高中数学必修课件第一章垂直关系的性质
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02
证明过程
03
首先，连接AC交BD于点O，连接EO。由于ABCD是正方 形，因此AC⊥BD。
04
由于PD⊥底面ABCD，所以PD⊥AC。因此，AC⊥平面 PDB。
05
由于E是PC的中点，O是AC的中点，所以EO∥PA。因此 ，EO⊥平面PDB。
06
由于EF⊥PB且EO∩EF=E，所以PB⊥平面EFD。
01
02
03
垂直线定义
两条直线相交成90度角时 ，这两条直线互相垂直。
垂直符号
用符号"⊥"表示两条直线 垂直，如直线AB垂直于直 线CD，记作AB⊥CD。
垂直线段的性质
连接直线外一点与直线上 各点的所有线段中，垂线 段最短。
垂直角概念与性质
垂直角定义
两条相交线中的任一个角 与它的邻补角互为垂直角 。
垂直线段最短的性质
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
典型例题解题思路梳理
例题1
证明两条直线垂直。解题思路：根据垂直的定义，证明两条直线相交成90度角，或者利 用平面内两直线垂直的判定定理进行证明。
例题2
求点到直线的距离。解题思路：首先作点到直线的垂线，然后利用垂线段最短的性质，求 出点到直线的距离。
系。
注意事项
在应用垂直线段比例定理时，需 要注意直角三角形的斜边和直角 边的对应关系，避免出现错误。
垂直平分线性质
垂直平分线定义
经过某一条线段的中点，并且垂 直于这条线段的直线，叫做这条
线段的垂直平分线。
垂直平分线性质
垂直平分线上的点到线段两端的距 离相等。
垂直平分线的判定
到一条线段两个端点距离相等的点 ，在这条线段的垂直平分线上。
通过建立空间直角坐标系，利用向量的点积为零来判定两条异面直线垂 直。
空间中直线与平面垂直判定
定义法
如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，那么这条直线就与这 个平面垂直。
判定定理
如果一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，那么这条直线 就与这个平面垂直。
向量法
通过建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量与平面的法向量 平行来判定直线与平面垂直。
准确识别垂直关系
灵活运用垂直性质
在解题过程中，要准确识别题目中给出的 垂直关系或自行构造垂直关系。
在解题过程中，要灵活运用垂直关系所带 来的性质，如直角三角形的性质、矩形的 性质等。
作辅助线构造垂直关系
注意计算准确性
在解题过程中，若题目中未给出明显的垂 直关系，可以通过作辅助线来构造垂直关 系，进而简化问题并求解。
04
垂直关系在几何图形中应 用
三角形中垂直关系应用
直角三角形
在直角三角形中，两直角边互相垂直，可以利用 勾股定理、三角函数等基本性质解题。
等腰三角形
在等腰三角形中，若底边上的高与底边垂直，则 可以利用等腰三角形的性质解题。
一般三角形
对于一般三角形，可以通过作高线来构造直角三 角形，进而利用垂直关系解题。
的最小距离。
06
总结回顾与拓展延伸
知识点总结回顾
垂直线的定义及性质
两条直线相交成90度角时，它们互相垂直，其中一条直线叫做另一条 直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
平面内两直线的垂直关系
在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线 平行。
空间中两直线的垂直关系
在空间中，一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，则这条直线 与这个平面垂直。
空间中两异面直线垂直判定
01
定义法
如果两条异面直线所成的角为90°，那么这两条异面直线互相垂直。
0果平面内的一条直线垂直于平面的垂线，那么这条直线就垂直于这个 平面；反之，如果平面内的一条直线垂直于平面内的一条斜线，那么这 条直线就垂直于这条斜线在平面内的射影。
向量法
解题思路
首先根据直线方程求出 两直线的斜率，然后利 用斜率判定定理进行判 定。
解答过程
由直线l1的方程 y=2x+1可知，斜率 k1=2；由直线l2的方程 y=-1/2x+3可知，斜率 k2=-1/2。因为k1与k2 的乘积为-1，所以根据 斜率判定定理可知， l1⊥l2。
03
空间中垂直关系判定与证 明
垂直判定定理
若直线l1的方向向量为a，直线l2的方向向量为b，且a与b的点积为 0，则l1⊥l2。
注意事项
在利用向量判定两直线垂直时，需要确保所选的方向向量是正确的 ，否则会影响判定结果。
综合应用举例
题目
在平面直角坐标系中， 已知直线l1的方程为 y=2x+1，直线l2的方 程为y=-1/2x+3，试判 断l1与l2是否垂直，并 说明理由。
高中数学必修课件第 一章垂直关系的性质
汇报人：XX
20XX-01-30
目录
• 垂直关系基本概念与性质 • 平面内垂直关系判定与证明 • 空间中垂直关系判定与证明
目录
• 垂直关系在几何图形中应用 • 实际问题中垂直关系模型构建与求解 • 总结回顾与拓展延伸
01
垂直关系基本概念与性质
垂直线定义及表示方法
四边形中垂直关系应用
1 2
矩形和正方形
在矩形和正方形中，相邻两边互相垂直，可以利 用这一性质求解与边长、对角线等有关的问题。
菱形
在菱形中，对角线互相垂直且平分，可以利用这 一性质求解与对角线、边长等有关的问题。
3
一般四边形
对于一般四边形，可以通过作垂线来构造直角三 角形或矩形，进而利用垂直关系解题。
例题3
判断空间两直线是否垂直。解题思路：根据空间中两直线垂直的判定定理，判断一条直线 是否垂直于另一条直线所在的平面，或者判断两条直线是否都垂直于第三个平面。
拓展延伸题目挑战
挑战题1
在三维坐标系中，给定两条直线的方程，判断它们是否垂 直，并给出证明。
挑战题2
在平面内，给定三个点，求经过这三个点且与给定直线垂 直的圆的方程。
垂直角性质
两个垂直角的大小相等， 且都等于90度。
垂直角的判定
如果两个角相等且它们的 和为180度，那么这两个 角互为垂直角。
垂直线段比例定理
定理内容
在直角三角形中，直角边上的高 等于斜边的一半时，那么这条高 等于斜边的中线。也可以理解为 ，直角三角形斜边上的中线等于
斜边的一半。
定理应用
在解决与直角三角形相关的问题 时，可以利用垂直线段比例定理 来求解一些线段的长度或比例关
在利用垂直关系进行计算时，要注意计算的 准确性和合理性，避免出现错误答案。
05
实际问题中垂直关系模型 构建与求解
实际背景问题转化为数学模型
识别问题中的垂直关系，如建 筑物的高度、影子的长度等。
将实际问题抽象为几何图形， 如直线、平面等。
根据垂直关系的性质，将问题 转化为数学模型，如直角三角 形、空间向量等。
02
平面内垂直关系判定与证 明
利用角度判定两直线垂直
定义
01
当两直线相交形成的四个角中，有一个角为90°时，称这两条直
线互相垂直。
判定定理
02
若直线l1与l2的夹角为90°，则l1⊥l2。
注意事项
03
在利用角度判定两直线垂直时，需要确保所测量的角是两条直
线的夹角，而不是其他角度。
利用斜率判定两直线垂直
空间中两个平面垂直判定
定义法
如果两个平面相交，且所成的二面角为直二面角，那么这两个平面 互相垂直。
判定定理
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂 直。
向量法
通过建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量垂直来判定两个平 面垂直。
综合应用举例
01
题目：在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱 PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交 PB于点F。求证：PB⊥平面EFD。
典型例题讲解
01
02
03
04
例题1
建筑物高度与影子长度的问题 。通过测量影子的长度和角度
，计算建筑物的高度。
例题2
空间向量垂直问题。通过已知 向量的坐标，判断两个向量是 否垂直，并计算它们的点积。
例题3
直角三角形中的边长计算。通 过已知直角三角形的两条边长
，计算第三条边长。
例题4
最小距离问题。通过构建直角 坐标系和方程，求解两点之间
斜率定义
直线倾斜角的正切值称为该直线的斜 率。
注意事项
在利用斜率判定两直线垂直时，需要 注意斜率不存在的情况，此时可以通 过其他方式进行判定。
垂直判定定理
若直线l1的斜率为k1，直线l2的斜率 为k2，且k1与k2的乘积为-1，则 l1⊥l2。
利用向量判定两直线垂直
向量定义
既有大小又有方向的量称为向量。
利用已知条件构建方程或不等式求解
根据已知条件和数学 模型，列出方程或不 等式。
注意解的范围和实际 意义，如长度不能为 负等。
运用代数方法求解方 程或不等式，如消元 法、代入法等。
检查结果并给出最终答案
检查求解过程是否正确，如方程是否列对、计算是否准确等。 将解代入原问题中验证是否符合实际背景。
给出最终答案，并注明单位。
多边形及圆中垂直关系应用
正多边形
在正多边形中，可以通过连接对角点来构造垂直关系，进而求解 与边长、角度等有关的问题。
圆
在圆中，直径与圆上任意一点连接的线段互相垂直，可以利用这一 性质求解与弦、弧等有关的问题。
复杂图形
对于复杂图形，可以通过作辅助线来构造垂直关系，进而简化问题 并求解。
解题策略分享
挑战题3
在空间中，给定一个点和一条直线，求经过这个点且与给 定直线垂直的平面的方程。
THANKS
感谢观看
证明过程
03
首先，连接AC交BD于点O，连接EO。由于ABCD是正方 形，因此AC⊥BD。
04
由于PD⊥底面ABCD，所以PD⊥AC。因此，AC⊥平面 PDB。
05
由于E是PC的中点，O是AC的中点，所以EO∥PA。因此 ，EO⊥平面PDB。
06
由于EF⊥PB且EO∩EF=E，所以PB⊥平面EFD。
01
02
03
垂直线定义
两条直线相交成90度角时 ，这两条直线互相垂直。
垂直符号
用符号"⊥"表示两条直线 垂直，如直线AB垂直于直 线CD，记作AB⊥CD。
垂直线段的性质
连接直线外一点与直线上 各点的所有线段中，垂线 段最短。
垂直角概念与性质
垂直角定义
两条相交线中的任一个角 与它的邻补角互为垂直角 。
垂直线段最短的性质
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
典型例题解题思路梳理
例题1
证明两条直线垂直。解题思路：根据垂直的定义，证明两条直线相交成90度角，或者利 用平面内两直线垂直的判定定理进行证明。
例题2
求点到直线的距离。解题思路：首先作点到直线的垂线，然后利用垂线段最短的性质，求 出点到直线的距离。
系。
注意事项
在应用垂直线段比例定理时，需 要注意直角三角形的斜边和直角 边的对应关系，避免出现错误。
垂直平分线性质
垂直平分线定义
经过某一条线段的中点，并且垂 直于这条线段的直线，叫做这条
线段的垂直平分线。
垂直平分线性质
垂直平分线上的点到线段两端的距 离相等。
垂直平分线的判定
到一条线段两个端点距离相等的点 ，在这条线段的垂直平分线上。
通过建立空间直角坐标系，利用向量的点积为零来判定两条异面直线垂 直。
空间中直线与平面垂直判定
定义法
如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，那么这条直线就与这 个平面垂直。
判定定理
如果一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，那么这条直线 就与这个平面垂直。
向量法
通过建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量与平面的法向量 平行来判定直线与平面垂直。
准确识别垂直关系
灵活运用垂直性质
在解题过程中，要准确识别题目中给出的 垂直关系或自行构造垂直关系。
在解题过程中，要灵活运用垂直关系所带 来的性质，如直角三角形的性质、矩形的 性质等。
作辅助线构造垂直关系
注意计算准确性
在解题过程中，若题目中未给出明显的垂 直关系，可以通过作辅助线来构造垂直关 系，进而简化问题并求解。
04
垂直关系在几何图形中应 用
三角形中垂直关系应用
直角三角形
在直角三角形中，两直角边互相垂直，可以利用 勾股定理、三角函数等基本性质解题。
等腰三角形
在等腰三角形中，若底边上的高与底边垂直，则 可以利用等腰三角形的性质解题。
一般三角形
对于一般三角形，可以通过作高线来构造直角三 角形，进而利用垂直关系解题。
的最小距离。
06
总结回顾与拓展延伸
知识点总结回顾
垂直线的定义及性质
两条直线相交成90度角时，它们互相垂直，其中一条直线叫做另一条 直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
平面内两直线的垂直关系
在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线 平行。
空间中两直线的垂直关系
在空间中，一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，则这条直线 与这个平面垂直。
空间中两异面直线垂直判定
01
定义法
如果两条异面直线所成的角为90°，那么这两条异面直线互相垂直。
0果平面内的一条直线垂直于平面的垂线，那么这条直线就垂直于这个 平面；反之，如果平面内的一条直线垂直于平面内的一条斜线，那么这 条直线就垂直于这条斜线在平面内的射影。
向量法
解题思路
首先根据直线方程求出 两直线的斜率，然后利 用斜率判定定理进行判 定。
解答过程
由直线l1的方程 y=2x+1可知，斜率 k1=2；由直线l2的方程 y=-1/2x+3可知，斜率 k2=-1/2。因为k1与k2 的乘积为-1，所以根据 斜率判定定理可知， l1⊥l2。
03
空间中垂直关系判定与证 明
垂直判定定理
若直线l1的方向向量为a，直线l2的方向向量为b，且a与b的点积为 0，则l1⊥l2。
注意事项
在利用向量判定两直线垂直时，需要确保所选的方向向量是正确的 ，否则会影响判定结果。
综合应用举例
题目
在平面直角坐标系中， 已知直线l1的方程为 y=2x+1，直线l2的方 程为y=-1/2x+3，试判 断l1与l2是否垂直，并 说明理由。
高中数学必修课件第 一章垂直关系的性质
汇报人：XX
20XX-01-30
目录
• 垂直关系基本概念与性质 • 平面内垂直关系判定与证明 • 空间中垂直关系判定与证明
目录
• 垂直关系在几何图形中应用 • 实际问题中垂直关系模型构建与求解 • 总结回顾与拓展延伸
01
垂直关系基本概念与性质
垂直线定义及表示方法
四边形中垂直关系应用
1 2
矩形和正方形
在矩形和正方形中，相邻两边互相垂直，可以利 用这一性质求解与边长、对角线等有关的问题。
菱形
在菱形中，对角线互相垂直且平分，可以利用这 一性质求解与对角线、边长等有关的问题。
3
一般四边形
对于一般四边形，可以通过作垂线来构造直角三 角形或矩形，进而利用垂直关系解题。
例题3
判断空间两直线是否垂直。解题思路：根据空间中两直线垂直的判定定理，判断一条直线 是否垂直于另一条直线所在的平面，或者判断两条直线是否都垂直于第三个平面。
拓展延伸题目挑战
挑战题1
在三维坐标系中，给定两条直线的方程，判断它们是否垂 直，并给出证明。
挑战题2
在平面内，给定三个点，求经过这三个点且与给定直线垂 直的圆的方程。
垂直角性质
两个垂直角的大小相等， 且都等于90度。
垂直角的判定
如果两个角相等且它们的 和为180度，那么这两个 角互为垂直角。
垂直线段比例定理
定理内容
在直角三角形中，直角边上的高 等于斜边的一半时，那么这条高 等于斜边的中线。也可以理解为 ，直角三角形斜边上的中线等于
斜边的一半。
定理应用
在解决与直角三角形相关的问题 时，可以利用垂直线段比例定理 来求解一些线段的长度或比例关
在利用垂直关系进行计算时，要注意计算的 准确性和合理性，避免出现错误答案。
05
实际问题中垂直关系模型 构建与求解
实际背景问题转化为数学模型
识别问题中的垂直关系，如建 筑物的高度、影子的长度等。
将实际问题抽象为几何图形， 如直线、平面等。
根据垂直关系的性质，将问题 转化为数学模型，如直角三角 形、空间向量等。
02
平面内垂直关系判定与证 明
利用角度判定两直线垂直
定义
01
当两直线相交形成的四个角中，有一个角为90°时，称这两条直
线互相垂直。
判定定理
02
若直线l1与l2的夹角为90°，则l1⊥l2。
注意事项
03
在利用角度判定两直线垂直时，需要确保所测量的角是两条直
线的夹角，而不是其他角度。
利用斜率判定两直线垂直
空间中两个平面垂直判定
定义法
如果两个平面相交，且所成的二面角为直二面角，那么这两个平面 互相垂直。
判定定理
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂 直。
向量法
通过建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量垂直来判定两个平 面垂直。
综合应用举例
01
题目：在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱 PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交 PB于点F。求证：PB⊥平面EFD。
典型例题讲解
01
02
03
04
例题1
建筑物高度与影子长度的问题 。通过测量影子的长度和角度
，计算建筑物的高度。
例题2
空间向量垂直问题。通过已知 向量的坐标，判断两个向量是 否垂直，并计算它们的点积。
例题3
直角三角形中的边长计算。通 过已知直角三角形的两条边长
，计算第三条边长。
例题4
最小距离问题。通过构建直角 坐标系和方程，求解两点之间
斜率定义
直线倾斜角的正切值称为该直线的斜 率。
注意事项
在利用斜率判定两直线垂直时，需要 注意斜率不存在的情况，此时可以通 过其他方式进行判定。
垂直判定定理
若直线l1的斜率为k1，直线l2的斜率 为k2，且k1与k2的乘积为-1，则 l1⊥l2。
利用向量判定两直线垂直
向量定义
既有大小又有方向的量称为向量。
利用已知条件构建方程或不等式求解
根据已知条件和数学 模型，列出方程或不 等式。
注意解的范围和实际 意义，如长度不能为 负等。
运用代数方法求解方 程或不等式，如消元 法、代入法等。
检查结果并给出最终答案
检查求解过程是否正确，如方程是否列对、计算是否准确等。 将解代入原问题中验证是否符合实际背景。
给出最终答案，并注明单位。
多边形及圆中垂直关系应用
正多边形
在正多边形中，可以通过连接对角点来构造垂直关系，进而求解 与边长、角度等有关的问题。
圆
在圆中，直径与圆上任意一点连接的线段互相垂直，可以利用这一 性质求解与弦、弧等有关的问题。
复杂图形
对于复杂图形，可以通过作辅助线来构造垂直关系，进而简化问题 并求解。
解题策略分享
挑战题3
在空间中，给定一个点和一条直线，求经过这个点且与给 定直线垂直的平面的方程。
THANKS
感谢观看