北京市海淀区高三数学下学期期末练习 理(海淀二模)(含解析)

海淀区高三年级第二学期期末练习
数 学 （理科） 2013.5
本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1.集合{}|(1)(2)0A x x x =-+≤，B ={}0x x <，则A B = A ．(,0]-∞ B ．(,1]-∞ C ．[1,2] D ．[1,)+∞ 【答案】B
解析{}|(1)(2)0{21}
A x x x x x =-+≤=-≤≤，所以
A B ={1}x x ≤，即选B.
2.已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列，且134a a ⋅=，48a =，则1a q +的值为 A ．3 B ．2 C ．3或2- D ．3或3- 【答案】D
解析由134a a ⋅=，48a =得2214a q =，318a q =，解得2q =±。

当2q =时，11a =，此时
13a q +=。

当2q =-时，11a =-，此时13a q +=-。

选D.
3. 如图，在边长为a 的正方形内有不规则图形Ω. 向正方形内随机撒豆子，若 撒在图形Ω内和正方形内的豆子数分别为,m n ，则图形Ω面积的估计值为
A.ma n
B.na m
C. 2ma n
D. 2na m
【答案】C
解析设图形Ω面积的为S ,则由实验结果得2S m a n
=，解2
ma S n =,所以选C.
4.
俯视图
A.180
B.240
C.276
D.300
【答案】B
解析由三视图可知，该几何体的下面部分是边长为6的正方体。

上部分为四棱锥。

四棱锥的
底面为正方形，边长为 6.侧面三角形的斜高为 5.所以该几何体的表面积为
21
656542402
⨯+⨯⨯⨯=，选B.
5.在四边形ABCD 中，“λ∃∈R ，使得,AB DC AD BC λλ==”是“四边形ABCD 为平行四边形”的
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件 【答案】C
解析若,AB DC AD BC λλ==，则//,//AB DC AD BC ，即//,//AB DC AD BC ,所以四边形
ABCD 为平行四边形。

反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则有//,//AB DC AD BC 且
,AB DC AD BC ==，即,A B D C A D
B C
==，此时1λ=，所以λ∃∈R ，使得,A B D C A D B C λλ==成立。

所以
“λ∃∈R ，使得,AB DC AD BC λλ==”是“四边形ABCD 为平行四边形”的充分必要条件，选C.
6.用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，且5不排在百位，2，4都不排在个位和万位，则这样的五位数个数为 A.32 B. 36 C. 42 D.48
【答案】A
解析由题意可知2和4需要排在十位、百位和千位．若2排在百位，则4可以排在十位或千
位，剩余的1、3、5可以随意排，因此有3
3212A =种情况，同理当4排在百位时，2可以排在十位或千位，同样有33212A =种情况．再考虑2和4分别排在十位和千位的情况，不同的
排列有两种情况，而此时由于5不能排在百位，因此只能从个位和万位中选一个，有两种情
况，最后剩余的1和3可以随意排列，因此共有22228A ⨯⨯=种情况．因此所有的排法总数
为12+12+8=32种．选A.
7.双曲线C 的左右焦点分别为12,F F ，且2F 恰为抛物线24y x =的焦点，设双曲线C 与该抛物线的一个交点为A ，若12AF F ∆是以1AF 为底边的等腰三角形，则双曲线C 的离心率为
B.1+1+ D.2 【答案】B
解析抛物线的焦点为(1,0)，即2(1,0)F ,所以双曲线中1c =。

双曲线C 与该抛物线的一个交点为A ，（不妨设在第一象限）若12AF F ∆是以1AF 为底边的等腰三角形，则抛物线的准线过双曲线的左焦点。

所以21222AF F F c ===,所以(1)2A x --=,即1A x =，
所以244A A y x ==,
解得2A y =，即(1,2A .又(1,2)A 在双曲线上，所以122AF
AF a -=,
即2222a ===，所
以1a =，即双曲线的离心
率
1c e a =
==。

选B. 8. 若数列{}n a 满足：存在正整数T ，对于任意正整数n 都有n T n a a +=成立，则称数列{}n a 为
周期数列，周期为T . 已知数列{}n a 满足1(0)a m m =>，11, 1=1
, 0 1.n n n n n
a a a a a +->⎧⎪⎨<≤⎪⎩，
则下列结论中错误．．
的是 A. 若34a =，则m 可以取3个不同的值 B.
若m ={}n a 是周期为3的数列
C.T ∀∈*N 且2T ≥，存在1m >，{}n a 是周期为T 的数列
D.Q m ∃∈且2m ≥，数列{}n a 是周期数列
【答案】D
解析A,若34a =,若3214a a =-=，解得23a =，成立。

若2113a a =-=，解得14a =成立。

若21
13a a =
=，解得113a =，成立。

若321
4a a ==，解得214a =。

若21114a a =-=，解得
154a =
，成立。

若2111
4
a a ==，解得14a =，但此时不满足0 1.n a <≤舍去。

所以当34a =时，14a =或113
a =或15
4a =，即m 可以取3个不同的值，所以A 正确。

B
若11a m =>，
则21111
a a =-<
，32111a a ===>，所
以43111a a =--={}n a 是周期为3的数列，所以正确。

C 由B
可知，当
m ={}n a 是周期为3的数列，所以C 正确。

所以下列结论中错误．．
的是D.
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9.在极坐标系中，极点到直线cos 2ρθ=的距离为_______.
【答案】2
解析由cos 2ρθ=得2x =。

所以原点到直线2x =的距离为2.即极点到直线cos 2ρθ=的距离
为2.
10.已知1
211
ln ,sin ,222
a b c -===，则,,a b c 按照从大到小．．．．排列为______.
【答案】c b a >>
解析1ln 02a =<，11
0sin sin 262π<<=所以102
b <<
，12122c -==>，所以,,a b c 按照从．大到小．．．
排列为c b a >>。

11.直线1l 过点(2,0)-且倾斜角为30，直线2l 过点(2,0)且与直线1l 垂直，则直线1l 与直线2l 的交点坐标为____.
【答案】
解析直线1l 的斜率为13tan 303k ==，因为直线2l 与直线1
l 垂直，所以21
1
k k =-=。

所以直线1
l 的方程为2)y x =
+。

，直线2l 的方程为2)y x =
-。

两式联立解得1
x y =⎧⎪⎨
=⎪⎩1l 与直线
2l 的交点坐标为。

12.在ABC ∆中，30,45,2A B a ∠=∠==，则_____;b =C _____.AB
S ∆=
【答案】
解析由正弦定理得
s i n 45s i n 30b a
=
，即s i n 452
s i n 30
a
b =
⨯=。

又180105C A B ∠=-∠-∠
=,
所以C 111
sin1052)222
AB S ab ∆===
13.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，若动点P 在线段1BD 上运动，则DC AP ⋅的取值范围是______________. 【答案】[0,1]
解析建立空间直角坐标系如图，则D （0，0，0）、C （0，1，0）、A （1，0，0）、B （1，1，0）、D 1（0，0，1）．所以1(0,1,0),(1,1,1)DC BD ==--。

因为动点P 在线段1BD 上运动，所以设1(,,),01BP BD λλλλλ==--≤≤.(,1,)AP AB BP λλλ=+=--。

所以1DC AP λ⋅=-，
因为01λ≤≤，所以011λ≤-≤，即D C A P ⋅的取值范围是[0,1]。

14.在平面直角坐标系中，动点(,)P x y 到两条坐标轴的距离之和等于它到点(1,1)的距离，记点
P 的轨迹为曲线W .
(I) 给出下列三个结论： ①曲线W 关于原点对称； ②曲线W 关于直线y x =对称；
③曲线W 与x 轴非负半轴，y 轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于1
2
； 其中，所有正确结论的序号是_____; (Ⅱ)曲线W 上的点到原点距离的最小值为______.
【答案】②③;2解析动点P （x ，y ）到两条坐标轴的距离之和等于它到点（1，1）的距离，所以
x y +=，所以10xy x y ++-=。

①将点(,)x y --代入曲线方程为
10xy x y ---=，所以曲线W 关于原点不对称。

②将点(,)y x 代入曲线方程，则10xy x y ++-=，所以曲线W 关于直线y x =对称，正确。

③若0xy >，则曲线方程为
10xy x y ++-=，即(1)(1)2x y ++=。

若0xy <，则曲线方程为10xy x y -++-=，即
(1)(1)0x y --=。

函数的图象如图所示。

所以曲线W 与x 轴非负
半轴，y 轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于
1
2，正确。

所以正确
结论的序号是②③。

由
图象可知曲线W 上的点到原点距离的最小值为曲线与y x =的交点处取得。

联立y x =与
(1)(1)2x y ++=，解得1x y ==，所以曲线W 上的点到原点距离的最小值为
1)2==
三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. 15.（本小题满分13分）
已知函数cos2()1π
)
4
x f x x =-
-.
（Ⅰ）求函数()f x 的定义域； (Ⅱ) 求函数()f x 的单调递增区间.
16.（本小题满分13分）
福彩中心发行彩票的目的是为了获取资金资助福利事业,现在福彩中心准备发行一种面值为5元的福利彩票刮刮卡，设计方案如下：（1）该福利彩票中奖率为50%；（2）每张中奖彩票的中奖奖金有5元，50元和150元三种；（3）顾客购买一张彩票获得150元奖金的概率为p ，获得50元奖金的概率为2%.
(I)假设某顾客一次性花10元购买两张彩票，求其至少有一张彩票中奖的概率； （II ）为了能够筹得资金资助福利事业, 求p 的取值范围.
17. （本小题满分14分）
如图1，在直角梯形ABCD 中，90ABC DAB ∠=∠=，30CAB ∠=，2BC =，
4AD =. 把DAC ∆沿对角线AC 折起到PAC ∆的位置,如图2所示,使得点P 在平面ABC 上
的正投影H 恰好落在线段AC 上，连接PB ,点,E F 分别为线段,PA AB 的中点． (I) 求证：平面//EFH 平面PBC ； (II)求直线HE 与平面PHB 所成角的正弦值；
(III)在棱PA 上是否存在一点M ,使得M 到点,,,P H A F 四点的距离相等？请说明理由.
C
D
B
A
图1
H E C
P
B
A
F
图2
18.（本小题满分13分）
已知函数()e x f x =,点(,0)A a 为一定点,直线()x t t a =≠分别与函数()f x 的图象和x 轴交于点M ,N ,记AMN ∆的面积为()S t . （I ）当0a =时,求函数()S t 的单调区间；
（II ）当2a >时, 若0[0,2]t ∃∈,使得0()e S t ≥, 求实数a 的取值范围.
19. （本小题满分14分）
已知椭圆:M 22
221(0)x y a b a b
+=>>的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60的菱形的
四个顶点.
（I ）求椭圆M 的方程；
（II ）直线l 与椭圆M 交于A ，B 两点，且线段AB 的垂直平分线经过点1
(0,)2
-，求AOB ∆ （O 为原点）面积的最大值.
20.（本小题满分13分）
设A 是由m n ⨯个实数组成的m 行n 列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”. (Ⅰ) 数表A 如表1所示，若经过两次“操作”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数，请写出每次“操作”后所得的数表（写出一种方法即可）；表1
(Ⅱ) 数表A 如表2所示，若必须经过两次“操作”，才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，求整数．．a 的所有可能值； (Ⅲ)对由m n ⨯个实数组成的m 行n 列的任意一个数表A ，
能否经过有限次“操作”以后，使得到的数表每行的各数之 表
和与每列的各数之和均为非负整数？请说明理由.
2222
1212a a a a a a a a ------
海淀区高三年级第二学期期末练习 数 学 （理）
参考答案及评分标准 2013．5
说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数. 一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）
二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分， 共30分）
三、解答题(本大题共6小题,共80分
) 15．（本小题满分13分） 解：（I ）因为π
sin()04
x -≠
所以π
π,4
x k -
≠Z k ∈ ……………………2分 所以函数的定义域为π
{|π+,4
x x k ≠Z}k ∈ ……………………4分
（II ）因为22cos sin ()1sin cos x x
f x x x
-=-- ……………………6分
= 1+(cos sin )x x +
π
= 1)4
x + ……………………8分
又sin y x =的单调递增区间为 ππ
(2π,2π)22
k k -+ ，Z k ∈
令 πππ
2
π2π242k x k -<
+<+
解得 3ππ
2π2π44k
x k -<<+ ……………………11分 又注意到π
π+,4
x k ≠
所以()f x 的单调递增区间为3ππ
(2π,2π)44
k k -+， Z k ∈ …………………13分
9． 2 10．c b a >> 11. 12． 13．[0,1]
14．②③;2
16. 解：（I ）设至少一张中奖为事件A
则2
()10.50.75P A =-= …………………4分
(II) 设福彩中心卖出一张彩票可能获得的资金为ξ
则ξ可以取5,0,45,145-- …………………6分 ξ的分布列为
…………………8分
所以ξ的期望为550%0(50%2%)(45)2%(145)E p p ξ=⨯+⨯--+-⨯+-⨯ 2.590%145p =-- …………………11分 所以当 1.61450p ->时，即8
725
p < …………………12分 所以当8
0725
p <<
时，福彩中心可以获取资金资助福利事业…………………13分17.解：（I ）因为点P 在平面ABC 上的正投影H 恰好落在线段AC 上
所以PH ⊥平面ABC ，所以PH ⊥AC …………………1分
因为在直角梯形ABCD 中，90ABC DAB ∠=∠=，30CAB ∠=，
2BC =，4AD =
所以4AC =，60CAB ∠=，所以ADC ∆
是等边三角形，
所以H 是AC 中点，
…………………2分
所以//HE PC …………………3分 同理可证
//EF PB 又,HE
EF E CP PB
P ==
所以//EFH PBC 平面PBC …………………5分 （II ）在平面ABC 内过H 作AC 的垂线
如图建立空间直角坐标系，
则(0,2,0)A -
，P ，B …………………6分 因为(0,E -，(0,HE =- 设平面PHB 的法向量为(,,)n x y z =
因为(3,1,0)HB =，HP =
所以有00
HB n HP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0
0y z +==⎪⎩，
令
x =则
3,
y =- 所以
(3,3,0)n =- …………………8分
cos ,||||22n HE n HE n HE ⋅<>=
==
⋅⋅
…………………10分
所
以
直
线
HE 与平面P H 所成角的正弦值为
…………………11分 (III)存在，事实上记点E 为M 即可 …………………12分
因为在直角三角形PHA 中，1
22
EH PE EA PA ====， …………………13分
在直角三角形PHB 中，点4,PB =1
22
EF PB == 所
以
点
E 到四个
点
,,P O C F 的距
离相
等 …………………14分 18.解: (I) 因为1
()||e 2
t S t t a =
-，其中t a ≠ …………………2分 当0a =，1
()||e 2t S t t =
，其中0t ≠ 当0t >时，1()e 2t S t t =，1
'()(1)e 2
t S t t =+，
所
以
'(
S t >，所以
()
S t 在
(0,)
+∞上递
增， …………………4分
当0t <时，1()e 2t S t t =-，1'()(1)e 2
t S t t =-+，
令1'()(1)e 02t S t t =-+>， 解得1t <-，所以()S t 在(,1)-∞-上递增 令1
'()(1)e 02
t S t t =-+<， 解得1t >-，所以()S t 在(1,0)-上递减 ……………7分
综上，()S t 的单调递增区间为(0,)+∞，(,1)-∞-
()S t 的单调递增区间为(1,0)-
（II ）因为1
()||e 2
t S t t a =
-，其中t a ≠ 当2a >，[0,2]t ∈时，1
()()e 2
t S t a t =-
因为0[0,2]t ∃∈，使得0()e S t ≥，所以()S t 在[0,2]上的最大值一定大于等于e
1
'()[(1)]e 2
t
S t t a =---，令
'S t =
，得
1t a =- …………………8分
当12a -≥时，即3a ≥时
1
'()[(1)]e 02
t S t t a =--->对(0,2)t ∈成立，()S t 单调递增
所以当2t =时，()S t 取得最大值21
(2)(2)e 2
S a =-
令21(2)e e 2a -≥ ，解得 2
2e
a ≥+ ， 所
以
3
a ≥
…………………10分
当12a -<时，即3a <时
1
'()[(1)]e 02t S t t a =--->对(0,1)t a ∈-成立，()S t 单调递增
1
'()[(1)]e 02
t S t t a =---<对(1,2)t a ∈-成立，()S t 单调递减
所以当1t a =-时，()S t 取得最大值11
(1)e 2
a S a --=
令11
(1)e e 2
a S a --=≥ ，解得ln 22a ≥+
所
以
l a +≤
…………………12分
综
上
所
述
，
ln 22a
+≤
…………………13分
19.解:(I)因为椭圆:M 22
221(0)x y a b a b
+=>>的四个顶点恰好是一边长为2，
一内角为60 的菱形的四个顶点,
所
以,1a b =,椭圆M 的方程为
2
213
x y += …………………4分 (II)设1122(,),(,),A x y B x y 因为AB 的垂直平分线通过点1
(0,)2
-， 显然直线AB 有斜率，
当直线AB 的斜率为0时,则AB 的垂直平分线为y 轴,则1212,x x y y =-=
所以111111=|2||||||||2AOB S x y x y x ∆==
2211(3)3
22
x x +-=，
所以AOB S ∆≤
1||x =时，AOB S ∆
………………6分
当直线AB 的斜率不为0时,则设AB 的方程为y kx t =+
所以22
13y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩
，代入得到222
(31)6330k x kt t +++-= 当22
4(933)0k t ∆=+->, 即2231k t +>①
方程有两个不同的解 又
122631
kt x x k -+=
+，
1223231
x x kt
k +-=+ …………………9分 所以122231
y y t
k +=+， 又1212112202
y y x x k ++=-+-，化简得到2
314k t += ②
代
入
①，得到
04
t <<
…………………10分
又原点到直线的距离为d =
12|||AB x x =-=
所以1=||||2AOB S AB d ∆=
化
简
得
到
AOB S ∆
…………………12分
因为04t <<，所以当2t =时，即k =AOB S ∆综
上
，
AOB ∆面
积
的
最
大
值
为
…………………14分 20.（I ）解：法1：
42123712371237210121012101
-−−−−−→−−−−−→
----改变第列改变第行
法2：
24123712371237210121012101
--−−−−−→−−−−−→
----改变第行改变第列
法3：
14123712371237210121012101
----−−−−−→−−−−−→
--改变第列改变第列
…………………3分
(II) 每一列所有数之和分别为2，0，2-，0，每一行所有数之和分别为1-，1; ①如果首先操作第三列，则
22
22
1212a a a a a a a a -----
则第一行之和为21a -，第二行之和为52a -， 这两个数中，必须有一个为负数，另外一个为非负数， 所以 12a ≤
或52
a ≥ 当1
2
a ≤
时，则接下来只能操作第一行，
2222
1212a a a a a a a a ------
此时每列之和分别为2222,22,22,2a a a a --- 必有2220a -≥，解得0,1a =- 当5
2
a ≥
时，则接下来操作第二行 22
22
1212a a a a a a a a
------ 此
时
第
4
列
和
为
负
，
不
符
合
题
意. …………………6分
② 如果首先操作第一行
2
2
22
1212a a a a a a a a -----
则每一列之和分别为22a -，222a -，22a -，22a
当1a =时，每列各数之和已经非负，不需要进行第二次操作，舍掉 当1a ≠时，22a -，22a -至少有一个为负数，
所以此时必须有2220a -≥，即11a -≤≤，所以0a =或1a =- 经检验，0a =或1a =-符合要求 综
上
：
0a =-
…………………9分
（III ）能经过有限次操作以后，使得得到的数表所有的行和与所有的列和均为非负实数。

证明如下：
记数表中第i 行第j 列的实数为ij c （1,2,
,;1,2,,i m j n ==），各行的数字之和分别为
12,,,m a a a ，各列的数字之和分别为12,,,n b b b ，12m A a a a =+++，12n B b b b =+++，
数表中m n ⨯个实数之和为S ，则S A B ==。

记
{
}
112211221min 11(1,2,
,)0
|i i n in l i i n in i m
K k c k c k c k l n k c k c k c ≤≤=++
+=-=+++≠或且{
}
112211221min 11(1,2,,)0|
j j m mj s j j m mj j n
T t c t c t c t s m t c t c t c ≤≤=++
+=-=++
+≠或且
{}min ,K T λ=．
按要求操作一次时，使该行的行和（或该列的列和）由负变正，都会引起A （和B ）增大，从而也就使得S 增加，增加的幅度大于等于2λ，但是每次操作都只是改变数表中某行（或
个实数的某列）各数的符号，而不改变其绝对值，显然，S必然小于等于最初的数表中m n
绝对值之和，可见其增加的趋势必在有限次之后终止。

终止之时，必是所有的行和与所有的列和均为非负实数，否则，只要再改变该行或该列的符号，S就又会继续上升，导致矛盾，故结论成立。

…………………13分。