满足a∥b,b∥c，但a与c不一定共线.
技巧点拨:
1。

在判断与向量有关的命题时，既要立足向量的数（即模的大小）,又要考虑其形(即方向性）.
2. 涉及共线向量或平行向量的问题，一定要明确所给向量是否为非零向量.
3. 对于判断命题的正误，应该熟记有关概念,理解各命题，逐一进行判断，对于错误命题,只要举一反例即可。

例题2 （向量的表示) 一辆汽车从A点出发向西行驶了100千米到达点B,然后又改变方向向西偏北50°行驶了200千米到达点C，最后又改变方向，向东行驶了100千米到达点D.
(1）作出向量，BC，CD；
(2）求AD
思路分析：解答本题应首先确定指向标，然后再根据行驶方向确定有关向量，进而求解.
答案：
（1）如图,
（2）由题意，易知AB与CD方向相反，故AB与CD共线,即AB∥CD，
又∵AB＝CD，
∴在四边形ABCD中，AB与CD平行且相等，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC＝200(千米).
技巧点拨：
用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小确定向量的终点。

必要时，需依据直角三角形知识求出向量的方向或长度(模）,选择合适的比例关系作出向量.
向量在几何证明中的应用
【例证】如图，已知四边形ABCD中，M,N分别是BC,AD的中点，又AB＝DC。

求证：CN与MA 平行且相等。

思路分析：要证CN∥MA且CN＝MA，只需证四边形AMCN是平行四边形，而四边形AMCN是平行四边形，可以通过AN＝MC得证。

答案：由条件AB＝DC可知AB＝DC且AB∥DC,从而四边形ABCD为平行四边形，从而AD＝BC，
又M，N分别是BC，AD的中点，于是AN＝，所以AN＝MC且AN∥MC，所以四边形AMCN 是平行四边形,从而CN＝MA且CN∥MA，即CN与MA平行且相等。

技巧点拨：
1。

若＝，且四点A，B，C，D不共线，则四边形ABCD为平行四边形，反之，若四边形ABCD为平行四边形,则＝。

2。

利用向量相等或共线证明平行、相等问题：
(1）证明线段相等，只需证明相应向量的长度（模）相等；
(2)证明线段平行，先证明相应的向量共线，再说明线段不共线。