上海市曹杨第二中学2020-2021学年高一上学期第一次月考数学试题

上海市曹杨二中2020学年度第一学期
高一年级月考数学试卷
考生注意：
1．答卷前，考生务必将姓名、班级、学号等在指定位置填写清楚．
2．本试卷共有20道试题，满分100分，考试时间90分钟．请考生用水笔或圆珠笔将答案直接写在答题卷上．
一、填空题（每题4分，共48分）
1．函数1
sin 32y x ⎫⎛=+ ⎪⎝⎭
的最小正周期是________． 2
．函数y =________．
3．设a 、b 都为正数，且1a b +=，则11
a b
+的最小值为________． 4．已知π,π2a ⎫⎛∈
⎪⎝⎭，12sin 13α=，则tan 4πα⎫⎛
+ ⎪⎝
⎭的值是________．
5．已知α：31x m <-，β：2x <，若α是β充分条件，则实数m 的取值范围是________． 6．已知2
sin 23
A =
，()0,πA ∈，则sin cos A A +=________． 7．若()3s sin in2x f x =-，则πcos
12f ⎫
⎛= ⎪⎝
⎭
________． 8．若()sin cos 36ππf x x x a ⎫⎫⎛⎛=+
+- ⎪ ⎪⎝
⎝
⎭⎭是偶函数，则实数a =________． 9．已知3π
,2π2α⎫⎛∈ ⎪⎝⎭
，且3cos 5α=，则c πsin 24os 2αα⎫
⎛+ ⎪⎝
⎭的值是________． 10．已知函数2
2y x ax =+（[]0,1x ∈）的最小值为2-，则实数a =________．
11．若函数()12
1log 1,10
21,0x x x y x m
---≤<⎧⎪=⎨⎪-≤≤⎩的值域为[]1,1-，则实数m 的取值范围为________．
12．已知函数()11
sin cos sin cos 22
x x x x f x =
+--，则()f x 的值域是________． 二、选择题（每题4分，共16分）
13．函数1
312x
y x ⎫
⎛=- ⎪⎝⎭
的零点所在区间为（ ）
A ．10,3⎫⎛ ⎪⎝⎭
B ．11,32⎫⎛ ⎪⎝⎭
C ．12,23⎫⎛ ⎪⎝⎭
D ．2,13⎫⎛ ⎪⎝⎭
14．设ABC △的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．若2a =，23c =，3
cos A =，且b c <，则b =（ ） A ．3
B
．2
C ．22
D ．3
15．已知函数()sin cos a x b x f x =-（a ，b 为常数，0a ≠，x ∈R ）的图像关于直线π
4
x =对称，则函数3π
4y f x ⎫⎛=-
⎪⎝⎭
是（ ）
A ．偶函数且它的图像关于点()π,0对称
B ．偶函数且它的图像关于点3π,02⎫
⎛
⎪⎝⎭对称 C ．奇函数且它的图像关于点3π,02⎫
⎛
⎪⎝⎭
对称 D ．奇函数且它的图像关于点()π,0对称
16．如图，已知12l l ⊥，圆心在1l 上、半径为1m 的圆O 在0t =时与2l 相切于点A ，圆O 沿1l 以1m/s 的速度匀速向上移动，圆被直线2l 所截上方圆弧长记为x ，令cos y x =，则y 与时间t （01x ≤≤，单位：s ）的函数()y f t =的图像大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
三、解答题（每问4分，共36分）
17．在ABC △中，()sin 1C A -=，1sin 3
B =． （1）求sin A 的值；
（2
）设AC =，求ABC △的面积． 18．设函数()2f x x
x a
=+
+（a ∈R ）． （1）若()y f x =在()0,+∞上最小值为11
4
a +
，求a 的值； （2）若对任意的负实数a ，存在01,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，使得()0f x m ≥，求实数m 的最大值． 19．某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t （单位：h ）的变化近似满足函数关系：
(
)10sin 12ππ
12
t t f t =--，[)0,24t ∈． （1）求实验室这一天上午8时的温度； （2）求实验室这一天的最大温差．
20．已知函数()y f x =，x D ∈，若恒有()()f x T P f x +=⋅成立，则称函数()f x 是D 上的P 级周期函数，周期为T ，且0T ≠．
（1）已知函数()2
sin f x x =是R 上的1级周期函数，求实数T 的值；
（2）已知1T =，()y f x =是[)0,+∞上P 级周期函数，且()y f x =是[)0,+∞上的严格增函数，当
[)0,1x ∈时，()2x f x =，求实数P 的取值范围；
（3）是否存在非零实数k ，使函数()1cos 2x
f x kx ⎫
⎛=⋅ ⎪⎝⎭
是R 上的周期为T 的T 级周期函数？请证明你的
结论．
上海市曹杨二中2020学年度第一学期 高一年级月考数学试卷参考答案
一、填空题（每题4分，共48分） 1．4π 2．[)1,+∞ 3．4 4．717-
5．1m ≤ 6
7．52 8．1- 9
10．3
2-
11．12m ≤≤ 12
．⎡⎢⎣⎦
二、选择题（每题4分，共16分） 13．B 14．B 15．D 16．B 三、解答题（每问4分，共36分） 17．【答案】：见详解 【详解】：（1）由2πC A -=
，且πC A B +=-，42
πB
A ∴=-，
sin sin cos sin 42222πB B B A ⎫
⎫⎛∴=-=- ⎪⎪⎝⎝
⎭⎭，
()211sin 1sin 23A B ∴=
-=，又sin 0A >
，sin A ∴= （2）如图，
由正弦定理得
sin sin AC BC B A =
，sin 31
sin 3
AC A
BC B
∴===
又()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+
133=
⨯+=
11sin 22ABC
S
AC BC C ∴=
⋅⋅== 18．【答案】：见详解
【详解】：（1）若0a =，()y f x =在()0,+∞上严格单调递增，所以()y f x =在()0,+∞上无最小值； 若0a <，()y f x =在()0,+∞上严格单调递增，所以()y f x =在()0,+∞上无最小值；
若0a >，()22f x a x x =++≥，所以1124a =+，解得94a =或1
4
a = 综上，94a =
或1
4
a = （2）因为()max 3f x a =+，()min 5
22
f a x =+．原问题等价于()0max
f x m ≥， 因为5max 3,22y a a ⎧⎫
=++
⎨⎬⎩⎭
的最小值为76，故max
76m =． 19．【答案】：见详解
【详解】：（1）()s π108in 8121π
82f ⎫⎫⎛⎛=-⨯-⨯
⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭
2π2π1
10sin 10102222
⎫
⎛=-=---= ⎪⎝⎭ 故实验室上午8时的温度为10℃．
（2）因为()1102sin 102sin 2
122πππ
π12123f t t t t ⎛⎤⎫⎛=-+=-+
⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦
又024t ≤<，所以
3π7π32π1π3t ≤+<，所以1sin 11π
π2
3t ⎫⎛-≤+≤ ⎪⎝⎭ 当2t =时，sin 1123ππt ⎫⎛+=
⎪⎝⎭；当14t =时，sin 112
3π
πt ⎫⎛+=- ⎪⎝⎭
于是()f t 在[)0,24上取得最大值12，最小值8．
故实验室这一天最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃． 20．【答案】：见详解
【详解】：（1）πk ，k ∈Z ，0k ≠； （2）
[)0,1x ∈时，()2x f x =，∴当[)1,2x ∈时，()()112x f x Pf x P -=-=⋅，
当[),1x n n ∈+时，()()()()2
122n
x n
f x Pf x P f x P f x n P -''=-=-=⋅⋅⋅=-=⋅，
即[),1x n n ∈+时，()2
n
x n
f P x -=⋅，*
n ∈N ，
()f x 在[)0,+∞上单调递增，0P ∴>且()1122n n n n n n P P ----⋅≥⋅，即2P ≥．
（3）由已知，有()()f x T Tf x +=对一切实数x 恒成立，
即()11cos cos 22x T
x
k x T T kx +⎫⎫
⎛⎛⋅+=⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎝⎭
⎭
对一切实数x 恒成立，
也即()cos 2cos T
k x T T kx +=⋅对一切实数x 恒成立， 当0k ≠时，
x ∈R ，kx ∴∈R ，kx kT +∈R ，于是[]cos 1,1kx ∈-，()[]cos 1,1kx kT +∈-，
∴要使()cos 2cos T k x T T kx +=⋅恒成立，只有21T T ⋅=±，
①当21T
T ⋅=时，即1
2T
T
=
（*）时， 由函数2x y =与1
y x
=
的图像存在交点，∴方程（*）有解； 此时()cos cos kx kT kx +=恒成立，则2πkT m =，m ∈Z ，2π
m k T
=
，m ∈Z ； ②当21T
T ⋅=-（**）时，类似①中分析可得，方程（**）无解； 综上：存在2πm k T
=
，m ∈Z 符合题意，其中T 满足21T
T ⋅=．。