2021年安徽省中考数学真题试卷(附答案解析)

2021年安徽省中考数学真题试卷（附答案解析）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A ，B ，C ，D 四个选项，其中只有一个是符合题目要求的。

1．（4分）（2021•安徽）9-的绝对值是( )
A ．9
B ．9-
C ．19
D ．19
- 2．（4分）（2021•安徽）《2020年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年我国共资助8990万人参加基本医疗保险．其中8990万用科学记数法表示为( )
A ．689.910⨯
B ．78.9910⨯
C ．88.9910⨯
D ．90.89910⨯
3．（4分）（2021•安徽）计算23()x x ⋅-的结果是( )
A ．6x
B ．6x -
C ．5x
D ．5x -
4．（4分）（2021•安徽）几何体的三视图如图所示，这个几何体是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
5．（4分）（2021•安徽）两个直角三角板如图摆放，其中90BAC EDF ∠=∠=︒，45E ∠=︒，30C ∠=︒，AB 与DF 交于点M ．若//BC EF ，则BMD ∠的大小为( )
A ．60︒
B ．67.5︒
C ．75︒
D ．82.5︒
6．（4分）（2021•安徽）某品牌鞋子的长度y cm 与鞋子的“码”数x 之间满足一次函数关系．若22码鞋子的长度为16cm ，44码鞋子的长度为27cm ，则38码鞋子的长度为( )
A ．23cm
B ．24cm
C ．25cm
D ．26cm
7．（4分）（2021•安徽）设a ，b ，c 为互不相等的实数，且4155b a c =+，则下列结论正确的是( ) A ．a b c >> B ．c b a >> C ．4()a b b c -=- D ．5()a c a b -=-
8．（4分）（2021•安徽）如图，在菱形ABCD 中，2AB =，120A ∠=︒，过菱形ABCD 的对称中心O 分别作边AB ，BC 的垂线，交各边于点E ，F ，G ，H ，则四边形EFGH 的周长为( )
A ．33+
B ．223+
C ．23+
D ．123+
9．（4分）（2021•安徽）如图在三条横线和三条竖线组成的图形中，任选两条横线和两条竖线都可以图成一个矩形，从这些矩形中任选一个，则所选矩形含点A 的概率是( )
A ．14
B ．13
C ．38
D ．49
10．（4分）（2021•安徽）在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，分别过点B ，C 作BAC ∠平分线的垂线，垂足分别为点D ，E ，BC 的中点是M ，连接CD ，MD ，ME ．则下列结论错误的是
( )
A ．2CD ME =
B ．//ME AB
C ．B
D CD = D ．M
E M D =
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）（2021•安徽）计算：04(1)+-= ．
12．（5分）（2021•安徽）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，其底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形．底面正方形的边长与侧面等腰三角形底边上的高的比值是51-，它介于整数n 和1n +之间，则n 的值是 ．
13．（5分）（2021•安徽）如图，圆O 的半径为1，ABC ∆内接于圆O ．若60A ∠=︒，
75B ∠=︒，则AB = ．
14．（5分）（2021•安徽）设抛物线2(1)y x a x a =+++，其中a 为实数．
（1）若抛物线经过点(1,)m -，则m = ；
（2）将抛物线2(1)y x a x a =+++向上平移2个单位，所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是 ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）（2021•安徽）解不等式：1103
x -->． 16．（8分）（2021•安徽）如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，ABC ∆的顶点均在格点（网格线的交点）上．
（1）将ABC ∆向右平移5个单位得到△111A B C ，画出△111A B C ；
（2）将（1）中的△111A B C 绕点1C 逆时针旋转90︒得到△221A B C ，画出△221A B C ．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）（2021•安徽）学生到工厂劳动实践，学习制作机械零件．零件的截面如图阴影部分所示，已知四边形AEFD为矩形，点B、C分别在EF、DF上，90
∠=︒，
ABC
BC cm
=，6
︒≈，
=．求零件的截面面积．参考数据：sin530.80 AB cm
BAD
53
∠=︒，10
︒≈．
cos530.60
18．（8分）（2021•安徽）某矩形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成，图1表示此人行道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列．[观察思考]
当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块（如图2)；当正方形地砖有2块时，等腰直角三角形地砖有8块（如图3)；以此类推．
[规律总结]
（1）若人行道上每增加1块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖增加块；
（2）若一条这样的人行道一共有(n n为正整数）块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为（用含n的代数式表示）．
[问题解决]
（3）现有2021块等腰直角三角形地砖，若按此规律再建一条人行道，要求等腰直角三角形地砖剩余最少，则需要正方形地砖多少块？
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）（2021•安徽）已知正比例函数(0)
y kx k
=≠与反比例函数
6
y
x
=的图象都经过点
(,2)
A m．
（1）求k，m的值；
（2）在图中画出正比例函数y kx
=的图象，并根据图象，写出正比例函数值大于反比例函数值时x的取值范围．
20．（10分）（2021•安徽）如图，圆O中两条互相垂直的弦AB，CD交于点E．
（1）M是CD的中点，3
OM=，12
CD=，求圆O的半径长；
（2）点F在CD上，且CE EF
=，求证：AF BD
⊥．
六、（本题满分12分）
21．（12分）（2021•安徽）为了解全市居民用户用电情况，某部门从居民用户中随机抽取100
户进行月用电量（单位：)kW h ⋅调查，按月用电量50~100，
100~150，150~200，200~250，250~300，300~350进行分组，绘制频数分布直方图如图．
（1）求频数分布直方图中x 的值；
（2）判断这100户居民用户月用电量数据的中位数在哪一组（直接写出结果）；
（3）设各组居民用户月平均用电量如表： 组别
50~100 100~150 150~200 200~250 250~300 300~350 月平均用电
量（单位：
)kW h ⋅ 75 125 175 225 275 325
根据上述信息，估计该市居民用户月用电量的平均数．
七、（本题满分12分）
22．（12分）（2021•安徽）已知抛物线221(0)y ax x a =-+≠的对称轴为直线1x =．
（1）求a 的值；
（2）若点1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y 都在此抛物线上，且110x -<<，212x <<．比较1y 与2y 的大小，并说明理由；
（3）设直线(0)y m m =>与抛物线221y ax x =-+交于点A 、B ，与抛物线23(1)y x =-交于点C ，D ，求线段AB 与线段CD 的长度之比．
八、（本题满分14分）
23．（14分）（2021•安徽）如图1，在四边形ABCD 中，ABC BCD ∠=∠，点E 在边BC 上，且//AE CD ，//DE AB ，作//CF AD 交线段AE 于点F ，连接BF ．
（1）求证：ABF EAD ∆≅∆；
（2）如图2．若9
AB=，5
CD=，ECF AED
∠=∠，求BE的长；
（3）如图3，若BF的延长线经过AD的中点M，求BE
EC
的值．
2021年安徽省中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A ，B ，C ，D 四个选项，其中只有一个是符合题目要求的。

1．（4分）（2021•安徽）9-的绝对值是( )
A ．9
B ．9-
C ．19
D ．19
- 【分析】根据绝对值的代数意义即可求解．
【解答】解：9-的绝对值是9，
故选：A ．
【点评】本题考查了绝对值的代数意义，负数的绝对值等于它的相反数，这是解题的关键．
2．（4分）（2021•安徽）《2020年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年我国共资助8990万人参加基本医疗保险．其中8990万用科学记数法表示为( )
A ．689.910⨯
B ．78.9910⨯
C ．88.9910⨯
D ．90.89910⨯
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为10n a ⨯，其中1||10a <，n 为整数，且n 比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【解答】解：8990万7899000008.9910==⨯．
故选：B ．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为10n a ⨯，其中1||10a <，确定a 与n 的值是解题的关键．
3．（4分）（2021•安徽）计算23()x x ⋅-的结果是( )
A ．6x
B ．6x -
C ．5x
D ．5x -
【分析】先化为同底数幂，再利用同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即可得出答案．
【解答】解：23235()x x x x x ⋅-=-⋅=-．
故选：D ．
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法，正确掌握同底数幂的乘法运算法则是解题关键．
4．（4分）（2021•安徽）几何体的三视图如图所示，这个几何体是( )
A．B．
C．D．
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．【解答】解：根据该组合体的三视图发现该几何体为
．
故选：C．
【点评】考查了由三视图判断几何体的知识，解题时要认真审题，仔细观察，注意合理地判断空间几何体的形状．
5．（4分）（2021•安徽）两个直角三角板如图摆放，其中90
E
∠=︒，
∠=∠=︒，45
BAC EDF
∠的大小为()
BC EF，则BMD
C
30
∠=︒，AB与DF交于点M．若//
A．60︒B．67.5︒C．75︒D．82.5︒
【分析】首先根据直角三角形两锐角互余可算出F
∠的度数，再由“两直线平行，内
∠和B
错角相等”，可求出MDB
∠的度数．
∆中，利用三角形内角和可求出BMD
∠的度数，在BM D
【解答】解：如图，
在ABC ∆和DEF ∆中，90BAC EDF ∠=∠=︒，45E ∠=︒，30C ∠=︒，
9060B C ∴∠=︒-∠=︒，
9045F E ∠=︒-∠=︒，
//BC EF ，
45MDB F ∴∠=∠=︒，
在BM D ∆中，18075BMD B MDB ∠=︒-∠-∠=︒．
故选：C ．
【点评】本题主要考查三角形内角和，平行线的性质等内容，根据图形，结合定理求出每个角的度数是解题关键．
6．（4分）（2021•安徽）某品牌鞋子的长度y cm 与鞋子的“码”数x 之间满足一次函数关系．若22码鞋子的长度为16cm ，44码鞋子的长度为27cm ，则38码鞋子的长度为( )
A ．23cm
B ．24cm
C ．25cm
D ．26cm
【分析】先设出函数解析式，用待定系数法求出函数解析式，再把38x =代入求出y 即可．
【解答】解：鞋子的长度y cm 与鞋子的“码”数x 之间满足一次函数关系，
∴设函数解析式为：(0)y kx b k =+≠，
由题意知，22x =时，16y =，44x =时，27y =，
∴16222744k b k b =+⎧⎨=+⎩
， 解得：125
k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，
∴函数解析式为：152
y x =+， 当38x =时，138524()2
y cm =⨯+=， 故选：B ．
【点评】本题考查一次函数的应用，用待定系数法求函数解析式是本题的关键．
7．（4分）（2021•安徽）设a ，b ，c 为互不相等的实数，且4155
b a
c =+，则下列结论正确的是( )
A ．a b c >>
B ．c b a >>
C ．4()a b b c -=-
D ．5()a c a b -=-
【分析】根据等式的基本性质，对已知等式进行变形即可．
【解答】解：41
55
b a
c =+，
54b a c ∴=+，
在等式的两边同时减去5a ，得到5()b a c a -=-， 在等式的两边同时乘1-，则5()a b a c -=-． 故选：D ．
【点评】本题主要考查等式的基本性质，结合已知条件及选项，对等式进行合适的变形是解题关键．
8．（4分）（2021•安徽）如图，在菱形ABCD 中，2AB =，120A ∠=︒，过菱形ABCD 的对称中心O 分别作边AB ，BC 的垂线，交各边于点E ，F ，G ，H ，则四边形EFGH 的周长为( )
A ．33+
B ．223+
C ．23+
D ．123+
【分析】证明BEF ∆是等边三角形，求出EF ，同法可证DGH ∆，EOH ∆，OFG ∆都是等边三角形，求出EH ，GF ，FG 即可． 【解答】解：如图，连接BD ，AC ．
四边形ABCD 是菱形，120BAD ∠=︒，
2AB BC CD AD ∴====，60BAO DAO ∠=∠=︒，BD AC ⊥， 30ABO CBO ∴∠=∠=︒，
1
12
OA AB ∴=
=，33OB OA = OE AB ⊥，OF BC ⊥，
90BEO BFO ∴∠=∠=︒，
在BEO ∆和BFO ∆中， BEO BFO EBO FBO BO BO ∠=∠⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
， ()BEO BFO AAS ∴∆≅∆，
OE OF ∴=，BE BF =， 60EBF ∠=︒，
BEF ∴∆是等边三角形，
33322
EF BE ∴==⨯
=， 同法可证，DGH ∆，OEH ∆，OFG ∆都是等边三角形， 3
2
EF GH ∴==
，32EH FG ==，
∴四边形EFGH 的周长33=+，
故选：A ．
【点评】本题考查中心对称，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 9．（4分）（2021•安徽）如图在三条横线和三条竖线组成的图形中，任选两条横线和两条竖线都可以图成一个矩形，从这些矩形中任选一个，则所选矩形含点A 的概率是( )
A ．
1
4
B ．13
C ．38
D ．
49
【分析】将从左到右的三条竖线分别记作a 、b 、c ，将从上到下的三条横线分别记作m 、n 、l ，利用表格列出任选两条横线和两条竖线所围成的矩形的所有等可能情况，再从中找
到所选矩形含点A 的的情况，继而利用概率公式可得答案．
【解答】解：将从左到右的三条竖线分别记作a 、b 、c ，将从上到下的三条横线分别记作m 、n 、l ，列表如下，
ab bc
ac
mn
ab 、mn bc 、mn ac 、mn nl
ab 、nl bc 、nl ac 、nl ml
ab 、ml
bc 、ml
ac 、ml
由表可知共有9种等可能结果，其中所选矩形含点A 的有bc 、mn ；bc 、ml ；ac 、mn ；ac 、ml 这4种结果， ∴所选矩形含点A 的概率
49
， 故选：D ．
【点评】本题主要考查列表法与树状图法，解题的关键是利用表格列出任选两条横线和两条竖线所围成的矩形的所有等可能情况，并从所有结果中找到符合条件的结果数．
10．（4分）（2021•安徽）在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，分别过点B ，C 作BAC ∠平分线的垂线，垂足分别为点D ，E ，BC 的中点是M ，连接CD ，MD ，ME ．则下列结论错误的是( )
A ．2CD ME =
B ．//ME AB
C ．B
D CD = D ．M
E M D =
【分析】根据题意作出图形，可知点A ，C ，D ，B 四点共圆，再结合点M 是中点，可得
DM BC ⊥，又CE AD ⊥，BD AD ⊥，可得CEM BFM ∆≅∆，可得EM FM DM ==，延长
DM 交AB 于点N ，可得MN 是ACB ∆的中位线，再结合直角三角形斜边中线等于斜边的一
半，可得DN AN =，得到角之间的关系，可得//ME AB ．
【解答】解：根据题意可作出图形，如图所示，并延长EM 交BD 于点F ，延长DM 交AB 于点N ，
在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，分别过点B ，C 作BAC ∠平分线的垂线，垂足分别为点D ，E ， 由此可得点A ，C ，D ，B 四点共圆，
AD 平分CAB ∠，
CAD BAD ∴∠=∠，
CD DB
∴=，（故选项C正确）
点M是BC的中点，
∴⊥，
DM BC
又90
∠=︒，
ACB
//
∴，
AC DN
∴点N是线段AB的中点，
∴=，
AN DN
DAB ADN
∴∠=∠，
⊥，
CE AD
⊥，BD AD
∴，
//
CE BD
∠=∠，
∴∠=∠，CEM BFM
ECM FBM
点M是BC的中点，
∴=，
CM BM
CEM BFM AAS
∴∆≅∆，
()
∴=，
EM FM
∴==（故选项D正确），
EM FM DM
D EM M D
E D AB
∴∠=∠=∠，
∴（故选项B正确），
//
EM AB
综上，可知选项A的结论不正确．
故选：A．
【点评】本题主要考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，中位线定理，全等三角形的性质与判定等，根据题中条件，作出正确的辅助线是解题关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）（20210
-=3．
(1)
【分析】直接利用零指数幂的性质以及算术平方根的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式21
=+
3
=．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
12．（5分）（2021•安徽）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，其底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形．底面正方形的边长与侧面等腰三角形底边上的高的比值是51
-，它介于整数n和1
n+之间，则n的值是1．
【分析】先估算出5的大小，再估算51
-的大小，即可得出整数n的值．
【解答】解：459
<<，
∴<<，
253
1512
∴<-<，
又511
<-<+，
n n
∴=．
n
1
故答案为：1．
【点评】本题主要考查估算无理数的大小，解题的关键是估算出5的大小．
13．（5分）（2021•安徽）如图，圆O的半径为1，ABC
B
∠=︒，75
∠=︒，
A
∆内接于圆O．若60
则AB=2．
【分析】连接OA，OB，由三角形内角和可得出45
C
∠=︒，再根据圆周角定理可得∆是等腰直角三角形，又圆半径为1，可得出结论．
∠=︒，即OAB
90
AOB
【解答】解：如图，连接OA，OB，
在ABC
∠=︒，
ABC
∆中，60
BAC
∠=︒，75
18045ACB A B ∴∠=︒-∠-∠=︒， 90AOB ∴∠=︒， OA OB =，
OAB ∴∆是等腰直角三角形，
AB ∴
【点评】本题主要考查三角形内角和定理，圆周角定理，等腰直角三角形的性质等内容，作出正确的辅助线是解题关键．
14．（5分）（2021•安徽）设抛物线2(1)y x a x a =+++，其中a 为实数． （1）若抛物线经过点(1,)m -，则m = 0 ；
（2）将抛物线2(1)y x a x a =+++向上平移2个单位，所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是 ．
【分析】（1）把点(1,)m -，直接代入抛物线解析式，即可得出结论；
（2）根据“上加下减”可得出平移后的抛物线解析式，再利用配方法配方，可表达顶点的纵坐标，再求最大值．
【解答】解：（1）点(1,)m -代入抛物线解析式2(1)y x a x a =+++， 得2(1)(1)(1)a a m -++⨯-+=，解得0m =． 故答案为：0．
（2）2(1)y x a x a =+++向上平移2个单位可得，2(1)2y x a x a =++++， 2211
()(1)224
a y x a +∴=+
--+， ∴抛物线顶点的纵坐标21
(1)24n a =--+，
1
04
-<， n ∴的最大值为2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查二次函数图象的平移，二次函数图象顶点坐标等内容，题目比较简单． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）（2021•安徽）解不等式：
1
103
x -->． 【分析】先去分母，然后移项及合并同类项即可解答本题． 【解答】解：1
103
x -->， 去分母，得
130x -->，
移项及合并同类项，得
4x >．
【点评】本题考查解一元一次不等式，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法． 16．（8分）（2021•安徽）如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，ABC ∆的顶点均在格点（网格线的交点）上．
（1）将ABC ∆向右平移5个单位得到△111A B C ，画出△111A B C ；
（2）将（1）中的△111A B C 绕点1C 逆时针旋转90︒得到△221A B C ，画出△221A B C ．
【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A ，B ，C 的对应点1A ，1B ，1C 即可． （2）利用旋转变换的性质分别作出1A ，1B 的对应点2A ，2B 即可． 【解答】解：（1）如图，△111A B C 即为所求作． （2）如图，△221A B C 即为所求作．
【点评】本题考查作图-旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是熟练掌握平移变换或旋转变换的性质，属于中考常考题型．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）（2021•安徽）学生到工厂劳动实践，学习制作机械零件．零件的截面如图阴影部分所示，已知四边形AEFD 为矩形，点B 、C 分别在EF 、DF 上，90ABC ∠=︒，
53BAD ∠=︒，10AB cm =，6BC cm =．求零件的截面面积．参考数据：sin 530.80︒≈，cos 530.60︒≈．
【分析】由四边形AEFD 为矩形，可得//AD EF ，则BAD EBA ∠=∠，又10AB cm =，结合三角函数值可求出AE 与BE 的长度，又ABC ∠是90︒，在Rt BCF ∆中，结合三角函数值可求
出BF ，CF 的长度，由零件的截面面积=矩形AEFD 的面积ABE -∆的面积BCF -∆的面积，
即可得出结论． 【解答】解：如图，
四边形AEFD 为矩形，53BAD ∠=︒，
//AD EF ∴，90E F ∠=∠=︒， 53BAD EBA ∴∠=∠=︒，
在Rt ABE ∆中，90E ∠=︒，10AB =，53EBA ∠=︒，
sin 0.80AE EBA AB ∴∠=
≈，cos 0.60BE
EBA AB
∠=≈， 8AE ∴=，6BE =， 90ABC ∠=︒，
9037FBC EBA ∴∠=︒-∠=︒， 9053BCF FBC ∴∠=︒-∠=︒，
在Rt BCF ∆中，90F ∠=︒，6BC =， sin 0.80BF BCF BC ∴∠=≈，cos 0.60FC
BCF BC
∠=≈， 245BF ∴=
，185FC =， 2454
655
EF ∴=+
=
， 54432
855
EFDA S AE EF ∴=⋅=⨯
=
四边形， 11
862422ABE S AE BE ∆=⋅⋅=⨯⨯=，
112418216
225525BCF S BF CF ∆=⋅⋅=⨯⨯=
， ∴截面的面积()243221619
245352525
ABE BCF EFDA S S S cm ∆∆=--=
--=四边形．
【点评】本题主要考查解直角三角形，题目本身不难，但是计算比较复杂，清楚了解每一步如何计算是解题基础．
18．（8分）（2021•安徽）某矩形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成，图1表示此人行道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列． [观察思考]
当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块（如图2)；当正方形地砖有2块时，等腰直角三角形地砖有8块（如图3)；以此类推．
[规律总结]
（1）若人行道上每增加1块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖增加2块；
（2）若一条这样的人行道一共有(n n为正整数）块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为（用含n的代数式表示）．
[问题解决]
（3）现有2021块等腰直角三角形地砖，若按此规律再建一条人行道，要求等腰直角三角形地砖剩余最少，则需要正方形地砖多少块？
【分析】（1）观察图形1可知：中间的每个正方形都对应了两个等腰直角三角形，即可得出答案；
（2）观察图形2可知：中间一个正方形的左上、左边、左下共有3个等腰直角三角形，它右上和右下各对应了一个等腰直角三角形，右边还有1个等腰直角三角形，即=+⨯+=+⨯；图3和图1中间正方形右上和右下都对应了两个等腰直角三角形，63211421
均有图2一样的规律，图3:83221422
n+；
=+⨯+=+⨯；图1:42n
+（即24)
（3）由于等腰直角三角形地砖块数24
n+是偶数，根据现有2021块等腰直角三角形地砖，剩余最少，可得：242020
n+=，即可求得答案．
【解答】解：（1）观察图1可知：中间的每个正方形都对应了两个等腰直角三角形，所以每增加一块正方形地砖，等腰直角三角形地砖就增加2块；
故答案为：2；
（2）观察图形2可知：中间一个正方形的左上、左边、左下共有3个等腰直角三角形，它右上和右下各对应了一个等腰直角三角形，右边还有1个等腰直角三角形，即63211421
=+⨯+=+⨯；图3和图1中间正方形右上和右下都对应了两个等腰直角三角形，
均有图2一样的规律，图3:83221422
n+；
+（即24)
=+⨯+=+⨯；归纳得：42n
∴若一条这样的人行道一共有(n n为正整数）块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为24
n+块；
故答案为：24
n+；
（3）由规律知：等腰直角三角形地砖块数24
n+是偶数，
-=块，
∴用202112020
再由题意得：242020
n+=，
解得：1008
n=，
∴等腰直角三角形地砖剩余最少为1块，则需要正方形地砖1008块．
【点评】本题以等腰直角三角形和正方形的拼图为背景，关键是考查规律性问题的解决方法，探究规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）（2021•安徽）已知正比例函数(0)
y kx k
=≠与反比例函数
6
y
x
=的图象都经过点
(,2)
A m．
（1）求k，m的值；
（2）在图中画出正比例函数y kx
=的图象，并根据图象，写出正比例函数值大于反比例函数值时x的取值范围．
【分析】（1）将点A坐标代入反比例函数即可求出m，即可找到点A的坐标；将点A坐标代入正比例函数即可求解．
（2）先画出正比例函数图象，根据图形即可作答．
【解答】解：（1）将点A坐标代入反比例函数得：26
m=．
3
m
∴=．
(3,2)
A
∴
将点A坐标代入正比例函数得：23k
=．
23
k ∴=． （2）如图：
∴正比例函数值大于反比例函数值时x 的取值范围：3x >或30x -<<．
【点评】本题考查待定系数法求函数的待定系数，一次函数与反比例函数的交点知识，关键
在于求出或者找到交点坐标．
20．（10分）（2021•安徽）如图，圆O 中两条互相垂直的弦AB ，CD 交于点E ．
（1）M 是CD 的中点，3OM =，12CD =，求圆O 的半径长；
（2）点F 在CD 上，且CE EF =，求证：AF BD ⊥．
【分析】（1）连接OD ，由垂径定理推论可得90OMD ∠=︒，在Rt OMD ∆中用勾股定理即可
得半径；
（2）连接AC ，延长AF 交BD 于G ，由已知可证ACF ∆是等腰三角形，FAE CAE ∠=∠，
又弧BC =弧BC ，有CAE CDB ∠=∠，故FAE CDB ∠=∠，即可由90CDB B ∠+∠=︒，得
90AGB ∠=︒，从而得证AF BD ⊥．
【解答】解：（1）连接OD ，如图：
M 是CD 的中点，12CD =， 162DM CD ∴==，OM CD ⊥，90OMD ∠=︒， Rt OMD ∆中，22OD OM DM =+，且3OM =，
223635OD ∴=+=，即圆O 的半径长为35；
（2）连接AC ，延长AF 交BD 于G ，如图：
AB CD ⊥，CE EF =，
AB ∴是CF 的垂直平分线，
AF AC ∴=，即ACF ∆是等腰三角形，
CE EF =，
FAE CAE ∴∠=∠，
BC BC =，
CAE CDB ∴∠=∠，
FAE CDB ∴∠=∠，
Rt BDE ∆中，90CDB B ∠+∠=︒，
90FAE B ∴∠+∠=︒，
90AGB ∴∠=︒，
AG BD ∴⊥，即AF BD ⊥．
【点评】本题考查垂径定理及推论，涉及勾股定理、等腰三角形的性质及判定，解题的关键
是证明FAE CDB ∠=∠．
六、（本题满分12分）
21．（12分）（2021•安徽）为了解全市居民用户用电情况，某部门从居民用户中随机抽取100
户进行月用电量（单位：)kW h ⋅调查，按月用电量50~100，
100~150，150~200，200~250，250~300，300~350进行分组，绘制频数分布直方图如图．
（1）求频数分布直方图中x 的值；
（2）判断这100户居民用户月用电量数据的中位数在哪一组（直接写出结果）；
（3）设各组居民用户月平均用电量如表： 组别
50~100 100~150 150~200 200~250 250~300 300~350 月平均用电
量（单位：
)kW h ⋅ 75 125 175 225 275 325
根据上述信息，估计该市居民用户月用电量的平均数．
【分析】（1）根据“各组频数之和为样本容量”可求出x 的值；
（2）根据中位数的意义进行判断即可；
（3）利用加权平均数的计算方法进行计算即可．
【解答】解：（1）10012183012622x =-----=（户)，
答：x 的值为22；
（2）将这100户的用电量从小到大排列，处在中间位置的两个数都落在150~200这一组，
所以这100户居民用户月用电量数据的中位数在150~200这一组；
（3）估计该市居民用户月用电量的平均数为
7512125181753022522275123256186()100
kW h ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=⋅，
答：估计该市居民用户月用电量的平均数为186kW h ⋅．
【点评】本题考查频数分布直方图，加权平均数，理解频数分布直方图的意义，掌握加权平
均数的计算方法是正确解答的关键．
七、（本题满分12分）
22．（12分）（2021•安徽）已知抛物线221(0)y ax x a =-+≠的对称轴为直线1x =．
（1）求a 的值；
（2）若点1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y 都在此抛物线上，且110x -<<，212x <<．比较1y 与2
y 的大小，并说明理由；
（3）设直线(0)y m m =>与抛物线221y ax x =-+交于点A 、B ，与抛物线23(1)y x =-交于
点C ，D ，求线段AB 与线段CD 的长度之比．
【分析】（1）根据公式，对称轴为直线2b x a
=-，代入数据即可； （2）结合函数的图象，根据二次函数的增减性可得结论；
（3）分别联立直线y m =与两抛物线的解析式，表示出A ，B ，C ，D 的坐标，再表示出
线段AB 和线段CD 的长度，即可得出结论．
【解答】解：（1）根据题意可知，抛物线221(0)y ax x a =-+≠的对称轴为直线：
112b x a a
=-==， 1a ∴=．
（2）由（1）可知，抛物线的解析式为：2221(1)y x x x =-+=-，
10a =>，
∴当1x >时，y 随x 的增大而增大，当1x <时，y 随x 的增大而减小，
110x -<<，212x <<，
1112x ∴<-<，2011x <-<，
结合函数图象可知，当抛物线开口向上时，距离对称轴越远，值越大，
12y y ∴>．
（3）联立(0)y m m =>与2221(1)y x x x =-+=-，可得(1A )m ，(1B )m ，
AB ∴=
联立(0)y m m =>与23(1)y x =-，可得(13m C +，)m ，(13
m D -，)m ， 23233m CD m ∴=⨯=， ∴3AB CD
=． 【点评】本题主要考查二次函数的性质，二次函数与一次函数交点问题等，题目难度适中，数形结合思想及求二次函数与一次函数交点需要联立方程是解题基础．
八、（本题满分14分）
23．（14分）（2021•安徽）如图1，在四边形ABCD 中，ABC BCD ∠=∠，点E 在边BC 上，
且//AE CD ，//DE AB ，作//CF AD 交线段AE 于点F ，连接BF ．
（1）求证：ABF EAD ∆≅∆；
（2）如图2．若9AB =，5CD =，ECF AED ∠=∠，求BE 的长；
（3）如图3，若BF 的延长线经过AD 的中点M ，求BE EC
的值．
【分析】（1）先根据题意得出AB AE =，DE DC =，再证四边形ADCF 是平行四边形，得
出AF CD =，进而得出AF DE =，再由平行线性质得AED BAF ∠=∠，进而证得结论；
（2）先证明EAD CFE ∆∆∽，得AD DE AE EF CE CF
==，根据四边形ADCF 是平行四边形，得AD CF =，AF CD =，进而可得
594CF CE CF ==，求得6CF =，103CE =，再利用ABE DEC ∆∆∽，求得答案；
（3）如图3，延长BM 、ED 交于点G ，先证明ABE DCE ∆∆∽，得出AB AE BE DC DE CE
==，设1CE =，BE x =，DC DE a ==，则AB AE ax ==，AF CD a ==，可得
(1)EF AE AF ax a a x =-=-=-，再利用ABF EGF ∆∆∽，列方程求解即可．
【解答】解：（1）如图1，
//AE CD ，
AEB BCD ∴∠=∠，
ABC BCD ∠=∠，
ABC AEB ∴∠=∠，
AB AE ∴=，
//DE AB ，
DEC ABC ∴∠=∠，AED BAF ∠=∠，
ABC BCD ∠=∠，
DEC BCD ∴∠=∠，
DE DC ∴=，
//CF AD ，//AE CD ，
∴四边形ADCF 是平行四边形，
AF CD ∴=，
AF DE ∴=，
在ABF ∆和EAD ∆中，
AB AE BAF AED AF DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()ABF EAD SAS ∴∆≅∆；
（2）方法①：//CF AD ，
EAD CFE ∴∠=∠，
ECF AED ∠=∠，
EAD CFE ∴∆∆∽， ∴AD DE AE EF CE CF
==， 由（1）知：四边形ADCF 是平行四边形，
AD CF ∴=，AF CD =，
9AB =，5CD =，
9AE ∴=，5DE =，
954EF AE AF ∴=-=-=， ∴594CF CE CF
==， 24936CF ∴=⨯=，即6CF =，
103CE ∴=
，
ABC BCD AEB DEC
∠=∠=∠=∠，ABE DEC
∴∆∆
∽，
∴BE EC
AB DC
=，即
10
3
95
BE
=，6
BE
∴=；
方法②：由（1）知ABF EAD
∆≅∆，
ABF EAD
∴∠=∠，
EAD CFE
∠=∠，
ABF CFE
∴∠=∠，
ABC AEB
∠=∠，ABC ABF EBF
∠=∠+∠，AEB CFE ECF
∠=∠+∠，EBF ECF
∴∠=∠，
BAE AED ECF
∠=∠=∠，
EBF BAE
∴∠=∠，
BEF AEB
∠=∠，
BEF AEB
∴∆∆
∽，
∴BE AE
EF BE
=，即
9
4
BE
BE
=，6
BE
∴=；
（3）如图3，延长BM、ED交于点G，
ABE
∆，DCE
∆均为等腰三角形，且ABC DCE
∠=∠，ABE DCE
∴∆∆
∽，
∴AB AE BE DC DE CE
==，
设1
CE=，BE x
=，DC DE a
==，则AB AE ax
==，AF CD a
==，
(1) EF AE AF ax a a x
∴=-=-=-，//
AB DG，
ABG G
∴∠=∠
AD的中点M，
AM DM
∴=，
AMB DMG
∠=∠，
()AMB DMG AAS ∴∆≅∆，
DG AB ax ∴==，
(1)EG DG DE ax a a x ∴=+=+=+， ∴BE AB ax x CE DE a ===， //AB DG （即//)AB EG ，
ABF EGF ∴∆∆∽，
∴AB AF EG EF
=，即(1)(1)ax a a x a x =+-， 2210x x ∴--=，
解得：12x =+或12x =-（舍去），
∴12BE x EC
==+．
【点评】本题是四边形综合题，主要考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形判定和性
质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形判定
和性质和相似三角形的判定和性质等相关知识，正确添加辅助线构造相似三角形是解题关键．。